CC BY
11
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 514.752.4; 517.95
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЗАИМОСВЯЗЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ БЭКЛУНДА С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ВЕКУА
И КОУЛА-ХОПФА
Д. В. Тихомиров
(.кафедра математики) E-mail: [email protected]
Проводится формализация преобразований Бэклунда для дифференциальных уравнений, основанная на локальном взаимном преобразовании соответствующих метрик. Устанавливается взаимосвязь преобразований Бэклунда с преобразованием Векуа и Коула-Хопфа.
Введение
В работе проводятся построения преобразований Бэклунда для известных уравнений математической физики, основанные на локальном взаимном преобразовании соответствующих метрик [1, 2]. Устанавливается взаимосвязь преобразований Бэклунда с преобразованием Векуа для локального решения эллиптического уравнения Лиувилля и преобразованием Коула-Хопфа, связывающего локальное решение уравнения Бюргерса с решением уравнения теплопроводности.
1. Псевдосферическая метрика общего вида
Рассмотрим метрику модели Клейна геометрии Лобачевского [31:
ds2 = ^(dx2 + dP).
(1)
Осуществим переход от переменных (х,Ь) к переменным (ж, по формулам
{х = и(х, £),
где и(х, у(х, — произвольные функции требуемой гладкости, удовлетворяющие условию ф 0, и(х,1) ф 0. Таким образом, в новых переменных выражение для метрики (1) принимает вид [21
_ (ихйх + щйг)2 + (ухйх + vtdt)2 и2 и2
Поскольку произвольная метрика гауссовой кривизны К = — 1 локально приводится к метрике плоскости Лобачевского [3] и гауссова кривизна инвариантна относительно замены переменных, то формула (2) локально представляет собой общий вид псевдосферической метрики (К = — 1).
2. Локальные преобразования Бэклунда для эллиптического уравнения Лиувилля
Рассмотрим метрику гауссовой кривизны К = = — 1, отвечающую эллиптическому уравнению Лиувилля АО = е20 [1]:
dsz = e2n(dxz + dtz).
(3)
Согласно предыдущему пункту, локальной заменой координат и(х, г»(ж, рассматриваемая метрика (3) приводится к виду (2):
1
<0 = +
и"
о20 _
1
= 72 К +Vt)'
В результате получим систему дифференциальных соотношений на неизвестные функции и(х,
«(М) [2]:
«1 + 4, = «? + VI
ихщ + УхУь = 0,
Р(ЩУ)
£>(М)
Путем алгебраических вычислений получим, что общим решением данной системы является пара функций, удовлетворяющая условиям Коши-Римана (их = г^, щ = или ух = щ, VI = —их) и ф 0, что в свою очередь приводит к выполнению уравнения Лапласа А и = 0.
С другой стороны, рассмотрим гармоническую функцию и(х, , удовлетворяющую уравнению Лапласа А и = 0. Из факта существования локально гармонической функции у(х, , сопряженной к и(х, , следует выполнение условий Коши-Римана (их = г^, щ = —ух), и, сравнивая далее метрики (2) и (3), получаем известное преобразование Векуа решения
уравнения Лапласа u(x,t) к решению уравнения Лиувилля 0(ж, t):
1 , и2
0(ж, t) = - In
ut
(4)
2
Соотношение (4) является общим локальным решением уравнения Лиувилля. Действительно, каждому решению уравнения Лапласа (их + щ ф 0) по формуле (4) соответствует некоторое решение уравнения Лиувилля; существование обратного отображения следует из существования локальной замены координат.
3. Общее локальное решение обобщенного эллиптического уравнения Лиувилля
Рассмотрим обобщенное уравнение Лиувилля
ДО = I
-2KÎI
где К = const ф 0.
Пусть 0(ж, t) — функция, удовлетворяющая уравнению АО = е^2КП, а Оо(и, у) — произвольное фиксированное частное решение рассматриваемого уравнения в переменных {и, v}. Рассмотрим далее две метрики:
dsj = e-2KÜ(dx2 + dt2), dsl = e-2KÜ0(du2 + dv2),
гауссовы кривизны которых совпадают и равны ненулевой константе К, присутствующей в обобщенном уравнении Лиувилля.
Произведем локальную замену переменных
{U = u(x,t) D(u v) / ,9
, д/ '¿ч ф 0, приводящую метрику as^
V = v(x, t) № ' к виду ds\ (существование замены переменных следует из соответствующей теоремы работы [3] и условия К = const). Сравнивая метрические коэффициенты, получаем систему
о = е-2КП°(ихщ + юхюг),
е-2КП = е-2КП°(и2 + у2),
общее решение которой относительно функций и(х, и у(х, поставляет пару функций, связанную условиями Коши-Римана (их = г^, щ = —ух или
ух = щ, VI = —их) и условием ^щщ ф 0, при этом функция и(х, будет удовлетворять уравнению Лапласа А и = 0. Проводя рассуждения аналогичные предыдущему пункту и выражая решение 0(ж, уравнения АО = е^2КП, получим:
1
0(ж, = О0(«(ж, ^,у(х, ¿)) - — 1п(«2 +
где функция и(х, удовлетворяет уравнению Лапласа.
Таким образом, общее локальное решение обобщенного уравнения Лиувилля выражается через
частное решение Оо и произвольное решение уравнения Лапласа.
1. Выберем для случая К < 0 частное решение в виде Оо (и, у) = 1П • Тогда общее ло-
кальное решение 0(ж, принимает вид преобразований Векуа:
О (x,t) =
■In
uz
2К ~ \ Ки2 2. Для случая К > 0 рассмотрим Оо (и, у) = = ^сЬ2 ^/К г^^ , что приводит к следующему выражению общего локального решения 0(ж, :
и%
Приведенные выше рассуждения относительно преобразований Бэклунда имеют отчетливый геометрический характер. Локальные преобразования координат сохраняют гауссову кривизну, изменяя лишь функциональный вид метрики, что и позволяет определить соответствующие преобразования Бэклунда.
Замечание. Данные рассуждения распространяются и на случай евклидовой плоскости (К = 0). Соответствующие метрики для реализации локальной замены координат здесь следует выбрать в виде
ds21 = e2n(dx2 + dt2), ds22 = e2n«{du2 + dv2),
и после аналогичных рассуждений получим одно из известных выражений преобразований Бэклунда для уравнения Лапласа:
1
0(ж, = О0(«(ж, ^,у(х, ¿)) + - 1п(«2 + «!), где Оо (и, у) — частное решение уравнения Лапласа.
4. Локальные преобразования Бэклунда для уравнения Бюргерса
Обратимся к псевдосферической метрике общего вида (2). Отвечающие данной метрике дифференциальные формы могут быть получены из известного выражения теории подвижного репера [4]
ds2 = (о?1)2 + (ш2)2, например в следующем виде:
Щ
ш = —dx -и
2 j ш = —dx
и
-dt,
и Щ
и
dt.
(5)
Известно, что дифференциальные формы, построенные по Л2-представлению [1] уравнения Бюргерса, имеют вид
1 Л , 1,
ш = Xdx + ——dt, £
w
Wx
W
to = -dx + [-=■ + — )dt.
Преобразуем метрику уравнения Бюргереа к общему виду (2), приравняв попарно дифференциальные формы (5) и (6). Получим следующую систему на функции и(х,Ь) и у(х,Ь):
их IV щ Ых
и 2' и 2
щ = А, Щ _ А
и и 2
ги
Т
(7)
Для того чтобы система (7) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы смешанные производные функций и(х, и у(х, были равны.
Из двух последних равенств системы (7) с учетом первого имеем:
юх = А«,
ги
(8)
VI = А и— = А их.
к ¿л
Из первых двух равенств (7):
ЩУО
ихл = — + —,
(\юх ги2\ и, ч (9)
Щх = их I — + — I + ~{пзхх + пзпзх).
Приравняем смешанные производные в (9), получим:
11 ('и)х Ь)2\
-{тг,-тхх-ттх) + — = их\— + —). (10)
Поскольку функция ги(ж, £) удовлетворяет уравнению Бюргереа, уравнение (10) примет вид
= их ( — + -4- 1 • (11)
щт
2 Л V 2 4
С учетом первого равенства (7) приведем соотношение (11) к виду
„2
Щ _ гих и ~ 2
ги
т
что совпадает со вторым равенством системы (7). Итак, условие совместности для функции и(х, ¿) выполнено.
Приравняем смешанные производные функции у(х, ¿) в системе (8):
Щ = ихх.
Таким образом, функция и(х, ¿) удовлетворяет уравнению теплопроводности.
Из первого уравнения системы (7) получим следующее выражение для решения уравнения Бюргереа через некоторое решение уравнения теплопроводности и(х, Ь):
2 их
ж (12)
го =
и
Рассматривая произвольное решение уравнения теплопроводности, путем прямой подстановки выражения (12) в уравнение Бюргереа получим, что формула (12) выражает локальное решение уравнения Бюргереа через некоторое решение уравнения теплопроводности. Данная формула известна как преобразование Коула-Хопфа для уравнения Бюргереа.
Литература
1. Позняк ЭТ., Попов А.Г. // Докл. РАН. 1993. 332, №4. С. 418.
2. Зададаев С.А. А2-представления уравнений математической физики и их некоторые приложения. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М„ 1999.
3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения: В 2 т. М., 1998.
4. КартанА. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М., 1971.
5. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М., 1988.
Поступила в редакцию 03.03.04
