Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С РАСТУЩИМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ

А И Кожанов

Институт математики им С Л Соболева, Новосибирск

В статье рассматривается начально-краевая задача для уравнения

La = utt - AU - АДщ + g(u, ut) = f{x, t)

Доказана единственность решения и найдены функциональные пространства, в которых оно существует Исследованы случаи А > о, л = о

Ключевые слова: гиперболические уравнения, псевдогиперболические уравне ния, начально краевые задачи, априорные оценки

Пусть х G D, где D - ограниченная область пространства Rn с гладкой границей Г, t е (О, Г), 0 < t < +00, Q = D х (0,Т). В цилиндре Q рассмотрим уравнение

Lu = utt - Аи - АДщ + д(и, щ) = f{x, t), (1)

1де Д - оператор Лапласа по переменным х — (xi, ,хп), константа А > О, нелинейная функция д(£, () моделирует функцию <?(£, () — а(£)|£|р 2(, а(£) > 0, р > 1 (точные условия указаны ниже) В модельном случае такие уравнения возникаю! при описании процесса движения электронов в системе ''сверхпроводник — диэлектрик с туннельной проводимостью — сверхпроводник" (джозефсоновский контакт или джозефсонофская линия передач) (см [1]), параметр А в физической модели может быть как положительным, так и равным нулю Заметим, что для модельного уравнения случай а(£) — const > 0 хорошо изучен при А = 0 [2], при А > 0 легко исследуется методами [2—5], если же а(£) ф const, то методы компактности [2] и других подобных рабог дают существование глобального решения при ограничениях малости на правую часть и начальные данные Ниже в настоящей работе в общем случае нелинейной функции <?(£,() (включающем в себя физический случай) будут предложены методы, основанные на составной структуре уравнения (1), позволяющие доказать глобальную разрешимость начально-краевых задач без указанных выше условий малости Наряду с результатами о разрешимости будут приведены и результаты о свойствах решений

Будем рассматривать первую начально-краевую задачу: найти в <5 решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

и(х,0)=щ(х), щ(х, 0) = щ(х), и

0.

(2)

Гх(0,Г)

Заметим, что для модели движения электронов [1] физическими являются условия с заданием на боковой границе нормальной производной, исследование разрешимости такой задачи ничем принципиально не будет отличаться от приведенного ниже исследования задачи (1), (2).

1. Случай Л > 0

ТЕОРЕМА 1 Пусть <?(£,£) есть непрерывно дифференцируемая при (£, С) £ R-2 функция, удовлетворяющая условиям V£ G R, #(£,С)С > 0 £ Ф 0- s(£.0) = о Пусть ио(х) 6 C2(D), ui(a;) € Cl{D), и0(х) и щ{х) обращаются в нуль на Г, f(x,t)— ограниченная в Q измеримая функция Тогда задача (1),(2) имеет решение u(x,t) такое, что

и е Loo(0,T; Wl{D)) n L2(0,T; W*{D)) П LM),utt <E L2(Q), причем это решение единственно.

Дока ттелъство Нетрудно установить методами компактности [2] (см также [3-5]) существование локального регулярного решения задачи (1),(2) Тогда для доказательства теоремы достаточно установить априорные оценки норм, соответствующих включениям теоремы, с постоянными, зависящими только от входных данных задачи

Пусхь u(x,t) есгь ре!улярное решение задачи (1), (2). Преобразуем исходное уравнение Для функции ш - Аи имеем обыкновенное дифференциальное уравнение, решая которое, получим

ш = fxexp(-fit) / иГТ ехр(цт)ёт + fiexp(-fit) / g(u, ит) ехр(цт)дт-

J о J о

—/лехр( —fit) / / exp(fiT)dr + ехр(—fit)Auo,

J о

где fj, = 1/А Преобразуем первое слагаемое с помощью интегрирования по частям, тогда получим равенство

Аи = fiiit — ц ехр(—¡it)ui - ц2 exp{-fit) / ит exp(fir)dT+

J о

/лехр(-^£) / д(и, ит) exp{¡JLт)dт — /хехр(—¡Л) / /ехр(/хг)с?г+ ехр(— } о ¡о

и, далее, после дифференцирования по £ -

/ши - Ащ + цд(и,щ) — /л2и — —/х3 ехр(—/xi) / ит exp(/xr)dr-b

J о

+/х2 ехр(/xi) / <?(u, гхт) ехр(^r)dr -f р? exp(—[it)ui + h

-/z2exp(—/¿i) / f ехр([1т)с1т — fiexp(—/j,t)AuQ. Jo

Обозначим v = щ и положим ги = ехр(—7f)v,7 > 0 Для функции w имеем

fiwt — Aw + ¿1(7 — /х)и> - ¡¿д(и, exp(7i)u>) exp(—7^) =

rt

— -//3ехр(-(7 + //)£) / u>exp((7 4- ^)r)dr+ (3)

Jo

j

f/x2 exp(—(7 + /¿)£) / g(u, exp(7r)izT) exp(/ir)dr + /i(x, £) Jo

Будем считать, что 7 > ¡j. Пусть i* G (0,T],0 < t < t* В цилиндре Qt» в силу принципа максимума для параболических уравнений выполняется

м(7 — A4) max |tu| < max |F| -f max|ui|, Qr Qr , D ,

/nnax|g(u,exp(7i)iii)| < max |.F| + max|ui|, Qc Qt* D

где через F обозначена правая часть уравнения (3) Очевидные неравенства дают

t* Г1'

max \w{x, £*)| < max |w[ < C(/t,7)[ / \w\dr + / \д(и,ехр(ут)ю)\с1т} + M < D Qt. h jo

,f rf

< c(Mt)[ / тах|ш|dr + / max \g{u, exp("ft)w)\dr} + m, jo d jo d

niax lg(u, exp(7r)u;)j(i*) < max jg(u, ехр(7т)т| < d qt,

\w\dr + / \g(u,exp{^t)w)\dT} +M\ <

Jo Jo

<Ci(/U7)[/ max|u;|dr + / max \g(u, exp(7r)io)|dr] + Mi, Jo d Jo d

где М и М\ зависят от ц, 7, функций /(ж,¿),«о(ж),щ{х) и величины Т. Зафиксируем 7 и сложим эти два неравенства; для функции

г(Ь*) = тах \д(и, ехр(7г)г/;|(£*) о

получим неравенство

г(П < M)

Î z(r)dT + 1

J 0

Лемма Гронуолла теперь дает ограниченность z(t*), а значит, и ограниченность \ut\ Из ограниченности \ut \ следует ограниченность |м|, последнее же означает, что слагаемое д(и,щ) в уравнении (1) является ограниченным, т.е подчиненным. Дальнейшие оценки очевидны. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Если функция д(£, () принадлежит Cm+1(R2), при С Ф 0 g((X)Ç > 0, р(£,0) = 0, функция f(x,t) такова, что /, §[,. . существуют и являются ограниченными и измеримыми в Q функциями, функции щ(х) и щ(х) принадлежат Cm+1(D), выполнены условия согласования, то существует решение задачи (1), (2), такое, что

¡)ГП о

е Loc(0,T, Wi(D)n Wi {D))(M^{Q),

д"'+1и € Loo(0,T, Wj (D)) П L2(0,T, Wj{D)) П Loc(Q),

¿ftm+l

dm+2u

dtm+Î

G L2(Q)-

Доказательство следствия основано на последовательном получении

Г / /о \ Я2и Эт+1и

оценок в Loo{Q) производных ^х, , по технике, указанной в теоре-

ме

Изучим вопрос о поведении решений задачи (1), (2) при L —» со. Если / 6 L>(Q0о), то первое энергетическое неравенство вместе с вложением

о

W\ (D) в L?{D) даег очевидную оценку

/ / u^dxdr < С < 00,

./о Jd

что означает, в частности, что

lim / u2(x,t)dx = 0. t ->00 Jd

Более точную информацию можно получить, используя дополнительные условия на данные задачи.

Пусть функция д(£,() такова, что при { 6 К,( 6 И выполнены условия

I (<?(£, С) > а(£)КГт, 01 < аШ\р-\ 2 < р < 2п/(п - 2) при п > 2, р > 2 при п = 1,2;

II а(£) < а1+а2\£\к,2 <р + к < 2п/(п-2) при п > 2,р + к > 2 при п = 1,2.

о

При выполнении ограничений I я II на, числа р и к для функций из И^1 (О) справедливы неравенства [6]

Ммо) < КМ о ,

Пусть положительное число а таково, что

А

а

К'г

а = 7 > О,

1

а

1 „2 а ч 1 Р - ! 7 27 I р

= 7о > О,

и пусть выполняется ехр(а£/2)/ € ¿2(^00)-Введем обозначения

К2

Со = ехр(а«/2)/[|2 + |Ы|£а(£>) -г- |Ы[2о ,

^ / „л Со Со аСо р - 1 „

= ||ехр(а£/2)/|Ц2((3оо) 4 -^С0 + ^ + ^ + + Со+

2 „ —г-х ч пь^чсо) ' 2 и ' 2

А „ „о

+

2 Ж] (V) I £>

Пусть <¿>(0-1,аг,/з) -- функция, определяющая наименьшее положительное решение уравнения

а1|Со!(р-2)/2+а2|Со|(р+^2)/2 = Р,(Р>0)

ТЕОРЕМА 2 Пусть р > 2, к > 0, выполняются условия I, II и условия на а и /(ж,£); указаннные выше Если 7о > О,

спНуоГо2 + а2\\щ\\р^ "" < То - ео,0 < е0 < 7о,-г1 < «/'(«ь^гЛо - со)

пр+к-2

2 С2

IV,1 (С)

ТУ] (О)

70 > 0, /с > О, 2>/2 < л^о Л > 0, сГ* 2"2 <

то найдется число То > 0 такое, что при Ь > Дл^ регулярного решения задачи (1) (3) выполняется неравенство

о

ОМ) Н Х^ДМ)

г = 1

дх < Мо ехр( —аоО,

¿^р 0 < оо < а, постоянная Мц зависит от входных данных задачи и величины а

Доказательство Равенсию

/ / Ьи иТ (3(т)с1хс1т = / / иг /3(т)ёх(1т, /о ./л Уо ./л

где /?(т) = ехр(ат), дает оценку

/3(0

л

«?ом) + ХХДа>о

г=1

дх + 7 / / /3(т)и2с1хс1т+

+ 2 I' I а(и)\иАрр{т)с1хс1т < С0 + а Г [ /3(т V и2 (ж, ^хдт (4) /о /л Уо ./л

Далее в равенс!ве

/ Ьи и (3{т)дхдт = / / -и Р(т)дхс1т /о /о У о /л

выделим слагаемые, соответствующие |Уи|2, оставшиеся незнакоопреде-ленные слагаемые оценим с помощью неравенства Юнга, условий I и II неравенств вложения (приведенных выше) и оценки (4) В результате получим неравенство

/г [ п А I п

/о Уо 2

<С2 + а! Г/?(т) [

к У О ^

р/2

£¿7"+

(5)

(р+к)/2

(1Т

Обозначим

У(0=/?(0 [ ¿и2Г1(х,№

г—1

Пусть выполнена первая группа условий малости Тогда неравенство (5) приводит к неравенству

70 [*у(т)<1т + < С2 [Ьу^2(т)т + а2 /%(Р+*)/2(тМт

Уо ^ ./о ./о

Данное неравенство позволяет использовать соображения метода "потенциальной ямы" (см , например, [4]), условия малости теоремы дадут оценку

2/(0 < </?(ах,а2,7о ~ ¿о)

и, далее,

I У{т)с1т < —

Jo £о

Последнее неравенство позволит оценить правую часть неравенства (4) Окончательно получим

I ^и2(х,0 + Х^^ОМ)^ ¿х < М0 ехр(—а0

Пусть теперь выполнена вторая группа условий малости Неравенст во (5) даст неравенство

у(0 <

2Сг 2о1 /' А А Уо

2«2 ''

т)(1т <

^ (р^-2)/2{{т)у(Р+к)/2{т)(1т А Уо

Оценим второе сла1 аемое с помощью неравенства Юнга, в третьем применим оценку ¡3 (¡>+к 2)/2(т) < /3~(Р 2)/2(т) Получим

9(0 < -Т- + -

А Л(р + к)

/'г1" 2)/2(г)у(^)/2(г)^г+-^4т Гг(р-2)/2(г)^г+ Уо А(р + А) Уо

+ 2«2 /4Г(р-2)/2(г)у(р^)/2(г)^г <Сз + аз р-(Р~т{т)у(Р+к)/2{т](1т

А 7о ./о

Воспользуемся оценками решений интегральных неравенств [7] Именно, справедлива оценка

У{Ь) < М),

где г(1) есгь решение задачи

г'(Ь) = аз/Г(р~2)/2(Ф(р+'г,/2(г)^( 0) = С3.

Имеет место равенство

г(р+*-2)/2ф =

«(р-ад

{р+к —2)/2

а(р - 2) - 2а3(р + к - 2)Сг{р+к~2^2 + 2а3(р + & - 2) ехр(-а(р - 2)^/2)'

Если 2< 2а(р — 2)/(аз(р f к — 2)), то непосредственно получаем

,г(£) < ГЛь те величина у(£) равномерно ограничена. Тогда из (4) получим

(5(1) (^¡(х,г) + ¿1< Со + аС4(*). что и даег неравенство

У + ^г^Д-г,^ ¿ж < Мехр(-а0г),

1де / > То, 0 < ао < а

Если же теперь СзР+^ 2'^2 = 2[а(р — 2)]/[аз(р + к — 2)], то получим

г(1) < кг ехр([а(р - 2)/(р + к - 2)]*),

откуда

„

/ ^Ги2 (х,1)<1х < к1ехр[(аЫ)/(р + к-2)}. (6)

Возьмем функцию /?(£) = ехр[(а/с£/(р + к — 2)] и повторим доказательство неравенства (4) с функцией ¡3(1) (при этом 7 будет положительно): оцепив правую часаь полученного неравенства с помощью (6),получим требуемое

Георема полностью доказана

Замехим, что если условие II записать в виде а(£) < ах(1 + \£\)к, ю число к может быть и отрицательным

ТЕОРЕМА 3 Пусть / = 0,р > 2, выполнено условие I и пусть О < ад < а(£) < ах < сю Тогда для регулярного решения задачи (1)-(3) выполняется неравенство

1=1

Лх < Мг(1

где ¡! > 0, постоянная М\ зависит лишь от входных данных задачи

Доказательство теоремы 3 проводится в целом аналогично доказа-1ельсгву соответствующей теоремы для гиперболических уравнений [8]

Приведем некоторые результаты о свойствах знакоопределенности величин и(х,1) и щ(х,Ь)

Пусть краевое условие для функции и(х, £) имеет вид

« Гх(ОД') =

I е является неоднородным Обозначим ц = 1/А,

(7)

£) — ехр(—

¡1 / ехр(/^)/(ж, т)дт — Аио + щ Уо

Будем (чихать пока, что Т < со

ТЕОРЕМА 4 Пусть и(х,Ь)— гладкое решение задачи (1) с начальными условиями (2) и граничным условием (7) Если выполнено условие

V [<?(£,()- К] > О у^ен, УС е II,

и Ь)_< 0(> < 0(> 0), и\ < 0(> 0), то щ{х^) < 0(> 0) для всех

(х V) € $Г

Доказательство Вновь перейдем к интегро-дифференциальному уравнению Получим

1ши ~ АЩ + /л [д{и, щ) - цщ] = ¿) -( II [ ехр[ц(т - £)] [д(и, щ) - цщ] йт

Уо

Нетрудно убедиться, что для этого уравнения справедлив принцип максимума 01носительно функции и(х,Ь) Из принципа максимума и следует требуемое (более подробное доказательство будет приведено ниже, кроме юю, подробное доказательство в близкой ситуации см в [9])

Представим функцию С) в виде д{£, С) = до{(, С)+МоС> гДе Мо > М

• ТЕОРЕМА 5. Пусть и(ж,£) есть гладкое решение начально-краевой задачи для уравнения (1) с начальными условиями (2) и граничным условием (7), и пусть выполняются условия:

ыи 1 + с2) < а + ^ыш + с^ысз),

где и > 0, £ € И, (1 £ К, С2 £ К-, функция 31 (С) такова, что д[(() > О при ( > О, 3^(0) = 0. Тогда, если < < 0, их < 0, то

выполняется щ{х, £) < 0 для всех € С^т-

Доказательство. Для £ > 0 рассмотрим функцию

ье{ж,£) = - еехр(7£),

где 7 > 0. Для функции выполняется уравнение

[д0{и,ье + сехр(7«)) + (мо - мК] = ехр(7<)-

ехр(7£) - - ехр(-7£))+ (8)

ц f 7

/ ехр[/х(т - £)]5о(«, ^ + е ехр(7т))с?т + - ц) [ ехр[/Дт - Ь)]ие(1т.

J о Уо

Интегральное слагаемое с функцией <?0 в уравнении (8) оценивается сверху

р / ехр[/и(т - 1)}до(и, и( + бехр(7т))в,т < Уо

<ju(l + v) [ ехр[р(т ~ t)}g0{u,vt)dT + цС{и)д1{сехр{чТ))Т.

J о

В результате получим неравенство pv(t - Ли«. + ¿u [go{u,v( + еехр(7£)) + (мо - < F0{x,t) + р?еехр(-уi)-¡л2с

—/хб7exp(7i)--— (exp(7i) - ехр(-7£)) + //C(z/)9i(eexp(7T))T+

M + 7

J 0

rt.

+p{l + v)[ ехр[ц(т - t)]g0(u,vt)dT. (9)

J 0

Для функции V? выполняется неравенство у( < 0 при ( = 0 и на Г х (0,Т), Докажем, что ус < 0 во всем цилиндре С^т- Предположим, что это не так. Тогда найдется такое число ¿о > 0, что < 0 в цилиндре <5^, ье обращается в нуль в каких-то точках основания В этих точках г>£ достигает своего максимума; в точках максимума левая часть неравенства (9) неотрицательна. Для правой же части первое слагаемое неположительно, третье - отрицательно, второе же при фиксированных р., V, Т может быть сделано отрицательным за счет большой величины -у и малой величины^. Сказанное приводит к противоречию. Тогда г>£ < 0 во всем цилиндре при е, меньших некоторого фиксированного значения ео. В силу произвольности е это означает, что щ(х,£) < 0 в фу.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 6. Пусть и(х,Ь) есть гладкое решение задачи (1) с начальными условмями (2) и граничным условием (7), и пусть выполняются условия'

СЫ£,С) >OVCeR,VC€R; <?o(£, Сх - Сг) > (1 - СО - С^ЫЬ),

где V £ (0,1), £ £ И, С1 £ К-) Сг £ К- Здесь функция д\(С) такова, что д[{() > 0 при С > 0, ^(0) = 0. Тогда если 0, > 0; щ{х) >

О, то выполняется щ(х,Ь) > 0 для всех Е С^т-

Доказательство теоремы 6 проводится аналогично доказательству теоремы 5, лишь в качестве функции надо взять функцию г>£ = щ + сехр(7£)

Справедливость теорем 4 - 6 в цилиндре произвольной высоты Т означает знакоопределенность щ(х,Ь) для всех Ь > 0. Знакоопределенность функции щ{х,Ь) очевидным образом дает знакоопределенность решения и(ж,£), если наложить соответствующие условия на щ{х) и ф(х,Ь). Далее, аналогично [9] можно получить и более сильные результаты для уравнения (1),'именно- теоремы сравнения. Наконец, примером функции </(£, С), для которой выполнены условия теорем 4—б, может служить функция

З(С.С) = «(01СГ2С + V, г дер > 2,/ло > (1,0 < а0 < а(£) < ах < оо.

2. Случай А = 0

Априорные оценки, полученные в п.1, не позволяют переходить к пределу при Л —> 0, тем самым случай А = 0 в уравнении (1) требует отдельного рассмотрения Такому отдельному исследованию с точки зрения глобальной разрешимости без условий малости поддается одномерный случай (в частности, физический случай [1])

ТЕОРЕМА 7 Пусть в уравнении (1) А = 0, п = 1, д(£,С) € С1 (И2),

5(е,С)С > ао|СГ 5С(С.С) > ао|С|Р) К(£,С)1 < КОКГ1, где $ 6 Я, С € Я, оо > 0, р > 1, 6(£) € С(Н.) Тогда для любых функций щ(х), щ(х) и /(ж,£)

таких, что и0(х) е У/\ {В), щ{х) еИ^1 (В), / € 2,4(<?), /, €

о

существует решение задачи (1), (2) такое, что и 6 Ь^О, Т, {В)П

о

{В)), щ £ ¿ос(О, Т, (О)), ии & Ьоо(О, Т, Ь(О)), причем это решение единственно

Доказательство Нетрудно установить, что задача (1), (2) в указанной в условии теоремы ситуации имеет локально регулярное решение Следовательно, для доказательства теоремы достаточно установить соответствующие априорные оценки с постоянными, не зависящими от £

Для регулярных решений уравнения (1) при выполнении условий те оремы справедлива первая энергетическая оценка

[и2(х,1) -+- и1(х,^х + [ [ \ирТ\йхйт<Щ

ю

с постоянной N0, зависящей от /, щ, щ, ао и величины Т Из этой оценки, в частности, следует

уга1 д тах |и] < N1

Рассмотрим равенство

У I Ьа [\ит + и^2, 4 (ит - и,)3| йхйт = ! У / [(ит + г/,х)3 + (ит - их)3| (Ыт Учитывая представление

ии ~ и 1Х и инте! рируя, получим

дЬ дх

—

с>£ дх

- I \{и, I их)А + {щ - г1г)4] Ах + 2ао [ [ \ит\р+2(1х(1т .<

4 1 -1 ./о Зв

^ [(«1 Ь М01.)4 + («1 - '«о,')4] <1х + * ^ I^ /4бШт+ + 4 /) 1о ^Ут + + " ах(],т

Применяя лемму Гронуолла, нетрудно доказать вначале ограниченность первого слагаемого левой части этого неравенства, затем, после интегрирования — последнего слагаемого правой, и окончательно — оценку

Г [ |ит\р+2ёхёт < N2 Уо Ус

с постоянной N2, зависящей только от /, щ, и\у а^ и Т.

Последующие оценки, как и первую, получаем стандартным образом

Условия теоремы позволяют оценить ии(х, 0):

/ 4(ж,Ъ)с1х<Щ. Уд

Рассмотрим равенство

/ / (Ьи)титгс1х(1т = / / /титтс?хйг. Уо Уо Уо Ус

В этом равенстве линейные слагаемые интегрируются и оцениваются обычным образом; нелинейные же дают знакоопределенный интеграл

/ / дЛи,ит)и2тт<1хйт Уо Ус

и интеграл, который нужно оценить

/ / д^(и,иг)итигтёхдт. Уо Ус

Оценивается же этот интеграл так:

< I [ \дс(и,ит)\\ит\\игт\<1х(1т < У о Ус

/ / дс(и,ит)ититт<1хс1т /о У о

N4 I [ \ит\р\итт\(1х<1т = N4 [ [ \ит\{р-2)!2\итт\\ит\(р+2)/2(1хс1т < Уо /л ./о Ус

|/7 + Г [ \иг\Р+2<1х<1т

2 Уо Уо Уо Ус

Учитывая условия теоремы, оценку иг в ¿Р+2((Э) и подбирая <52 малым, окончательно получим

г ' (1 (

и1г(х,т)+и1т(х,т)}(1хс1т+ / |г1т|р'2и2гсгтс?г < N5, о Уи" Уо Ус

где постоянная ]\А5, как и все предыдущие, зависит лишь от щ, щ, /, а о и Т.

Из последней оценки следует

*

уга1<э тах |гц| < ЛГ, •

что вновь означает подчиненность младших членов и дает возможность доказать существование требуемого решения.

Единственность решения доказывается стандартным образом.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда условие монотонности <?(£, ()( > ао|С|р может нарушаться

ТЕОРЕМА 8 Пусть в уравнении (1) А = 0, п = 1, д((,() Е С1(Я2),

Сд(СС) > ао^^КГ > ао|£|*1СГ2, МШ > Ш'КГ'^де £ е И,

( € Я, а0 > 0, р > 1, к > О, Ь0 > 0, / > к/2 Тогда, если I > /г, гг0(ж) €

И'22(Р)П (£>), и\(х) £]¥} {П), / € Л € Ь2(<Э), ли£о если I < к,

щ{х) еж2 (£>)п (и), щ(х) (О), / е ья0+1(д), е ь2(д),

где ад - нечетное натуральное число, до > 3 Ь 2(& — то существует решение задачи (1), (2), удовлетворяющее включениям теоремы 7

Доказательство Как и выше, достаточно доказать соответствующие априорные оценки Не повторяя все рассуждения, укажем лишь основные моменты

Пусть вначале к/2 < I < к Первое энергетическое неравенство даст ограниченность |м| Далее, для нечетного натурального числа до рассмотрим равенство

¡' I Ьи[(иТ + их)ч° + {ит — и 1,)<1°) дхдт = Г / ¡[(ит-\ + (ит -/о /о Уо уг>

Учитывая неравенство а[(а + Ь)ч° + (а — Ь)90] > 2а<№+1 и условия теоремы, получим оценку

/ / Н^р^-^Ыт < УО УО

Перейдем к следующему равенству

/ / (Ьи)титт(1хс1т = / /титтс£е(£г. Уо У£> уо У£>

Нелинейное знакоопределенное слагаемое оценивается снизу величиной

-г

/о /£>

/ / М^и^ 2 Уо /£>

незнакоопределенное же слагаемое оценивается сверху.

ngu(u,ur)ururrdxd,T < Ьо / / \u^\uT]^\uTT\dxdr — . j h j d

j О jd

<\f [ \u\k\uTr2u2TTdxdr+bj Ç [ \u\2l~k\uT\p+2dxdr = 2 jo jd 2 j о jd

4/7 MfcKr^4/7 w^2(fc-'Vrr+2wr<

2 Jo Jd 2 Уо Jd

Г/ lufltiTr^didr + JV, [Г/ +

io Jd и о Jd

1 r*

2

Условие Ço > 3 + 2(k — l) вместе с ограниченностью |u| даст ограниченность последнего слагаемого и тем самым оценку

[ujt{x,t) + u2lt(x,t)]dx + ( [ \и\к\ит\р~ 2u2TTdxdr < N&. (10) d j о j d

Из этой оценки следует ограниченность |и4| и все остальные требуемые оценки

В случае I > к выполняется

/' \u\2l'k\uT\p+2dxdT = Î ( \u\k\u[2^\uT\p+2dxdT <

jd j о jd

fi "■■ " "

/о Jd

rt

< м1{1~к) [ [ \u\k\uт\p+2dxdт < /о /с

и мы вновь имеем оценку (10). Теорема доказана.

Заметим, что, как в условии теоремы 7, так и в условии теоремы 8, условие на () можно заменить условием ()| < &о|£|г|(|т1 ^ > 0, гп > 0 Равенство

/ I Ьи\(ит + и,)4 + {и, - uт)q}dxdт = I [ f [(ит + их)4 + {ит - ux)<1]dxd^

/о /о Уд

с подходящим нечетным числом д позволит получить все требуемые оценки.

В заключение ответим на вопрос [1] о степени близости решений задачи (1), (2) при А>0иА = 0в случае п = 1. Для простоты рассмотрим физический случай д(£, () = а(£)|£|р_2С-

Обозначим — решение задачи (1),(2) при А > 0.

ТЕОРЕМА 9. Пусть п = 1, выполнены условия а(£) £ С1(К), а(0 > ао > 0, р > 2. Тогда справедливо неравенство

I {[гОиОМ) - им(х,1)}2 + [и\х{х,ь) - щх(х £)]21 йх < СА,

где Ь € [0,Т], постоянная С зависит лишь от входных параметров задачи.

Доказательство. Для разности }У = и\ — щ выполняется уравнение

И^и - УУХЗ, - \uxxxt + - |г1М|р~ 2иы+

+ [а(щ) - а{и0)]\и01\р"2Щг = 0. Умножим это уравнение на И^ и проинтегрируем. Получим

-I [Ж2(ж, £) + \¥]{х,Ь)}(1х + А / I иХл,Т№гг(1х<1т+ 2 Уд Уо Уд

+ 11 а(иЛ)(|'«Ат|р 2и\т ~ \и0г\р-2Щг)Жт(1хС1т+

Уо Уд

+ / / [«(""л) - о(«о)]|м0т|р_2иотИ/г= 0. Уо Уд

Второе слагаемое левой части можно преобразовать, учитывая, что и\гт = = У^хт Далее, третье слагаемое - неотрицательно. Применяя в пра-

вой части теорему о среднем, получим

1

2./д

I [Ж2(х, £) + Ш!(х,1))дх + А Г / Ш2Ххтдхс1г <

./Д /0 УД

<А / / |гло1Т|Ж,тб(жйт + / / а(ил)!«л — ^оЦЗДг|р 1дхс1т. ■Iо /о /о Уд

Т к п = 1, то равномерно по А справедлива оценка уга1<5 тах|пд| < N. Тогда, учитывая оценку ио(ж,£)> получим

2/о

[И/2(х-, 0 + + А /7 ИЛ^Ыт <

Уо Уд

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ <\jJD WtxrdxdT + \jQjD ulXTdxdr+

Ко

Г f W2dxdr + [l f W2dxdr Jo Jd Jo Jd

Очевидные неравенства и лемма Гронуолла дадут теперь оценку

гТ

d

[Wf(x,t) + W2(x,t)]dx < А

/ ./'

Jo Jd

W^dxdr exp{KQT) = CX.

Теорема доказана.

Список литературы

1. Солитоны в действии / Под ред. К.Лонгрена и Э.Скотта. М.: Мир, 1981.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

3. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Янснко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.

4. Yamada V. Quasilinear Wave Equations and Itelated Nonlinear Evolution Equations // Nagoya Math.J. 1981. Vol 84. P.31-83.

5. Кожанов A.И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка // Мат. сб. 1982. Т.118(160), №4. С. 504-522.

6. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во Лснингр. ун-та, 1972.

7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

8. Nakao M. Energy Decay of Wave Equation with a Nonlinear Dissipative Tcrm // Fuukcialay Ekvacioj. 1983. V. 26. P. 237-250.

9. Кожанов A.И. Теоремы сравнения и разрешимость краевых задач для некоторых классов эволюционных уравнений типа псевдопараболических и псевдогиперболических. Новосибирск, 1990. 30 с. (Препринт/ СО АН СССР, Ин-т математики; №17).

SUMMARY

The initial-boundary problem for the equation

Lu = utt ~ An - AAiit + g{u,ut) - f{x,t)

was solved in this work. Cases A > 0, A = 0 were analysed. The uniqueness of the solution to this problem was proved. Function spaces where the solution exists were represented.