CC BY
52
2. Lehmann V. Electrochemistry of silicon. Weinheim: Wiley-YCH.
2002.
3. Memming Rudiger. Semiconductor Electrochemistry. Weinheim: Wiley-YCH. 2001. 407 p.
V. V. Lubimov, V.M. Volgin, A.R. Abitov SIMULATION OF ANODIC DISSOLUTION OF SILICON
The modes of electrochemical machining (ECM) of silicon are determined on basis of calculation and comparison of the functions of the double electrical layer’s charging in the silicon-electrolyte interface at various points of the anode’s surface. Established that the maximum processing accuracy of the silicon was achieved by using the voltage pulses, smaller than the difference of charging-up time of the anode’s double electrical layer between the two compared gaps.
Key words: silicon, electrochemical machining, charging, double electrical layer.
Получено 14.07.11
УДК 621.001.5
Д.А. Насонов, канд. техн. наук, доц.,
8-910-547-86-11, nasonovda@vandex.ru.
М.Ю. Леонтьев, канд. техн. наук,
8-910-592-13-82, newell-kaluga@mail.ru (Россия, Калуга, КФ МГТУ им. Н. Э. Баумана)
ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
Выполнен обзор источников возникновения погрешностей при конечноэлементном анализе механических конструкций. Приведены соотношения, позволяющие при ограничениях на вычислительные ресурсы построить более точную математическую модель. На примере сателлитного узла планетарного редуктора показана важность верификации разрабатываемых моделей натурным экспериментом.
Ключевые слова: метод конечных элементов, динамика, прочность, моделирование, точность.
Лидирующую позицию в мире программного обеспечения для решения задач структурной механики сегодня занимают программы, использующие метод конечных элементов (МКЭ). Для пользователей таких программ актуален вопрос о достоверности и точности получаемых результатов.
Практика показывает, что основные погрешности при проведении конечно-элементных расчетов возникают на этапе разработки математической модели. Это обусловлено разными факторами: ограничениями, на-
254
кладываемыми недостаточной мощностью вычислительных средств, непониманием разработчиком физической сущности проблемы, его недостаточным опытом и т. п. Поэтому в данной работе основное внимание уделено именно разработке модели.
Также полезно напомнить и другие источники погрешностей, возникающих при проведении конечно-элементных расчетов. Для этого весь процесс расчетного исследования от построения модели до получения результатов удобно разделить на этапы. Для линейных задач таких этапов пять:
- разработка математической модели;
- геометрическое моделирование;
- конечно-элементная дискретизация и вычисление матриц системы;
- решение полученной системы линейных уравнений;
- интерполяция результатов.
Как уже было отмечено, наиболее существенные погрешности привносятся в конечно-элементные расчеты уже на первом этапе. Рассмотрим их на конкретном примере, но прежде выполним краткий обзор остальных этапов.
Одной из операций геометрического моделирования является ввод исходных данных в компьютер. При этом неизбежны округления, связанные с разрядностью машин. В связи с малостью этих погрешностей ими можно смело пренебречь. В то же время степень детализации геометрической модели существенно влияет на размерность матриц системы уравнений и требования к вычислительным ресурсам. Однако вопрос о повышении точности расчета путем учета мелких конструктивных элементов моделируемых узлов - это вопрос, относящийся к разработке математической модели (т. е. решаемый на 1-м этапе).
На этапе конечно-элементной дискретизации многое зависит от типа выбранных конечных элементов. Как правило, используются элементы с линейной или квадратичной аппроксимацией перемещений. В конструкциях с особо сложной геометрией может оказаться целесообразным применение элементов более высокого порядка. Применение таких элементов повышает точность расчетов, но сопряжено с трудностями генерации ко-нечно-элементной сетки и ростом требований к вычислительным ресурсам
[3].
В процессе решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большой размерности накапливаются ошибки округления, что в некоторых случаях может привести даже к неустойчивости решения. Поэтому для минимизации погрешности расчета приходится балансировать между повышением точности аппроксимации путем измельчения конечно-элементной сетки и сохранением приемлемых размеров получаемых матриц системы.
Результатом решения СЛАУ являются приближенные значения аппроксимируемой величины в узлах конечно-элементной сетки. Далее полученные дискретные значения могут использоваться для интерполяции промежуточных значений или для получения величин, производных от аппроксимируемых (деформации, напряжения). Этот процесс также может давать свои погрешности.
Возвращаясь к первому, наиболее ответственному с точки зрения точности вычислений этапу, рассмотрим в качестве примера разработку конечно-элементной модели сателлитного узла планетарного редуктора.
Выполненные ранее исследования показали, что на наиболее ответственных режимах работы улучшить динамические характеристики планетарных редукторов большой мощности можно за счет настройки податливости их сателлитных узлов на расчетные значения [2]. Проведённые экспериментальные исследования также показали, что типовые конструкции осей, применяемые в настоящее время, обеспечивают требуемую несущую способность сателлитных узлов, однако при этом являются более жесткими, чем это необходимо для достижения минимума виброактивности механизма на заданных режимах работы.
С целью построения достоверных расчетных моделей для поиска новых вариантов конструктивного исполнения сателлитных узлов были выполнены несколько серий тестовых расчетов. В первой серии расчетов моделировалось напряженно-деформированное состояние типовой оси планетарного механизма (рис.1) при различных вариантах её закрепления. Адекватность моделей натурным объектам оценивалась путем сопоставления расчетных результатов с результатами выполненных экспериментов [1], показавших, в частности, что напряжения в точках Т1 и Т2 составляют соответственно а и -а/2.
В проведенных расчетах моделировались различные варианты соприкосновения контактных шеек оси и щёк водила, при этом линия контакта всегда представляла собой верхнюю полуокружность на кольцевых поверхностях А и В. Расчеты показали, что способ моделирования граничных условий изменяет величины напряжений в контрольных точках Т1, Т2 более чем на 25 % , а введение в модель отдельных мелких элементов (фасок, проточек, отверстий для подвода масла) изменяет указанные напряжения не более чем на 0,5 %. Следовательно, без адекватного моделирования закрепления оси в щеках водила нет смысла уточнять модель, вводя подобные элементы.
Выполненные расчеты также показали, что при использовании модели, показанной на рис.1, напряжения растяжения в точке Т1 не превышали по модулю напряжений сжатия в Т2, что не соответствовало экспериментальным данным.
Предположение о том, что для качественного изменения результатов требуется ввести в расчетную модель корпус водила, не подтверди-
лось. Расчеты показали, что в результате деформации щёк водила увеличивается общая податливость узла, а существенного перераспределения напряжений в контрольных точках не происходит. Кроме того, при подобной постановке вопрос о расположении реального пятна контакта на сопрягаемых поверхностях оси и водила остается открытым до решения соответствующей контактной задачи.
Рис. 1. Ось сателлита и схема её нагружения (А, В - опорные шейки оси, 27, 22 - точки измерения напряжений,
ц - распределенная нагрузка)
Следующая серия тестовых расчетов позволила определить, как влияет на напряженно-деформированное состояние оси сателлит, надеваемый на неё с зазором (рис. 2). Решение данной задачи с учетом контактного взаимодействия цилиндрических поверхностей дало существенное перераспределение напряжений в продольном сечении оси сателлита по сравнению с моделью, представленной на рис.1. Оказалось, что верхняя часть оси свободно деформируется в пределах радиального зазора, а нижняя - совместно с контактирующей с ней зоной сателлита. Такое перераспределение нагрузки объясняет причину столь значительной (по амплитуде) разницы в показаниях тензодатчиков в точках Т1 и Т2.
Таким образом, полученные результаты показали, что адекватная модель сателлитного узла должна включать в себя ось, водило, сателлит и воспроизводить их контактное взаимодействие. В такой постановке рассматриваемая задача переходит в разряд трудно решаемых, ресурсоемких, нелинейных задач. Поэтому для построения требуемой математической модели необходимо использовать различные приемы, позволяющие снизить требования к вычислительным ресурсам. Рассмотрим наиболее эффективные из них.
Для снижения требований к вычислительным ресурсам обычно используют свойства симметричности и ленточного характера матриц системы.
Рис. 2. Упрощенная модель оси с надетым на неё сателлитом
и схема её нагружения
Известна методика, иногда называемая статической конденсацией, позволяющая без потери точности снизить размерность решаемых систем за счет исключения некоторых степеней свободы. Для этого все степени свободы разбиваются на две группы, и матрица системы записывается в блочном виде:
\^тт\ ІАжу ] ^
vmm J lnms.
. 1Asm ] ].
где [&] - матрица жесткости; {8} - вектор узловых перемещений; {/} -вектор узловых сил. Исключаемые степени свободы обозначены индексом s (slave), а главные - индексом m (master).
Предполагая, что в качестве второстепенных выбраны те степени свободы, где отсутствует внешняя нагрузка, т. е. {/5}= {о}, используя нижнюю часть системы 1, можно записать зависимость между главными и второстепенными степенями свободы:
}=~[ksJ-1 [ksm }.
Подставив полученное выражение в верхнюю часть системы 1, получим уравнения жесткости относительно только главных степеней свободы:
\^тт ]— \^ms ] l^sm ] } — \fm } •
Затраты на обращение блока [kss ] могут оказаться гораздо большими, чем выигрыш, связанный с решением системы меньшей размерности, но в ряде задач могут интересовать только перемещения отдельных элементов конструкции (главных степеней свободы) при различных вариантах нагрузки. В таких случаях, один раз получив новую «сконденсированную» матрицу жесткости, можно многократно использовать её для различных вариантов расчета. Восстановить полный вектор перемещений можно с помощью соотношения
и
— [^Л'Л' ] ]
J \-"8т -
где [/] - единичная матрица.
Термин «статическая» конденсация говорит о том, что данный подход хорош при решении статических задач. При решении задач динамики, когда появляются силы инерции, уже нельзя считать, что второстепенные степени свободы не нагружены, даже если к ним не приложены внешние силы. Применение подобного подхода при решении задач динамики требует оценки принятого допущения. Имеются алгоритмы, позволяющие итерационным путем уточнять сконденсированную матрицу жесткости при решении задач динамики.
Еще один прием, позволяющий существенно снизить требования к вычислительным ресурсам, - это учет свойств циклической симметрии. Данный подход основан на том, что геометрические, упругие и массовые характеристики во многих конструкциях повторяются в окружном направлении с определённым интервалом ф. Отношение N=271/9 определяет порядок симметрии. Планетарный редуктор является наглядным примером такой конструкции.
На рис.З изображен фрагмент водила в сборе с сателлитным узлом. Данная модель представляет собой одну секцию циклически симметричной системы. Рассчитав напряженно-деформированное состояние (НДС) одной такой секции, можно с точностью, достаточной для решения многих практических задач, дать заключение о НДС всей системы.
В частности, с точки зрения сформулированной выше задачи поиска конструкции сателлитного узла заданной жесткости такой подход является оправданным. Полученная модель вполне приемлема и для исследования перекосов в зубчатом зацеплении сателлитного узла. А для исследования влияния на НДС погрешностей изготовления и весовых нагрузок сателлитных узлов и водила такая модель уже не может быть использована.
Завершая обзор приемов повышения точности конечно-элементного анализа механических конструкций, особо подчеркнем роль экспериментальных данных при проведении расчетных исследований. Они важны даже в тех случаях, когда в экспериментах не удается в полной мере воспроизвести все условия работы исследуемого объекта. В подобных случаях, как и в рассмотренном выше примере [1], полученные экспериментальные данные могут быть использованы для верификации модели, что позволяет уже на начальном этапе конечно-элементного анализа избежать грубых промахов при выборе параметров модели и назначении граничных условий.
Рис. 3. Конечно-элементная модель водила с сателлитным узлом, построенная с учетом циклической симметрии 5-го порядка
Основные выводы выполненной работы можно сформулировать следующим образом.
1. Рассмотрены основные этапы конечно-элементного анализа механических конструкций с точки зрения их влияния на точность расчетов; показано, что определяющим является этап разработки математической модели.
2. На примере выполненного анализа напряженно деформированного состояния сателлитного узла планетарного редуктора подтверждена важность верификации разрабатываемых конечно-элементных моделей экспериментом.
3. Проведен обзор методов снижения размерности решаемых систем при проведении конечно-элементного анализа, позволяющих преодолевать ограничения по вычислительным ресурсам в процессе компьютерного моделирования.
4. На основе рассмотренных методов построена модель сателлитного узла, предназначенная для оптимизации его конструкции по критериям прочности и жесткости, адекватно воспроизводящая результаты выполненных экспериментов.
Список литературы
1. Лысенков B.C., Леонтьев М. Ю. Расчетно-экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния сателлитного узла планетарного редуктора: материалы V научно-технической конференции «Взгляд в будущее». СПб: ФГУП «ЦКБ МТ «Рубин», 2007. С. 268-282.
260
2. Леонтьев М.Ю. Исследование статической нагруженности мощных судовых планетарных редукторов: автореф. дис. ... канд. техн. наук. М., 2001.
3. Насонов Д.А. Моделирование собственных колебаний циклически симметричных систем на базе конечных элементов со смешанной аппроксимацией перемещений полиномами высших порядков: автореф. дис ... канд. техн. наук. М., 2001.
D.A. Nasonov, М.Yu. Leont’ev
WAYS OF FINITE-ELEMENT ANALYSIS ACCURACY INCREASE OF COMPLEX MECHANICAL SYSTEMS
The review of sources of occurrence of errors in finite element analysis is given. Some equations that allowed to build more exact mathematical model, if have been restrictions on computing resources is given. On an example of modeling of the satellite unit of a planetary gears is shown that verification off mathematical model by experiment is important step.
Key words: finite-element method, dynamics, durability, modeling, accuracy.
Получено 14.07.11
УДК 658.58:681.518.22
М.И. Панченко, асп., (4872) 35-18-87,
рапсЬепко m87@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
МЕТОДИКА НАЗНАЧЕНИЯ СРОКА СЛУЖБЫ ТРУБОПРОВОДНОЙ АРМАТУРЫ
Представлена методика назначения срока службы трубопроводной арматуры, позволяющая решать оптимизационные задачи по назначению экономически обоснованных плановых ресурсов трубопроводной арматуры, установлению назначенного срока службы трубопроводной арматуры и оптимизации режима ее профилактического обслуживания и восстановления.
Ключевые слова: долговечность, трубопроводная арматура, ресурс, срок службы, вероятностная модель.
В современных условиях, характеризующихся перспективами скорого вступления России в ВТО, развитие экономического потенциала страны возможно только при условии производства высококачественных изделий с повышенными значениями показателей надежности. Именно соблюдение этих условий предопределяет возможность эффективного участия в конкурентной борьбе не только на внутреннем, но и на мировом
261
