Пути преодоления проблем в изучении высшей математики Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ И СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ

УДК 372.851

Безверхний В.Н., Гализдра В.И., Гринблат В.А.

ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ ПРОБЛЕМ В ИЗУЧЕНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

В статье показывается необходимость серьёзной математической подготовки будущих инженеров, являющейся основой для исследования, и решения разнообразные практических задач.

Указываются причины, не позволяющие студентам эффективно осваивать математические дисциплины.

Предлагаются возможные пути преодоления проблем в изучении высшей математики, которые должны, обеспечить повышение качества математического образования.

Ключевые слова: математическая подготовка, инновационные методы и технологии обучения, математическое образование, математические дисциплины, мотивация к обучению.

Bezverhny V.N., Galizdra V.l., Grinblat V.A.

THE WAYS TO OVERCOME PROBLEMS IN THE STUDY OF HIGHER

MATHEMATICS

In the article Need of the serious mathematical training of future engineers which is a basis for research and the decision various practical tasks is shown.

The reasons which aren't allowing students to master effectively mathematical disciplines are specified.

Possible ways of overcoming of problems in studying of the higher mathematics which have to provide improvement of quality of mathematical education are offered.

Keywords: mathematical preparation, innovative methods and technologies of training, mathematical education, mathematical disciplines, motivation for training.

В XXI веке значительно возросла роль математики в современной науке и технике. Выпускникам вузов — будущим инженерам, экономистам, спасателям и т.д. — необходима серьёзная математическая подготовка, которая позволяла бы математическими методами исследовать возникающие проблемы, применять современную вычислительную технику, использовать теоретические результаты на практике. Для этого по крайней мере надо, чтобы они имели правильное общее представление о том, что такое математика и математическая модель, в чём заключается математический подход к изучению явлений реального мира, как его применять и что он может дать.

В настоящее время немало говорится о том, что сегодня выпускник высшей школы должен обладать способностью адаптироваться к меняющимся условиям, уметь осваивать новые знания, если под этим не подразумевать различные виды чиновничьей (по существу) деятельности в различных сферах, то указанные каче-

ства можно приобрести только при серьёзном изучении фундаментальных, естественнонаучных и специальных дисциплин. Ясно, что в ряду таких дисциплин важнейшую роль играет «царица наук» — математика.

Изучение математики даёт в распоряжение инженера не только определённую сумму знаний, но (и это очень важно) развивает в нём способность ставить, исследовать и решать самые разнообразные задачи. Иными словами, математика развивает мышление будущего инженера и закладывает прочный фундамент для освоения многих специальных технических дисциплин. Кроме того, именно с её помощью лучше всего развиваются способности логического мышления, концентрация внимания, аккуратность.

В России уже во времена Петра I математика занимала особое положение. Так, к концу XVII века, когда царь Пётр проникся идей ценности образования и в качестве образовательной модели выбрал светскую профессиональ-

ную школу, математика заняла лидирующую позицию. В начале XVIII века были созданы математико-навигацкая, инженерная, артиллерийская школы, горные училища. В основу созданной системы Пётр положил изучение математики, объективно оценивая её роль в во-еннотехническом обучении. Более того, с 1714 года математическое образование стало обязательным для всех типов образовательных учреждений.

Хорошо известно, что в Советском Союзе на изучение математических дисциплин в технических вузах выделялось достаточно много времени, что позволяло давать качественную подготовку выпускникам.

В современной России ситуация значительно ухудшилась. После подписания Болонских соглашений наша страна перешла на двухуровневую подготовку специалистов — бакалавр и магистр, что привело к значительному уменьшению аудиторной нагрузки по математике при обучении бакалавров. Преподавателям приходится «втискивать» слишком большой объём материала в узкие рамки учебных часов. Например, создание дифференциального и интегрального исчисления человечество затратило несколько сотен лет, а студенты вынуждены «одолеть» этот раздел математики за один-два семестра. Поэтому курс математики оказывается чрезвычайно сконцентрированным, и многие обучающиеся не способны «переварить» его за отведённое время.

Кроме того, из года в год снижается качество подготовки выпускников средних школ. Большинство специалистов отмечает, что введение Единого государственного экзамена по математике и физике привели к катастрофическим для инженерного образования последствиям.

Выделим основные причины, не позволяющие студентам эффективно осваивать математические дисциплины:

— слабая школьная подготовка по математике;

— низкая мотивация к обучению;

— принципиальное отличие объёмов изучаемой информации в школе и в вузе;

— отсутствие у выпускников школ навыков самостоятельной работы;

— неумение работать с учебной и научной литературой.

Таким образом, для того чтобы студенты могли успешно освоить высшую математику в вузе, необходима корректировка их математической подготовки и активизация их деятельности в процессе изучения математических дисциплин.

Во многих технических вузах в первом семестре включены в учебные планы курсы выравнивания по математике, содержание которых должно ориентироваться на знания, умения и навыки необходимые выпускникам школ для последующей успешной профессиональной подготовки. Так, например, при изучении теории пределов студенты определяют тип неопределённостей, но не справляются с заданием, потому что не видят формулы сокращённого умножения или не в состоянии разложить квадратный трёхчлен на множители. Неумение читать графики функций, отсутствие систематизированных знаний об элементарных свойствах функций затрудняет изучение математического анализа. В аналитической геометрии вызывает непреодолимые трудности геометрическая интерпретация векторов и операции над ними и, как следствие, неумение выбрать алгоритм действий или правильно интерпретировать результат выполненных действий. Неумение проводить простейшие арифметические операции над обыкновенными и десятичными дробями затрудняет изучение любого раздела математики.

Определяя тематику курса выравнивания, следует остановиться на основополагающих разделах элементарной математики (арифметические и геометрические преобразования, тригонометрия, элементарные функции). Занятия должны сопровождаться формированием и отработкой навыков при решении упражнений и задач. Обзор отдельных технических моментов, например, свойства логарифмов, формулы корней тригонометрических уравнений и т.п., можно сделать в рамках учебной дисциплины. А в курсе выравнивания главный акцент делать на практическое применение элементарных математических знаний и их контроль, на каждую

2016'2(29)

тему отводить по 8-10 часов занятий, что позволит актуализировать знания, закрепить их упражнениями на занятиях, а при выполнении домашних заданий проконтролировать результат усвоения. Формулы, определения, основные свойства следует проверять через математические диктанты (10-20 минут на занятии) или с помощью компьютерного тестирования, а навыки их применения — через самостоятельные работы (20-30 минут в завершающей части темы).

Для воспитания же творческой активности и инициативы студентов должны быть использованы инновационные методы и технологии обучения.

В образовании сложились, утвердились и получили широкое распространение три формы организации учебного процесса: пассивная, активная и интерактивная. Удельный вес занятий, проводимых в активных и интерактивных формах в учебном процессе, должен составлять не менее 20 процентов аудиторных занятий (ФГОС+3, 7 раздел «Требования к условиям реализации основных образовательных программ», п. 7.3). Например, в направлении подготовки «Системный анализ и управление» на математический анализ отведено 32 часа, на линейную алгебру и аналитическую геометрию — 12 часов.

Таким образом, одной из важнейших задач, выполнение которых обеспечивает качественную подготовку специалистов, является внедрение активных и интерактивных форм обучения.

При использовании активных и интерактивных форм обучения организуется индивидуальная, парная и групповая работа, осуществляется работа с конспектом лекций, справочниками и другими источниками информации. Создаётся среда образовательного общения, которая характеризуется открытостью, взаимодействием участников, равенством их аргументов, накоплением совместного знания, возможностью взаимной оценки и контроля.

Ведущий преподаватель вместе с новыми знаниями ведёт участников обучения к самостоятельному поиску, при этом активность преподавателя уступает место активности студентов, его задачей становится создание условий для их инициативы. Это сложная, но решаемая проблема!

Стоит отметить, что в нынешних услови-

ях использование современной техники, мультимедийного оборудования позволяет преподавателям расширить диапазон применяемых в учебном процессе методик, усовершенствовать способы проверки выполнения заданий, лучше наладить обратную связь со студентами, более гибко реагировать на проблемные ситуации, возникающие при освоении курса и решать следующие задачи:

— пробуждение у обучающихся интереса к обучению;

— эффективное освоение учебного материала;

— самостоятельный поиск студентами путей и вариантов решения поставленной задачи;

— установление взаимодействия между студентами, обучение работать в команде, проявлять терпимость к любой точке зрения; уважение прав каждого на свободу слова, уважение его достоинства;

— формирование у обучающихся мнения и отношения к учёбе;

— формирование жизненных и профессиональных навыков;

— выход на уровень сознательной компетентности студента.

Однако активные и интерактивные формы обучения ни в коей мере не заменяют традиционные лекционные формы проведения занятий, а лишь способствуют лучшему усвоению лекционного материала и, что особенно важно, формируют мнения, отношения к учёбе и навыки поведения.

Чтение лекций по математическим дисциплинам особенно сложно. Это происходит вследствие природы математики как дедуктивной науки. Дедуктивные науки строятся таким образом, что все их частные результаты выводятся из небольшого числа общих положений — аксиом. Должны ли мы при лекционном изложении математики строго следовать тем принципам, по которым математика излагается в научных книгах как окончательная, отшлифованная, логически последовательная цепь заклю-

чений? Существуют два различных мнения по этому вопросу.

По мнению одних, математику на лекциях следует излагать «математически», т. е. формально-логическим методом. Центром внимания лектора здесь является большая стройность, формальная определённость, логическая связность излагаемого материала. Такой стиль называется академическим. Отличительными чертами этого стиля — строгая последовательность, систематичность материала и его формализация. Всякие дополнительные пояснения, приемы, непосредственно не вытекающие из излагаемого, но направленные на раскрытие сущности излагаемого, сторонники академического стиля считают «излишней философией». Надо отметить, что такая форма изложения в математике является наиболее распространенной. Эта форма лекции весьма выгодна в смысле экономии времени. Слушание такой лекции обычно даёт не больше результатов, чем самостоятельная работа студентов по учебникам.

Более эффективен, по нашему опыту, другой стиль чтения лекций — «живой». Он характеризуется многообразием приёмов, используемых лектором для создания у аудитории живого интереса и понимания. Эта форма предъявляет более высокие требования к лектору как к педагогу. Лектор уже не является простым передатчиком знаний того, что изложено в учебниках, лекция его представляет собой краткое воспроизведение хода мыслей, рассуждений, проводимых исследователем, впервые столкнувшимся с излагаемой проблемой. В противоположность академическому стилю при изложении материала лектор не ограничивается показом готовых выводов и заключений, а создает картину той борьбы, через которую человеческая мысль пришла к этим выводам и заключениям. Он начинает лекцию с постановки вопроса, старается установить источники зарождения тех или иных теорий, их связь с практикой, делает исторические экскурсы. Умелое использование всего этого не только обеспечивает более сознательное усвоение материала, но и способствует формированию научного мировоззрения, вырабатывая правильную методологию.

В практике преподавания математики в вузе доминирующим является академический стиль.

Однако должны иметь место как академический, так и «живой» стиль чтения лекций.

В деле активизации учебной деятельности студентов в процессе преподавания имеет огромное значение создание проблемных ситуаций. Изучение многих вопросов нужно вести не как пересказ чего-то, подлежащего усвоению, а как разрешение поставленных проблем. Постановку задач и проблем при изучении важных разделов и вопросов мы постоянно применяем в практике преподавания. Приведём некоторые примеры.

При изложении темы «Дифференциальные уравнения» мы обычно рассматриваем задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, например, такого вида: найти форму отражающей поверхности, чтобы электромагнитное излучение от источника после отражения от неё образовывало параллельный пучок.

Формализуем задачу. Реальный источник электромагнитного излучения заменим точечным источником, от которого электромагнитное излучение распространяется во все стороны одинаково. Тогда из соображений симметрии ясно, что отражающая поверхность должна быть поверхностью вращения с осью, проходящей через источник излучения параллельно отражённым лучам. Проведём через ось какую-нибудь плоскость и рассмотрим сечение поверхности этой плоскостью (см. рисунок 1). Введём в ней прямоугольную систему координат (х,у), начало О которой совместим с источником электромагнитного излучения, а ось Оу направим параллельно отражённым лучам (см. рисунок 2).

Отряжающая поверхность

^^^^^^^ источ^к излучения

электромагнитное излучение

Рисунок 1 - Ход лучей электромагнитных волн в параболической антенне

2016'2(29)

'У y=f( X) /

Р

1 fQ

К М

^yf х

о

N

tga

Таким образом,

КМ

КМ

tga =

У + Vx2 + У2

Угол а определяет наклон касательной в точке М к оси Ох, тангенс которого, как известно, равен производной /'(х) : у' = tga. а

У

\/х2 +у2 - у

(4)

Рисунок 2 - Геометрическая схема

Тогда уравнение линии пересечения данной плоскостью с отражающей поверхностью запишется в виде у = /(х). Задача заключается в

( х)

щую форму поверхности.

Пусть точка Ш(х,у) — произвольная точка искомой линии. N(2 — касательная к линии в точке М, N — точка пересечения касательной с осью Оу. Луч электромагнитных волн, выходящий из точки О, после отражения от поверхности в точке М должен идти параллельно оси Оу. Согласно закону отражения угол падения ()М.\ равен углу отражения РМС}. С другой стороны угол ОИМ равен углу РМС5, как соответствующие углы при параллельных прямых. Таким образом, в треугольнике ОИМ углы при вершинах N и М равны — треугольник равнобедренный. В результате чего получим:

Это и есть математическая модель рассматриваемого явления, описанного в виде дифференциального уравнения, для изучения которого уже можно будет воспользоваться различными математическими методами.

Полезно также рассмотреть задачу об остывании или нагревании тела. Пусть некоторое тело поместили в среду, в которой поддерживается постоянная температура в. Как будет изменяться со временем температура тела T(t)l Для того чтобы вывести уравнение, определяющее функцию T(t), нужно знать закон теплообмена. Во многих случаях хорошей математической моделью этого процесса является предположение о том, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разности между тем-в

Известно, что скорость изменения какой-либо величины определяется её производной. Тогда сформулированное предположение о скорости изменения температуры тела запишется в виде

f -г х

(5)

ОЫ = ОМ = л/х2 + у2 — расстояние

между точками О и М (1)

Теперь рассмотрим треугольник КМИ и

а

как вертикальные углы:

КЫ КО + ОЫ

х

Vx2Ty2-у

(2)

(3)

где к — коэффициент пропорциональности, характеризующий интенсивность теплообмена и определяется теплофизическими свойствами тела и окружающей среды. Это соотношение есть дифференциальное уравнение относительно искомой функции Т(1). Оно показывает, что при Т(¿) < в, Т' (¿) > 0, температура тела возрастает - тело нагревается и, наоборот, при Т(¿) > в Т' (¿) < 0 температура тела убывает - тело остывает.

Можно привести ещё множество интересных примеров при изложении и других тем, однако отметим, что надо избегать такого стиля изложения, при котором студенты пассивно следят за событиями у доски.

Процесс слушания лекции не должен быть пассивным, сводящимся к простому запоминанию. Активным же он может быть лишь в

х

х

том случае, если сопровождается целенаправленным и напряженным мышлением.

Если при освоении нового не заставить студента мыслить, то у него не только не вырабатывается умение мыслить, но и запоминание получается непрочным. Ибо в этом случае оно не опирается на понимание.

Успех обучения математике во многом зависит от умения создавать у обучающихся интерес к изучаемому. Здесь от преподавателя требуется подлинное педагогическое мастерство, почти граничащее с артистическим искусством.

Особое внимание надо уделять и практическим занятиям по математике, которые зачастую бывают ещё более рутинными, чем лекции. Задачи, решаемые на этих занятиях, в своем большинстве даже по духу, направленности имеют мало общего с реальными задачами. Такие задачи концентрируются вокруг немногих, в значительной мере потерявших своё значение формальных типов, либо связаны с непосредственной подстановкой в формулы. При этом критерием хороших практических навыков у студента, определяющим направление его работы, часто служит его умение решать формально усложненные искусственные задачи.

Конечно, определенное количество формальных задач, примеров на непосредственное применение формул и на доказательство необходимо. Однако надо существенно больше, чем это делается сейчас, заботиться о реальной осмысленности формулировок задач, имитирующих этапы реального исследования, хотя

бы в упрощенном виде. При этом речь вовсе не идет о том, чтобы брать примеры из специальных дисциплин, хотя, если такой пример можно сделать легкодоступным, это только украсит занятия. Сама постановка задачи, её направленность должны напоминать то, что может возникнуть в прикладном исследовании, даже если эта задача опирается только на простые понятия физики или имеет чисто математический характер, ведь и простое дифференцирование может составлять этап реального исследования.

Надо шире применять размерные величины, грубые и асимптотические оценки, выделять главные части величин, проводить контроль формул на размерность и указанные оценки. Решать задачи с переопределенными условиями или с неоднозначной постановкой («исследовать», «сравнить», «выяснить», «проверить» и т. п.), связанные с предварительным составлением уравнений, задачи с не указанным заранее методом решения или требующие для своего решения знаний из различных разделов, задачи с исследованием зависимости решения, в частности от параметров, входящих в решение; шире пользоваться справочниками и т. д. Надо стараться всюду, где это возможно, доводить решение до числа, графика и других результатов, применяемых в прикладных задачах.

Нахождение способов и средств, с помощью которых можно обеспечить творческое изучение математики, это ещё одна сложная, но решаемая проблема!

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание. — М.: Наука, 1985. — 240 с.

2. Ногин В.Д. Математика в техническом вузе: проблемы и перспективы / В.Д. Ногин // Образование и наука: проблемы и перспективы

СПб, 2001. — с. 253-261.

развития.

3. Зимина О.В. Инженерное образование в компьютеризированном обществе. Преподавание без компьютеров / О.В. Зимина, А.И. Кирилов / / Проблемы теории и методики обучения. — М.. 2003 - № 8. — С. 69-ТЗ.

4. Методика интегральной оценки знаний абитуриентов / М.В. Грязев // Высшее образование

в России. — М., 2010. — № 6. — С. 28-32.

5. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучения и преподавания / Д. Пойа. — М.: Наука, 1970. — 448 с.

6. Гализдра В.И. Построение модели динамической системы в виде дифференциальных уравнений // Материалы XVII межвузовской научно-практической конференции «Пути повышения уровня под-готовки специалистов в высших учебных заведениях». — Калиниград, филиал ВУНЦ ВМФ «Военно-Морская Академия», 2015. — С 61-69.

Рецензент: кандидат технических наук, доцент Добров А.В.