Преобразования Бэклунда для системы уравнений в частных производных третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 4, 2017

удк 517.95 Редькина Т.В. [Redkina T.V.]

преобразования бэклунда

для системы уравнений в частных производных третьего порядка

Baclone transformation for a system of partial differential equations of the third order

Развиты идеи Клэрэна и осуществлено построение дифференциальных связей двух нелинейных систем в частных производных. Проведен анализ заданной системы уравнений третьего порядка. Определена общая структура преобразований Бэклунда в виде четырех дифференциальных равенств. Дифференциальные связи определяются так, что они дают возможность получить обе системы. Исходя из того, что исходная система линейна по старшей производной пространственной переменной и содержит только производную первого порядка по временной переменной, удалось в преобразованиях Бэклунда выделить в явном виде вторые производные по пространственной переменной и уточнить взаимосвязь между младшим производными. Оказалось, что такие связи определяются неоднозначно. Приведены два честных случая, позволяющих осуществить переход от одной системы к другой.

Clerain's ideas have been developed and the construction of differential relations of two nonlinear systems in partial derivatives has been realized. An analysis of a given system of equations of the third order is carried out. The general structure of the Backlund transformations is defined in the form of four differential equations. Differential couplings are defined so that they give the opportunity to get both systems. Proceeding from the fact that the initial system is linear in terms of the highest derivative of a spatial variable and contains only the first-order derivative of the time variable, it was possible in the Baklund transformations to explicitly select the second derivatives with respect to the spatial variable and to clarify the relationship between the lower derivatives. It turned out that such connections are determined ambiguously. There are two honest cases that allow you to make a transition from one system to another.

Ключевые слова: уравнения в частных производных, преобразования Бэклунда, точные решения нелинейных уравнений в частных производных, дифференциальные связи.

Key words: partial differential equations, Beck-Lund transformations, exact solutions of nonlinear partial differential equations, diffenrential relations.

Введение

В литературе, связанной с преобразованиями одного уравнения в другое особое место занимают дифференциальные связи. Говорят [2], что соотношение

Р(и,и,их,их,и1,и„...;х^) = 0

(или набор таких соотношений) отображает Е (и) = 0 в Б (и) = 0, если любое (локальное) решение уравнения Е (и) = 0 однозначно определяет некоторое (локальное) решение уравнения Б (и) = 0.

Примерами таких отношений могут служить преобразования Коши -Римана, Миуры, Коула и Хопфа [3, 4] и др. объединенные под более общим понятием - преобразования Бэклунда [1].

Набор соотношений, включающих {х, и (х, t)}, {X, Т, и (X, Т)} и производные и и и является преобразованием Бэклунда между Б (и, х, ?) и Е (и, х, ?), если:

1) преобразование Бэклунда является интегрируемым для и, если и только если Б (и) = 0;

2) преобразование Бэклунда является интегрируемым для и, если и только если Е (и) = 0;

3) по заданному и, такому, что Б (и) = 0, преобразование Бэклунда позволяет определить и с точностью до конечного числа констант, причем Е (и) = 0;

4) по заданному и, такому, что Е (и) = 0, преобразование Бэ-клунда позволяет определить и с точностью до конечного числа констант, причем Б (и) = 0.

Материалы и методы исследований

Клэрэном разработан метод построения преобразований Бэклунда более общего вида для уравнений второго порядка типа Мон-жа - Ампера

и и, их, и,) и^+^х, и и, их, и,) иа +/3(х,^и,их,и¡) иа+/А(х^,и,их, и)= 0.

Будем развивать идеи Клэрэна и попытаемся построить дифференциальные связи, преобразующие заданную систему двух уравнений на функции

и (х, ?), м> (х, ?) вида

Щ+и^-12//и™, -6иих =0, щ-2+ 6им/х =0, (1)

в некую, пока неизвестную систему двух уравнений на функции /(х, ?), г (х, ?) того же порядка.

Так как исходная система описывает связь двух функций от двух переменных х, t, то для задания перехода от одной системе к другой необходимо задать две пары, характеризующие дифференциальные преобразования по независимым переменным х и t. Исходя из того, что рассматриваемая система (1) по переменной х третьего порядка, а по переменной t - первого, а для построения (1) используется перекрестное дифференцирование, следует задать дифференциальные соотношения по переменной t - первого порядка, а по переменной х - второго порядка:

д2г дг

—^ = Р1{и,м>,/,г,их,кх,/х,гх), — = Щи,Т»,/,Г,их,\1>х,/х,Гх), дх ст

52/

3/.

(2)

—т = Р2(и,м>,/,г,их,мгх,/х,гх), — = Н2(и,ч>,/,г,их,м>х,/х,гх).

дхг

Ы

Для задания явного вида преобразования необходимо найти функции и Н1, Н2. Условие интегрируемости (равенство смешанных вторых производных) требует, чтобы функции (2) удовлетворяли соотношению

сГг д3г

а3/ _ а3/

дх2дг дгдх2' дх2дг дгдх1'

(3)

при этом все функции и, щ /, г, их, щх, /х, гх, зависят от х, t. Учитывая (2), получим

83г дК дК 8Е . дЕ

—т~ =— "/ +— +— +- ГхО

дх Зг ди дм 8/ дгх

8 г 8

ЗгЗх ди

8Н. 8Н, 8Н. ди дх\? дг

д

И+...+— 1 дг

ГдН, дН, дН, Л —-и +—-ИН-...+—1г

/-\ X /~\ X /■> X

ди дм> дг

(4а)

Гхх>

аналогично

53/ дР2

дх ди

дю

8/

- + ^ ++... +,

а^

дг

(4б)

а3/ = а

д(дх2 ди

а#, днг эя,

—-ил—?ж-к..+—-г

X X г\ XX

ди ОУ! огх у

а

ил..л—

дк

ГдНг дН7 дН7 Л —-ил—-м>+.Л—-г

ди дп

дг

г„-

Приравнивая правые части полученных равенств и используя (2) для исключения г, /, гхх, /хх, гх,, /,, окончательно получим условие совместности, которое должно привести к системе (1).

Система (1) имеет степенную нелинейность первого (и,, иххх, щ,, щххх) и второго порядка (щщх, иих, щхи), а каждое слагаемое (4) представляет собой произведение двух или трех сомножителей. Для того чтобы условие совместности (3) давало рассматриваемую систему (1) и в нем не возникало членов, степень которых выше второй необходимо положить, что функции Щ, ] = 1, 2 имеют линейную структуру относительно переменных и, их, щ, щх :

= (/>Г > Л > Гх )" + (./>, Л > Гх )их +

Н] = Нп(/,г,/х,гх)и + Н^(/,г,/х,гх)их + + Нл(/,г,/х,гх)м;+Н].А(/,г,/х,гх)м;х+Н].5(/,г,/х,гх).

Для составления условия совместности (4) при дифференцировании Е, по переменной t возникают слагаемые, имеющие сомножители их, wxt, которые отсутствуют в исходной системе (1) и не могут быть заменены или компенсированы, поэтому необходимо положить коэффициенты

^2(/,г,/х,гх) = 0, ^4(/,г,/х,гх) = 0. (6)

В результате условие совместности (3) примет вид

Ж дЕ, дК д2Нп дНп д2Нп дНп

Ы ' 'а ' а дх2 дх дх дх " ^

д2Нп дНп д2Нн ВН., д2Щ

1 ™ дх2 дх * " дх2 х дх " ' 4 ™ дх2

где

& д/

Я2 +

дЕ,

Л

дг

Я1 +

дЕ,

¡к

ар

л

дг

Я.

дНл дН

]к

дх

а/

дНл

дг

-п +

ВН., дН.к

дК

дНл

дх2 д/ 2 дг 1 д/х дгх д/2

а/, /У

дг

(8)

Вг2'Гх+'дГ2 11' дг2 м

+ 2

д Н,к 5 Я, 5 Я б Я, д%к д Н!к д/дг д/д/х 2 д/дгх 1 5г5гх * 1 дгд/х х 2 д/хдгх 2 1

Функции и (х, ?), ^ (х, ?) считаем известными и вид системы (7) определяется равенствами (1). Члены с множителями и, м>,, иххх, wxxx не могут возникнуть в ходе подстановок Е, Я,-, j = 1, 2 и их первых производных Е,х, Нх (могут возникнуть только вторые производные по х), поэтому, сравнивая коэффициенты для пары и, иххх и w/, wxxx в формулах (1) необходимо положить

- п '

(9)

д Нп

дг дх2

С учетом (9) равенство (7) примет вид и+Цх{и1+иххх)+

Щъ щ,

дг дх2

дЕ5 5 Я5

w+P3(wf-2'w )н——--

' т) дг дх2

Г ая, 2—- ( -2 — (дН^дЩ { Д-з+4—

ил- нп К и +2 У/Л

дх V дх2 X дху XX дх дх2 \ X 1 дх V ил)

у/

В системе (1) отсутствуют члены содержащие ихх (щхх)1, поэтому продифференцируем (10) по ихх (щхх), тогда учитывая

аЧ,

<Э/<Эи

]к

зл

^21-

д

53Я,

дх дм

= 0,

а3^

]к _

дх ди.

= 0,

д2Н

дхдиг

= 0,

г д2р.

дР,.к

дъН

¥х

дг 13' дх2длл>г.

■ 0. -

дх2д\\?„

Л д2н1к ■ 0, -

3*3™

получим связь, которая должна выполняться тождественно

82Р, д2р.

Р

д2Р<

дР,

— -згзм д1ди

м>+

—=Я-2—, <Э?Эи„ 5х

——и+——м>+ д1ды„ д1д\м„

д2Р5 дК

——=Нп+А—^ дtдw„ дх

или подставляя найденные производные

ЗГ7 \ /ОГ7 ЗГ7 л

дР, дР —Р+—Р

Я 3 Н дгх

\ Л

и+

=2

ая, ая,

Кд£ дгх у

а^5

а^

—1+—к+—Р, + — Р д/ дг х д/х 2 дгх \

аналогично для щхх:

(11)

ж

м+

Л 23 аг. 13

* У

2 1Ъ

дР^ _) дР,

дгх

а/71 Зг 1 а/, 2 дгх )

дР5 дР5

М/ + — Р +— Р -

аг 23 а 13

аг„ зд, _ зд

(12)

Так как в равенства входят функции и, щ, то коэффициенты при этих функциях также должны обнулиться, поэтому (11), (12) распадаются на системы у = 1, 2:

д/х 21 йг, 11 '

дРп дИп 8Рп 8Гп _'±р +_=2_¿Р +2_]—Р

ъг 21 , ^ 3/- 23 а. М3>

С \ 8/* дг,

5 Ж5 ЗЛ 21 дгх 11 "

9г

з/;

5с

1 Выражение, записанное в скобках, означает, что такие же действия не-

обходимо выполнить относительно функции результат проведен-

ных операций будет записан в скобках.

аря ар, ар,.3 ар,3

_+_¿/г -2_]—Е +2_

23 т а МЗ ^ Г.Г г21т^ Л М1>

С дг, д/х дгх

+_¿1/г -о

23 ^ ~ МЗ

дгг

Щ5 Щ5 1

-Р, "I--Р, = ~Нп+ 2

8/х 23 13 2 '3

дЕ, дЕ, 8Е.

8Е.

Ч3/Л * 8/х 25 5/; 15у

Чтобы первое, второе, четвертое и пятое равенства выполнялись тождественно положим, что Р;3 - не зависят от/х, гх.2 Третье и шестое равенства примут вид

дЕ, дЕ. —^ Р,н—— Рп+ Я., = 2

ал 21 а/-, 11 71

д/ х дгх

дРл Щ5 1

-Еп н--Р,— —Я,+2

ЭЛ дгх 13 2 73

ар, . ар

—/+—г д/х дг х

откуда находим

нп= 2

ар, г ар.

3/

дг

ар«

-/7 1 01

5Р«

а/. - 21 а 11

5Л агд

ар5 ар«

Я,, = 2——Р23 + 2——Р13 -4

,3 23 ^ 13

5Р,

ар,

а/

^ дг

(13)

(14)

В результате проведенного анализа функции (5) преобразовались к виду Р, = Р,,(/,ф + Р,3(/,г)^ + Р.5(/,г,Л,гД

М-^(/,гК+2^3(/,гК+ (15)

НГ

д/ х дг х

дЕ5 дЕ5

- /7__^ /7

3/- 21 3 М1

ал аг.

* У

+

эр5 ар5

2——Р,+2——Р3-4

, ал 23 дгх 13

а/ аг*

w+^гs(/,r,/x,rí).

Продолжим исследования равенства (10). Посмотрим, с каким коэффициентом в условие совместности (10) входит член с множителем иих - пункт (I) (пункт (II) - wwx, пункт (III) - uwx)3, для этого продифференцируем (10) дважды, сначала по переменной и (во (II) по w, в (III) по и), затем по их ((II), (III) по Wx).

(I). Частные производные определяются по формулам: д2Е}к дЕ}к дЕ]к дЕ]к

аёгГ ~ +~дг^Нп +~д(г(<Н21 + Н22х^ + ~дг~^Нп + Них^'

д% _ (дН22 дН2 Л

---21 ^-М1

дгдихди 8/х 82Н;, дН„

2* =_£р +_^р

■г21т ~ М1»

\ ->х

дгх

+

дг

Жир +М2 р

21 ^ - М1

\ vi >31

дхди д/х 8гх

дхдиди

Зг

дН1к р +_'1р

дх 8их 8/х 8гх

8 Н,,

= 0,

Э3Р,

А

о,

дх2дидиг

дх2дихди ' дхдиди^ ^

дъЕк дЕк дЕк дЕк дЕ д%

_]— =_^г -|__-Р-\__—Р +—Е +2_—

дх2ди д/ 21 дг 11 Э/х 21лг дгх 11х

(16)

д2Е1к

р р +2_^/гр +

8Г*

+2

з2р д% д% д2Ек "

_3—{р А--]±гр+_]—гЕ л-_—г Е +_—Е Е +_—ЕЕ

Ш 8/дгх 11 дгдгхх 11 "

дГЛ

После дифференцирования (10) в соотношении остаются следующие слагаемые

дъЕ.

д% дъН]Х д%

дъЕ,

+----¿^-2

ЙД, Э3Р

Л

2 2 дгдигди дгди, дх диг дгди^ди дгдиЗи дхди дх ди

(17)

где с учетом (15) производные (16) преобразуются к более простому виду

д%__д%_6^Р +дЕ±

дх ди дгдих д/

дг

д2Н]к _ д2Н]к _ дН]к ^ | дН]к ^ дхди дхдих д/х дгх

к = 1,3,

д _

дгдиди

= 0.

2 Здесь выбран самый простой вариант, возможны и другие связи между р1, рз. Выдвинутое предположение не является окончательным и может быть изменено в ходе построения преобразований, в случае если при последующих шагах возникнут несовместные системы или члены, от которых невозможно избавиться.

3 В ходе выполняемых действий получатся уравнения связанные между

собой, поэтому опишем построение этих уравнений отдельно.

В результате проведенного дифференцирования условия совместности получен коэффициент (17), который будет при множителе иих. Так как такой член присутствует в системе (1), то выражение (17) не должно быть тождественно равно нулю, а должно быть пропорционально ^ - коэффициенту с которыми входят члены и, + иххх. Коэффициент пропорциональности соответствует коэффициенту члена иих в системе (1) и равен -6. В итоге (17) после выполнения подстановки (13) дает уравнение

ôFn 2- Jl

з/ ¿г

d2Fi5

-2- Fn

Srxdfx 11

^21 +

d2F,

8Fn

2——--

dr dr

Л

IL р

2 Ml

: 2 F

(18)

(II). Аналогичные действия выполним относительно члена щщх. что приводит к

д2Р]к дР]к дР]к дР]к

~ ~а7~Н24+ны + -гг(Н2з+Н24х) + —— (Я13 +Них), д/ дг д/х дгх

SFjk

dtdwjdw dfx

23 т ~ M3

ydfx

dr

+

SFJk

dr

d,HJk_dHit

dxôw ôfx

а4я.

dHa

fil

ô3H,,

dr

fi _

= 0,

m» F F

ydfx 23 ôrx 13

03Я,„ 5Я,,

fi _'

d3F,

fi

dx dwrdw

ôxdwôw.

0,

dxdwdwx ' dx2dwx ôfx Ô4F,

dr

(19)

fi

dx dwdwr

0

d3Fik dFik dFik dFjk dFjk d2Fik d2Fik

_fi— =_fi.F -\__F ч__— F +2_J—F F + 2_]—FF +

&t23w df 23 dr 13 dfx 23x drx Пх df2 2 23 dr2 1 13

+2

rd2Fk d2Fik

8% d% 8%

\dfdfx " dfdrx " drdrxx 13 drdfxx " dfxdrx В соотношении (10) остаются следующие слагаемые

d2F„

dfxdrx

fi F E1

2 13

d3F„

FF,,

d3F<f

-w+-

ô2H, Ô3F., -2-J--2—'—

(20)

Ыдых дх2дюх дгды^&м дхдц> дх2д\у'

где с учетом (15) производные (19) преобразуются к более простому

виду

d2Ffl

d3Flt

dtdw,

2dF* dx2dw df

.. .. .... bf — = 2—= 2——F23 + 2——F,,, k = 1,3,

- - - 23 dr 13» » »

дхдм; дх2дм/х д/х

Шрг

дк

- Р мз»

д _

= 0.

Выражение (20) не должно быть тождественно равно нулю, а должно быть пропорционально Ра с коэффициентом пропорциональности соответствующим коэффициенту члена wwx в системе (1) и равен -12^. В итоге (20) после выполнения подстановки (14) дает уравнение

'д2Е5 д2Е5 дЕ3Л

К¥х дгМ

_¿±Р

2 13

Ч

дг'

дЕ, -2—— дг

Е13=2МЕГ

(21)

(III). Производные примут вид

33Р,

Д _ ^ Д

дгдюхди д/х

дН2Л 77 . дН2А р 21 - М1

5л

дк

+ -

¡к

дк

Жир

21 ^ о М1

5л

Зп

а2^

эгзи^ 53Я

Л-Нн--—Я,, н--—(Я23 + + + Я14х),

3/

эя;1

Зг

5Я,

д

а/,

54Я

Зг

дг

¡к _

дх дмди

= 0

34Р,

д__

Зх ЗыЗи*

= 0

(22)

21 ~ М1'

Э3Я

д

дхди д3Е

а/,

Зг

дхдид\\>„

= 0,

з3р

д

ЗхЗиЗи>

= 0,

ЗР ЗР ЗР ЗР 32Р 32К

_Д/г ч__^/гч__Д/г н__Д/г +2_'—ЕЕ + 2_>—ЕЕ +

.2а..- 21 + Ж 2и дг +

йх Зн д/

+2

^ ж .

После дифференцирования (10) остались следующие члены отличные от нуля

33Р, 32Р, 33ЯЛ

а/*

э2я

а ^

а/,

з2р

Зг. 32Р

д

л г2^ а3я,

-—м+-----+ -

;з

- _ дгд\\!„ди Зх Зи> 3*3и',3м дгд\\>гди дхди дх ди

33Р,5 32яз 32Р,3 -^—2 —--2-^

(23)

Уточняя вид производных с использованием ранее найденного вида (4.9), перепишем оставшиеся коэффициенты (23) и приравниваем к 6Р,3

дЕ, дЕ, дНп дНп дНп дНп дЕ, дЕ, 2-^-Е +2-^Е__}-Е__;-Е -2_]-Е -2_]-Е -2-^Е -2—^-Е =6Е

зг 23 а 13 а/. Г2Ъ а 13 ^ аг 21 ^ 2 М1 ^ а/- 21 ^ а 11 /'3>

5/ 5г 5/, дгх д/х дгх 5/ дг 7 или после подстановки ранее найденных функций (13), (14) получим уравнение:

х . .Ггр-4 -Гц дг

сГ

& 21 8гЖ у

?2Г

'д% д% л

_В р +_В р

21 2 М1

йг'

^13=2^-3. (24)

у

Теперь необходимо решить систему шести квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка (18), (21), (24), ] = 1, 2

ад,

5/

5г

\ / \2 д А

■I 21 - - т 1 " -

Зг

^■5 = 2^,,

л У

23 сг ТМЗ а

дк

\2

д/х

р -2 Г]5 Z

23 т ~ МЗ

а/

Зг

У

ЗД,

73

а/

ЗД

73

Зг

> ^ Я Я V

/Г А +

23 3/х 13 Зг,

* У

= 2^, (25)

5 4

В полученной системе (25) выделились слагаемые , , , которые зависят только от£ г, и операторы дифференцирования второго порядка по переменным £х, гх, для которых зависимость от £ г является параметрической. Очевидно, что система распадается на две подсистемы, отдельно определяющие зависимость от£, гх:

_3_

з/х

\2

' дГхУ

с

= 0,

\2

23 зу ТМЗ

^5=0,

р 8-+р а

;2з¥х 1здгх

Г 1 + д

21 ¥х дгх

75

= 0,

(26)

~-Лр+—Ир =р -Лр ч—£р=-и.р -Лр -1—]—Р=Р

^ 21 о-.М! Г71' ду 23 ^ Г13 5/ 21 Я- 11

дг

(27)

и зависимость от£ г:

д3±р +д3±г - дР« а/ 21 аг"

Как видно обе системы (26), (27) являются переопределенными, поэтому не будем искать здесь их решения (хотя они, возможно, существуют, этот вариант не был исследован).

Или вторая возможность, когда действие дифференциальных операторов второго порядка на функцию Ех5 дает выражение, зависящее только от £ г. Это возможно, если ¥х5 имеет квадратичную зависимость от£, гх, представим ее в виде:

В этом случае система (25) примет вид:

зр„ ^ ар,

п"

р —А. + р _ г р2 _р р ? _ с. р2 =р

21 ^Г- т'111 П1 21 -1 21-1 11л/2 л/З-1 11 /1»

а/

аг

, , ар,, ар.,

с р2 + р р V + V Р - Р _— - Р 7

ар.

ар.

.. ^ + р_и.

21 а/- 11 а

а/ аг

а/ " аг

^23 [2^1-^21 + Рц^уг] — р13[р21^у'2 + Ч'З^п] = 2Р/3-

(29)

Первое уравнение дает систему, связывающую две функции Рп, Р12

/ ^ \

а/ 11 аг

А

а/ 11 дг

Р -V Р2 - Р Р у -V Р2 = Р

21 ■'гиг! 21 11 22 Л23М1 ^21'

-^11 511^21 ^21-^11512 ^11-^11-

Выберем самые простейшие решения (такой подход является оправданным, так как преобразования Бэклунда по возможности должны иметь простой вид)

Р21 = 0, Рп = а - сотг,

(30)

тогда дополнительно надо положить 523 = 0, 513 = .

а

Оставшиеся равенства с учетом (30), (31) примут вид

(31)

521-^23 + ^22^23-^13 '

1р2 мз -

а

/ а

р -1 23 V

¥

С 1 5Р13 „

Р13 = ца, 2 а —^ = оу12Р23 ,

дГ (32)

Зг _ 2а 3'

' дf 13

Выберем по возможности более простые решения, для этого предположим что р13, Р23 зависят от/и не зависят от г, тогда

л, =0, 522 =---сотг.

(32)

Остается только два дифференциальных уравнения первого порядка

- "" щ

решения которых можно варьировать. Пусть

с р2--р2_р с р2_1р р _р ^з=0

■'и-' 23 1 13 1 23 а/. А4"' Л21-* 23 1 231 13 1 23 -,-Г :

а д] а о}

Д13 = О, 5П = /пае 2f, 521 =1 е* - Д23 .

(34)

В результате формулы (15) преобразуются к виду Рх=аи + а»е2//2 ~\г2х+Бх,

Н1={2гх-™15)и-аих+2{2аМе~//х+е/5ы^+Н15(/,г,/х,гх),

Я2 =[2/х- оу25 ]и + 2е1\5^--г\м> + 2е^х + Н25{/,г,/х,гх),

где для компактности записи обозначено

С/».

Вернемся к условию совместности (10)

д2н15_д2(нпи+н^)

а(и,+иххх) + -

Ы дх

дх

(35)

(36)

и выявим зависимость от ы2 (I) (м2 - этап (II), мы - этап (III)) для этого продифференцируем по ы2 (I) (на этапе (II) по м2, на этапе (III) по мы).

(I). В силу только линейной зависимости

дН

дх

относительно функции ы (8), условие (36) после дифферен-

цирования по ы2 упростится и примет следующий вид

№

д Н,

д1д(и2) дх2д(и2) д(и2)

Г52НД

дх2

и

+ -

д Н,

дх д{и )

IV» 7 = 1,2,

V У

где частные производные определяются в силу равенств

(37)

д1д(и2) дгх ' дх2д(и2) д

э3яд _а2д%к

дг

'д2К

д(и2)

дНл дЕ.к

8/х дгх

д2На

дх'

Ч У

дН

+а + (а2и + 2а2це2Г/2 - 2г2 + 2)

Щк г д2Щк д2Н,

—" -~гх+—~

д[дгх дгдгх д/хдгх

[д

Чк

дг2

тогда (37) примут вид дг2 дг ' дг2

д2Н25 = дя25 дг '

(38)

(II). Выполним второй пункт алгоритма, согласно (8) и учитывая линейный характер Н-, относительно функции м>, (36) после дифференцирования преобразуется к ви-

ду: дъН,

15__

_д%

дгд(м?) дх2д(м>2) 3(У) д2К

[ 25

д3н25 _ д

ч дх2

Гд2Нг.

дх2

-и»

^

д'Нп

-——и

дх1д(м>г)

в3н2] &2б(У)

а^ш2) дх2д(м>2) д(м>2) где производные определяются по формулам:

33Я

и - е^Н.

23'

А =с2/ д2Н*

т

(39)

5(м/2)

щк

дх2

м/

= е' ——+е'

У

з/,—:Г*+Ы

. а у

ая.

е2/и'+2е/

л2— /л+52

а

32Я,,

с

^д2Н д2Н]к

52Я„

тх х дгд/х * а/а 1

Выполнив преобразования, соотношения (38) примут вид

4а^15-е1/д^ = 2е2/ 15 д/2

д2Н2< 4 & а

&14

5/

+ 4а/«24,

4(2^25 - е:

2/ип25= ч^

14'

(40)

(III). Условие совместности (36) для _/ = 1, 2 дает систему:

а2р<

а3я

15_

дгд(им>) дх д(и\м) д(им>)

дх2

1-и +

д2К

25

а3я

25__

Гд2Н.

дгд(имг) дх д{и\\>) д(иж)

21

дх2

и + -

дх2

а^ ад:2

-е1 Н

ч п2Х,

(41)

где смешанные производные имеют следующие значения

дгд(ут)

<уа

д/х дх д(им>)

д{им>)

—г"

V дх

V У

/

=еу—-+е]

У

дНл

+

е2/>у+2е/

/

ГЭ2Цк

д(им>)

ч а

\

№

с

дп

д2Нл д2Нл

К+-

8/8//* дгд// д/х8гх 1

+

сЬс' /

Щ* , Л

а м+2а

1

, а

8гНл

7*

8г2

+2 а

'82Н]к „ 52Я. 52Я,

Чк

К+~

1Й1

8/8гх дгдгх д/хдгх

Используя ранее найденный вид коэффициентов и их зависимость от гх. г, /х,/, из (40) получим два новых дифференциальных уравнения:

2 + 4*и + 2 + 4 а2Ме~2/*25 = 0,

д/хдгх д/ 14 дг 25

„ <32Я„ „ _ , „

д/хдгх 24 5/ 25 Эг 15

(42)

Равенства (38), (40), (42) не содержат в явном виде переменные /х, гх, это позволяет предположить, что функции Нр5 = 0, Sjk = 0, р = 1, 2, к = 4, 5, 6. Выполним проверку, вернувшись к равенствам (36), где

д^-2а^/2Н2+2аИе^/хН2х-2гхНи, ^к = [2/Агх]Н2х-*/хН1х, от а от а а

^ = Щ, ^ = 4а^2-Л2], = 2Д2, ^ = /

дх ох дх ох а

д2Н,

дх 52Я

оЬс

сЬс

2Х'

дх а от ах

в результате подстановки имеем

+ О = + 12^/™^

Как видно равенства совпадают, поэтому найдено преобразование Бэклунда вида (35), где = 0, Н]5 =0, у = 1,2, к = 4,5,6.

Результаты исследований и их обсуждение

ТЕОРЕМА 1.

Нелинейные системы уравнений в частных производных (!) и

г, = + 6/ле2'Гх(а/„ -а/2 + /хгх),

/«=-/, (г„ «*/„] + 2/л1 - Ме-2/] +

(43)

связаны между собой преобразованиями Бэклунда вида:

г( = 2гхи - аих + Аа/ие ffxw.

1

гхх=аи + аце~ }/х —гх, а

// = 2Л" — еггхм>+2егу»х,

а 2

/хх=егм>+/2—/хгх, а

(44)

где и (х, ?), м> (х, ?), /(х, ?), г (х, ?) - дифференцируемые функции двух независимых переменных, а Ф 0, / - произвольные параметры отличные от нуля.

Доказательство. Дифференциальные связи (44) дают возможность получить обе системы. Получение системы (1) уже осуществлено выше при построении преобразований Бэклунда, в ходе анализа условия совместности (36) и подстановки функций (35).

Выполним преобразования, позволяющие в системе (44) избавиться от функций и (х, ?), ^ (х, ?), это легко сделать из верхней строки системы (44)

1

1

= е *

X X

а ,

тогда оставшиеся два уравнения после подстановки дают связь только между функциями/(х, ?), г (х, ?)

К=2 г

1 Л

а

„2 * а у

V 2

—Гх

а

а А V У

\

а

'3 ^ (2 -

а

/

V"

Выполним элементарные преобразования и получим систему (43). Можно получить и другой вид преобразований. Для этого в проделанной процедуре исследований вернемся к моменту, который определяет вид Ез, ] = 1, 2, т. е. к системе (33).

Считая, что Е23Ф 0 из второго находим Е13 и уравнение на функцию Е23:

13 2

/

ч

V.

5 ¥г--Л\\Г2Ъ -

21

3/.

■ 23

2 23 Э/

/

"21

\

V.

Д23 = ца,

для упрощения решения второго уравнения положим

= 0, .„=--,

(45)

при этом решение второго уравнения с точностью до постоянных интегрирования (они положены равными нулю) дает функции

р2ъ = Д13 = -а^йьЪ/.

(46)

В результате формулы (15) преобразуются к виду Р^аи-а^л^ф -1 л2 - ^ г] + ^,

(47)

Н2=[Ч~а{!25\и+2л[м

2

—1 а

где Нр5 - зависят только от/ г, /х, гх, и для компактности записи

обозначено

^ = ^14 С/»/* +"У15(/,ГК +"У1б(/''*), ^2 = ^(/»Л +52б(/,Г)-

(48)

Вернемся к условию совместности (10) и подставим новый вид функций Ер , Ну , у = 1, 2 (47), тогда

дг и

Ф, +иххх)~ а^исЬ/Н2м> - - 2мххх) + —^ —=

дt дх

: д2(Нпи + Нп™) _ + Е2оЪЛК - ,

ох

а2я„

дt дх

дх

(49)

Выявим зависимость от ы2 (I) (м2 - этап (II), мы - этап (III)) для этого продифференцируем (49) по ы2 (I) (на этапе (II) по м2, на этапе (III) по мы):

(I). В силу только линейной зависимости

рРНР

дх

относительно функции и, условие (49) после дифференци-

рования по и2 упростится и для у = 1, 2 примет следующий вид

Э2Р,

У"5

э3#.

Г =>2

дгд(и) дх2д{и) д(и)

дх2

и

Э3Я.

+ IV-

Р

дх2д(и2)

(50)

Выполняя подстановку известных коэффициентов (50) примет вид а_ ^

= 0.

(51)

дг2 дг ' дг2

(II). Выполним второй пункт алгоритма, тогда (49) преобразует ся к виду:

д2К« Э3Я,

дгд(м>2) дх2д(м>2)

д2К

Гд2Н„

д(м>2)

+

25

д3Н.

,,-у/ К* у

(г\2тт \

+ и -

25

д1д{м/2) дх2д(м?) д(м>2)

д%

дх2

+и

дх2д{ч?У дх2д(м?)'

(52)

Выполнив преобразования, соотношения примут вид

Ла^ЪГ^-Лс^^-а2^2/^--Аас^^-аз^) -

= 1б5148Ь/сЬ/'-8а515сЬ2/ + [4сЬ/-2а8Ь/] (53)

у дг дг

-(4сЪ/-2а*ЪЛ

дГ 8/ \

д/2 Г дК2

д[дг

4 ' (54)

- 2сЬ/[2сЬ/514 - авЬД5 ]. а

(III). Условие совместности (49) для у = 1, 2 дает систему:

№

дгд{гт) дх д(им?)

^ --а^сЪ/Н21 = ^

д(им?)

дгд(гт) дх д(ии>) д(им>)

дх2

V

Гд2Н2] дх2

-и +

-и + -

д2НГ:

дх2 д2Н1Ъ

-У)

дх2

(55)

Используя ранее найденный вид коэффициентов и их зависимость от гх, г, /х, /, получим два новых дифференциальных уравнения:

2 , г- л 1 2 1

а с\ф25 - 4асЬ/-^- + 2а2вЬ/- -

3/А дгх

= 8сЬД4 + 4а^сЬ/ - а2 ^вЬ/ - 2асЬ/^-4азЬ/515, Эг д/

(56)

м,

,д2К

Я?

„Эл

55.

№

дг

дг

3/

дг

Полученные равенства (51), (53), (54), (56) не содержат в явном виде переменные /х, гх, это позволяет предположить, что функции Н15, Н25 имеют зависимость от этих переменных не старше второго порядка по совокупности. Кроме этого из равенства д^25 = о следует, что Н25 имеет только линейную зависимость от гх. Используя (51) из перечисленной системы остается две пары уравнений

дг

/

сЪ/= 4 а

/

2сЬ/+

сЬ/.

515 +

+

_ 2 ~ Й5,, „„ . ¿к,

5а25„+2а - 24л 4 + 4 а

ч 25 5/ 14 дг

д Н,5 а 2 За ск5 , 1 ая15 , -- ^ Т 525--«14 -"Г1 + "V"Г5"'+ Т-ГГ + '

4 а 4

2 Э/

(57)

(58)

8а525-2а5258Ь2/- 4сЬ2/^^+а28Ь2/^_5=2сЬ/

ЙУ.

-2азЬ/

, з/ 7 а/ ,

, 3/ 3/ ,

(59)

+4а—— вЬ/сЬ/-—2сЬ/[2сЬД4- азЬ/у. Зг а

а2я„.

дч

3/а дг " "

3/

Как видно из оставшихся равенств, ранее неизвестные функции можно положить равными нулю при условии, что условие совместности (49) не будет содержать членов линейных относительно м, ых, м>, мх. Выполним проверку, подставим в (49)

5дС/» = 0, н„(/,г,/х,гх) = 0, 7 = 1,2, к = 4,5,6,

(61)

и найдем необходимые производные, тогда система (49) упростится и примет вид

+ «я« - 6иих - ч/М/О, - 2>0 = 6у[м*1фхи + 12/^wcw,

^ _ + бим^ = 0.

Из полученных равенств сразу же следует система (1), поэтому предположения (61) остаются в силе. Искомые функции (47) приобрели окончательный вид:

Р1 = аи ~-гх,

4 а

(62)

Я, = 2гхи - аих + 2^[/й (а/хсЪ/ + 2гхяЪ/) ^ - 2а^[ц&\фнх,

Н2=2/хи-ф(-гхсУ + 2/№^+фс)ф,х. \а )

ТЕОРЕМА 2.

Нелинейные системы уравнений в частных производных (!) и

/, = (63)

связаны между собой преобразованиями Бэклунда вида:

гхх = аи---г2,

4 а

/» = 2^сЬ/—/Л, (б4)

а (64)

г( - 2гхи - аих + 2д//7(а/хсЪ/ + 2гх^\\[)уе- ,

Я .

где и (х, ?), м> (х, ?),/(х, ?), г (х, ?) - дифференцируемые функции двух независимых переменных, а Ф 0, / > 0 - произвольные параметры отличные от нуля.

I, = 2/> - 4-у/// - /;сЬ/ + 2/>Ь/ IV+

Выводы

В статье развит метод Клэрэна и осуществлено построение дифференциальных связей двух нелинейных систем в частных производных:

1. Проведен анализ нелинейной системы уравнений третьего порядка.

2. Определена общая структура преобразований Бэклунда.

3. Приведены два честных случая, позволяющих осуществить переход от одной системы к другой.

Библиографический список

1. Рыбников А. К. Связности Бэклунда и отображения Бэклунда, соответствующие эволюционным уравнениям второго порядка / А.К. Рыбников, К.В. Семенов // Известия высших учебных заведений. Математика. 2004. № 5. С. 52-68.

2. Лэм Д.Л. Введение в теорию солитонов / Д.Л. Лэм. М.: Мир, 1983. 294 с.

3. Miura R. M. Conservation laws for the fully nonlinear long-wave equations / R. M. Miura // Stud. Appl. Math. 1974. V. 53. P. 45-56.

4. Miura R.M. Korteweg-de Vries equation and generalizations II. Existence of conservation laws and constants of motion / R.M. Miura, C.S Gardner, M.D. Kruskal // Journal of Mathematical Physics. V. 9. 1968. P. 1204-1209.

5. Павлов М.В. Уравнение Буссинеска и преобразования типа Ми-уры / М.В. Павлов // Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10. № 1. С. 175-182.

6. Рыбников А.К. Отображения Бэклунда и преобразования Ли-Бэклунда как дифференциально-геометрические структуры // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. № 1. С. 135-150.

References

1. Rybnikov A. K. Svyaznosti Behklunda i otobrazheniya Behklunda, sootvet-stvuyushchie ehvolyucionnym uravneniyam vtorogo pory-adka (Backlund connectives and Backlund maps corresponding to second-order evolution equations) / A.K. Rybnikov, K.V. Semenov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Matematika. 2004. № 5. S. 52-68.

2. Lehm D.L. Vvedenie v teoriyu solitonov (Introduction to the theory of solitons) / D.L. Lehm. M.: Mir, 1983. 294 s.

3. Miura, R. M., Conservation laws for the fully nonlinear long-wave equations (R. M. Miura, Stud. Appl. Math. 1974. V. 53. P. 45-56.

4. Miura R.M. Korteweg-de Vries equation and generalizations II. Existence of conservation laws and constants of motion. Miura, S.S. Gardner, M.D. Kruskal // Journal of Mathematical Physics. V. 9. 1968. P. 1204-1209.

5. Pavlov M.V. Uravnenie Bussineska i preobrazovaniya tipa Miury / M.V. Pavlov (Boussinesq equation and Miura type transformations) // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 2004. T. 10. № 1. S. 175-182.

6. Rybnikov A.K. Otobrazheniya Behklunda i preobrazovaniya Li-Behklunda kak differencial'no-geometricheskie struktury (Backlund mappings and Li-Backlund transformations as differential-geometric structures) // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 2010. T. 16. № 1. S. 135-150.