251Volume 4 | CSPU Conference 1 | 2023 Ta'lim jarayonida raqamli texnologiyalarni joriy etish samaradorligi
g
LOGARIFM VA UNING XOSSALARI. BA'ZI BIR LOGARIFMIK TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH
Z. M. Murtozaqulov
Chirchiq davlat pedagogika universiteti
Matematika fanida asosan ko'p hollarda masalalar va misollarning yechimlari tenglamalar yordamida topiladi. Masalan tenglamalar sistemasi yordamida, birinchi ikkinchi va yuqori darajali tenglamalar yordamida yechiladigan masalalar mavjud. Bundan tashqari biz hayotda juda ko'p shunday masalalarga duch kelamizki odatda bunday masalalar ba'zi metemetikaning bo'limlaridan bo'lgan logarifmlar yordamida yechiladi. Ya'ni ba'zi masalalar masalan texnikaga oid bir qator masalalar logarifmik tenglama ko'rinishiga keladi. Bundan tashqari logarifmik tenglamalarning turli ko'rinishlari va yechishning turli xil metodlari bor. Biz 10-sinf "Matematika" darsligida ham shu kabi misol va masalalarga duch kelamiz. Bu darslikda logarifmga oid bir qancha misollar ko'rsatilgan, ammo ular haqida ma'lumotlar yetarli emas ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Ta'rif: Berilgan b sonning berilgan a asosga ko'ra logarifmi deb, b sonni hosil qilish uchun a asosni ko'tarish kerak bo'lgan daraja ko'rsatkichiga aytiladi, bu yerda
"5
a > 0, a # 1 va b > 0. Masalan, I o g 28 = 3 . Chunki, 2 = 8.
Logarifmik funksiya y=logax bo'lib, bu yerda a>0 va a=b. Funksiyaning aniqlanish sohasidagi barcha sonlar musbatdir.
Logarifmlarni hisoblash logarifmologiya deyiladi. a,b qiymatlar ko'p hollarda haqiqiy bo'ladi, lekin kompleks logorifmlar ham mavjud.
Logarifmlar o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lib, ular vaqt talab qiladigan hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirish uchun keng qo'llaniladi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda Sonlarni ko'paytirish amali qo'shish bilan almashtiriladi, ayirish amali bilan esa bo'lish bajariladi va darajaga ko'tarilish va ildiz chiqarish mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'linishga aylanadi. Laplas logarifmlarning ixtiro qilinishi haqida "Logarifmlar matematikning mehnatini qisqartirib, uning hayotini ikki baravar oshirdi", degan.
Logarifmlarning ta'rifi va ularning qiymatlari jadvali (trigonometrik funksiyalar uchun) birinchi marta 1614 yilda Shotlandiya matematigi Jon Nepierm tomonidan nashr qilingan. Boshqa
D(y) = (0; +□).
matematiklar tomonidan kengaytirilgan va takomillashtirilgan.
https://cspi.uz/
Republican Scientific and Practical Conference
October 20, 2023
Volume 4 | CSPU Conference 1 | 2023 Ta'lim jarayonida raqamli texnologiyalarni
etish samaradorli
gL
Logarifmik jadvallar tuzilib, logarifmik lineykalardan foydalanilgan. Logarifmik jadvallar elektron hisob mashinalari va kompyuterlar paydo bo'lgunga qadar uch asrdan ko'proq vaqt davomida ilmiy va muhandislik hisob-kitoblari uchun keng qo'llanilgan.
Logarifmning xossalari: Logarifmlar ishtirok etgan ifodalarni almashtirishda, hisoblashlarda va tenglamalarni yechishda kopincha logarifmlarning turli xossalaridan foydalaniladi.
* logaa = 1
* loga 1 = 0
* al°9ab = b
* alogbc _ clogba
logcb
log ab =
log ab =
logca 1
logba
* logb(mri) = logbm + logbn
* l°9b (~) = logbm - logbn
* logb(mp) = plogbm
Logarifmik funksiya va uning grafigi haqida tushuncha.
a asosda xning logarifmi bolsin yani y = logax logarifmik funksiya deyiladi, bunda x- argument, y-funksiyadir.
Ta'rifga ko'ra y = loga x funksiya y = ax funksiyaga teskari funksiyadir y = log 3 x funksiyaning grafigini chizib, uning xossalarini tekshiramiz.
1. y = log 3 x funksiyaning aniqlanish sohasi barcha musbat sonlar toplamidan iborat, chunki ax > 0 edi.
y = log 3 x funksiyaning grafigi y o'qining o'ng tomoniga joylashgan, shuning uchun (asosi musbat son bolganda) manfiy sonlar va nolning logarifmi mavjud emas. x=1 bolganda funksiya nolga teng. y = log 3 x funksiya o'suvchidir.
x<1 bolganda funksiyaning qiymatlari manfiy x>1 da esa musbatdir. x —^ k bolganda y — k va x — 0 da y —-c log3 3 = 1
2.
3.
4.
5.
6. 7.
c
October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference
410
Volume 4 | CSPU Conference 1 | 2023 Ta'lim jarayonida raqamli texnologiyalarni
etish samaradorli
gL
Xulosa: a>1 da y = loga x funksiyaning mavjudlik sohasi barcha musbat sonlar to'plamida iborat bo'lib, o'suvchidir x=1 da esa nolga teng: x cheksiz ortib borsa funksiya musbatligicha qolib, cheksiz ortib boradi. x kamayib nolga yaqinlasha boshlaganda esa funksiya manfiy qiymatlar olib cheksiz kamayadi.
Jumladan, f (x) = a* funksiyaning aniqlanish sohasi D(f) = {-&< x < o'zgarish sohasi E(f) = {0 < y < edi. Shunga ko'ra f(x) = loga x funksiya uchun Df) = {0 < x < E(f) = {-x> < y < +x>j bo'ladi. a > 1 da loga x funksiya (0; nurda uzluksiz, o'suvchi, 0 < x < 1 da manfiy, x > 1 da musbat, -ro dan gacha o'sadi. Shu kabi 0 < a < 1 da funksiya (0; da uzluksiz, dan 0 gacha kamayadi, 0 < x < 1 oraliqda musbat, x > 1 da manfiy qiymatlarni qabul qiladi. Ordinatalar o'qi loga x funksiya uchun vertikal asimptota.
Logarifmik funksiyaning qolgan xossalarini isbotlashda ushbu asosiy logarifmik ayniyatdan ham foydalaniladi: al09an =n (n>0, a>0, a^1.) (1) ayniyat ax=n tenglikka x=logan ni qo'yish bilan hosil qilinadi. O'zgaruvchi qatnashgan a109ax = x tenglik x ning x > 0 qiymatlaridagina o'rinli bo'ladi. x < 0 da a109aX = x ifoda ham o'z ma'nosini yo'qotadi.
1) l o g a1 = 0, chunki a0 = 1;
2) l o gaa=1, chunki a1 = a; (c>0, c£1).
3) l o ga (nm) = logan + logam .
4) l o g a (n/m) = logan -logam.
5) 'oga" = ^(O'W1).
Logarifmik tenglama: O'zgaruvchi faqat logarifm belgisi ostida qatnashgan tenglama logarifmik tenglama deyiladi.
Teorema: Agar loga f(x) = log¿ g(x) bo'lsa, u holda f(x) = g(x) tenglik o'rinli. 1-misol: Quyidagi tenglamani yeching.
log3(2x - 5) = log3( x + 4)
October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference
411
^echnologies^n^heEduaaiiamm^^oBmm
Volume 4 | CSPU Conference 1 | 2023 Ta'lim jarayonida raqamli texnologiyalarni
Yechish: Teoremaga ko'ra 2x - 5 = x+4 tenglik o'rinli. Demak, x = 9
1-misol: Quyidagi tenglamani yeching.
log 0.5 (x2 - 3x - 2) = log 0.5 (2x + 4)
Yechish: Teoremaga ko'ra x2 - 3x - 2 = 2 x + 4 yoki x2 - 5x - 6 = 0 tenglik o'rinli.
Demak, xi 1
x2 =6;
Logarifmik tengsizliklar: O'zgaruvchisi faqat logarifm belgisi ostida bo'lgan tengsizlik logarifmik tengsizlik deyiladi.
Ularni yechishda y = loga x > b funksiyaning monotonligidan foydalaniladi.
Logarifmik tengsizlikni yechish quyidagi xossaga asoslangan: Agar loga x > log a y bo'lsa, u holda a>1 bo'lganda x > y bo'ladi. a<1 bo'lganda x < y bo'ladi.
Agar 0 < a < 1 bo'lsa, bu tengsizlikning barcha yechimlari to'plami (ab ; +») oraliqdan iborat bo'ladi. Agar a > 1 bo'lsa, qaralayotgan tengsizlikning barcha yechimlari to'plami (0; ab ) oraliqdan iborat bo'ladi. loga x > b, logax < b, logax > b tengsizliklar ham shunga o'xshash yechiladi.
1-misol: Quyidagi tengsizlikni yeching.
log3 x > 4
Yechish: O'zgaruvchining qiymat qabul qilish sohasi x > 0 ma'lumki log3Sl = 4 , shunung uchun log3 x > log3 Sl. Logarifmning asosi 1 dan kata bo'lgani uchun: x > Sl . Demak, x > Sl
2-misol: Quyidagi tengsizlikni yeching.
log 0.2 x > 2
Yechish: O'zgaruvchining qiymat qabul qilish sohasi x>0. Quyidagi ifodaga ega bo'lamiz. 0.2 =0.04 demak, log02 x > log020.04
Logarifm asosi bir dan kichik bo'lgani uchun x<0.04.
Bu tengsizlikni x>0 bilan taqqoslab, 0<x<0.04 ni hosil qilamiz.
Javob: (0;0,04)
REFERENCES
1. M.A.Mirzaahmedov, Sh.N.Ismailov, A.Q.Amanov. Matematika 10 (Algebra va analiz asoslari II qism). Toshkent-2017.
2. T.Jo'rayev, A.Sa'dullayev, G.Xudoyberganov, H.Mansurov, A.Vorisov. Oliymatematika asoslari. I qism. Toshkent-"Ozbekiston"-1995.
October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference
412
g
Volume 4 | CSPU Conference 1 | 2023 Ta'lim jarayonida raqamli texnologiyalarni joriy etish samaradorligi
g
3. Murtozaqulov Z. M., Solayeva M. N. darslikdagi differensial tenglamalarni yechishdagi yetishmayotgan metodlar va ma'lumotlar //Academic research in educational sciences. - 2021. - Т. 2. - №. CSPI conference 3. - С. 462-467.
4. MURTOZAQULOV Z. M., ABDUJABBOROV S. H. F. Tenglamalar sistemasini yechishda qulay bo'lgan metod va ko'rsatmalar //ЭКОНОМИКА. - С. 898-904.
5. Zafar Madat o'g'li Murtozaqulov. KOMBINATORIKAGA DOIR MASALALARINI YECHISHDA FORMULALARNI TO'G'RI QO'LLASH. Uzbek Scholar Journal. Volume- 09, Oct., 2022 (272-277).
6. Муртозакулов Зафар Мадат угли. УЧ УЛЧАМЛИ ЛЕЙБНИЦ АЛГЕБРАЛАРИДА L1, L2, L3 АЛГЕБРАЛАРДАГИ БУЗИЛИШЛАРИНИ ДАМДА УТИШ МАТРИЦАЛАРИНИ ХДСОБЛАШ.// ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ. (119-127).
7. Муртозакулов Зафар Мадат угли. ТАБИИЙ УСУЛДА ГРАДИУРЛАНГАН КВАЗИ-ФИЛИФОРМ ЛЕЙБНИЦ АЛГЕБРАСИНИНГ ДИФФЕРЕНЦИАЛИ. Ustozlar uchun. (78-83).
https://cspi.uz/
Republican Scientific and Practical Conference
October 20, 2023
