CC BY
55ЭЛЕМЕНТЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В КУРСЕ НАЧАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Н.А.Глузман, канд. педагог. наук, доцент, Крымский гуманитарный университет,
г.Крым, УКРАИНА
У статтг розкриваються методичш можливостг навчання молодших школяргв ргзних способ1в доведень висловлених суджень на зм1ст1 традицтного курсу початковог математики.
Современная социальная и духовная ситуация в Украине требует от человека более гибкого мышления, способности к оперативной работе, отказу от привычных представлений, быстрой и эффективной адаптации к меняющимся условиям, восприятию нового, нетрадиционного. Эти преобразования, происходящие в нашей стране, обусловили необходимость воспитания интеллектуально развитой личности, способной мыслить абстрактно, уметь активно искать наиболее рациональные пути при решении проблем, доказывать правильность собственных суждений, стремящейся к постоянному углублению и расширению имеющихся знаний.
Общеизвестно, что важным средством формирования таких способностей является изучение курса математики на всех ступенях общеобразовательной школы, начиная с начального звена - основного фундамента знаний и умений.
Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся начальных классов, важное место, в которой отводится умению открывать закономерности, обосновывать их, определять необходимый и достаточный для решения поставленной задачи набор аргументов, т.е. способность правильно находить и доказывать высказанные предложения. Однако в курсе математики начальных классов специально этот вопрос не изучается, т.к. принято считать, что доказательств там просто нет. Одной из причин, не разработанности этой проблемы, также является то, что в начальной математике почти нет
определений. Но это не означает, что при изучении математики в начальной школе ученики не устанавливают логических связей между математическими фактами, а только усваивают эти факты - в действительности это не так. Доказательства имеют место и при вычислении значений выражений, и при составлении таблиц вида +1; - 1, и при усвоении принципа построения натурального ряда чисел и других математических операциях. Конечно, такие логические обоснования математических рассуждений в начальной школе нельзя считать доказательствами в строго логическом и математическом смысле, а правильнее было бы их назвать «преддоказательствами» (АЕ.Мер-зон [4]). Главная задача изучения которых, заключается в овладении школьниками умением логически рассуждать, правильно мыслить. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения построению доказательств учащихся с более широких позиций.
Обучение доказательствам в школьном курсе математики традиционно начинается в 7 классе, в ходе изучения систематического курса геометрии. Доказательство теорем и решение задач, в формулировке которых используется слово «доказать», появляются как абсолютно новая форма работы. У большинства учащихся доказательства вызывают трудности, которые кажутся непреодолимыми. Принято считать, что это естественные трудности, связанные с возрастными особенностями школьников. Это подтверждает и практика преподавания, и теоретические исследования, прежде всего работы выдающе-
гося психолога Ж.Пиаже [5]. Так, согласно его концепции, интеллектуальное развитие не зависит от обучения. В школьной практике это может выглядеть следующим образом: у младшего школьника еще не наступила стадия абстрактных операций, поэтому не следует давать задачи, которые требуют абстрагирования - дети до 12-14 лет логически мыслить не могут. Авторитет Пиаже настолько велик, что и сегодня во всем мире не предпринимаются попытки учить детей логически мыслить, в частности учить доказательствам в младших классах. Между тем еще в тридцатых годах выводы Пиаже, рассматривавшего воспитание и обучение как условие приспособления педагогического процесса к психическому развитию ребенка, были подвергнуты критике психологом Л.С.Выготским. У Пиаже, как показал Л.С.Выготский [1], педагогический процесс как бы следует за развитием, «плетется в хвосте детского развития», развитие ребенка представляется как процесс, подчиненный природным законам и протекающий по типу созревания, а обучение понимается как чисто внешнее использование возможностей, которые возникают в процессе развития.
Л.С. Выготский предложил свою теорию развития. В ее основе положение о том, что уровень психического развития ребенка определяется его воспитанием и обучением: «Правильно организованное обучение ребенка ведет за собой детское умственное развитие, вызывает к жизни целый ряд таких процессов развития, которые вне обучения вообще сделались бы невозможными» [1,с.225]. Под руководством Л.С.Выготского было экспериментально доказано, что даже очень маленькие дети (4-5 лет) в результате обучения весьма быстро приобретают навыки логического мышления, в частности, умение классифицировать и аргументировано обосновывать свои выводы.
Неподготовленность учеников к доказательствам - одна из важнейших причин возникновения трудностей в среднем звене школы. Исследования психологов школы Л.С. Выготского позволяют утверж-
дать, что подготовку можно и нужно начинать уже в начальной школе. Анализ программ и действующих учебников показывает, что материал курса математики начальной школы дает для пропедевтики обучения доказательствам самые широкие возможности.
Итак, проанализируем понятие «доказательство» и дадим характеристику его структурных компонентов.
Понятие доказательства - одно из центральных в логике и математике, но оно не имеет однозначного определения, применимого во всех случаях и в любых научных теориях. Поэтому, под доказательством будем понимать - рассуждение, устанавливающее истинность какого-либо утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже доказана (например, теоремы, аксиомы, правила).
В логике вместо термина «рассуждение» чаще используется (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.
Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключений.
Умозаключением является, например, следующая мыслительная операция.
Путь, пройденный телом за время 1 со скоростью V равен у1
Пешеход прошел из А в В со скоростью 5 км/ч за 2 ч.
Расстояние от А до В равно 10 км. (1)
Форма записи умозаключений вида (1) принята в логике. В школе она встречается в виде записи условия геометрической задачи.
Итак, проанализируем умозаключение (1). Первое высказывание в нем является теоремой физики, второе - конкретное высказывание об определенном объекте. Заключение является правильным, потому что, если правило 8=У справедливо всегда для любых тел, движущихся со скоростями V и временем 1, то оно выполняется и для конкретного тела с конкретной скоростью движения.
©
Это должно быть всем ясно, это есть логический закон, прочно вошедший в мышление каждого человека. Логическая схема такого закона записывается, например, следующим образом:
Все Б есть Р, А есть Б (2)
А есть Р
Действительно, за Б здесь можно принять пути, пройденные телом, движущимся со скоростью V за время 1 Изобразим это множество на диаграмме Эйлера-Вен-на, кругом Б. За Р можно принять пути, равные у1
По первому высказыванию (теорема физики) круг Б должен содержаться в круге Р. Теперь А - это элемент Б, т.е. путь, пройденный телом за 2 ч со скоростью 5 км/ч. Его можно изобразить точкой внутри круга Б. Ясно теперь, что А есть элемент Р и, следовательно, путы равен 5-2=10 (км).
Это есть наглядная, с помощью кругов Эйлера-Венна, иллюстрация схемы умозаключений (2). Подобными диаграммами можно проиллюстрировать почти все схемы умозаключений и даже определить с помощью этих диаграмм правильность схемы.
Выводы в начальном курсе математике чаще всего получают индуктивным и дедуктивным способом.
Умозаключения, построенные по схеме (2) являются очень важными при изучении математики, методики ее преподавания и вообще дидактики. Этот вид умозаключений называется дедуктивной формой умозаключения, а рассуждения по этой форме - дедуктивным умозаключением, или дедукцией. В дедуктивных умозаключениях мысль движется от общего к частному. Эти умозаключения позволяют строить частные суждения из общих.
Возможность же использования дедуктивных рассуждений (умозаключений) в начальных классах на первый взгляд довольно ограничена, тем не менее, дедуктивные рассуждения с большей или
меньшей строгостью следует использовать при изучении начального курса математики, так как именно они воспитывают строгость, четкость и лаконичность мышления.
Например, при отработке определения умножения используются задания, в которых требуется вычислить 12x4, заменив умножение сложением. То же самое задание можно сформулировать по-другому: «Докажи с помощью определения умножения, что 12x4=48». Рассуждения учеников, образцы которых, естественно, должны быть заложены в объяснении учителя, могут быть такими.
Произведение 12x4 - это по-другому записанная сумма 12+12+12+12. Эта сумма равна 48. Следовательно, 12x4=48.
Сформулируем полностью рассуждение, которое скрыто в этом высказывании:
Умножение натурального числа а на натуральное число Ь - это сложение числа а Ь раз. (Общая посылка)
Произведение 12x4 - это по-другому записанная сумма 12+12+12+12, которая равна 48 (частная посылка)
Следовательно, 12 x4=48 (вывод) Схема этого умозаключения есть в точности схема (1).
На практике, в школе, общие посылки типа «все Б есть Р» только подразумеваются, но учениками не произносятся. Учителю же необходимо эти общие посылки иметь в виду.
При решении простых задач на разностное сравнение имеет смысл тоже обращаться к дедуктивным рассуждениям, используя наглядность только на этапе проверки решения задачи.
Например: «У Коли было 6 марок, у Пети 2 марки. На сколько марок больше у Коли, чем у Пети?»
Учащиеся рассуждают так: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее (общая посылка). В задаче нужно узнать, на сколько марок больше у Коли, чем у Пети (частная посылка). Умозаключение: «значит, нужно из марок Коли вычесть марки Пети».
Или, например, при решении задачи «В одной книге 36 страниц, а в другой - 18
®
страниц. Во сколько раз больше страниц в первой книге, чем во второй?» рассуждение строится таким образом:
Общая посылка: все задачи, в которых требуется узнать, во сколько раз одно число больше другого, решаются делением.
Частная посылка: в этой задаче надо узнать, во сколько раз 36 больше 18.
Заключение: для ответа на вопрос задачи надо 36 разделить на 18.
Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается прежде всего в их тесной взаимосвязи с индуктивными. Так, методы и приемы обучения младших школьников на этапе усвоения новых знаний в большинстве случаев связаны с индуктивными рассуждениями. Поэтому учителю начальных классов необходимо, во-первых, иметь четкое представление о том, что такое индуктивные рассуждения (умозаключения), во-вторых, осознавать значение данного вида рассуждений для организации познавательной деятельности школьников, в-третьих, методически грамотно осуществлять руководство этой деятельностью.
Используя этот метод, учитель как бы ведет учащихся к цели, «наводит» их на нее.
Индукция (от лат. - наведение) - форма мышления, с помощью которой мысль направляется на какое-нибудь общее утверждение, что касается отдельных предметов определенного множества.
Рассмотрим высказывание. При умножении любого натурального числа на 5 последняя цифра в записи произведения 0 или 5.
Как можно прийти к такому выводу? Предположим, что число оканчивается на 0. Тогда произведение оканчивается нулем. Предположим, что число оканчивается единицей, тогда произведение оканчивается на 5 и т.д. до 9. Поскольку других возможностей оканчиваться на какую-либо цифру, кроме 0 и 5, у числа нет, то утверждение доказано.
Такое рассуждение относится к индуктивным умозаключениям.
Индуктивное умозаключение - это такое, в результате которого на основании знания об отдельных предметах данного
множества (или об отдельных подмножествах данного множества) получается общий вывод, содержащий какое-либо знание обо всех предметах данного множества.
В данном примере в роли этих подмножеств выступают множества чисел, оканчивающихся на одну и ту же цифру. Таких подмножеств всего 10. Все множество -это множество N.
Приведенный пример является примером умозаключения вида полной индукции. Его схема выглядит следующим образом:
есть Р, Б2 есть Р,..., Бп есть Р. Все Бц, Б?..., Бп исчерпывают весь класс Б Все Б есть Р
Здесь - это множество чисел, оканчивающихся 0, - множество чисел, оканчивающихся 1, и т.д., Б10 - множество чисел, оканчивающихся 9. Роль Р играет свойство чисел: «после умножения на 5 оканчивается 0 или 5». Множество всех натуральных чисел N является объединением классов Б0, Бь Б2,...,
Полная индукция - умозаключение, в правильности которого убеждаются, рассматривая все отдельные случаи (объекты, фигуры, числа), которые составляют конечное множество. Например, доказывая теорему об измерении вписанного в круг угла, рассматривают все три отдельных случая (центр угла принадлежит одной из сторон угла, лежит между сторонами, находится вне круга).
Утверждения, которые делаются на основе использования полной индукции, всегда правильные, так как полная индукция является методом доказательства.
Кроме полной индукции, в математике и в методике ее преподавания встречаются рассуждения по неполной индукции. Суть этого метода познания заключается в том, что, рассматривая различные частные случаи, мы подмечаем ту или иную закономерность, которая позволяет сделать обобщенный вывод. При этом необходимо учитывать, что невозможно исчерпать все частные случаи, поэтому умозаключение, построенное с помощью неполной индукции, не относится к способам математического доказательства. Но в процессе
обучения мы застрахованы от ошибок, к которым может привести использование данного метода, поскольку заранее знаем, что открываемые учащимися законы, свойства, правила достоверны (они уже получили свои строгие доказательства в математике).
С методической точки зрения метод неполной индукции имеет целый ряд достоинств: это и развитие логических приемов мышления (анализ и синтез, сравнение, обобщение), и активизация познавательной деятельности учащихся, и радость «открытия», и знакомство с одним из используемых в науке методом.
Способность учащихся проводить индуктивные рассуждения формируется на конкретном математическом содержании. Формирование умения подмечать закономерности должно составлять определенную часть работы по изучению каждой темы курса математики начальных классов. Учить подмечать закономерности, сходное и различное следует начинать с простых упражнений, постепенно усложняя их. С этой целью целесообразно предлагать серии упражнений с постепенным повышением уровня трудности. Если упражнения подобраны так, что ученик поставлен перед необходимостью прилагать определенные умственные усилия для их выполнения и в то же время упражнения доступны ученику, т.е. он может выполнить их самостоятельно, то способность подмечать закономерности развивается, совершенствуется, становится более прочной. В этом случае развивается математическая наблюдательность, создаются условия для самостоятельной поисковой деятельности.
Например. Доказать, что любое число, делящееся на 3, имеет в десятичной записи цифры, сумма которых делится на 3. Нужно ли (да и возможно ли) проверять все числа, делящиеся на 3? Разумеется, нет.
Можно взять произвольное число, делящееся на 3 (объект Б), и, не опираясь на конкретный вид этого числа, а используя только его кратностью 3, доказать, что его сумма кратна 3 (является объектом типа Р).
Теперь предположим, что вы предложили рассмотреть ученикам несколько двузначных чисел, делящихся на 3, и подметить какую-нибудь общую особенность у этих чисел. Кто-то, допустим, написал 5 таких чисел и заметил, что сумма цифр у каждого из этих чисел делится на 3. После этого естественно выдвинуть общую гипотезу: если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3. Какого рода умозаключение здесь использовалось? Вот его схема.
Некоторые Б есть Р
Все Б есть Р
Является ли это умозаключение логически строгим? Конечно, нет. Верно ли, что такого типа умозаключениями нельзя пользоваться? Нет, так как такого типа исключения часто являются источником правильных гипотез, укрепляют веру в истинность утверждений, которые на определенном этапе обучения нельзя обосновать строго.
Еще одним важным видом умозаключений, используемых в математике, является аналогия.
Аналогия умозаключение о принадлежности предмету определенного признака (т.е. свойства или отношения) на основе сходства в существенных признаках с другими предметами.
Например, при объяснении правил умножения многозначного числа на однозначное и двухзначное можно пользоваться аналогией при умножении многозначного числа на число единиц и на число десятков, подчеркнув лишь различия в записи.
Аналогия - достаточно эффектный механизм познания, умственный прием, используемый как в научных исследованиях, так и в обучении. Рассуждения по аналогии имеют следующую общую схему:
А обладает свойствами а, в, у 8;
В обладает свойствами а, в, у
Возможно, В обладает свойством 8.
Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров:
© Gluzman N.
• Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов.
Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц три разряда - единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда - единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.
• Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами.
Например, учащиеся установили, что 4х(3+7)>4х3+4х6, так как 4х(3+7)=4х3+4х7> >4x6. Рассматривая затем выражения 3х(8+9) и 3х8+3х7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3х(8+9)>3х8+3х7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.
• Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа.
Например, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27х3=(20+7)х3=20х3+7х3=81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712х4=(700+10+2)х4=2800+40+8=2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.
Следующим шагом может быть получение дедуктивного вывода, т.е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное.
Во всех классах начальной школы полезно давать задачи повышенной трудности на доказательство, сформулированные в общем виде. Рассмотрим в качестве примера задачу: «Докажи, что площадь квадрата со стороной а равна площади прямоугольника, одна сторона которого в 2 раза больше стороны квадрата, вторая - в 2 раза меньше стороны квадрата». Такую задачу можно предложить после того, как
ученики познакомятся со свойством произведения: если увеличить один множитель в несколько раз, то произведение увеличится во столько же раз; если уменьшить один множитель в несколько раз, то произведение уменьшится во столько же раз.
Рассуждения могут быть такими. Площадь квадрата со стороной а равна произведению аха. Площадь прямоугольника, у которого стороны равны 2ха и а, равна (2ха)ха, то есть в два раза больше площади квадрата аха. Площадь прямоугольника, у которого одна сторона равна 2ха, вторая равна а, в два раза меньше площади прямоугольника со сторонами 2ха и а, т.е. равна площади квадрата со стороной а. Что и требовалось доказать.
Очень важным компонентом доказательств является умение аргументировано излагать свои мысли. Учить этому в начальной школе можно при изучении практически каждой темы. Покажем, каким образом эта возможность может быть реализована на примере решения задачи: «Имеется 4 коробки по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в этих коробках?» Поскольку аналогичных задач в действующих учебниках очень много, учащиеся запоминают, что они решаются умножением. Но, как правило, не в состоянии обосновать, почему надо находить произведение 6х4.
Попробуйте предложить ученику объяснить, почему он перемножает числа, а не выполняет другие арифметические действия. Вы услышите различные «аргументы», самый веский из которых - это реакция на ваш вопрос: решение не правильное, нужно выполнить другое действие, наверно - сложение. Более уверенные, что такие задачи решаются умножением, будут обосновать свой вывод ссылкой на присутствие в формулировке предлога «по». В этом случае им нужно предложить контрзадачу: «Имеется 24 карандаша. Сколько потребуется коробок, чтобы разложить карандаши по 6 карандашей в каждую?», показывающую, что предлог «по» может означать необходимость выполнять не только умножение, но и деление.
©
Аналогичные эксперименты показывают, что само по себе умение обосновывать свои выводы, как правило, не появляется, ему надо целенаправленно учить. Это подтверждает и анализ теоретических и методических источников, а также школьной практики. Существует определенная зависимость между уровнем сформирован-ности умений выполнять правильные рассуждения и результативностью учебной деятельности младших школьников: чем выше этот уровень, тем более глубокие и прочные знания имеют учащиеся, тем выше их интерес и положительное отношение к учению.
Методическая система формирования у учащихся умений выполнять правильные рассуждения имеет свою специфику и включает такие этапы: 1 - мотивационный (активизация интереса учащихся к овладению теоретическими знаниями); 2 - содержательно-процессуальный (формирование умений выполнять дедуктивные умозаключения в тесной взаимосвязи с индуктивными умозаключениями; формирование первичных представлений о методах математического доказательства); 3 - контрольно-оценочный (проверка сформированнос-ти первичных представлений о дедуктивном методе в математике).
Методическими требованиями к системе упражнений по формированию умений рассуждать и доказывать высказанные суждения выступают:
- рассмотрение изучаемого объекта с различных сторон и выделение наибольшего количества присущих ему свойств (применение действий анализа и синтеза);
- сравнение выделенных свойств и выбор наиболее существенных и главных
(применение действия сравнения и абстрагирования);
- установление причинно-следственных связей и закономерностей;
- формулирование новых положений (использование действия обобщения);
- обоснование высказанных суждений.
В заключение, считаем необходимым,
еще раз подчеркнуть, что рассмотренная методика учит младших школьников грамотно формулировать мысли, обосновывать выводы, способствует развитию логического мышления и теоретического виденья. Все это необходимо не только для пропедевтики обучения доказательствам, но и является важнейшим показателем успешности обучения в начальной школе.
1. ВыготскийЛ.С. Проблема обучения и развития в школьном возрасте. Изб.псих.исслед. - М., 1956. - С. 438-452
2. ЗакА.З. Развитие теоретического мышления у младших школьников. - М. : Педагогика, 1984. -152 с.
3. Лехова В.П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов // Начальная школа. -1998. -№ 5. - С. 31 - 36.
4. Мерзон А.Е., Добротворский А.С., Че-кин А.Л. Пособие по математике для факуль-тетов начальных классов. - М.: Институт практической психологии; Воронеж: Изд-во НПО «МОДЭК», 1998. - 448 с.
5. Пиаже Ж Генезис элементарных логических структур. Классификация и сериация. -М.: Эскмо, 2002.
6. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед.учеб.заведений. - М. : Академия, 1999. - 424 с.
7. Хомякова Л.В. Индуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов // Начальная школа. -1998. - № 5. - С. 31-36.
Резюме. Глузман Н.А. ЭЛЕМЕНТЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В КУРСЕ НАЧАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. В статье раскрываются методические возможности обучения младших школьников различным способам доказательств высказанных суждений на содержании традиционного курса начальной математики.
Summary. Gluzman N. PROOF ELEMENTS IN THE COURSE OF ELEMENTARY MATHEMATICS. The methodical possibilities of the teaching young schoolchildren different proof ways of judgments in the contents of the traditional course of elementary mathematics is considered.
Надшшла доредакцп 22.03.2007р. -
