CC BY
148
4. Salavatulina L.R. Investigation of the organization of independent work of students. Perspektivy razvitianauki v oblasti pedagogiki i psikhologii. - Chelyabinsk: Innovacionnyi tsentr obrazovania i nauki, № 2. 2015. P. 52-55. [in Russian].
Сведения об авторах: Салаватулина Лия Рашитовна,
кандидат педагогических наук, доцент, доцент, кафедра педагогики и психологии,
Челябинский государственный педагогический университет, г. Челябинск, Российская Федерация. &mail: liya-444@yandex.ru
Андриевская Людмила Анатольевна,
старший преподаватель, кафедра педагогики и психологии, Челябинский государственный педагогический университет,
г. Челябинск, Российская Федерация. &mail: ludmila_andrievskaja@idoud.com
Information about authors: Salavatulina Leah Rashidovna,
Candidate of Sciences (Pedagogy), Academic Title of Associate Professor, Associate Professor, Department of Pedagogy and Psychology Chelyabinsk State Pedagogical University, Chelyabinsk, Russia. E-mail: liya-444@yandex.ru
Andrievska Lyudmila Anatolevna,
Senior Lecturer, Department of Pedagogy and Psychology
Chelyabinsk State Pedagogical University, Chelyabinsk, Russia.
E-mail: ludmila_andrievskaja@icloud.com
ББК 51(07):16 УДК 74.262.21:87.4
В.И. Седакова, В.Л. Синебрюхова
ФОРМИРОВАНИЕ У ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ ОБОСНОВЫВАТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ
Реализуя Федеральный государственный образовательный стандарт по математике, необходимо уделять внимание формированию метапредметных умений, связанных с общекультурным, личностным и познавательным развитием учащихся. Одним из способов развития личности обучаемого, повышения эффективности учебно-воспитательного процесса является умение формулировать и доказывать суждения, используя дедуктивный метод.
Ключевые слова: метапредметные умения, умение формулировать суждения, умозаключения, индуктивные умозаключения, дедуктивные суждения.
V.I. Sedakova, V.L. Sinebriukhova
FORMATION OF STUDENTS 'SKILLS TO PROVE MATHEMATICAL STATEMENTS
Implementing the Federal State educational standard in mathematics, it is necessary to pay attention to the formation of interdisciplinary skills related to General cultural, personal and cognitive development of students. One of the ways of development of the individual student, improving the efficiency of the educational process is the ability to formulate and to prove the statements, using the deductive method.
Key words: meta-subject skills, the ability to formulate statements, conclusions, inductive reasoning, deductive statement.
го m о х
2 ^
ю <и
X
О
od
<я
СО
о ^
го ч ф О
ш
Одним из требований Федерального государственного образовательного стандарта является оптимизация общекультурного, личностного и познавательного развития детей. Задача учителя математики состоит в формировании способности и готовности учащихся реа-лизовывать универсальные учебные действия, что позволит повысить эффективность образовательно-воспитательного процесса, начиная с начальной, основной школы [6; 7].
В психологической литературе существует значительное число исследований, позволяющих описать строение мыслительной деятельности, ее генезис, возрастные и индивидуальные отличия (Л.И. Божович, Дж. Брунер, А. Валлон, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, А.А. Люблинская, Л.Ф. Обухова, Ж. Пиаже, Л.С. Рубинштейн, O.K. Тихомиров, Д. Халперн, М.Н. Шардаков).
Формировать метапредметные умения обучающихся целесообразно посредством целенаправленного обучения формулированию и доказательству истинности логических суждений. Умение использовать математические знания в деятельности, применять их в другой области - важная цель, сформулированная в Стандартах второго поколения в разделе «Планируемые результаты».
Задания логического характера повышают мотивацию обучения, помогают обучающимся приобрести представление об идеях и методах в математике как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования явлений и процессов.
Н.Б. Истомина в своих работах подчеркивает, что в процессе формирования умения рассуждать необходимо знакомить учащихся с элементами логического содержания: суждениями, умозаключениями [4].
В курсе математики для обоснования истинности суждений чаще всего используются дедуктивные рассуждения, неполная индукция, вычисления, измерения, эксперимент и др.
По мнению А.В. Белошистой, овладение математическим языком, усвоение алгоритмов выполнения действий, уме-
ние строить планы решения различных задач и прогнозировать результат являются основой для формирования умений рассуждать, обосновывать свою точку зрения, аргументировано подтверждать или опровергать истинность высказанного предположения. Освоение математического содержания создаёт условия для повышения логической культуры и совершенствования коммуникативной деятельности учащихся [1].
В процессе начального обучения эффективность подготовки детей к основному звену школы зависит и от создания условий общего развития учащихся, включающего теоретическое мышление. Опыт показывает, что ребенок, не овладевший операциями и приемами мыслительной деятельности в начальных классах, в средней школе обычно переходит в разряд неуспевающих.
Наиболее насыщенным логическим компонентом учебного материала обладает учебный предмет «математика», что позволяет на основе учебных и внеучеб-ных математических занятий формировать у младших школьников умение обосновывать математические суждения.
Однако в авторских программах по математике не выделяется специальный раздел, обеспечивающий характеристику содержания о предматематических доказательствах. И только лишь в программе авторского коллектива под руководством В.Н. Рудницкой выделяется такой раздел, как «логико-математическая подготовка». В данном разделе рассматриваются следующие темы: «Понятия: все, не все; все, кроме; каждый, какой-нибудь, один из, любой. Различать по смыслу слова: каждый, все, один из, любой, какой-нибудь. Определять истинность несложных утверждений (верно, неверно) и т.д.».
Действительно, большую часть знаний об окружающей действительности мы получаем с помощью рассуждений, поэтому в процессе доказательства у учащихся формируются универсальные учебные действия:
• личностные: формирование положительного отношения к процессу познания;
• коммуникативные: восприятие устной речи, участие в диалоге;
• познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков;
• регулятивные: прогнозирование результата и т.п.
Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося, т.е. под рассуждением или умозаключением будем понимать логическую операцию, посредством которой из одного или нескольких утверждений, называемых посылками, получается новое знание по отношению к исходным утверждениям. Умозаключение, полученное из посылок, называется заключением (следствием, выводом).
В словесных формулировках заключение отделено от посылок с помощью слов «следовательно», «значит» и других, например, в предложении «В прямоугольнике все стороны равны, следовательно, такой четырехугольник называется квадратом» все, что записано до слова «следовательно» - посылки, после него - заключение.
В основе доказательства математических утверждений лежит рассуждение. Рассуждения могут быть разными - правдоподобными, т.е. в ходе рассуждений получается достоверный вывод, а случается так, что вывод получается ошибочным. В зависимости от этого рассуждения, как подчеркивает А.А. Ивин, можно выделить два вида умозаключений - дедуктивных (переход от общего к частному) и индуктивных (переход от частного к общему) [3].
По мнению В.П. Леховой, дедуктивные рассуждения являются одним из безошибочных способов доказательства утверждений. Но, учитывая сложность обоснования истинности дедуктивным способом, уместно научить учащихся использовать другие, более доступные способы доказательств, которые, с математической точки зрения, не всегда считаются доказательствами [5, с. 28].
Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют школьники на уроках математики. Посмотрим, в каких примерах сделаны правдоподобные выводы.
Пример 1. Число 487 можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:
487 = 400 + 80 + 7.
Пример 2. После сравнения результатов левой и правой частей в числовых равенствах:
1+1=2+1; 2+4=4+2; 12+5=5+12.
В заключение можно сделать вывод о том, что от перемены мест слагаемых значение суммы не меняется, т.е. а + Ь = Ь + а.
Пример 3. Найти значение выражения.
Общая посылка: Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности этих выражений.
Частная посылка: Выражение есть 372 - 362 разность квадратов. Заключение:
372 - 362 = (37 - 36) (37 + 36) = 77 При нахождении значения выражения будем использовать общую посылку.
Пример 4. При рассмотрении равенств
1 ■ 2 = 1 + 1 = 2: 1 ■ 3 = 1 + 1 + 1 = 3 1 ■ 4 = 1 + 1 + 1 = 4 1 ■ 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 следует вывод: 1 ■ а = а. Во всех этих примерах можно назвать посылки и заключение.
В этих четырех примерах из условия следует заключение, но в каких выводах вы не сомневаетесь?
Очевидно, это пример 1 и 3, т.к. при их решении не может быть получен иной вывод. Такие рассуждения называются дедуктивными. Значит, примеры 1 и 3 является примерами дедуктивных умозаключений.
Рассмотрим примеры дедуктивных умозаключений.
Пример 1. При обосновании выбора действия при решении уравнения х • 5 = 20 учащиеся рассуждают так:
Общая посылка: При нахождении неизвестного множителя нужно произведение разделить на известный множитель.
.о I-
го ей -О ей о
X
о о ю о
X
ф
ей о
с; о
О >у ф
ф I
о ф
о. ¡5
о Го 0 S
го ш о
X
2 ^
ю ф
X
О
йЭ
го" ей о ¡£ го
ч ф
О
ш
Частная посылка: Неизвестен первый множитель х.
Заключение: х = 20 : 5
Пример 2. Обосновать, что 7 < 8.
Общая посылка: То число, которое встречается раньше при счете, является меньшим числом.
Частная посылка: Число 7 встречается при счете раньше числа 8.
Заключение: Число 7 меньше 8.
В математике существуют специальные правила, которые позволяют сделать вывод об истинности умозаключения, которые не рассматриваются в основной школе:
1. А (х) ^ В (х), А (а)
В (а)
правило заключения.
2. А (х) ^ В (х), В (а)
А (а)
правило отрицания.
3. А (х) ^ В(х), В (х) ^ С(х)
А (х) ^ С(х)
правило силлогизма.
Умозаключения, сформулированные иначе, приводят к ошибочным выводам. Примерами таких предложений являются софизмы. Например, можно «доказать», что «2 = 3», «Любые два числа равны между собой» и т.д.
В математической науке дедукция является единственным достоверным методом исследования. В нынешнем виде она была сформулирована два с половиной тысячелетия назад великим древнегреческим ученым-философом Аристотелем.
Как было сказано, кроме дедуктивных рассуждений есть индуктивные. Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.
Рассмотрим примеры ошибочных умозаключений.
Пример 1. Рассмотрим неравенства: 5 + 6 < 5 • 6, 3 + 4 < 3 • 4, 7 + 2 < 7 • 2.
Можно сделать вывод о том, что (Vа, Ь еЫ) а + Ь < аЬ , но можно привести контрпример: 3 + 1 > 3 • 1, значит, сделан ошибочный вывод.
Пример 2. «Если ученик опоздал 1, 2 раза, то, следовательно, он всегда опаздывает» (вывод ошибочный).
Пример 3. «Если пять дней тепло, значит и 6-й день тоже будет теплым» (вывод может быть не достоверным).
Значит, выводы, полученные при индуктивных рассуждениях, носят характер гипотезы, предположения и нуждаются в проверке, их нужно либо доказать, либо опровергнуть. Почему же, несмотря на это мы пользуемся методом неполной индукции?
При индуктивных рассуждениях выводы делаются по аналогии, что иногда приводит к ошибочным результатам, хотя аналогия помогает открывать новые знания, или применять новые знания в измененных условиях, формирует мышление, интуицию, догадку [2].
В младших классах выводы по аналогии могут быть такими:
(20 + 4) : 2 = 12 (правило деления суммы на число);
84 : 7 = (70 + 14) : 7 = 10 + 2 = 12.
В следующем задании может быть сделан ошибочный вывод по аналогии: (20 ■ 4) : 2 = 10 2 = 20.
Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т.е. не делается акцент на существование общей и частной посылок, учащиеся пытаются после рассуждений сделать вывод, подчас ошибочный.
При обосновании истинности суждений школьники могут воспользоваться различными способами. Рассмотрим способы доказательства утверждений, предложенных Н.Б. Истоминой [4].
Покажем это на примере заданий.
Задание 1. Вставь числа в «окошко», чтобы получились верные равенства:
□ :7=24139
□ : 14 = 162 (ост. 11)
Учащиеся высказывают общее суждение: «Если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Част-
ное суждение: «Число 24139 - частное, число 7 - делитель». Заключение: «24 139 умножим на 7».
Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм письменного умножения, находится результат: 168 973. Высказывается суждение: «168 973 : 7 = = 24139».
Истинность суждения можно проверить, выполняя действие «уголком» или воспользовавшись калькулятором.
Аналогично поступают со второй записью.
Задание 2. Составь верные равенства, используя числа 6, 9, 18, 36, 54.
Учащиеся высказывают суждения:
6 • 9 = 54 (обоснование - вычисление);
54 - 36 = 18 (обоснование - вычисление);
9 • 6 = 54 (для обоснования суждения можно воспользоваться общей посылкой: «От перемены мест множителей значение произведения не меняется»).
Задание 3. Сравни выражения, по-
ставь знак <, > или =, чтобы получилась верная запись: 4 + 7 ... 4 + 9 2, 4 + 3 ... 3 + 2,4
3 13 2
—+- —+ —
7 3 .•• 7 3
При обосновании действий учащиеся предпочитают выполнить действия, а не рассуждать, сравнивая значения слагаемых (11 < 13). Дальнейшее обоснование может опираться на расположение чисел на числовой прямой. Этот способ не всегда удачный, т.к. значения слагаемых могут быть выражены многозначными числами, дробными выражениями, что значительно затруднит вычисления.
Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся.
Библиографический список
1. Белошистая, А.В. Развитие логического мышления младших школьников на основе использования специальной системы заданий [Текст]: монография / А.В. Белошистая, В.В. Левитес; Федер. агентство по образованию, Мурм. гос. пед. ун-т. - Мурманск: МГПУ, 2009. - 104 с.
2. Далингер, В.А. Аналогия в геометрии [Текст]: учебное пособие / В.А. Далингер, Р.Ю. Костю-ченко. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. - 149 с.
3. Ивин, А.А. Искусство правильно мыслить [Текст]: кн. для учащихся / А. А. Ивин // М.: Просвещение. - 1996. - 224 с.
4. Истомина, Н.Б. Методика обучения в начальной школе [Текст]: развивающее обучение / Н.Б. Истомина. - Смоленск: Ассоциация XXI век, 2009. - 288 с.
5. Лехова, В.П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов [Текст] / В.П. Лехова // Начальная школа. - 1998. - № 5. - С. 24-28.
6. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования [Текст] / М-во образования и науки Рос. Федерации. - М.: Просвещение, 2011. - 48 с. - (Стандарты второго поколения).
7. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования [Текст] / М-во образования и науки Рос. Федерации. - М.: Просвещение, 2010. - 31 с. - (Стандарты второго поколения).
References
1. Balochista A.V., Levites V.V. Development of logical thinking of primary school children through the use of a special system of tasks. Feder. education Agency, Murman. State Ped. Univ. Murmansk: MGPU, 2009. P. 104. [in Russian].
2. Dalinger V.A., Kostyuchenko R.Y. Analogy in geometry. Omsk: Izd-vo OmGPU, 2001. P. 149. [in Russian].
3. Ivin A.A. The Art of right thinking. M.: Prosveshchenie, 1996. P. 224. [in Russian].
4. Istomina N. B. Methods of teaching in elementary schools: developing training. Smolensk: Izd-vo Assotsiatsia XXI vek, 2009. P. 288. [in Russian].
5. Lekhova V.P. Deductive reasoning in mathematics primary grades. Nachalnaia shkola, 1998. № 5. P. 24-28. [in Russian].
6. Federal state educational standard of basic General education. Ministry of education and science of Russian Federation. Federation. M.: Education, 2011. P. 48. [in Russian].
7. Federal state educational standard of primary General education. Ministry of education and science of Russian Federation. Federation. M.: Education, 2010. P. 31. (second generation Standards). [in Russian].
Сведения об авторах: Седакова Валентина Ивановна,
кандидат педагогических наук, доцент,
кафедра высшей математики и информатики, Сургутский государственный педагогический университет,
г. Сургут, Российская Федерация. Е-таИ: valya-200909@rambler.ru
Синебрюхова Вера Леонидовна,
кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории и методики дошкольного
и начального образования, Сургутский государственный педагогический университет, г. Сургут, Российская Федерация. Ктай: sinver13@mail.ru
Information about the authors: Sedakova Valentina Ivanovna,
Candidate of Sciences (Education), Academic Title of Associate Professor Associate Professor, Department of Mathematics and Informatics, Surgut State Pedagogical University, Surgut, Russia.
E-mail: valya-200909@rambler.ru
Sinebriukhova Vera Leonidovna,
Candidate of Sciences (Pedagogy), Academic Title of Associate Professor Associate Professor, Department of Theory and Methodology of Preschool and Primary Education,
Surgut State Pedagogical University,
Surgut, Russia.
E-mail: sinver13@mail.ru
УДК 378:621.8 ББК 74.480.26:35.44
Р.М. Тимербаев, Р.Х. Мухутдинов, Л.К. Обухова
ПУТИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕССА САМОРАЗВИТИЯ СТУДЕНТОВ ПРИ ОСВОЕНИИ КУРСА «ДЕТАЛИ МАШИН»
В статье рассматриваются вопросы, касающиеся некоторых аспектов реализации процесса саморазвития студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Технология» и «Профессиональное образование», при освоении курса «Детали машин»,при этом определяются требуемые педагогические условия, которыми должны быть обеспечены все участники учебного процесса. Показано, что решению этих вопросов во многом может способствовать использование электронных образовательных ресурсов, разработанных к примеру в LMSMoodle привлечением прикладных компьютерных программ. Внедрение интерактивных форм и применение элементов дистанционного обучения в большей степени позволяет активизировать самостоятельную работу студентов, что в свою очередь обеспечивает эффективность реализации процесса саморазвития.
Ключевые слова: учебный процесс, саморазвитие, реализация, детали машин, проектно-расчётная работа, специализированная компьютерная программа, LMS Moodle, дистанционное обучение.
