Полуинвариантные полиномы второго порядка на многообразии лучей пространства a 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 1(21)

МАТЕМАТИКА

УДК 514.654.7

З.П. Бадяева, М.С. Бухтяк

ПОЛУИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИНОМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА МНОГООБРАЗИИ ЛУЧЕЙ ПРОСТРАНСТВА А3

Найдены минимальные оснащения, позволяющие задавать на многообразии лучей трехмерного аффинного пространства относительно инвариантные квадратичные формы с постоянными коэффициентами. Доказано, что таких оснащений имеется два и каждое из них порождает свою структуру в кока-сательном расслоении указанного многообразия. Доказано, что в любом из этих случаем относительно инвариантная квадратичная дифференциальная форма на линейчатом пространстве пропорциональна той, что задает полу-риманову метрику на многообразии приложенных векторов. Найдены группы стационарности найденных оснащений, и для этих групп указаны одномерные подгруппы. Данная работа имеет очевидную связь с работами [4-6] второго автора.

Ключевые слова: инвариантная квадратичная форма, подвижной репер, многообразие лучей.

1. Оператор, подобный ковариантному дифференциалу

Деривационные формулы подвижного репера {М, е1, е2, е3} трехмерного аффинного пространства А3 имеют вид

йМ = Ю! Єг ,

■ І, ] = 1,2,3,

йеі = ю ■ е ■,

где формы Пфаффа [1] ю1, ю1 подчинены уравнениям структуры аффинного пространства

йю1 = ю1 лю1,йюг; = юк лю^ (і,■ = 1,2,3).

Рассмотрим многообразие всех прямых в пространстве А3. Будем считать, что на каждой прямой задана ориентация таким образом, что полученное 4-мерное дифференцируемое многообразие лучей есть гладкое многообразие. Это многообразие обозначим Ь . Текущий элемент многообразия - луч I. Локальные координаты луча I - как точки многообразия - пусть обозначаются Ґ (і = 1,2,3,4).

Помещаем вершину подвижного репера на текущий луч I, а вектор е3 репера пусть сонаправлен с текущим лучом. Тогда пфаффовы формы ю1, ю2, ю3, ю2 являются линейными комбинациями величин йґ и не содержат дифференциалов

параметров, ответственных за изменение репера при фиксированном луче. Такие формы называются главными [1]. Эти формы ю1, ю2, ю'3, (базовые формы)

управляют смещением луча, и

ю1 ЛЮ2 лю3 ЛЮ2 Ф 0.

Хорошо известна роль квадратичной дифференциальной формы 2(ю1ю2 -ю2ю3) = 2(М, йе3, е3) в геометрии линейчатого пространства (в частности, обращение её в нуль для луча регулюса делает этот луч торсовым). Поставим следующий вопрос: насколько особое положение занимает эта квадратичная форма среди тех однородных квадратичных многочленов от базовых форм линейчатого пространства, и обладающих свойством относительной инвариантности по отношению к некоторым преобразованиям, на наш взгляд естественным.

Обозначая, как в [1],

= п

ю

л‘

I,у = 1,2,3; к = 1,2,3,4,

А‘ = 0

заключаем, что

п1 = п2 = п'3 =п2 = 0. (1)

Данные соотношения сужают полную аффинную группу, действующую в касательном пространстве многообразия Ь, до некоторой подгруппы. Оставшиеся формы

п , П| , П2 , П'2 , П2 , П| , П3 , п (2)

управляют смещением репера при фиксированном луче.

Введём матричнозначную форму [2]

П

ю1 ю2 ю3 ю3

ю| ю2 0 0

ю2 ю2 0 0

0 0 ю| ю2

0 0 ю2 ю2

Тогда справедливы соотношения

й9-9лО = (ю3 л ю'3

ю3 лю'3

ю32 лю3

3 2

ю лю3

3 2

ю: лю3

3 2

ю2 лю3

ю^ лю3

3 2 \

ю3 лю3),

0

3 13 2

ю: лю3 ю1 лю3

ю2 лю3

3 2

юлю

J 2 / \ '-и 3 2 ^^3

Ясно, что последние соотношения являются структурными уравнениями линейной связности в том и только в том случае, когда внешние квадратичные формы

ю3 лю,"

/= 1,2,3; а = 1,2.

^ 3 км ^ / \ км 3

разложимы по внешним квадратичным формам

юалюв, юалюв, юалюЦ, а,р = 1,2.

0

Мы не предполагаем данное условие выполненным. Определим, однако, оператор Т, указав его действие на матрицу Н = (И-) следующим образом:

Т(Н) = йН-ОН-(ОН)т .

Если матричнозначная форма О определяет аффинную связность, то оператор Т есть оператор ковариантного дифференцирования. Обозначим

П =

п1 п2 0 0

п2 п2 0 0

0 0 п1 п2

0 0 п2 п2

(3)

Оператор Т5 (Н ) = 5Н - ПН - (ПН )т

имеет очевидный смысл (5 - символ дифференцирования по вторичным параметрам).

Пусть на многообразии Ь задан однородный многочлен второй степени Ф от дифференциалов базовых форм

Ф = аарю“юв + 2йарю“юв + СарЮ>в

а, р = 1,2.

Матрица полинома

Ь =

сар сра ,

(4)

аи а12 Ь11 Ь12

а 2 2 а 21 -С 2 2 -С

Ь11 21 -С

Ь12 Ь22 21 о Г22

(5)

Требование полуинвариантности полинома (4) относительно оператора Т при фиксированных базовых параметрах приводит к уравнению

Т5(Ь) = 5Ь-ПЬ-(ПЬ)т = еЬ , (6)

где е - пфаффова 1-форма. Поставим следующую задачу. Отыскать условия на ненулевой полином (4) с постоянными коэффициентами и на пфаффову форму е , чтобы при отсутствии связей на формы (2) выполнялось требование (6). Пфаффову форму е будем искать в виде

(7)

Предъявленное нами требование (с учётом (3), (5) - (7)) приводит к системе уравнений, матричная запись которой имеет вид

1 = + х2П2 + х3+ х4П2 + х5п2 + х6П + х7П + х8п3.

Ґ-1Л

Л>

0

0

0

0

0

0

Л=

а11(2+х1) 2а12 + х2а11 х3а11 х4а11 х5ап хба11 х7ап х8а11

а12 (1 + Х1) а22 + х2а12 а11 + х3а12 а12 (1 + х4 ) х5а12 хба12 х7а12 х8а12

х1а22 х2а22 2а12 + х3а22 2а22 + х4а22 х5а22 хба22 х7а— х8а22

Ь11(2 + х1) Ь21 + Ь12 + х2Ь11 х3 Ь11 х4Ь11 х5Ь11 хб Ь11 х7 Ь11 х8Ь11

Ь12 (1 + х1) Ь22 + х2Ь12 Ь11 + х3 Ь12 Ь12 (1+ х4 ) х5Ь12 хбЬ12 х7 Ь12 х8 Ь12

Ь21(1 + х1) Ь22 + х2Ь21 Ьц + х3 Ь 21 Ь21(1 + х4 ) х5Ь21 хбЬ21 х7Ь21 х8 Ь21

х1Ь22 х2Ь22 Ъ 21 + Ь12 + х3 Ь22 Ь22 (2 + х4 ) х5 Ь 22 хбЬ 22 х7Ь22 х8 Ь22

Сц(2 + х1) 2^12 + х2Гц х3Г11 х4Г11 х5Г11 хбГ11 х7Г11 х8Г11

Г12 (1 + х1) Г22 + х2Г12 Г11 + х3Г12 Г12 (1+ х4 ) х5Г12 хбГ12 х7Г12 х8Г12

х1а22 х2а22 2Г12 + х3Г22 2Г22 + х4Г22 х5Г22 хбГ22 х7Г22 х8Г22

.(8)

Поскольку данное уравнение не должно налагать ограничений на пфаффовы формы (2), то матрица А - нулевая. В то же время матрица Ь (см. (5)) отлична от нулевой. Указанная совокупность условий выполнена, если и только если

х5 = х6 = х7 = х8 = 0, х1 = -1, х2 = 0, х3 = 0, х4 = -1,

а11 = а12 = а22 = Ь11 = Ь12 + Ь21 = Ь22 = С11 = С22 = 0.

Таким образом, с точностью до числового множителя,

Ь —

0 0 0 1

0 0 -1 0

0 -1 0 0

1 0 0 0

Ф = 2(ю1®2 -ю2ю3) = 2(йМ,йе3,е3).

Соответственно

і — —Пі — По .

Отметим, что полином Ф инвариантен, если и только если

п| +п2 — 0 .

(9)

Вследствие (1) внешнее дифференцирование последнего уравнения приводит к тождеству. При выполнении (9) получаем подгруппу преобразований репера, определяемую деривационными формулами

бМ = п3е3,

^ 1 2 3

^е! = П1 е1 + П е2 + П ез ,

§е2 = ^2е1 + П2е2 + П2ез ,

5е3 —

П3е3,

П +п2 = 0.

Геометрический смысл условия (9), дополненного (1), таков:

5( е1е2ез ) ез =( е1е2е3 )б^

где символ (аЬс) обозначает косое произведение векторов а, Ь, с.

2. Вариация однородного полинома от базовых форм

Для дальнейшего нам потребуются связи на вторичные параметры. Действуя как в [3], получаем в обозначениях [1,3] вариации главных форм в виде

бЮ = —ШнТСр + П Ю3 ,

5®а=—па+п3юа,

а, р = 1,2.

Применив (10) к (4), получаем, что

бФ = (8ааР — ауРпа — ааупр )юа®Р +

+2(8Ьар — Ьурпа — Ьаупр + аарп3 + ^ар^К^ + +(8сар — Сурпа — Саупр + 2Ьарп3 + 2сарп3)®>3.

(10)

В этих формулах 5 - символ дифференцирования по вторичным (слоевым) параметрам.

Квадратичный полином Ф окажется относительно инвариантным, если

5Ф=©Ф,

где © - некоторая пфаффова форма. Итак, условие относительной инвариантности имеет, с учетом (11), вид

5ааР = «уРпа+ ааупр+©аар,

5ЬаИ = Ь„ип1 + Ьа„п! - ааИп3 -ЬаИп3 + ©Ь,

уар

^ур'^а “^ау^р

^ар'1

^ар'13

ар -

5сар = Сурпа + саупр - 2ЬаРП - 2саРп3 + ©СаР,

а, р, у = 1,2.

Приведем подробную запись последних соотношений для полинома с постоянными коэффициентами. Именно,

а11 (© + 2П ) + 2а12л12 =

а12 (© + *} + п^ ^ + а11л12 + а22п2 = 0,

а22 (© + 2п2 ) + 2а12п2 = 0,

Ь11 ( + 2п1 -^) + (А2 +Ь21 ) -а11п3 = 0,

(1 о о \ 1 о 'З

© + п1 + п2-п3)+ Ь11п2 + Ь22л1 -а12п = 0,

(1 о о \ 1 О 'З

© + п1 + п2-п3)+ Ь11п2 + Ь22п1 -а12п = 0,

Ь22 (© + 2п2 -П3 ) +(Ь12 +Ь21 )П2 - а22П = 0,

с11 ( + 2п1 -2л^ ) + 2с12п2 -2Ь11п3 = 0,

(1 2 3 \ 1 2 3

© + п1 +п2 - 2п3) + с11п2 + с22п1 - (Ь12 + Ь21)п = 0, с22 ( + 2п2 - 2п3) + 2с12п1 - 2Ь22п3 = 0.

Полагаем

191 о о о о о

© = х1п1 + х2п1 + х3п2 + х4п2 + х5п2 + х6п1 + х7п3 + х8п .

Аналогично (8) получаем матричное уравнение

Бх

а11(2+х1) 2а12 + х2а11 х3а11 х4а11 х5ап хбап х7ап х8а11

Г 0> а12 (1 + х1) а22 + х2а12 а11 + х3а12 а12 (1 + х4 ) х5а12 хба12 х7а^ х8а12

0 х1а22 х2а22 2а12 + х3а22 2а22 + х4а22 х5а22 хба22 х7а22 х8а22

0 Ьп(2+х^ Ь 21 + Ь12 + х2Ь11 х3 Ь11 х4Ь11 х5 Ь11 хбЬ11 Ь11(х7 -1) х8 Ь11 " а1

0 , б = Ь12 (1 + х1) Ь22 + х2Ь12 Ь11 + х3 Ь12 Ь12 (1 + х4 ) х5 Ь12 хб Ь12 х7 Ь12 х8Ь12

0 Ь21(1+ х1) Ь22 + х2Ь21 Ь11 + х3 Ь21 Ь21(1+ х4 ) х5Ь21 хб Ь21 х7Ь21 х8 Ь21

0 х1Ь22 х2Ь22 Ь21 + Ь12 + х3 Ь22 2 2 + 4 х5 Ь22 хб Ь 22 х7Ь22 х8 Ь22

0 С11(2 + х1) 2^12 + х2^11 х3С11 х4С11 х5С11 хбС11 х7С11 х8С11

V 0^ С12 (1 + х1) С22 + х2С12 С11 + х3С12 С12 (1 + х4 ) х5С12 хбС12 х7С12 х8С12

х1а22 х2а22 2С12 + х3С22 2с22 + х4С22 х5С22 хбС22 х7С22 х8С22

Условия, налагаемые на матрицу В, - те же, что и что и для матрицы А. В данном случае они приводят к единственному (с точностью до ненулевого числового множителя) решению

а11 = а12 = а22 = Ь11 = Ь12 - 1 = Ь21 +1 = Ь22 = С11 = С12 = С22 = 0, х1 +1 = х2 = х3 = х4 +1 = х5 = х6 = х7 -1 = 0.

Таким образом, с точностью до ненулевого числового множителя, как и раньше, имеем

Ф = 2(ю1®2 -ю2о>3) = 2(Ш,ёе3,е3).

Однако форма © отличается от формы Н. Именно,

© = П -п1 -п2. (12)

Согласно приведенным выше результатам, запишем вариацию найденной

квадратичной формы

5Ф = (п^ - п -п2)Ф.

Таким образом, форма ф лишь относительно инвариантна на линейчатом пространстве, а инвариантной она окажется при выполнении следующего набора условий:

п1 = п2 = п3 = п2 = 0, п1 +п2 +п3 = 2п3. (13)

Последнему равенству в системе (13) можно придать более геометрическую

форму, а именно:

5(е1е2е3)е3 = 2(е1е2е3)5е3.

Очевидно, что уравнения (13) выполнены для многообразия скользящих векторов в эквиаффинном пространстве А3’, и подавно - для многообразия приложенных векторов в А3’.

3. Одномерные подгруппы

Для базиса {е1, е2, е3} имеем деривационные формулы

^ 1 2 3

5е1 = п1 е1 + п1 е2 + п е3,

5е2 = п2е1 + п2е2 + п2е3 ,

5е3 = п3е1 +п2е2 +п^е3,

причем формы Пфаффа п 1 связаны в случае (9) соотношениями

п3 — п — п1 + п1 — 0 , а в случае (12) - соотношениями

п3 — п^ — п + п п^ — 0 .

Каждая из двух последних систем уравнений вполне интегрируема и определяет (каждая свою) подгруппу полной линейной группы Обозначим их 01 и 02. Найдём одномерные подгруппы групп О1 и О2.

Пусть {/>1, р2, Рз} - неподвижный базис, причем вектор р3 параллелен неподвижному направлению вектора е3. Пусть каждый вектор базиса {е1, е2, е3} зависит от одного параметра ґ. Тогда связь двух базисов можно выразить уравнениями

е = Х (ґ) Рі + Х2 (ґ) Р2 + Хз (ґ) Рз ,

е2 = Уі (ґ)Рі + У2 (ґ)Р2 + Уз (ґ)Рз , (14)

е3 =

причем

х(ґ) Рз. х(ґ) Ф 0 .

Хі(ґ ) Х2(ґ )

Уі(ґ ) У2(ґ )

Заметим, что соотношения л'з = П = 0 нами уже учтены. Дифференцируем (і4), а результат записываем, применяя выражение векторов неподвижного базиса через векторы еі, е2, ез. Тогда оказывается, что

Лх[іУ2]

^2 = ^Х[іХ2]

4У[і У2]

П2 = -

Х[і у2] Х[іу2] Х[іу2]

Теперь уравнение пі + пі = 0 принимает вид

dУ[lx2]

Х[іУ2]

пз =

Лх

Уі У2

= 0

и его очевидное решение

Х Хч

= еотґ Ф 0 .

Уі У2

а уравнение пі + пі - пз = 0 приводится к виду

Л (Х[і У2]) = Лх

(і5)

общее решение которого

Х x^

Уі У2

Х[і У2]

= Сх, С = еотґ Ф 0 .

(і6)

Надлежащим выбором базиса {Рі, Р2, Рз} приводим решение (і5) к виду

Х Хп

=і.

Уі У2

Аналогичным действием приводим решение (і6) к виду

Х Хп

Уі У2

Группа Оі изоморфна группе матриц

( і 2 зл

«і «і «і

і 2 з

а2 а2 а2

0 V 0 «з з /

= х.

а а

= і.

А группа G2 соответственно изоморфна группе матриц

( 1 2 3 ^

ai a1 a1

1 2 3

a2 a2 a2

0 V 0 3a3

aj a2

a2 a22

Полином, от которого требовали полуинвариантности по отношению к некоторой подгруппе группы (1), оказался вполне ожидаемым. Однако подгрупп стационарности оказалось две, поскольку полуинвариантность имелась в виду изначально в разных смыслах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.

2. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин: Изд-во Калининского ун-та, 1977. - 83 с.

3. Фиников С.П. Теория конгруэнций. М.: ГИТТЛ, 1950. 528 с.

4. Бухтяк М.С. Об одном шестимерном пространстве // Геом. сб. Вып. 22. Томск: Изд-во ТГУ, 1982. С. 51-61.

5. Бухтяк М.С. Связность Вейля и связность Леви - Чивита на четырехпараметрическом векторном поле. Томск, 1986. 34 с. Деп. в ВИНИТИ. 29.09.1986 г. № 6857 - В86.

6. Бухтяк М.С. Замечательные связности на четырехпараметрическом векторном поле // Геом. сб. Вып. 29. Томск: Изд-во ТГУ, 1988. С. 84-90.

Статья поступила 23.11.2012 г.

Badyaeva Z.P., Bukhtyak M.S. SEMI-STABLE SECOND-ORDER POLYNOMIALS ON THE VARIFOLD OF RAYS OF THE A3 SPACE. Minimal riggings making it possible to impose relatively semi-stable quadratic forms with constant coefficients on the varifold of trivariate affine ray space. It has been proved that there are two such riggings, and each of them generates its own structure in cotangent bundle of the specified varifold. It is proved that in any of these cases relative semi-stable quadratic differential form on the ruled space is proportional to the form that imposes a semi-Riemannian metric on the varifold of added vectors. Stationery state groups are identified for the discovered additional structures, and one-dimensional sub-groups are specified for these groups. This work is apparently related to the works [4, 5, 6] of the second author.

Keywords: semi-stable quadratic form, moving frame, varifold of rays.

BADYAEVA Zinaida Petrovna (Kuzbass State Technical University) E-mail: leemouse@mail.ru

BUKHTYAK Mikhail Stepanovych (Tomsk State University)

E-mail: bukhtyakm@mail.ru