Псевдориманова метрика на многообразии приложенных ковекторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2024

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 89

Научная статья

УДК 514.764.2 MSC: 53B05

doi: 10.17223/19988621/89/2

Псевдориманова метрика на многообразии приложенных ковекторов

Михаил Степанович Бухтяк

Томский государственный университет, Томск, Россия, [email protected]

Аннотация. На основе трехмерного аффинного пространства A3 строится шестимерное точечно-векторное пространство £6, точка которого - упорядоченная пара точки из A3 и ковектора, а вектор - упорядоченная пара из вектора и ковектора. В Еб имеется псевдоевклидова метрика сигнатуры (3,3). Решается задача об отыскании всех аффинно-полуинвариантных псевдоримановых метрик в касательном расслоении данного пространства. Показано, что отыскание полуинвариантных метрик приводит к нахождению инвариантных метрик, и таких метрик имеется однопараметрическое семейство, включающее как тривиальный случай и псевдоевклидову метрику. Для указанного семейства метрик построена связность Леви-Чивита и дано описание геодезических линий этой связности в общем случае.

Ключевые слова: аффинное пространство, точечно-векторное пространство, ковектор, псевдоевкдидова метрика, псевдориманова метрика, связность Леви-Чивита, геодезические линии

Для цитирования: Бухтяк М.С. Псевдориманова метрика на многообразии приложенных ковекторов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 89. С. 17-31. doi: 10.17223/19988621/89/2

Original article

Pseudo-Riemannian metrics on a variety of applied covectors

Mikhail S. Bukhtyak

Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation, [email protected]

Abstract. Based on the three-dimensional affine space A3, a six-dimensional point-vector space Ев is constructed, where its point is an ordered pair consisting of a point from A3 and a covector, and its vector is an ordered pair consisting of a vector and a covector. There is a pseudo-Euclidean metrics of signature in E6 (3,3). The problem of finding all affine semi-invariant pseudo-Riemannian metrics in the tangent fibration of a given space is solved. It is shown that finding semi-invariant metrics leads to finding invariant metrics, and there is a one-parameter family of such metrics (including the pseudo-Euclidean metrics as the trivial case). For the given family of metrics, the Levi-Civita connection is constructed, and a description of geodesic lines of this connection in the general case is given.

© М.С. Бухтяк, 2024

Keywords: affine space, point-vector space, covector, pseudo-Euclidean metrics, pseudo-Riemannian metrics, Levi-Civita connection, geodesic lines

For citation: Bukhtyak, M.S. (2024) Pseudo-Riemannian metrics on a variety of applied covec-tors. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 89. pp. 17-31. doi: 10.17223/19988621/89/2

Вступительные замечания

Понятие инварианта - одно из центральных в различных разделах математики и физики. Отметим, что в разных контекстах проявляются смысловые отличия. Так, в [1] по существу определена геометрия как теория инвариантов некоторой группы преобразований пространства. В [2] помещено исследование (и обзор) инвариантов групп, приводящих к геометриям в смысле Клейна. Обзорное изложение классической (на 1960-е гг.) теории инвариантов - в [3]. Инвариантность как групповая симметрия существенно используется в [4].

Пусть в некотором пространстве задана геометрия некоторой группы Г, то есть система S объектов и отношений, инвариантных относительно этой группы. Если задать некий геометрический образ, допускающий описание в рамках системы S, то его Г-инвариантность не нуждается в отдельном подтверждении. Так, отношение Р между фигурами точечно-векторного пространства, описываемое в терминах коллинеарности и простого отношения коллинеарной тройки точек, заведомо инвариантно относительно полной аффинной группы. Имея это в виду, говорят, что отношение Р «имеет геометрический смысл». Пример построения геометрической теории на этой основе можно видеть в [5].

Тензорное исчисление располагает удобным аппаратом для построения инвариантов (относительно допустимых замен координат), например полная свертка.

Исчисление внешних дифференциальных форм (метод внешних форм Карта-на) [6] есть в значительной своей части теория совместности систем пфаффовых уравнений. В соединении с методом подвижного репера оно позволяет строить (как правило) канонический репер геометрического образа, а элементы такого репера выражаются через инварианты данного образа. Неканонизированный (не прошедший специализацию до конца) репер зависит от параметров, задающих исследуемый образ (т.е. главных параметров), и от тех, которые управляют смещением репера при фиксированных главных параметрах (так называемые вторичные параметры). Метод Картана позволяет оценить влияние вторичных параметров, что способствует отысканию инвариантных либо относительно инвариантных величин. Примеры имеются, например, в [6-8].

В данной работе строится точечно-векторное пространство [9] приложенных ковекторов. Это пространство естественным образом наделяется структурой дифференцируемого многообразия. Решается вопрос о нетривиальной псевдоевклидовой метрике. Строится связность Леви-Чивита и интегрируются уравнения геодезических. Указанное пространство построено подобно другим пространствам, рассмотренным автором [10-12].

Существенную роль в конструкциях данной статьи играют метод подвижного репера и метод внешних форм Картана. Все функции предполагаются достаточно гладкими.

1. Определение пространства E6

Рассмотрим трехмерное аффинное пространство A3, U - его точечное множество, V - пространство векторов в A3 с базисом e = (e, ё2, ё,,) и V* - сопряженное ему пространство ковекторов с базисом e" = (e1,e2,e3), дуальным для базиса е. Пусть R - репер в A3:

R = ( M, e, e, e ).

GA(3) - полная аффинная группа, действующая в пространстве A3. Если g £ GA(3), то

g ( M ) = M + a'ei, g ( e ) = = Ae, g( ) = e, = A e. Кроме того, рассмотрим следующие объекты:

U6 = U xV *

(элементами множества U6 являются, таким образом, упорядоченные пары вида

( M, v ), где M e U , v e V * ) и V 8 V *.

Рассмотрим далее отображение Y : U6 x U6 ^ V 8 V*, заданное следующим правилом: если x = (A, v) e U6 и y = (B, и) e U6, то

x, y) = (AB, и - v ).

Примем для x, y) обозначение xy . Без труда проверяется, что тройка (U6 ,V © V*, y) удовлетворяет следующим двум аксиомам:

1. Для каждого элемента x e U6 и каждого вектора â e V ©V найдется единственный элемент y e U такой, что xy = â.

2. Если x, y , z принадлежат U6, то xy + yz = xz .

Следовательно, построенная нами структура (U6, V © V3', y) является 6-мерным

точечно-векторным пространством [9].

Определим действие группы GA(3) на U6 и на V © V следующими правилами. Если (A, v) eU6, (a,b) e (V ©V*) , то

g (A, v) = ((gA, gv)), g(a, b) = (ga, gb ). (1)

Заметим, что действие g на U есть параллельный перенос, а действие g на (V ©V ) - невырожденное линейное преобразование. Это верно и для действия g на v.

Обозначим (i = 1,2) проекцию множества U6 на его i -ю компоненту. Соответственно, л* - проекция прямой суммы V © V на i -ю компоненту. Из (1) вытекает коммутативность следующих диаграмм:

U ——^ u U6 712 > V* V©V' ——^ V g ^ ^ g, g ^ ^ g , g ^ ^ g,

и -> и и -> v V ©V —^ V

6 Л 6 Л я

V©V* - > V' g ^ ^ g

V ©V * -^ V'

%2

Репер в этом пространстве зададим объектом

Я = (х, ^, е2 , г3, г1, г2, г3), (2)

где

х = (М, е3), гг = (£,0), г' = (0,£). (3)

Определение. Построенное нами выше шестимерное точечно-векторное пространство, на котором определено действие группы G преобразований пространства Аз (формулами (1)), называется пространством Е6.

Заметим, что действие группы ^4(3) не порождает в пространстве Е6 действие подгруппы полной аффинной группы шестимерного точечно-векторного пространства, поскольку действие группы ^4(3) на начало репера не есть параллельный перенос. Это объясняет, почему Е6 названо точечно--векторным пространством (а не аффинным).

Запишем формулы преобразования репера.

х' = (М, е3)' = (М + а%, А3£ + А23е2 + А33е3), г,, = А/г., г' = А'г1. Матрица преобразования базиса имеет вид:

f A 4 A3 0 0 о 1

4 4 A3 0 0 0

A] A3 A3 0 0 0

0 0 0 A3 A] A31'

0 0 0 A]2' A22 A3'

,0 0 0 A3 A3 A3'J

Для вектора а = (а, Ь) е (V ©V*) определяем скалярный квадрат правилом

а2 =< а, Ь >= а\ + а2Ь2 + а3Ь3. (4)

Ясно, что тем самым мы фиксируем в Е6 псевдоевклидову метрику сигнатуры (3,3).

2. Подвижной репер в пространстве Еб

В пространстве А3 подвижной репер \М, £, ё2, £ } имеет деривационные формулы

аМ = ю%, ^ = ю (', 1 = 1,2,3), (5)

где - формы Пфаффа [6], подчиненные уравнениям структуры

аю' = ю' лю^, аю1 = юк лю^ (', 1,к = 1,2,3) . (6)

в пространстве Еб рассматриваем репер (2),

Я = (х,г,е2,г3,г1,г2,г3) , (7)

элементы которого определены в (3).

Поскольку для векторов пространства Е6 операции определены покомпонентно, то деривационные формулы подвижного репера (7) имеют (в силу (5)) вид:

йх = ю"г, - ю3е',

йг{ = ю1 г], йг' = -ю"г1.

Базовая форма пространства Е6, рассматриваемого как дифференцируемое многообразие, есть матричнозначная форма

9 = (ю1, ю2, ю3. Слоевая форма имеет вид:

-®3,-®3,-®3) = (ф1,ф2,ф3,ф4,ф5,ф6,) •

(8)

© =

ю1 ю2 0 0 0

ю1 ю2 ю3 0 0 0

ю^ ю\ ®3 0 0 0

0 0 0 -ю1 -ю1

0 0 0 -®2 -®2 -ю

0 0 0 -®3 -ю3 -ю

(9)

Поскольку пространство Е6 точечно-векторное, то базовая форма 9 и слоевая форма © определяют на нашем пространстве локально плоскую аффинную связность [17], что, впрочем, подтверждается и непосредственным вычислением с использованием (6)-(9):

йЗ-Зл© = 0, й © - © л © = 0 • Псевдоевклидова метрика (4) индуцирует инфинитезимальную метрику

ds2 йМ,йв_3 >= -(ю 1ю3 +ю2ю3 +ю3ю3) • (10)

Матрица соответствующей квадратичной дифференциальной формы имеет вид:

ё = -

0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 -1 0

1 0 0 0 0 0 -1

2 -1 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 0

(11)

Метрика (10) - псевдоевклидова метрика кокасательного пространства, ее сигнатура (3,3). Без труда проверяется, что обнаруженная нами связность V пространства Е6 является связностью Леви-Чивита для инфинитезимальной метрики (10). В самом деле, из (9) и (11) видно, что

Vg = йё-0ё-(0ё)Т = 0 • Пространство Е6 со связностью V есть плоское пространство [14]. Ниже мы построим на Е6 1-семейство инфинитезимальных метрик псевдориманова типа (с -параметр семейства), для которых связность Леви-Чивита при с ф 0 уже не плоская, а при с = 0 получаем метрику (10).

3. Нетривиальная псевдориманова метрика на E6

Построенная выше инфинитезимальная квадратичная метрика является в очевидном смысле тривиальной, поскольку истолковывается как стандартная псевдоевклидова метрика (4), перенесенная в кокасательное пространство. В этой связи естественным выглядит вопрос о том, какие вообще квадратичные формы от базовых пфаффовых форм (8) инвариантны для группы, действующей в пространстве Еб. Это задача аналогична задаче, поставленной и решенной в [15]. В указанной статье речь шла о полуинвариантных однородных полиномах второго порядка от базовых форм. Здесь мы ставим ту же самую задачу. Неожиданно окажется, что найденное семейство решений не исчерпывается (10), а несколько шире.

Вторичные формы [6] для подвижного репера определяются в нашем случае формулами

п{ = ю{ . , (',} = 1,2,3).

' ' ю = о, Ю3 = о ^ ' ' >

Таким образом, смещением репера при фиксированном элементе управляют формы

Р = (л[, п\, < л^ п\, п2) = (X1, X2, X3, X4, X5, X6). (12)

Матрица вторичных форм

П =

о о -л!

о о -л:

оооо

о

о о о

-л -л

о

V /

Теорема 1. Пространство Еб допускает однопараметрическое семейство ОЛ(3) -полуинвариантных невырожденных квадратичных дифференциальных форм с постоянными коэффициентами.

Доказательство. Среди квадратичных форм

т = ^у Ф ', (', ] = 1,...,б) (13)

с постоянными коэффициентами найдем те, которые полуинвариантны для группы преобразований, определяемой формами (12) и имеют максимальный ранг. Используя матрицу коэффициентов

ь=( а), (14)

запишем условие относительной инвариантности искомого полинома в виде:

Т5(Ь) = 8Ь-ПЬ-(ПЬ)Т = 2Ь . Множитель при Ь есть линейная комбинация вторичных форм:

2 = хX', (' = 1,...,б) . С учетом постоянства коэффициентов запишем условие (15)

ПЬ + (ПЬ)Г +ЕЬ = 0.

(15)

(16) (17)

-л

2

Бухтяк М.С. Псевдориманова метрика на многообразии приложенных ковекторов Матричное уравнение (17), записанное покомпонентно, дает систему уравнений

2л:[ап + зл^ + (xл1 + X+ X+ X+ xsnl + X)^ = 0 , л^^ + + л1 au + + ( Xл1 + X л2 + X лз + Xл2 + Xл2 + Xл2 ) a2 = 0, л^,, + л,2^ + лз a,, + л,2а 2 + ( x1л1 + x2л2 + x^3 + X^2 + x5л2 + x6л2 ) a13 = 0, ( X л| + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a14 = 0,

2 1 1/11 1 222 л^^ - л2a15 -л3a16 + 1 Xл1 + Xл2 + Xл3 + Xл1 + Xл9 + xл, | a

1 2 2 2 2 л a15 a25 — л a4 — л a 5 — л ^ +

2

+ ( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a15 = 0, л^ + л^б + ( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a16 = 0, л^ +л2^ +л1 au +л2^ +( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a12 = 0,

2л1 a12 + 2л2^ +(Xл1 + Xл1 + Xл1 + Xл2 + Xл2 + Xл2 ) a22 = 0 , л1 a13 + л!^ + л1 a12 +( X л1 + X л1 + X л1 + хл2 + X л2 + X л2 ) a23 = 0,

л1 a14 +л2^ — л^^ — л1 a25 — л^^ +( X л1 + X л1 + X л1 + Xл2 + X л2 + X лз ) a24 = 0 л1 a15 — л2^ — л^^ +( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X лз ) a25 = 0, л1 a16 +л2^ +( X л1 + X л1 + Xл2 + x^2 + Xл2 + X лз ) a26 = 0, л^ +л2^ +л1 au +л2^ +( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a13 = 0, л1,, a13 + л^з + л1 a12 +л2^ +( X л| + X л1 + X л1 + хл2 + X л2 + X лз ) a23 = 0, 2л1^ + 2л2^ + ( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a33 = 0, л!^ + л^^ — л1^ — л1 a35 — л1^ +( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a34 = 0 л1 a15 +л2^ — л2^ — л^зз — л2^ +( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a35 = 0 л1 a16 + л^^ + ( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a36 = 0, л2^ — л1, a15 — л1 a16 +( X л| + X л1 + xл2 + хл? + X л2 + X лз ) aM = 0, л1 a14 +л2^ — л^^ — л1 a25 — л^^ +( X л| + X л1 + x л1 + xл2 + X л2 + X л2 ) a24 = 0 + — л}^4 — л1 a35 — +( X л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a34 = 0 —2л1^ — 2л1 a45 — 2л1^ + ( x л1 + X л1 + x^1 + x^2 + X л2 + X л2 ) a44 = 0,

(18)

^ a45 — зл^^ + ( x1 л1 + x2 л1 + x3л2 + x^2 + x5 л2 + x6 л2 ) aЛ,

1112 2 2 —^a45 -л2a55 —л3a56 — ^a44 —л2a45 —л3a46 +

+ ( x л1 + X л1 + X л1 + X лз + X л2 + X лз ) a45 = 0, —л1^ — л1 a56 — л1^ +(x л1 + x л1 + xл1 + x^2 + ^лз + Xл2 ) a46 = 0 , л^ +л2^ — л2^ — л^^ — л^^ +( x л1 + x л1, + x л1 + X лз + X л2 + X лз ) a15 = 0 . л1 a15 — л2^ — л^^ +( x л1 + X л1 + X л1 + X л2 + X л2 + X л2 ) a25 = 0,

П3 a 5 + Лза25 — — — ^Аб + (Хя + Х Л2 + Х ПЗ + Х ^f + Х5 Я + Х ПЗ )Я35 = 0

3""3

2 а

2 a45

х2 a

l3 a46

2

+ ( х я + Х Я + Х Я + Х n2 + Х Я + Х Я) a45 = 0, —— — + ( х я + Х Я + Х Я + Х Я + Х Я + Х Я) a55 = 0,

—na* — + ( х я+х Я+Х Я+Х Я + Х Я+Х Я) a56 = о,

+ х Я + Х Я + Х Я + Х Я + Х Я) ae = о, + x2n2 + x3n, + х4^2 + х5Я + х6^2 ) a26 = 0,

2) a36 = 0,

— a56 — Я^ + (ХЯ + ХЯ + ХЯ + ХЯ + ХЯ + ХЯ) a46 = 0 ,

( х Я + Х Я + ХЯ + ХЯ + ХЯ + ХЯ) a56 = 0,

n^ + nj2a26 + ( х n

-( Хз -( Х1

1 2 i л2a16 + n2a26 + (x2n

ni a,, +( х n

2 2 2/! 2 2 2 2 2 \ —n,^ — П2^ — na, +(хn, + хя, + xn, + x.n, + xn, + xП2)a,,

(XЯ + XЯ + XЯ + XЯ + XЯ + XЯ) ^ = 0 •

Уравнения (18) не должны налагать ограничений на вторичные формы к{. Следовательно, все (приведенные) коэффициенты при этих формах должны быть нулями. Это приводит к 216 уравнениям на х и ^. Выписывать их нет необходимости. Заметим, что допущение X ^ 0 имеет следствием

Я14 = а22 = Я23 = а25 = а26 = Я33 = Я35 = Я36 = Я55 = Я56 = ®66 = 0 ,

что противоречит невырожденности матрицы (14). Таким образом, X = 0 . Подставив в (18), заключаем, что

а12 = а13 = а15 = а16 = а24 = Я34 = а45 = Я46 = 0 •

Продолжая этот анализ (для существенно упростившейся системы (18)) мы приходим к результату

X = 0, (г = 1,2,...,6),

и матрица искомого полинома (определенного с точностью до постоянного коэффициента) имеет вид:

g =

f 0 0 0 —2 0 01

0 0 0 0 —2 0

0 0 c 0 0 —2

0 0 0 0 0

0 —2 0 0 0 0

V 0 0 —2 0 0 0,

(19)

где с - произвольная вещественная константа. ■

Сигнатура квадратичной формы (13) при любом с равна (3,3). Геометрический смысл (19) таков: если х = (м,e3) , то для инфинитезимальной метрики, заданной тензором (19), имеем

dx =—2roiro,. +(ю

(«3 )2 = 2

< dM, de > + < dM, e >

(20)

45

2 55

3 56

2 44

Отметим и никак не очевидный факт, что в разложении (16) все коэффициенты хг оказались (с необходимостью) нулями. Это означает, что полученное 1-семейство квадратичных форм не только полуинвариантно, но инвариантно. Полученный результат сильнее, нежели анонсированный в формулировке теоремы.

4. Связность Леви-Чивита в пространстве Еб

Действуя обычным путем [7, 16], для метрики (20) находим матрицу связности Леви-Чивита

(

0 =

Л

2

о2 с

2 С

ю, +— ю 22

с

3

ю, + — ю ю, +—ю ю, + сю

3

2

2

—ю, 21

-ю,--ю

12

2

-ю

0

0

с3

— ю, 22

-ю1

-ю, —ю

22

-ю3

С 3

—ю,

С2ю3 + сю3

1с -ю, —ю 32

-ю, —ю 32

-сю3 -ю3 у

Разность матриц 0-0 есть матрица, отвечающая тензору аффинной деформации [17]:

(

0-0 =

с

—ю 2

0

с

—ю 2

с

,2

—ю —ю сю 22

0 0 с 3 —ю, 2

0 0 с 3 2 2

с 3 —ю, 21 с3 —ю,, 22 23 сю + сю

с 3 —ю3 2 0 с 1 —ю 2

0 с 3 —ю 2 с2 —ю 2

0 0 -сю3

Тензор аффинной деформации нулевой при с = 0, что вполне ожидаемо. Отметим, что связность Леви-Чивита при с ф 0 имеет ненулевую кривизну.

5. Геодезические линии связности Леви-Чивита

Теорема 2. Геодезическая линия связности Леви-Чивита в общем случае есть 1-семейство вида (М, V ) , где траектория точки М есть (локально) прямая, а 1-семейство ковекторов параллельно двумерному линейному подпространству в V *.

ю

ю

—ю

ю

с

0

с

0

0

0

Доказательство. Поскольку на дифференцируемом многообразии Еб базовая форма $ и слоевая форма © определяют аффинную связность, то уравнения геодезических имеют [7] вид:

¿ф' + ф7 ©7-V = 0, (', J = 16). (21)

где X - некоторая форма Пфаффа. Образующий элемент нашего многообразия -упорядоченная пара (вершина репера в Аз и ковектор е3). Свернем (21) с базисом (2) и запишем эти уравнения для каждой из двух компонент пары в отдельности. Получаем систему векторных уравнений

d2M + с<dM,e3 >dM = XdM,

j2 3 _ . jf> 3 ^ j„3 _ . jf> J_3 ^ _3 , „2 . jf> 3 ^ 2 „3 л j„3

в, е - с < ¿М, е > ¿ег - с < ¿М, ¿ег > е + с < ¿М, е >2 е = Ые Пусть t - параметр геодезической линии

М = Г (г), е3 = V (г).

Тогда, следуя [7] и полагая Х = ¿ 1п и (г), запишем уравнения, выполняющиеся вдоль геодезической, в виде:

¿2г I ¿Г \dv_d 1пи (г) ¿Г

¿12 ^г' ¿г ¿1 ¿1'

¿2V I ¿г \ ¿V /¿г ¿у\ 2/¿Г \2 ¿ 1пи(г) ¿г

—=-с—,V ^-с(— V + с2 —,И V =-——.

¿г2 \¿г ¿г \¿t ¿г \ ¿г ~ ¿г ¿г Действуя, как обычно (например, [7]), переходим к параметру

s(t) = С + С [ ' и(г )dt,

J го

и уравнения (22) принимают вид:

¿2 Г I ¿г \dr -

(22)

, + с —, v — = 0, ds \ds / ds

d2 v / dr \dv /dr dv\ 2/ dr . „ —f-c(—,vv) — -c(—,— )v + с (—,v) v = 0. ds \ds ds \ds ds \ ds

(23)

Введем в рассмотрение (достаточно гладкую) функцию

, ¿s

f (s) = ( Щ-, И . (24)

Система (23) перепишется в виде:

d 2¥+СтГ ~

— + cf (s) — = 0 , (25)

d v ,, dv dr dv

-=■ - с/(*)-= - с — V + с2 (/(5))2 V = 0. (26)

ds \ds /

Ясно, что линия Ь: Л = г (5) - прямая (локально). Из (26) видно, что

¿V d2 V V А —— А-= = 0 .

Следовательно, 1-семейство ковекторов параллельно двумерному линейному подпространству в V *. ■

Уравнения (23) интегрируются в элементарных функциях. Именно, зададим в A3 шшдвжжньш репер (О, E1 , E2 , E3 ) та^ что E3|L Относительно нашего репера (и взаимного репера (O, E1, E2, E3)) имеем

г = (0,0, x3(s))\ v = (yi(sX У2(s), УзОО) • Уравнение (25) принимает вид:

Х3 (s) + cf (s)dx3 (s) = 0 '

и его решение

x (s) = C + C f() ds •

Из (24) определяем, что

f (s)

y3(s) = V ; ^ • (27)

3 j-cf (s)d

C2eJ

Уравнение (26), записанное для трех его компонент, проводит к трем скалярным уравнениям, и в третьей компоненте имеем уравнение

^ f (s) + cf (s )-f (s ) = 0, dslJ v ' J v 'dsJ v '

семейство решений которого состоит из двух множеств: первое - f (s) = const

(мы исключаем его из рассмотрения), второе же содержит функции вида:

2tanh(a (s + a))a,

f (s) =--. (28)

c

С учетом (27) находим, что

-2 tanh (a (s + a)) a\

y3(s) = -

c (l -(tanh(a1 (s + a2))) )c2

Для первых двух компонент уравнения (26) с учетом (28) получаем уравнения

V

ds2

-| d2ry (s))(cosh(a (s + a)))2 +

+ 2sinh (a (s+a)) a | d^ (s )) cosh (a (s+a))+2a2 y (s) = 0, (d1 y2 (s))(cosh (ai (s+a2 )))2 -- 2sinh (a (s+a)) a ^ d^ (s )) cosh (a (s+a))-2a2 ^ (s) = 0.

Их общие решения

y1(s) = a3 ^cosh (2a1 (s + a2)) +1 sinh (a1s) + a4^cos h (2 a1 (s + a2)) +1 cosh (a1s ),

y2 (s) = a5,J cosh (2a (s + a)) +1 sinh (as) + a-^cosh (2a (s + a)) +1 cosh (as).

Для первой компоненты имеем

r =

0,0, с1 -

tanh(a (s + a)) C

Для второй компоненты

v =

y1(sX yi^X-

-2 tanh (a (s+a)) a ;(l -(tanh(a (s + a )))2) C

Надлежащим выбором констант, переходом к новой переменной и переобозначениями приводим последние формулы к виду:

Я = [0,0,^лЪ(5)р5],

( \

21апЪ (5)

V =

y(S), y(S ),2-

(l-(tanh (S ))2) p5

y (S) = piyj cosh (2 S) +1 sinh (S) + p^ cosh (2 S) +1 cosh (S), y2(S) = p^cosh (2S) +1 sinh (S) + p^cosh (2 S) +1 cosh (S).

6. Векторная интерпретация геодезических линий связности Леви-Чивита

Геометрическим образом, сопоставляемым приложенному ковектору, принято, согласно [13], полагать упорядоченную пару гиперплоскостей аффинного пространства (в нашем случае - просто плоскостей), что неудобно для изображения на рисунках. Для преодоления затруднения мы будем ковектору V (5) сопоставлять вектор V с теми же компонентами1.

_ „ т. dV йV

Заметим, что определитель, составленный из V —у, тождественно равен

й5 й5

нулю. Это означает, что в рамках приведенного выше сопоставления все векторы V полученного 1-семейства окажутся компланарными, и прямые - носители этих векторов - образуют цилиндроид. Если векторы V откладывать из соответствующих точек отрезка, пробегаемого точкой Я(5), то получится картина, представление о которой дает рис. 1 (он составлен для [р1, р2, р3, р4, р5] = = [1,2, -3,4,6] и с = 1).

Направляющей плоскостью цилиндроида служит плоскость р, 72*1 - р.2^2X2 + (р2рз - рр ) ср5Х3 = 0 .

При условии

р^4 - р2 рз = 0

цилиндроид вырождается в плоское семейство лучей, пересекающих прямую АВ.

1 Заметим, что построения этого раздела совершаются в некотором неподвижном репере. Следовательно, вопрос об инвариантности соответствия «ковектор-вектор» не возникает.

a

В

С

А

Рис. 1. АВ - траектория точки R; CD - линия концевых точек векторов, отложенных из текущей точки R Fig. 1. AB is the trajectory of the point R; CD is the line between the endpoints of the vectors, drawn from the current point R

Исключенный из рассмотрения случай f (s) = const приводит к тривиальным решениям системы (23).

Точечно-векторное пространство Е6 рассматривалось как пространство представления полной аффинной группы трехмерного пространства ОА(3). Структура, индуцированная данной группой, не совпадает со структурой шестимерного аффинного пространства. Пространство Е6 естественным образом наделено скалярным квадратом псевдоевклидова типа. В касательном пространстве имеется 1-семейство псевдоримановых метрик (параметр - с), для которого псевдоевклидова метрика является вырожденным элементом семейства. Геодезические линии заданы дифференциальными уравнениями, содержащими этот параметр, эти уравнения проинтегрированы. Отметим, что заметен интерес к цилиндроидам со стороны специалистов, работающих в машиностроении, архитектуре и строительстве [18].

1. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлан-

генская программа») // Об основаниях геометрии : сб. классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей : к столетию со дня смерти Лобачевского / ред. и вступ. ст. А.П. Нордена. М. : Гостехиздат, 1956. С. 399-434.

2. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М. : ГИТТЛ, 1947. 404 с.

3. Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М. : Мир,

4. Михайличенко Г.Г. Простейшие полиметрические геометрии // Доклады РАН. 1996.

Т. 348, № 1. С. 22-24.

5. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск :

Изд-во ТГУ, 1960.

Заключение

Список источников

1974. 280 с.

6. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. 432 с.

7. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин : Калинин. гос. ун-т,

1977. 83 с.

8. Фиников С.П. Теория конгруэнций. М. :ГИТТЛ, 1950. 528 с.

9. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М. : Наука, 1968. 912 с.

10. Бухтяк М.С. Естественная связность на гиперповерхности пространства Вб // Геометрический сборник. Томск : Изд-во Том. ун-та, 1990. Вып. 31. С. 51-57.

11. Бухтяк М.С. Интерпретация нуль-пар трехмерного центроаффинного пространства // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск : Том. гос. ун-т, 2001. Вып. 3. С. 39-45.

12. Бухтяк М.С. Замечательные связности на четырехпараметрическом векторном поле // Геометрический сборник. Томск : Изд-во Том. ун-та, 1988. Вып. 29. С. 84-90.

13. Схоутен И.А. Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. М.-Л. : ГОНТИ, 1939. Т. 1. 181 с.

14. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М. : Наука, 1982. 480 с.

15. Бадяева З.П., Бухтяк М.С. Полуинвариантные полиномы второго порядка на многообразии лучей пространства A3 // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 1 (21). С. 5-12.

16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М. : Наука, 1981. Т. 1. 344 с.

17. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М. : Наука, 1976. 432 с.

18. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек. М. : Наука, 2006. 544 с.

References

1. Klein F. A comparative review of recent researches in geometry (The Erlangen program) //

Foundations of geometry: classical works on Lobachevsky's geometry and the development of its ideas: on the centenary of Lobachevsky's death / ed. and introduction by A.P. Norden. Moscow: Gostekhizdat, 1956. pp. 399-434.

2. Weil H. (1939) The Classical Groups: Their Invariants and Representations. Princeton:

Princeton University Press.

3. Dieudonne J., Carrell J., Mumford D. (1974) Geometricheskaya teoriya invariantov [Geomet-

rical theory of invariants]. Moscow: Mir.

4. Mikhailichenko G.G. (1996) Prosteycshiye polimetricheskiye geometrii [The simplest poly-

metric geometries]. DokladyAkademiiNauk. 348(1). pp. 22-24.

5. Shcherbakov R.N. (1960) Kurs affnnoy i proyektivnoy differentsial'noy geometrii [A course

of affine and projective differential geometry]. Tomsk: Tomsk State University.

6. Finikov S.P. (1948) Metod vneshnikh form Kartana [Cartan's method of exterior forms].

Moscow: GITTL.

7. Akivis M.A. (1977) Mnogomernaya differentsial'naya geometriya [Multidimensional differen-

tial geometry]. Kalinin: Kalinin State University.

8. Finikov S.P. (1950) Teoriya kongruentsiy [Theory of congruences]. Moscow: GITTL.

9. Aleksandrov P.S. (1968) Lektsii po analiticheskoy geometrii [Lectures on analytical geometry].

Moscow: Nauka.

10. Bukhtyak M.S (1990) Estestvennaya svyaznost' na giperpoverkhnosti prostranstva Вв [A natural connection on a hypersurface of the space В6. Geometricheskiy Sbornik. 31. pp. 51-57.

11. Bukhtyak M.S. (2001) Interpretatsiya nul'-par trekhmernogo tsentroaffinnogo prostranstva [Interpretation of null pairs of the three-dimensional centro-affine space]. Issledovaniya po matematicheskomu analizu i algebre. 3. pp. 39-45.

12. Bukhtyak M.S. (1988) Zamechatel'nyye svyaznosti na chetyrekhparametricheskom vektornom pole [Remarkable connections on a four-parameter vector field]. Geometricheskiy Sbornik. 29. pp. 84-90.

13. Schouten J.A. and Struik D.J. (1935) Einjurung in die neueren Methoden der Differentiakgeo-mrtrie. Bd. 1. Groningen - Batavia: Nordhoff.

14. Wolf J.A. (1972) Spaces of Constant Curvature. Berkeley, CA: University of California Press.

15. Badyaeva Z. P., Bukhtyak M. S. (2013) Poluinvariantnyye polinomy vtorogo poryadka na mnogoobrazii luchey prostranstva A3 [Semi-invariant second-order polynomials on the manifold of rays of the A3 space]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 21(1). pp. 5-12.

16. Kobayashi S, Nomizu K. (1963) Foundations of Differential Geometry. V. 1. New York: Interscience Publishers.

17. Norden A.P. (1976) Prostranstva affnnoy svyaznosti [Affine connection spaces]. Moscow: Nauka.

18. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N., Khalabi S.M. (2006) Analiticheskiye poverkhnosti: materialy po geometrii 500 poverkhnostey i informatsiya k raschetu na prochnost' tonkikh obolochek [Analytical surfaces: materials on geometry of 500 surfaces and information on thin shell strength calculation]. Moscow: Nauka.

Сведения об авторе:

Бухтяк Михаил Степанович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: [email protected]

Information about the author:

Bukhtyak Mikhail S. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, associate professor in the Department of Geometry, Faculty of Mechanics and Mathematics, Tomsk State University Tomsk, Russia). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 24.10.2023; принята к публикации 03.06.2024 The article was submitted 24.10.2023; accepted for publication 03.06.2024