Псевдосферические поверхности и уравнение синус-Гордона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.12.01

Псевдосферические поверхности и уравнение

синус-Гордона

В. И. Санюк, Л. В. Хорунжая

Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

На основании известной связи уравнения синус-Гордона с геометрией псевдосферических поверхностей дано подробное изложение различных аспектов преобразований Бэклунда и их возможностей для построения многосолитонных решений уравнения.

1. Введение

Некоторые задачи современной физики сводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям, имеющим естественную геометрическую интерпретацию. Среди таких уравнений и уравнение синус-Гордона, возникшее изначально в дифференциальной геометрии в связи с задачей изометрического погружения плоскости Лобачевского в евклидово пространство. Позднее обнаружилось, что уравнение синус-Гордона описывает ряд физических явлений, и, наконец, был установлен универсальный характер этого уравнения.

Уравнение синус-Гордона для функции зависящей от одной простран-

ственной переменной х и времени ¿,

д2г .

получило свое название в силу наличия синуса в правой части и сходства с уравнением Клейна-Гордона. Его можно записать также в координатах светового конуса

€ (2)

В этом случае оно принимает вид

дЧ

8£дг)

= эш г. (3)

Уравнение синус-Гордона

описывает такие физические явления и процессы, как распространение импульсов в двухуровневых резонансных средах, поведение блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах, движение дислокаций, процессы в джозефсоновских контактах и ряд других физических явлений (подробнее см. в [1-6]). Оно возникает при рассмотрении физических явлений, не ограничивающемся чисто линейным приближением, а учитывающем простейшие нелинейности. Впервые оно было введено в физику в 1939 г. Я.И. Френкелем и Т.М. Коиторовой как уравнение, описывающее

Рис. 1. Сеть линий на поверхности Ф. Яркими линиями выделен сетевой четырехугольник. У гол г(х,у) — сетевой

распространение дислокаций в одномерном кристалле (см., например, [4,7,8]). Спустя почти 20 лет к такому же уравнению пришел английский физик Т. Скирм, при рассмотрении упрощенного (двумерного) варианта своей модели «пионной жидкости». Внимательно изучив свойства упрощенной модели, Скирм не только впервые получил явный вид решения уравнения синус-Гордона (задолго до открытия метода обратной задачи рассеяния), но и ввел в физику сохраняющуюся величину нового типа - топологический заряд (см. подробнее [9,10]). В данной статье мы сосредоточимся на изучении связи уравнения синус-Гордона с теорией псевдосферических поверхностей и дадим по возможности детальное изложение этого вопроса. Собранные здесь факты, в основном, известны, однако не имели до сих пор последовательного изложения. Работа посвящена памяти Я.П. Терлецкого, который своими пионерскими работами по свойствам частицеподобных решений дифференциальных уравнений способствовал зарождению нового направления в теоретической и математической физике — теории солитонов.

2. Поверхности постоянной отрицательной

кривизны и уравнение синус-гордона

Возникновение уравнения синус-Гордона в дифференциальной геометрии в конце 19 в. связано с проблемой регулярных изометрических погружений частей плоскости Лобачевского в трехмерное евклидово пространство Е3 — проблемой построения модели геометрии Лобачевского в рамках евклидовой геометрии. Решение этой проблемы было дано в 1901 г. Д. Гильбертом, который доказал, что в пространстве Е3 не существует полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляет геометрию полной плоскости Лобачевского.

2.1. Чебышевские сети на поверхности

В 1878 г. известный русский математик П. Л. Чебышев в работе «О кройке одежды» исследовал вопрос о специальных сетях линий на поверхностях. Эти сети, называемые теперь чебышевскими, характеризуются следующим свойством: в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Например, нити куска ткани, натянутой на поверхность, образуют на ней чебышевскую сеть (рис. 1) [11].

Рассмотрим поверхность Ф с заданной на ней чебышевской сетью, линии которой выбраны за координатные. Одну из линий первого семейства примем за базовую линию х (т.е. линию, для которой у = 0), а некоторую линию другого семейства — за базовую линию у (линия х = 0), Угол между координатными линиями х н у в точке М(х,у) (сетевой угол) обозначим z(x,y).

Из определения чебышевской сети вытекает, что параметры х и у — длины дуг соответствующих координатных линий. Если поверхность Ф задана уравнением г = г(х,у), то

f® = l,r£ = l, (rx, ry) = c:osz(x,y),

где обозначено гх — дг/дх, гу = дг/ду и (гг, гу) — скалярное произведение векторов тх и Гу.

Следовательно, первая квадратичная форма поверхности для выбранной внутренней системы координат хну имеет вид

I = ds2 = dx2 + 2cosz(x,y)dxdy + dy2 (4)

или

I = ds2 = Ебх2 + 2Fdxdy + вАу2, где Е = Г*Х = 1, Р = (гх,гу) = созг(х,у), £ = г£ = 1.

Верно и обратное: если первая квадратичная форма поверхности имеет вид (4), то сеть координатных линий х и у является чебышевской.

Найдем уравнение для сетевого угла г(х,у) чебышевской сети. Подсчитаем кривизну К поверхности Ф при помощи теоремы Гаусса [11]: кривизна К регулярной поверхности может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные

r, LN - М2 1 А

EG ~ F2 4W2

Е Ех Ei

F Fx Fy

^__f д Ey-Fx _ д Fy-Gx

G Gx Gy

J V * _ V

2-Jw\dy y/w dx VW

(6)

где W = EG — F2, a L,M,N — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности

II = 1Ахг + 2Mdxdy + Ndy2 (7)

(.L = (fII( n), M = (fxy, n), N = (fyy, n), ñ = - единичный вектор нормали

в т. (х,у) поверхности). Полагая в (6) х = и, у = и, получим

W = EG - F2 = 1 - eos2 г » sin2 г,

Ех = Еи~ 0, = = 0, (8)

Fx=Fu = -z-u sinz, FV = FV = -Zy sin«, Gx — Gu = 0, Gy - Gv = 0.

Отсюда находим

К = —

1. ( д Ev - Fu д Fv-Gu 2 y/W y/w 9u Vw

}

гии = -Квтг. (9)

Эта формула после несложных преобразований вытекает из формулы для сетевого угла, приведенной Чебышевым. Уравнение (9) переходит в уравнение синус-Гордона при К = -1. Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение синус-Гордона связано с задачей построения чебышевских сетей на поверхностях, гауссова кривизна которых равна -1. Более того, каждому решению уравнения синус-Гордона на такой поверхности отвечает некоторая чебышевская сеть.

= = (12)

2.2. Изометрические погружения плоскости Лобачевского А2 в евклидово пространство .Е3

На плоскости Лобачевского Л2 можно ввести полугеодезическую систему координат (х,у) — координатные линии различных семейств попарно ортогональны и одно из семейств состоит из геодезических линий — так, что [12]

ds2 = dx2 + e2kxdy2, где k = const. (10)

В полугеодезической системе координат первую квадратичную форму поверхности можно привести к виду [11]

/ = ds2 = dx2 + В2(х, y)dy2,

где В(0,у) = 1, Вх(0,у) = О, Вх - дВ/дх. При такой параметризации гауссова кривизна

(П)

Вычисляя гауссову кривизну К а плоскости Лобачевского по формуле (11), получим

ек

т.е. плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну Кл — —к2. При к = 1 гауссова кривизна Кд = —1. В декартовой системе координат (х,у) линейный элемент евклидовой плоскости задается в виде

ds2 = dx2 + dy2. (13)

Задача об изометрическом погружении плоскости Лобачевского с линейным элементом

ds2 = da;2 + е2:Му2(/г = 1). (14)

в евклидово пространство сводится к следующему: существует ли в пространстве Е3 поверхность, первая квадратичная форма которой задается соотношением (14)? При этом, поскольку

2JV - М2 - EG- F2

и дискриминант W = EG - F2 > 0, то знак дискриминанта второй квадратичной формы совпадает со знаком гауссовой кривизны, т.е. LN — М2 < 0.

При LN — М2 < 0 на поверхности Ф существует 2 асимптотических направления (направление на регулярной поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности кп = Ц- = 0 в этом направлении). Другими словами, на поверхности Ф можно ввести параметризацию, при которой координатные линии будут асимптотическими линиями поверхности. Выберем на поверхности Ф такую параметризацию и обозначим ее параметры через и и v. В этом случае коэффициенты первой квадратичной формы E*(u,v),F*(u,v),G*(u,v) явно неизвестны, а коэффициенты второй квадратичной формы

L = 0 и N = О,

так как асимптотические линии поверхности приняты за координатные (см. [11]). Введем новые параметры х и у по формулам (подробнее см. [11])

и __V

= / у = J

При таком преобразовании параметров имеем

dx2 = E*du2, dу2 = G*dv2 и ds2 = dx2 + 2 cos zdxdy + dy2,

где z(x,y) — сетевой угол координатной сети. (Если ds2 = dx2 + 2F*dxdy + dy2, то F* = cos 2, где z - угол, образованный координатными линиями).

Таким образом, если внутренняя геометрия поверхности Ф представляет собой геометрию Лобачевского, то сеть асимптотических линий на этой поверхности является чебышевской.

В проведенных рассуждениях мы исходили из предположения, что поверхность Ф имеет гауссову кривизну К = -1. Но тогда для сетевого угла г(х,у) семейства асимптотических линий на поверхности Ф, образующих чебышевскую сеть, имеет место уравнение синус-Гордона zxy = sin г.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение синус-Гордона либо определяет сетевой угол z(x,y) чебышевской сети на плоскости Лобачевского, либо определяют сетевой угол семейства асимптотических линий на поверхности, внутренняя геометрия которой представляет собой геометрию Лобачевского.

Другими словами, если на всей плоскости (х,у) задано регулярное решение уравнения синус - Гордона, то в пространстве Ея можно указать поверхность постоянной отрицательной кривизны К = -1 (возможно, с особенностями; они будут отвечать значениям z — птг), сетевой угол z(x,y) сети обобщенных асимптотических линий на которой совпадает с этим решением (обобщенные асимптотические линии — регулярные асимптотические линии,покрывающие поверхность с особенностями (см. [И, 13])). Найденную поверхность вместе с сетью обобщенных асимптотических линий и сетевым углом можно рассматривать как одну из возможных геометрических интерпретаций решений уравнения синус - Гордона.

3. Преобразования Бэклунда

Метод преобразований Бэклунда успешно применяется как в геометрии поверхностей, так и для решений дифференциальных уравнений. Найденные еще в 1876 г. шведским математиком Бэклундом в связи с проблемами дифференциальной геометрии эти преобразования оказались исторически первыми, с помощью которых были получены многосолитонные решения. Вклад Бэклунда состоял в том, что он показал, как можно строить иерархии решений, каждое из которых конструируется из предыдущих.

3.1. Преобразования Бэклунда поверхностей постоянной

отрицательной кривизны

Преобразование Бэклунда возникло в геометрии как преобразование поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Его геометрическое содержание состоит в следующем. В трехмерном евклидовом пространстве рассматривается поверхность Ф* постоянной отрицательной кривизны -1 /а2(а — const, о > 0), заданная радиус-вектором г— г*. Этой поверхности сопоставляется другая поверхность Ф°, заданная радиус-вектором г = f7 так, что каждой точке М 6 Ф* соответствует точка М' е Ф", удовлетворяющая определенным условиям [14]. С. Ли [14] показал, что это преобразование определено только для поверхностей постоянной кривизны —1/а2 и преобразованная поверхность Ф" имеет ту же кривизну.

Преобразование Бэклунда для псевдосферической поверхности имеет вид [13]:

г° — г* +a;sin<r(pcos2* + ^sinz*) (15)

Здесь р, q — единичные касательные векторы к линиям кривизны на поверхности Ф* (линия поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным, т. е. направлением, в котором нормальная кривизна

поверхности кп = !-у достигает экстремального значения), сг,ш — некоторые параметры. Величина z* имеет смысл сетевого угла чебышевской сети асимптотических линий на поверхности Ф*. Соответственно г*, выраженная в асимптотических координатах удовлетворяет уравнению синус-Гордона = sin 2*.

Зная одну псевдосферическую поверхность Ф*, по формуле (15) можно построить новую псевдосферическую поверхность Ф°. При этом имеет место соответствие не только между поверхностями Ф* и Ф", но и между чебышевскими сетями асимптотических линий на этих поверхностях, а значит, и между их сетевыми углами (решениями уравнения синус - Гордона) z* и za.

Таким образом, преобразование Бэклунда позволяет построить как бесконечное семейство поверхностей постоянной отрицательной кривизны, так и соответствующий им класс решений уравнения синус-Гордона.

3.2. Преобразования Бэклунда в теории дифференциальных

уравнений

С позиции качественного анализа дифференциальных уравнений идея преобразования Бэклунда заключается в том, что оно преобразует одно решение 2П_! дифференциального уравнения в другое решение гп, не изменяя формы самого уравнения. Иначе говоря, исходная функция гп-\ и преобразованная функция гп удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению в частных производных. Такая трансформация осуществляется с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка, решить которые, возможно, легче, чем непосредственно проинтегрировать само уравнение. В общем случае исходная функция гп_! и преобразованная функция гп могут удовлетворять различным уравнениям.

Рассмотрим разработанный Клэрэном метод построения преобразований Бэклунда как общего вида, так и для функций zn-.\ и гп, удовлетворяющих одному и тому же дифференциальному уравнению [7]. Дифференциальные уравнения второго порядка вида

/1 (£, »Л 25, + /2(£, т/,2,2?, г^гц,, + /3(£, г), 2,20 гп)гтт +

-ЬЛб^-г,^,^) = 0 (16)

часто называют уравнениями Монжа - Ампера. Преобразование Бэклунда, связывающее два таких уравнения второго порядка для функций 2П_1 и гп, задается парой дифференциальных уравнений первого порядка:

„ ( дгп-у <Э2„_Л

— =^2П)2П_Ь—), (17а)

— _^2П,2П_Ь—^ (17Ь)

Для

задания явного вида преобразования необходимо найти функции и Условие интегрируемости (равенство смешанных вторых производных) требует, чтобы функции (17) удовлетворяли соотношению

т д^-0- (18)

Каждая из переменных т), 2, гп зависит от £ и г). Учитывая (17), получим дфЦ ~ дгп ^ + д^Г^-^ + + (19а)

э2гп _ аг2 ар2 а^2 &р2

й^-а — Д-+ "5-^п—1,5 + -2П-1,££ + «-¿п-1 п£- (19Ь)

Используя (17) для исключения окончательно получим условие сов-

местности в виде

п_/ \ / ал \ ад ~ I ] + 1--- + --

ад „ ад аг2

- + —-—гп_,,ч + - ^ ^ = 0. (20)

Функцию считаем известной. Тогда, пока хотя бы один из коэффициентов

дРу аг2

или

а^ ад

2

не равен нулю, уравнение (20) является дифференциальным уравнением в частных производных для функции гп_1.

3.3. Преобразования Бэклунда уравнения синус-Гордона

Рассмотрим построение методом Клэрэна преобразований Бэклунда уравнения синус-Гордона

= 8И12п_1, (21)

отображающих это уравнение в себя. Так как уравнение синус-Гордона содержит 2,1-1,54, 110 не содержит г„_1,55 и гп-1т, то ожидаем, что в (20)

а^ вр2 _ о

ад _ аг2

<92п_1,5 вгп_1,ч Итак, рассматриваем преобразования вида

(22)

^ = (23а)

(23Ь)

Подставляя в (20), получим условие совместности системы уравнений (23) л ( 0*1 N дРч . . ,

= - д^Гп) 2п~ш " д^ГГ-хл + ё^*"-1"+

+ (24)

Замечая, что каждая из четырех переменных *„, 2П_Ь зависит от £ и

77 и используя 2„_1 1?7, = З1п2„_1 и = яп2„, а также (23), получим

—£ = 81П2п = -гп-1,ч + + д-вт^п-ь (25а)

—= зтг» = ^-+ ~-.Fi + --зтг,,-]. (25Ь

Дифференцируя (25а) дважды по гп-\получим

8Р1 <92^2

О =

^-1,4'

Это означает (поскольку зависит главным образом от гп), что F2 является линейной функцией :

= + (26)

Аналогично, дифференцируя (25Ь) дважды по ¿„-1,?, получим, что является линейной функцией :

= + т(2п_Ь2„). (27)

Из (22) получаем

0*1 0F2

----= а - а ф 0.

Полагая а = 1,а = -1, находим уравнения преобразования в виде

дгп /

= —щ—Ьт[гп- 1,гп) = ^ ,

(28а)

0-гп с?2п_1 / <Э-гп_1\ . .

+ ^(г„_1,гп) = ип,2п_1,—— . (28Ь)

о — а | л) — ^ I и с

ОТ] ОТ) \ ОГ)

Теперь условие совместности (24) записывается как ( дгп-х дгп-1 \ . др. дт

Л ^-„4, -дц-) = гмпг.-! - ^»-и + а^-и +

Неизвестные функции тп ид определяются из рассмотрения частных производных от П. В частности,

- ^ ^ 0, (30а)

д*п-\ дгп

дП дт дгп д*п-1,г, ~ дгп-у дгп

= 0. (ЗОЬ)

С учетом уравнений (30) условие совместности (29) можно записать как п г> • дц дт

П = 2зтгп_1 — т~- + д—— = 0. (31)

дгп дгп к

Кроме того, уравнения (30) являются дифференциальными уравнениями в частных производных, имеющими решения

т(2п,гп_!) = т(г„+ г„_!), (32а)

д(2„,гп_1) = ц{гп - гп_1). (32Ь)

Из (31) получаем

дП д2т д2а

дГГ^-^Г"- (33)

Введем новые независимые переменные по формулам: Тогда уравнение (33) можно записать в виде

(34)

771 (1V? ¡1 сЬ2

где переменные разделены и к2 > 0 является постоянной разделения. (Выбор знака перед к2 соответствует мнимым показателям экспонент в уравнении синус -Гордона г^п = /т(е").)

Решая уравнения (34), получаем выражения для т и ц :

т(и) = Ъ cos ки + csin ки, fx(v) — 0 cos kv + 7 sin kv.

Используя (25), определяем постоянные интегрирования Ь, с, /3,7 :

(35)

дт дт

smzn - smz„_i = ——-Zn-i,v + (ába'

Q д ¿л

sinzn + Sin2„-1 = a-+ Д—(36b)

ozn~i oz„

Подставляя в (36a) выражение для m (35), получим

2 sin - cos - = -kbB sin ки cos kv + кф cos ки cos kv - klrysxnkusinkv + 2 2

+ key sin kv cos fcu. (37)

Этому уравнению можно удовлетворить, выбирая к - 1/2, су/2 - 4. Аналогичные значения констант интегрирования получаются при рассмотрении уравнения (36Ь). Полагая с = 2а, найдем 7 = 2/а и окончательные выражения для m и ц имеют вид:

m(u) = 2а sin-, /х(и) =-sin-, (38)

Теперь уравнения (28) запишутся в виде:

дг) дт) а

Иначе это можно записать как

дгп дгп-1 . гп + .

—- = —---Ь 2а бш---, (39а)

д( 2

дгп дгп-1 , 2 . гп %п-\ /опи\ Н—бш---. (оУЬ)

тА~~2~~ ;==а8т——■■ (40а)

= -эт---. (40Ь)

дг) \ 2 ) а 2

Итак, мы получили выражения (39), (40) для преобразования Бэклунда, отображающего уравнение синус-Гордона в себя.

3.4. Построение решений уравнения синус-Гордона методом преобразований Бэклунда

Соотношения (39), (40) позволяют из одного известного решения уравнения синус - Гордона строить другие решения. Положим п — 1 ч возьмем простейшее решение г0 = 0. Подставляя его в выражение (40), получим следующую систему уравнений:

= 2а эт^ $,21 =£ виф!

где д^тдт) равны соответственно д/д£ и д/дт/. Введем новые переменные:

л 1 . 1

и = а£ + -77, V — аЬ--г>.

а а

Тогда

=а(<9и + <9„), дп = -(ди-ду). Уравнения (41) запишутся теперь в виде

({ди + ду)г\ = гзт^!, \(Зи - ду)г\ = гвт^х.

Складывая и вычитая уравнения (42), получаем

\dvzx = 0.

Интегрирование уравнений (43) дает

7 = ехр + ^ + 5 ) '

где 6 — некоторая константа.

(41)

(42)

Используя соотношения (2), найдем решение уравнения синус-Гордона в виде кинка

zi = 4 arctg [exp (7(1 - х0 - vi))], (44)

где v = (i - a)/(¿ + а) — скорость кинка и 7 = (а+ \)/2 = (1 - v2)"1/2.

Зная решение типа 1-кинка, с помощью преобразований Бэклунда (40) можно построить 2-кинковые решения и т.д. Дальнейшее интегрирование можно также свести к алгебраическим операциям, используя так называемую теорему перестановочности Бианки.

Начнем с решения zq и построим два решения zx и z2, отличающиеся только выбором константы в (40) (а = ai для zi и а = а2 для z2). Из них можно получить третье решение 23. Предположим, что преобразования Бэклунда коммутируют. Тогда процедура построения решения г3 по известным решениям 21 и г2 схематически будет выглядеть следующим образом:

ai

Zq -► Z\

| 02 j^aj

ai

z2 -► z3

Аналитически это будет соответствовать четырем парам уравнений: . ÍOi-20)5 = 2a1sin!(zi +20), f(z3 - zi)( = 2a2sin¿(z3 + zi),

'\(21+20)r? = ^sini(za -2o), '\(«3 + «l)4= ¿Sini(23-2i).

í(22 - 20)^ = 2a2sin¿(z2+ 20), í(z3 - 22)4 = 2aisin¿(23 -fz2), ' \(Z2 + го)„ = ¿ sin\{z<i - 20), ' \(23 + za)4 = ~¡ sin ¿(23 - 22).

Условие коммутативности Бэклунд-преобразований соответственно по f и т? запишется в виде

Г2) + 1) = 4) + 3), \2) - 1) = 4) - 3).

Подставляя уравнения (45) и (46) в (47), получим соотношение

(47)

. (23 - So) ~ (21 ~ Z2) (23 - 2р) + (21 - 22)

ai sin-—.-= a2 sm---. (4o)

4 4

Отсюда, используя тригонометрическую формулу

sin(a ± 0) = sin a cos /3 ± sin /9 cos a, получим теорему перестановочности Бианки (тождество Бианки)

, 23-20 ^q. + a! 22-21 (49)

4 a2 — ai 4 В более общем виде (49) можно записать как

\ , W О)

/2п+1 -2П-Л д 02+^t ^IL-lilL., (50)

V 4 / a2 - ai 4

где zíi^ и z£2) — решения, полученные из z„_i одним преобразованием Бэклунда с константами ai и а2 соответственно.

Рис.2. Диаграмма Лэмба

Используя формулу (50), можно построить новое решение уравнения синус-

Гордона по уже известным трем его решениям гп-\,гп'> и ■ Эти три решения должны быть связаны процедурой преобразования Бэклунда, т.е. для построения решения гп+\ необходимо найти два качественно различных решения гп_! и гп непосредственно из преобразований Бэклунда.

Построение решений уравнения синус-Гордона с помощью преобразований Бэклунда иллюстрируется диаграммой Лэмба (рис. 2).

На каждом «этаже» диаграммы Лэмба располагаются качественно одинаковые решения — решения, отличающиеся лишь значениями входящих в них констант. Число верхних индексов в скобках равно количеству постоянных коэффициентов в решении и увеличивается на единицу с переходом на очередной верхний горизонтальный слой диаграммы.

Найдем двух-кинковые решения уравнения синус-Гордона. В качестве г0 по-

прежнему берем решение го = 0, в качестве — решение (44) :

,(!) -

4агс1§

ехр ( а^Н--т) + б!

01

в качестве — решение (44) с коэффициентами аг,^2

гр) =4 аг^

ехр а2£ Н--т] + ¿2

а2

Тогда получим

а.2 + а\ { ( 1 \ ( 1

-аг^ а2£ + — т) + <$2 - аг<^ а^ + —71 + 61

.о-2 — о- IV V 0-1 / \ <21

Применяя тригонометрическую формулу

18(а - /3) =

(51)

tgа-tg/3 Ц^а^/?

и используя выражение (2) для переменных £ и г?, запишем решение (51) в более компактной форме:

г= 4ак%

«2 + ^1 ( ехр 02 — ехр в\ V

а2-а1 \1 + ехр ехр 01/.

(52)

где

Э 1/01,2+01,2 ( 1/01,2 - 01,2 . , ,

?1,2 = -^- ( X - —-'-I + 61,2

1/01,2 + Ох,2

Вводя обозначения

VI, 2 =

1/а1,2 - 01,2

1/01,2 + 01,2'

71,2

1/01,2 + 01,2

получим

,(1.2) Х1

4aгctg

02 + О! ( ехр 72(х - у2г + ¿2) - ехр 71 {х - у11 + ¿1) .0.2 -0.1 VI + ехр7г(х — У2Ь + 62) ехр71(х — + 5])

(53)

Это решение описывает два движущихся со скоростями и г2 солитона.

Рассмотрим столкновение двух солитонов, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, т.е. положим «1 = —у2 — V, 61 = 52 = 0. Это приводит к условию, которому должны удовлетворять коэффициенты преобразования ах и а2 :

01Й2 = ±1.

Выбирая знак «+», получаем решение, описывающее столкновение кинка и анти-кинка:

Г1 вЬ

гаё - 4 аг^ —-- . (54)

[V сп7х ]

Выбирая знак «—», получаем решение, описывающее столкновение двух кинков:

зЬ7х'

гав = 4 аг^

сЬ7и4

(55)

При выборе знака «+» в выражении (53) замечаем, что коэффициенты преобразования й1 и а2 могут быть комплексно сопряженными. Имеем

й1 = а + г/3, 02 = а - ¿/3 и а2 + 0* = 1. Тогда бризерное решение уравнения синус-Гордона есть

а sta.pt'

гъ = 4 аг^

или

гъ = 4 аг^

/3 сЬах 1 вшуиЬ

у сЬ7Х .

(56)

где V - 0/а, 7 = а - (1 + и2)~1/2.

Итак, методом преобразований Бэклунда мы получили одно- и двухсолитонные решения уравнения синус-Гордона.

Литература

1. Новокшенов В. Ю. Введение в теорию солитонов. — Москва - Ижевск: рхд, 2002.

2. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.

3. Абловиц М., Сигир X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1988.

4. Френкель Я. И. Введение в теорию металлов. — 3-е издание. -- М.: Гос. издательство физ. - мат. литературы, 1958.

5. Скотт Э., Чу Ф., Мак-Лафлин Д. Солитон — новое понятие в прикладных науках // Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. — М.: Сов. радио, 1977.

6. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Д. Эйлбек, Д. Гиббон, X. Моррис. - М.: Мир, 1988.

7. Лэм Д. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983.

8. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — 2-е издание. — М.: Наука, 1990.

9. Маханьков В. Г., Рыбаков Ю. П., Санюк В. И. Модель Скирма и солитоны в физике адронов. Лекции для молодых ученых. — Дубна: ОИЯИ, 1989.

10. Санюк В. И. Топологические солитоны: классификация и Л^солитонные конфигурации. 1. Кинки, лэмпы, вихри и анионы // Вестник РУДН, сер. Физика. — № 3, вып. 1. - 1995. - С. 142-167.

11. Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. — М.: Издательство МГУ, 1990.

12. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1971. — С. 547.

13. Позняк Э. Г., Попов А. Г. Уравнение синус - Гордона: геометрия и физика // Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика». — Т. 6. — 1991.

14. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983.

UDC 539.12.01

Pseudospherical Surfaces and Sine-Gordon Equation V. I.Sanuyk, L. W. Khorunzhaya

Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklay str., Moscow, 117198, Russia

A detailed exposition of various aspects of Backlund transformations and their capacites for multisoliton construction to the sine-Gordon equation has been given on the basis of the well-known relationship between this equation and the pseudospherical surfaces theory.