CC BY
66
А.В. МЕРЛИН
кандидат физико-математических наук, профессор кафедры системного анализа и математического моделирования Чувашского государственного университета имени И.Н. Ульянова Е-шаИ: [email protected] Тел. 8 903 358 42 32
Н. И.МЕРЛИНА
доктор педагогических наук, кандидат физикоматематических наук, профессор кафедры прикладной математики Чувашского государственного университета имени И.Н. Ульянова Е-mail: [email protected] Тел. 8 903 358 42 32
КРУГОВОЙ И ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
В статье рассматриваются и сравниваются два метода изложения математического анализа: линейный, следующий последовательному изложению материала от аксиом к приложениям, и круговой, использующий систематическое возвращение к пройденному материалу.
Ключевые слова: математический анализ в вузе, линейный и круговой метод обучения.
Вопросы преподавания математического анализа (и высшей математики вообще) в вузе являются очень важными в деле подготовки и воспитания высококвалифицированных кадров для народного хозяйства страны. Естественно, что актуальность этого вопроса оценивается преподавателями вузов по-разному. На наш взгляд, сегодня имеется несколько обстоятельств, вынуждающих педагогическую общественность тревожиться о качестве подготовки выпускников вузов в области фундаментальных дисциплин.
Математический анализ как учебная дисциплина в вузах с математической направленностью имеет давнюю историю своего преподавания и установившиеся подходы в изложении содержания.
Основным принципом чтения лекций является при этом метод, который можно назвать линейным. Преподаватель, которому поручено читать лекции по математическому анализу, составляет в соответствии с учебным планом и своими методологическими воззрениями систему определений, теорем и задач, входящих в рабочую программу курса. При этом все теоремы обязательно доказываются.
Мы понимаем, что сказанное в определенной мере относительно. Учебный план специальности или направления составляется одним ведущим учёным или группой экспертов, которые, в свою очередь, исходят из общих задач подготовки специалиста с высшим образованием с учётом собственного опыта преподавания. Мы понимаем, что все теоремы и задачи нельзя включить в рабочую
© А.В. Мерлин, Н.И. Мерлина
программу учебной дисциплины. Ясно также, что выделение теорем в какой-то мере происходит произвольно, и все теоремы невозможно доказать из-за нехватки учебного времени. Список подобных относительностей можно продолжить.
Этот метод является основным и для других математических курсов на специальностях с углубленной математической подготовкой. Использование метода обусловлено основной задачей математического образования, которую мы видим в приучении студентов к строгому мышлению: четкому выделению исходных понятий, фиксации основных утверждений (аксиом и постулатов), систематическому доказательству теорем и поиску приложений математических методов как для развития самой математики, так и для решения прикладных задач вне математики.
Структура действующего математического образования давала до сих пор возможность решать эту задачу за счет хорошего фундаментального образования в массовой средней школе и выделения достаточного количества часов в учебных планах по физико-математическим специальностям в высшей школе. Этот подход обеспечен хорошей учебной литературой, написанной ведущими отечественными учеными, отметим, в частности, Л.Д.Кудрявцева[1,2,4], Б.П. Демидовича [3], учебники которых мы рекомендуем своим студентам в качестве основных учебников при изучении математического анализа.
Сейчас ситуация в среднем и высшем образова-
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
нии изменилась. Основная задача математического образования осталась прежней. Но условия для её решения стали другими.
1) Исходный уровень математической подготовки первокурсников существенно снизился. Это чувствуют преподаватели не только провинциальных вузов, но и центральных.
Редко какой вуз может считать удовлетворительными знания по математике у вчерашних выпускников средней школы - нынешних первокурсников. Следствием такой ситуации является проведение в начале учебного года ознакомительной контрольной работы, по результатам которой проводятся дополнительные занятия по элементарной математике. Форма организации подобных занятий полностью определяется вузом: включать или не включать этот дополнительный учебный предмет в учебный план специальности (направления), привлекать студентов к обучению этому предмету на добровольных началах или в «принудительном » порядке, обучать студентов за счёт бюджетных средств или на коммерческой основе и т.д. Но дополнительные занятия лишь частично ликвидируют пробелы первокурсников в знаниях по элементарной математике.
В памяти первокурсников мал запас формул, определений и теорем на начало вузовского учебного года и фактически полностью отсутствует умение рассуждать, то есть, доказывать теоремы. Наиболее отчетливо это проявляется, например, в знаниях по тригонометрии, умениях решать трансцендентные неравенства и геометрические задачи.
Остаточных знаний по математике становится всё меньше и меньше. Это ничуть не противоречит положительным результатам единых государственных экзаменов по математике, поскольку эти знания проверяются непосредственно после окончания обучения в школе. Перерыв в изучении математики составляет для первокурсников почти 12 недель, в течение которых среднестатистический школьник о математике и не вспоминает. Не знаем, насколько точно утверждение, что новая информация, не закрепляемая никакими последующими упражнениями, исчезает из человеческой памяти со скоростью 80% в неделю. Но такое утверждение нам известно и соответствует нашим наблюдениям. Математика оперирует отвлеченными понятиями, с которыми школьник не встречается в повседневной жизни, и потому для успешного усвоения математической информации от школьника и студента требуется соблюдать систематичность в занятиях математикой. К тому же сокращение количества учебных часов на математику в школе, увлечение большинства школ сверхранней подготовкой к единому госэкза-мену существенно уменьшает запас знаний и сни-
жает уровень навыков школьников в решении задач по математике. Таким образом, на начало учебного года подавляющее большинство первокурсников не знает элементарной математики.
Такое незнание установилось надолго. Наш регион был в числе пилотных в реализации ЕГЭ в средней школе. Но в первые два года проведения ЕГЭ эти экзамены дополнялись вступительным экзаменом по математике. Качество знаний по математике у абитуриентов были вполне приемлемыми для нормального обучения в университете. За эти два года процесс внедрения ЕГЭ продолжался, и вступительные экзамены в вуз были отменены окончательно. ЕГЭ стал единственной формой оценки знаний выпускников школ, и это стало основной причиной неудовлетворительной подготовки по математике значительной части абитуриентов. Эта ситуация, может быть, не очень сказывается в ведущих вузах. Но в большинстве других вузов исходный уровень знаний по математике у абитуриентов не соответствует нормальной организации учебного процесса.
Критика содержания заданий ЕГЭ по математике, по- видимому, не доходила до соответствующих руководителей министерства науки и образования России, руководящих организацией ЕГЭ. Лишь в самые последние годы начались сдвиги, на наш взгляд, положительные: убрали группу «А» задач, примитивных в смысле математическом и не требующих для своего решения знаний за 9-11 классы средней школы, но позволяющих получить удо-влетворительную оценку по математике. Увеличена доля задач типа «С», в них появились интересные задачи по геометрии, задачи с параметром и даже задача олимпиадного характера «С6». Хочется надеяться, что эта тенденция сохранится и усилится.
Однако, есть проблемы, для пояснения которых приведём несколько подтверждений из сообщений, опубликованных в средствах массовой информации
Дополнение 1. О снижении доверия к результатам ЕГЭ. [5].
«Президентская комиссия по совершенствованию проведения экзамена предлагает изъять его из-под юрисдикции образовательных ведомств. Комиссия по совершенствованию процедуры проведения госэкзамена предлагает вывести проведение ЕГЭ из-под юрисдикции Минобрнауки и Рособрнадзора. По мнению членов комиссии, это будет способствовать большей объективности результатов тестирования, поскольку у образовательных ведомств «есть соблазн оценить получше самих себя».
Наш комментарий. Известно, что одним из аргументов в пользу ЕГЭ при его введении было
утверждение, что учителям и школам нельзя доверить проведение выпускных экзаменов, так как они оценивают самих себя. Теперь речь идёт о том, что нельзя доверять федеральному министерству.
Дополнение 2 [6].Возможны ли в России удачные реформы образования?
Прямой эфир радио «Комсомольская правда» (участники - директор Института развития образования ВШЭ проф. Ирина Абанкина, редактор отдела образования «КП» Александр Милкус, ведущая Елена Афонина и радиослушатели)
Е. Афонина: «Подводим итоги нашего голосования. Всего лишь 2% считают, что в нашей стране возможны удачные реформы образования. И 98% говорят - нет, увы, извините, удачные реформы образования в России невозможны»
Дополнение 3. [7] Количество выпускников средних школ Чувашской Республики, берущихся на ЕГЭ за решение задач серии «С», за последние два года.
Задачи серии «С», имеющие существенное значение для специальностей с математическим уклоном, расположены в заданиях единого госэкзамена в порядке возрастания сложности и пронумерованы в порядке увеличения их номеров. За самую простую задачу «С1» брались от 60 процентов до 67 процентов, решили вполовину меньше. За среднюю по сложности задачи «С2, С3» брались от 20 до 42 процентов, за трудные задачи «С4,С5» - от 4-9 до 7-12 процентов соответственно. За задачу «С6» олимпиадного характера брались примерно 4 процента. Решивших эти задачи - в разы меньше. Таким образом, подавляющее большинство выпускников средних школ не может решать задачи, соответствующие требованиям математических факультетов. Подобную тенденцию можно наблюдать не только в одном регионе.
2) Происходит переориентация физикоматематических факультетов на подготовку специалистов инженерного профиля с углубленным изучением математики, но почти в два раза уменьшается количество часов по учебному плану (например, по специальности прикладная математика и информатика), а объём учебного материала согласно ГОС практически тот же, что и на прежней специальности «математика». Специальность «математика» остаётся лишь в крупнейших вузах. Хорошо это или плохо? В обучении и воспитании, как правило, нет однозначных ответов. С одной стороны, хорошо, потому что в этих вузах сосредоточены крупные научные силы, обеспечивающие высокий уровень образования своим выпускникам. С другой стороны - плохо, так как:
а) не все приехавшие попадают в тот вуз, о кото-
ром они мечтали;
б) в каждой учебной группе происходит дифференциация по академической успеваемости и уровню адаптации к жизни в большом городе (такое расслоение имеет место на всех уровнях образования и во всех учебных заведениях, где бы они не были расположены);
в) далеко не все выпускники центральных вузов возвращаются в родные пенаты после окончания учёбы.
3) Следует отметить наличие объективного фактора, хорошо известного в образовательном сообществе: в науке имеет место быстрое накопление новой информации, которую нужно передать новому поколению людей Значит, в преподавании от какого - то учебного материала придется рано или поздно отказываться в пользу новых научных фактов. В математике это означает отдать приоритет обучению, умению или искусству доказывать или рассуждать и обосновывать. И для этого необязательно рассматривать все теоремы с полным доказательством. Этот подход мы называем круговым методом.
Круговой метод состоит в следующем. Учебный курс разбивается на несколько крупных разделов, например, в соответствии с принятым учебным планом. В начале каждого раздела даётся в обзорном порядке (без доказательств) структура раздела и его содержание, приводятся формулы, дающие возможность решать задачи на соответствующую тему. После завершения обзора лектор выбирает для доказательства несколько теорем, имея в виду научить студентов доказывать эту и подобные теоремы. Отбор теорем может производиться с целью продемонстрировать, как работает тот или иной метод (например, метод полной индукции, метод от противного, метод аналогии, метод редукции и т.д.).
Мы отдаем себе отчет в сложности и проблематичности реализации этого вывода.
Таким образом, мы считаем, что в указанных выше условиях реализации учебного процесса назрела объективная необходимость сочетания кругового принципа и линейного метода преподавания математического анализа.
Традиционным методическим принципом чтения математических курсов на математических и физико-математических факультетах университетов России является принцип линейности изложения теории. Повторим ещё раз, что этот принцип предполагает последовательное изложение учебного материала (в частности, математического анализа), начиная с описания неопределяемых понятий, формулировки аксиом и строгого доказательства последующих теорем и указания приложений соот-
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
ветствующеи математическом теории.
Многие годы работы в вузе подтверждают полезность и необходимость такого подхода при чтении лекций по матанализу. Этот метод позволяет проводить последовательное и постепенное усложнение абстрактных понятий. Он приучает студентов к необходимости обосновывать свои утверждения и раскрывает внутреннюю структуру матанализа как науки. Линейным методом можно провести изложение от начальных понятий до последних достижений науки. При этом преподаватель предполагает, что студент успевает фиксировать лекцию в своих записях и в своей памяти и одновременно прослеживать ход его рассуждений.
Таким способом работать на лекции способен не каждый первокурсник. Нужный физмату студент обычно является выпускником профильного математического класса. В таких классах курс алгебры и начал анализа изучается по учебнику Виленкина
Н.Я. [9] (Этот учебник содержит примерно 150 теорем и 300 определений, изучение которых происходит в 10-11 классах). Реже студентом физмата становится выпускник общеобразовательной школы непрофильного класса. Здесь имеется хороший учебник Мордковича А.Г.[8]. Он содержит 33 теоремы и 82 определения. Подобный подсчёт проведен авторами статьи и, естественно, носит приблизительный характер, а к теоремам и определениям в этих учебниках мы отнесли те математические предложения, которые названы теоремами и определениями самими авторами учебников. Отметим, что учебник Л.Д. Кудрявцева[1] содержит 300 теорем и 400 определений, предназначенных для изучения студентами в течение первого вузовского семестра. Если перевести ситуацию на арифметический язык, то скажем, что для нормального учебного процесса нужно иметь абитуриентов с баллами по математике не меньше, чем 80 из 100. Таких первокурсников, по нашим наблюдениям, в каждой группе 2-3 человека.
Замечание. Но в то же время понятно, что всё изложить линейным способом нельзя. Уже в Древней Греции перед началом философских диспутов спорящие стороны договаривались о том, что считать известным, то есть, что принимать без доказательства. Посмотрим в любой приличный учебник и в нём обнаружим вводную часть, в которой автор тоже договаривается с читателем о том, что считать известным, и описывает этот материал кратко, и вводит лишь необходимые обозначения. Например, в учебнике [1] это параграф 1: «Множества и функции. Логические символы»
Отметим, что увеличение объёма учебного материала происходит и в самом курсе математического
анализа. Для этого достаточно сравнить объём: 1) 2-х томов учебника по матанализу Кудрявцева Л. Д. 25-летней давности [3], 3-х томов издания того же учебника пятилетней давности; 2) трёхтомника Г.М.Фихтенгольца; 3) двухтомника В.А.Зорича. (Каждый том - по 600 с лишним страниц); 4) однотомного задачника Б.П. Демидовича по математическому анализу(4460 задач) [4], трехтомного задачника по этому же предмету творческого коллектива во главе с Кудрявцевым Л. Д. (6157 номеров с примерно10 000 задач) [5] и двухтомного задачника другого творческого коллектива авторов МГУ им. Ломоносова.
Таким образом, линейный метод не может быть реализован как по причине слабой математической подготовки абитуриентов, так и по тому объёму теории и задач, которые должны изучить и решить студенты I и II курсов.
Круговой метод излагает учебный материал на одном уровне строгости, а через некоторое время тот же материал излагается на более высоком уровне строгости, систематичности и обобщённости. Такой метод используется в социально - общественных, естественнонаучных дисциплинах. Круговой метод применяется и при обучении математике. Например, в математическом анализе изучаются функции действительного переменного на основе аксиом действительных чисел. А в ком -плексном анализе происходит обобщение понятия действительного числа до понятия комплексного числа, вводится понятие комплекснозначной функции от комплексной переменной и строится соответствующее дифференциальное и интегральное исчисление. Ещё более сильное обобщение происходит в функциональном анализе, где рассматриваются функциональные пространства различной природы, в которых сами функции являются элементами, и одно пространство преобразовывается в другое с помощью операторов, обобщающих понятие функции. В общеобразовательной школе учебники по математике содержат много теорем, которые не называются теоремами, но формулируется утверждение, и оно обосновывается либо схематично («на пальцах»), либо иллюстрируется геометрически или графически, либо проверяется на примерах. И те же теоремы изучаются в курсе матанализа, но уже с более строгим обоснованием, то есть, имеет место круговой метод.
Таким образом, линейный метод обучения органически сочетается с круговым методом. Поэтому речь может идти лишь о пропорциях, в которых следует сочетать эти подходы. Вряд ли здесь уместны какие-либо категорические предложения. Можно только поделиться опытом изложения отдельных
тем в матанализе и в чтении спецкурса по краевым задачам теории аналитических функций.
Один из принципиально возможных путей разрешения этого противоречия видится нам в реализации «кругового» принципа преподавания учебного предмета, описанный, например, в статье профессора Кириллова А.И. [10] В этой статье круговой принцип иллюстрируется чаще всего примерами из преподавания физики.
Мы попытались реализовать этот принцип при чтении лекций по спецкурсу «Краевые задачи аналитических функций» на третьем курсе математического факультета Чувашского госуниверситета. Обычно этот спецкурс читается в соответствии с известной монографией Ф.Д. Гахова [11] по линейному принципу: подробно изучаются свойства интеграла типа Коши, и на их основании рассматривается краевая задача Римана и исследуются сингулярные интегральные уравнения. Следуя идее кругового принципа, мы вначале изложили без доказательства, но с необходимыми пояснениями, упомянутые свойства интеграла типа Коши, потом мы привели полное решение задачи Римана для односвязной области с гельдеровскими коэффициентами в краевом условии. Этот материал занял примерно две трети учебного времени. И лишь после этого мы вернулись к доказательству свойств интеграла типа Коши, пропущенных при первоначальном изложении учебного материала. Такой порядок прохождения дал, с одной стороны, возможность уже на первом этапе специализации поставить курсовые работы, непосредственно связанные с тематикой научных исследований на кафедре, а с другой стороны, представил преподавателю свободу выбора: какие теоремы доказывать и какие теоремы дать самим студентам для самостоятельной проработки, тоесть, естественным образом организовать самостоятельную работу студентов. Кроме того, при таком способе изложения спецкурса появляется возможность включать в учебный материал последние результаты научных исследований, опубликованные в научных журналах или полученные преподавателями кафедры.
4) Роль самостоятельной работы студента.
Начнем с исторического примера.
Леонард Эйлер в ранней юности проявил свои незаурядные математические способности, и судьба дала ему прекрасного учителя - Иоганна Бернулли. «В то время не существовало учебников по высшей математике, а заниматься с Леонардом индивидуально Бернулли не имел времени. И он нашёл единственно правильный метод, который очень высоко оценил впоследствии сам Эйлер: предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятое.
В течение нескольких лет Эйлер каждую субботу проводил послеобеденное время в доме Бернулли. По прошествии многих лет он вспоминал, что, разобрав со своим учителем один неясный вопрос, добивался ясности и во многих других: несколько замечаний или наводящих вопросов ученого было достаточно, чтобы пытливым умом студент додумал остальное».
Не правда ли, описана идеальная схема самостоятельной работы студента! Студент с пытливым умом, преподаватель - крупный ученый и педагог. Чтение добротных математических книг. Систематическое консультирование в течение нескольких лет. Атмосфера взаимного доверия между студентом и преподавателем. На консультациях не разжёвывание непонятого материала, а лишь «несколько замечаний и наводящих вопросов» -остальное студент додумывал сам. Что можно здесь изменить? Остаётся лишь добавить: использование современных информационных средств.
Следует обратить внимание ещё на одно современное отличие. Сейчас нужно консультировать всех студентов: и сильных, и слабых. Следовательно, меняется и характер консультирования, и число часов для консультаций, а также разнообразятся виды консультаций. Таким образом, думается, необходимо обсудить вопрос об учебной деятельности преподавателя и студента, о характере обязательности консультаций, о переводе этого вида деятельности в основную нагрузку преподавателя.
Библиографический список
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Высшая школа, 1981, т. 1. 687 с., ил ; т. 2, 584
с., ил.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. (в трёх томах) М.: Дрофа 2003 -2004, т. 1.704 с.: ил., т.2, 720 с.:
ил.
3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу (в 3-х томах) М.: Физматлит, 2003.
4. ДемидовичБ.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука. 1971, 628 с., ил
5. Мониторинг СМИ «Новости образования»,15.052011 - 29.05.2011
6. Почему в России проваливается реформа образования. Комсомольская правда. 27.07.2011.
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
7. ege21.ru.
8. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для уч-ся 10-11 классов общеобразовательных школ. - М: Изд.дом «Новый учебник. 1999. -336с.: ил.
9. Виленкин Н.Я., Ивашов -Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для уч-ся 11 классах с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 19971. 288с.
10. Кириллов А.И. О педагогической переработке науки. Математика в образовании: сб. статей. Вып. 3. Под ред. И.С. Емельяновой. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. 359 с.
11. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1970, 640 с.
A.W. MERLIN, N.I. MERLINA
Two methods of presenting mathematical analysis: a linear one leading to subsequent explaining the material from axioms to supplements and a circular method using a systematic way of coming back to the learnt material.
Key words: Mathematical analysis in higher school, linear and circular teaching methods
CIRCULAR AND LINEAR METHODS OF THE TEACHING THE MATHEMATICAL ANALYSIS IN HIGH SCHOOL
1
