ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ОВЛАДЕНИЯ МЛАДШИМИ ШКОЛЬНИКАМИ НАУЧНЫМ ПОНЯТИЕМ ЧИСЛА Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

П

С И Х О Л О Г И Ч Е С К И Е

НАУКИ

Г.Г. Кравцов, А.Е. Мартынова

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ОВЛАДЕНИЯ МЛАДШИМИ ШКОЛЬНИКАМИ НАУЧНЫМ ПОНЯТИЕМ ЧИСЛА

В статье анализируются возможность включения психолого-педагогических условий и система учебных действий, направленных на помощь учащимся начальной школы в овладении знаниями элементарной математики. Описана возможность игрового моделирования в процессе движения с использованием циферблата, как условия эффективности в овладении учащимися понятием числа.

Ключевые слова: научное понятие, феномен присчитывания, игровое моделирование, рациональное число.

Проанализировав проблему соотношения и взаимосвязи обучения и развития, Л.С.Выготский приходит к заключению, что это не тождественные понятия, как и лежащие за ними процессы, но они теснейшим образом взаимоувязаны между собой. Более того, они являются взаимно определяющими друг друга. Хорошо и имеет право называться обучением только такое обучение, которое ведет за собой развитие. В свою очередь, развитие, как правило, происходит внутри и в форме обучения. Здесь следует обратить внимание на выделенное Л.С.Выготским т.н. спонтанное обучение, когда ребенок учится по собственной программе. Внешне это обучение может быть совсем не похожее на привычные нам виды и формы обучения, однако в ранних возрастах именно такое обучение, когда ребенок научается чему-либо, как бы «само собой», внутри спонтанных видов активности, является наиболее эффективным обучением в плане обеспечения психического развития детей.

© Кравцов Г.Г., Мартынова А.Е., 2021.

Л.С.Выготский отмечает, что обычно в существующих теориях обучения в качестве объяснительного принципа называют подражание. Однако, по мысли Л.СВыготского, само понятие подражания нуждается в объяснении. Ведь далеко не всему человек может подражать. В связи с этим Л.С.Выготский вводит в психологию понятие зоны ближайшего развития (ЗБР) и утверждает, что человек может подражать только тому, что лежит внутри его ЗБР. Это понятие представляет собой пространство между уровнем актуального развития ребенка, который определяется максимальным уровнем сложности задач, с которыми он справляется самостоятельно, и уровнем потенциального развития, задаваемым максимальным уровнем сложности задач, которые ребенок решает только при определенной помощи взрослого или более продвинутого в развитии сверстника.

Л.С.Выготский подвергает критике те диагностические подходы в психологии, когда об уровне развития ребенка судят исключительно по уже достигнутым, наличным результатам, т.е. по уровню актуального развития. Он замечает, что в этом случае мы уподобляемся садовнику, который предвосхищает будущий урожай, ориентируясь только на уже зрелые плоды, игнорируя пока еще зеленые и далекие от зрелости. В то же время, он указывает, что учитывать наличный уровень развития ребенка при изучении процессов обучения и развития абсолютно необходимо. Так, он приводит пример, что начинать учить детей грамоте с двух лет явно преждевременно, а вот, если мы беремся за обучение грамоте неграмотных взрослых, то вскоре обнаруживаем, что сильно упустили время и полноценных результатов, вероятнее всего, не добьемся.[1]

В контексте общей нацеленности нашего исследования на выявление необходимых и достаточных условий для овладения учащимися средних классов общеобразовательной школы понятием рационального числа мы попытались установить актуальный уровень развития математического мышления у детей из начальных классов школы.

В.В.Давыдов в монографии «Виды обобщения в обучении» (1972) проанализировал все существовавшие тогда учебные программы по элементарной математике для начальной школы и пришел к заключению, что центральным математическим понятием в этих программах является понятие числа. Однако само это понятие изначально является для детей не подлинным понятием, а, скорее, относительно упорядоченной системой представлений о способе наделения совокупности каких-либо единичных объектов качественной характеристикой. Можно сказать, что это простейший способ «окачествления количества». Все дети старшего дошкольного возраста, как правило, умеют считать до десяти. Все они умеют устанавливать однозначное соответствие между упорядоченной «считалкой» из цифр-чисел и единичными элементами наличного множества объектов. Чтобы не ошибиться - не пропустить какой-либо элемент множества или не «посчитать» его дважды, они обычно выстраивают эти элементы в ряд, а при установлении однозначного соответствия последовательно прикасаются к каждому элементу пальцем.[3]

Следует обратить внимание на тот факт, что последнее число упорядоченной «считалки» из цифр -чисел, названное при пересчете единичных объектов-элементов какого-либо множества, говоря математическим языком, является однозначной характеристикой мощности этого множества. Для детей же проделанная ими система операций просто позволяет им ответить на вопрос - «сколько?». Ответ на такой вопрос - это уже нечто, похожее на обобщение, которое может быть получено при пересчете и яблок, и конфет, и орехов и т.п. Здесь возникает большой соблазн прийти к выводу, что обобщения являются результатом выполнения определенной системы предметных действий с единичными вещами и они, эти обобщения, являются скрытой, латентной характеристикой самих этих вещей. Когда-то такой ход мысли навязал, можно сказать, всему просвещенному человечеству в европейских странах «отец всех наук», как его называли в средние века, - Аристотель. В отечественной психологии предметное действие, которое, если присмотреться, является в своих начальных формах просто действием с предметами, было объявлено базисом и источником по отношению к всему многообразию психической жизни человека. Этой точки зрения придерживаются психологи, солидарные с теорией деятельности А.Н.Леонтьева.

В опровержение вышеприведенной точки зрения можно указать на тот факт, что предоставленный самому себе ребенок практически никогда не будет «просто так» пересчитывать лежащие перед ним вещи. Он «запустит» соответствующую систему действий, если в играх со сверстниками или в общении со взрослым ему понадобится ответить на вопрос - сколько? Например, взрослый говорит старшему дошкольнику: «На кухонном столе в стеклянной вазе лежат конфеты. Возьми семь штук и пойди угости своих друзей». В этом обращении взрослого к ребенку нет слов «сосчитай» или «отсчитай». Однако ребенок и без этого великолепно знает предстоящую ему программу действий. Вот эта-то «программа», которой он хорошо владеет, это и есть подлинное и полноценное обобщение. Общее не содержится в единичных вещах, и никакие манипуляции с предметами и предметные действия сами по себе не порождают общее. На вещах не написаны способы и системы действий с ними, ведущие к возникновению обобщений. Источником таких знаний, согласно Л.С.Выготскому, является другой человек. Л.С.Выготским был выдвинут фундаментальный не только для психологии, но и для гносеологии тезис о том, что общение и обобщение - это

две стороны одной медали. Как мы общаемся, так и обобщаем, и, наоборот, как мы обобщаем, на таком уровне и общаемся.

В.В.Давыдов (1972, стр. 149-162) детально описал традиционные способы формирования понятия числа у детей массовой начальной школы. Сравнение с ними современных методов введения детей в элементарную математику свидетельствует, что общая методическая картина, по большому счету, осталась той же самой. Эта картина свидетельствует, что и в 60-е - 70-е годы, и в настоящее время в начальной школе царит и правит дидактика Я.А.Коменского (1592-1670). Моравский епископ Я.А.Коменский был, несомненно, прекрасно образованным и талантливым человеком с большим жизненным опытом. Поэтому он вполне справился с поручением своего сюзерена, а его «Великая дидактика» (1657) и по сей день живет и процветает. Во времена Я.А.Коменского никто не подозревал даже о самой возможности какой-то иной науки, чем та, которую оставил нам «отец всех наук» Аристотель, за исключением Г.Галилея, который за свои взгляды, отличные от аристотелевских, чудом избежал обвинения суда инквизиции в ереси и, соответственно, сожжения живьем на костре. У Аристотеля человек это сугубо земное существо, а источником знаний для него являются окружающие его вещи и действия с ними. Большинство педагогов хорошо знают принципы дидактики Я.А.Коменского, например, наглядности, доступности, сознательности, постепенности, упражнения, подражания, движения от простого к сложному, от конкретного к абстрактному, повторяемости («Повторение - мать учения») и др. Все эти принципы имеют своим истоком здравый смысл, который есть не более, чем обобщенный жизненный опыт. Эти принципы ориентируют и учителя, и учеников на познание окружающих нас вещей, на их свойства и возможные действия с ними.[3]

Я.А.Коменский вынужден был придерживаться «науки», созданной Аристотелем, взгляды которого рьяно поддерживал и везде, где только мог, пламенно пропагандировал доминиканский монах Фома Ак-винский (1225 - 1274), которого в 1567 г. иезуиты объявили одним из учителей католической церкви. Кроме этого, свой фундаментальный труд, где излагаются основы классического научного метода, И.Ньютон опубликовал только через 17 лет после ухода из жизни Я.А.Коменского. Однако, даже если бы у Я.А.Коменского был бы на руках классический научный метод, и он умел бы им пользоваться, то все равно он потерпел бы полное фиаско и не смог бы выстроить научно обоснованную дидактику, поскольку метод классической науки не работает ни в психологии, ни в педагогике.

Метод классической науки, как известно, был создан И.Ньютоном в последней четверти XVII века в области теоретической механики, когда он сумел объяснительные принципы соответствующих теорий физики выразить с помощью математических формул, получивших название законов Ньютона. В XIX веке бурное развитие и дифференциация самой науки вызвали невиданный ранее технический прогресс, обусловивший появление нашей информационно-технократической цивилизации. Метод классической науки продемонстрировал всем свои возможности и могущество, породив в умах исследователей соблазнительную мысль о его применении в психологической науке. Психология полностью поддалась этому соблазну и вот уже 150 лет пытается выстроить себя, уподобившись своим старшим сестрам - наукам из области естествознания. Однако метод традиционной науки успешно работает только там, где он первично и зародился, т.е. в естествознании, а все попытки применить его в области гуманитарных наук, в том числе, в психологии, были откровенно провальными.

Дело в том, что человек это не объект и не одна из вещей из окружающего нас внешнего мира, а субъект и, более того, это «свободная индивидуальность», выражаясь языком К.Маркса, т.е. это развивающаяся личность. Философская категория развития неотделима от центральной проблемы всей психологии - проблемы личности, поскольку развитие это высшая форма движения и способ существования личности. Человек, остановившийся в развитии, теряет себя как личность. В движении развития человек завоевывает внутреннюю свободу и расширяет пространство свободных действий. В традиционной положительной науке нет места для самих слов «свобода» и «развитие». Традиционная наука это мертвое царство тотальной детерминации, где все имеет свою причину, где объяснение явлений и событий происходит исключительно в логике обоснования через иное, а закономерно, согласно второму закону термодинамики, только возрастание энтропии, т.е. закономерна только деградация, но никак не появление нового качества более высокого уровня.

В первой главе монографии «История развития высших психических функций» Л.С.Выготский (1960) выносит свой приговор всей старой психологии, не сумевшей даже верно поставить высшую и центральную проблему всей психологической науки - проблему личности, поскольку она не знала, по мысли Л.С.Выготского, самого главного, а именно, истории культурного развития ребенка. В последнем абзаце этой же главы он указывает на пути преодоления этих, казалось бы, непреодолимых трудностей: «Только решительный выход за методологические пределы традиционной детской психологии может привести нас к исследованию развития того самого высшего психического синтеза, который с полным основанием должен быть назван личностью ребенка. История культурного развития ребенка приводит нас к истории развития личности» (Л.С.Выготский, 1960, с. 60).[1]

В соответствии с общим направлением нашей исследовательской работы, связанной с изучением психологических условий и закономерностей овладения учащимися средних классов массовой школы понятием рационального числа, мы вынуждены начать с выявления того уровня актуального развития мышления детей в области элементарной математики и, в частности, тех представлений о числе, которые являются необходимыми и достаточными психологическими основами для последующего овладения понятийным мышлением в сфере рациональных чисел. Такое продвижение ребенка в культурном развитии, согласно Л.С.Выготскому, сопряжено с качественным скачком в развитии его личности и сознания.

Сознание, по Л.С.Выготскому, имеет системное и смысловое строение, причем системность - это внешняя характеристика сознания, а вот его смысловое строение это внутренняя, более существенная характеристика, связанная с теми обобщениями, которыми пользуется ребенок. Соответственно, перед нами встает задача выявления и создания таких психо лого-педагогических условий и такой системы учебных действий, которые подводили бы учащихся начальной школы к овладению в области элементарной математики соответствующим уровнем обобщений, свойственным понятийному мышлению.

Показателем наивно-натуралистических представлений о числе у младших школьников может быть так называемый феномен присчитывания, хорошо известный учителям начальной школы. Он заключается в том, что, когда учитель просит, например, к пяти прибавить три, то ученик, глядя на свои пальцы, начинает воспроизводить всю числовую «считалку», перечисляя, «один, два, три...» и далее до восьми, вместо того, чтобы сразу продолжить счет, начиная от уже известного ему числа пять. С нашей точки зрения, феномен присчитывания объясняется тем, что упорядоченный ряд натуральных чисел от одного до десяти для детей этого возраста ничем не отличается от традиционных считалок, которых в детской субкультуре довольно много. С помощью считалок дети устанавливают первичное распределение функций в предстоящей совместной игре. Любую считалку отличает то, что это своеобразный цельный и целостный стишок, слова которого могут не иметь никакого смысла, но они яркие и легко запоминающиеся. Целостность считалок наглядно проявляется в том, что, если, например, из хорошо знакомой ребенку читалки взять какое-то одно слово и спросить у него, а какое слово в считалке идет перед этим словом, или же, сразу после него, то он явно затруднится с ответом. Чтобы правильно ответить, ему нужно будет начать воспроизводить всю считалку. Именно таким способом приходится решать поставленную перед ними арифметическую задачу тем детям, у которых наблюдается феномен присчитывания.

Наши поиски путей и способов формирования у младших школьников такого уровня обобщений, который обеспечивал бы им возможность понятийного мышления в сфере натуральных чисел, привел нас к стратегическому решению, требующему отказаться от категории предметного действия в роли исходного базиса и источника всего многообразия и богатства психической жизни человека. Если внимательно приглядеться к содержанию и происхождению самой категории предметного действия, то обнаружится, что это пустопорожний гносеологический конструкт, неизвестно, что обозначающий. Более заземленное и относящееся уже к уровню онтологии понятие действия с предметами, имеющими значение и назначение, вполне психологично, но оно несет в себе проблему обобщений, над которой вот уже более двух тысяч лет безрезультатно размышляют философы. С нашей точки зрения, нескончаемые споры средневековых схоластов говорят о том, что конструктивные подходы к проблеме универсалий, как тогда называлась проблема обобщений, следует искать не в философских спорах и размышлениях, а в психологических исследованиях, подкрепленных экспериментальными результатами.

Одним из первых экспериментальных исследований в отечественной психологии, связанным с введением понятия числа в начальной школе, была работа П.Я.Гальперина и Л.С.Георгиева (1961). Это исследование базировалось на понятии «предметного действия», которое мы подвергли критике, и от которого решили отказаться. Таким действием в этом исследовании было соотнесение измеряемой величины с меркой. Общая идея такого подхода изложена в «Науке логики» Г.В.Ф.Гегеля, где несовместимые категории количества и качества вполне органично совмещаются благодаря категории снятия, сопряженной, в данном случае, с понятием меры. Однако то, что допустимо в философских размышлениях, зачастую не пригодно в психологическом исследовании. В исследовании П.Я.Гальперина и Л.С.Георгиева задача введения понятия натурального числа в начальной школе не получает решения. Так, например, при измерении длины какого-либо отрезка прямой путем наложения на измеряемый отрезок произвольно взятой мерки, у которой длина меньше измеряемого отрезка, мы получим какое-то число, которое может быть целым или дробным, а также рациональным, а, скорее всего, оно будет иррациональным.[2]

Иными словами, мы, вероятнее всего, выйдем за рамки ряда натуральных чисел в множество действительных чисел, и, тем самым, поставим детей перед принципиально непосильными для них задачами. Есть еще одна трудность, которую не получается решить с помощью предметного действия соотнесения измеряемой величины с меркой. Дело в том, что выполнить это предметное действие могут только те дети, у которых есть отчетливое умственное представление об измеряемой величине, а также о еще более аб-

страктном и широком обобщении, каким является представление об измеряемом параметре. Эти обобщения не выводимы из предметного действия измерения, а напротив, сами являются необходимыми логико-психологическими основаниями для грамотного осуществления измерения. Это хорошо понимал В.В.Давыдов, и поэтому в созданной им учебной программе по элементарной математике первоклассники с первых дней обучения занимаются измерением, причем измеряют они все, что поддается измерению. Например, они измеряют длину, ширину и высоту параллелепипеда из детского деревянного конструктора, переливают воду из стакана в мензурку, а затем переливают ее в другую мензурку с большим диаметром основания, потом возвращают воду в первую мензурку, убеждаясь, что количество воды, т.е. ее объем не изменился. Дети с удовольствием взвешивали на весах типа «коромысло» самые различные вещи, пользуясь гирьками и разновесами. С нашей точки зрения, все эти измерительные процедуры способствовали общему развитию детей, расширяли и углубляли их знания о величинах и параметрах. Однако, при этом остается не решенным исходный вопрос о происхождении первичных обобщений, делающих возможными измерительные процедуры.

С нашей точки зрения, довольно показательными являются данные исследования, проводившегося нами в сельской местности, целью которого была проверка эффективности и работоспособности программы развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова в этих условиях. Эта программа, как известно, создавалась и обкатывалась в московской школе № 91, а большинство поступавших в нее детей было из семей с культурными, образованными родителями. Все первоклассники из этой московской школы владели элементарной грамотой, т.е. умели читать, считать и писать, а вот среди сельских детей оказались и такие, кто совсем не знал ни букв, ни цифр. Они не посещали детский сад, а их родители обучением детей не занимались. Тем не менее, это были вполне умненькие и сообразительные дети, которые успешно справлялись с такими делами, которые были явно не по силам городским детям. Например, они могли подоить козу, постирать, высушить и погладить белье, приготовить обед. Однако эти дети не могли справиться с учебными заданиями на измерение величин, предусмотренными в программе В.В.Давыдова. Они «вязли» в наличных свойствах вещей, лежащих на поверхности, а умственных представлений о величинах и параметрах у них не было. Например, не знающий букв и цифр ученик подзывал к своему столу присутствовавшего на этих занятиях экспериментатора и обращал его внимание на тот факт, что на разных тарелках весов лежат одинаковые упаковки гречневой крупы, а вот носики весов немного не совместились на одной линии. Все объяснения экспериментатора, что этой неточностью весов можно пренебречь и, что это несущественная погрешность измерения, а, на самом деле, взвешиваемые пачки крупы весят одинаково, воспринимались учеником крайне недоверчиво. Другой ученик из группы неграмотных детей демонстрировал экспериментатору пробирки с водой, убеждая его в том, что после переливаний воды из одной пробирки в другую ее стало меньше. Все объяснения экспериментатора, что у воды есть свойство смачиваемости поверхностей, и поэтому у воды в пробирке образуется либо выпуклый, либо вогнутый мениск, а самое главное, саму пробирку следует держать строго вертикально, т.е. параллельно косяку дверей, все эти разъяснения и инструкции экспериментатора просто не вмещались в сознание ученика.

Следует отметить, что мы до сих пор не знаем, где именно и как в процессе овладения грамотой дети приобретают начальные представления о величинах и параметрах. В.В.Давыдов жестко критиковал дидактику Я.А.Коменского, однако в вопросе о происхождении первичных обобщений, делающих возможным действие измерения, он вынужден был выстроить учебную программу в соответствии с принципами этой дидактики, идущими от простого здравого смысла и не более того.

Гипотезой нашего исследования было предположение о том, что овладение младшими школьниками системой полноценных понятий о натуральных числах происходит в действиях моделирования процессов движения, сопряженных с представлениями о числе в десятеричной и шестидесятеричной системах счисления.

Эта гипотеза была выдвинута в противовес ныне господствующей точке зрения, согласно которой источником происхождения понятия числа является предметное действие соотнесения измеряемой величины с меркой.

В соответствии с выдвинутой гипотезой исходным основанием для построения эксперимента в нашем исследовании стало элементарное поступательное физическое движение, которое, как известно, происходит во времени, а время измеряется с помощью часов. Однако, как выяснилось, многие школьники не умеют пользоваться обычными часами с круглым циферблатом и стрелками. Далеко не все из них, глядя на часы, правильно отвечают на вопрос, который сейчас час, а также, что означают привычные нам речевые обороты, связанные с указанием времени, типа: «семь пятнадцать», «без четверти восемь», «половина десятого», «полдень», «семнадцать двадцать», «двадцать минут шестого» и т.п.

Знакомство детей с шестидесятеричной системой счисления, понимание ими показаний стрелок часов, умение правильно называть время, которое они показывают, все эти знания усваивались школьниками

в дискуссиях, где обсуждались вопросы, связанные с измерением времени, а также в подвижных соревновательных играх. На этих занятиях применялись секундомеры, метроном, настольные часы с большим циферблатом, стрелки которых можно было согласованно вращать и устанавливать любое время. Школьники чувственно-практически знакомились с единицами и способами измерения времени, а также с параметрическими характеристиками равномерного прямолинейного движения. Обычно это происходило в подвижных играх соревновательного типа. Ученики разделялись на две команды, выбирали капитанов команд, которым учитель давал по секундомеру и пояснял, как ими пользоваться, а затем начиналось соревнование, нацеленное, например, на практическое овладение способом измерения временных интервалов - ученики выяснили, кто из них дольше простоит на цыпочках, в том числе, на одной ноге.

Игровое моделирование прямолинейного поступательного движения происходило в соревновании команд, когда ученики, поочередно из каждой команды, как можно быстрее начинали движение от висящей на стене доски и перемещались по проходу между рядами столов к противоположной стене учебного помещения, касались ее ладонью, а затем возвращались назад к доске, чтобы, прикоснувшись к ней, завершить движение. Однако перемещались они не обычными шагами, а, так называемым «приставным шагом», когда носок одной ступни прижимается к пятке другой, а на следующем шаге они меняются местами. Когда же ученикам понадобилось прояснить понятие скорости, то они для сравнения различных скоростей опять перемещались своеобразным «приставным шагом», но перемещались не лицом вперед, а боком, отставляя вначале одну ногу в сторону, а затем приставляя к ней другую ногу. Научившись измерять временные интервалы и пользоваться часами, ученики легко приходили к пониманию того факта, что любое прямолинейное и равномерное движение сопряжено с тремя взаимоувязанными параметрами - скоростью движения, временем в пути и пройденным расстоянием. Зная единицы измерения времени и расстояния, ученики в дискуссиях и обсуждениях задач на движение выводили единицы измерения скорости.

Моделирование прямолинейного движения в подвижных играх и в системе понятий было на наших занятиях магистральной линией при обучении младших школьников элементарной математике. На других уроках по математике школьники осваивали знания о числах и действиях с ними, предусмотренные образовательными стандартами, например, действия первой и второй ступени, числа простые и составные, числовые пропорции, вычисления «в столбик» и др. Овладев системообразующими параметрами прямолинейного движения и научившись решать традиционные задачи на перемещение какого-либо тела из пункта А в пункт Б, к концу обучения в начальной школе дети осваивают формулу Б=У% сделав ее внутренним психологическим средством, позволяющим решать любые задачи на прямолинейное движение. Эта формула является одним из фундаментальных законов теоретической механики и объяснительным принципом такой ее теории, как кинематика. Можно сказать, что эта формула является теми «воротами», которые ведут школьников в сферу научного сознания и позволяют им овладеть мышлением в системе научных понятий. Сделав объяснительный принцип кинематики своим внутренним психологическим средством, ученики обретают возможность освоения функционального стиля мышления, а также овладения рациональными числами и действиями с ними.

В заключение следует отметить, что само понятие натурального числа в учебном процессе претерпевает существенные изменения, и к окончанию детьми начальной школы обнаруживается, что натуральное число, в некотором смысле, совсем не натурально. Так, у ряда учеников первого класса можно обнаружить феномен присчитывания. Это значит, что у этих детей числом является обозначенное словом количество пересчитанных с помощью «числовой считалки» отдельностей. Это первичное представление о числе и простейший способ действий, которым пользуются дети, когда им надо ответить на вопрос: «Сколько?».

Следующий, более высокий и сложный уровень представлений о числе появляется у младших школьников после более основательного знакомства с числами и действиями с ними. Они решают довольно громоздкие числовые примеры, что требует от них повышенной концентрации внимания и максимального сосредоточения на выполнении последовательности математических операций. Представления детей о числе на этом уровне математического мышления можно охарактеризовать, как абстрактную реальность номинированных количественных отношений.

Наиболее существенное продвижение младших школьников в овладении понятием числа происходит ближе к концу обучения в начальной школе в результате превращения объяснительного принципа кинематики во внутреннее психологическое средство, позволяющее без труда решать любые задачи, связанные с прямолинейным движением. Так, известная формула Б=УЧ фиксирует связь трех параметров, свойственных прямолинейному движению. Однако для того, чтобы эта формула стала инструментом, пригодным для решения какой-либо задачи на движение, она должна получить определенную конкретизацию в виде отношения функционального типа, соответствующего условиям задачи. Например, если по усло-

виям задачи нужно определить значение такой величины, как скорость движения, то базовая формула кинематики станет отношением V=S/t, где величина скорости будет однозначно определяться величинами пройденного расстояния и затраченного на это времени.

Следует заметить, что на этом этапе знакомства с основами элементарной математики ученики пока не владеют понятием функции в его полном объеме и значении. Тем не менее, у них уже есть то, что математик Ф.Клейн называл функциональным стилем мышления. Они вполне адекватно обращаются к объяснительному принципу кинематики, которая является одним из разделов теоретической механики. Можно сказать, что, тем самым, ученики уже вошли в начальные научные знания и познакомились с начальными формами научного мышления. Число для них предстает как определенное значение величины, однозначно определяемое значениями двух других величин, относящихся к двум другим параметрам. Тем самым, число стало полноценным научным понятием, а мышление учеников в области математики стало системным, что открывает перед ними возможности без особых затруднений овладеть рациональными числами и действиями с ними.

Библиографический список

1.Выготский Л. С. История развития высших психических функций. В кн.: Развитие высших психических функций. М., издательство «АПН РСФСР», - 1960.

2.Гальперин П.Я. Георгиев Л.С., Психологические вопросы формирования начальных математических понятий у детей. «Доклады АПН РСФСР», - 1961 № 1.

3.Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М., «Педагогика», - 1972.

МАРТЫНОВА АНАСТАСИЯ ЕВГЕНЬЕВНА - магистрант, Московский государственный психолого-педагогический университет, г. Москва.

КРАВЦОВ ГЕННАДИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ - профессор кафедры ЮНЕСКО «Культурно-историческая психология детства» МГППУ, доктор психологических наук, г. Москва.