Прямая и обратная позиционная задача платформы Гью-Стюарта с шестью степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПЛАТФОРМЫ ГЬЮ-СТЮАРТА С ШЕСТЬЮ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Воробьев Артем Николаевич, студент

(e-mail: [email protected]) Гебель Елена Сергеевна, к.т.н., доцент (e-mail: [email protected]) Омский государственный технический университет, Россия

Платформа Гью-Стюарта с шестью степенями свободы широко используется при создании различных мехатронных устройств, в частности контрольно-измерительных головок, испытательных стендов и т.д. Достоинствами исследуемого механизма является повышенная жесткость и компактность конструкции, а недостатками - возможная потеря управляемости. В статье предложены методики решения прямой и обратной задач о положениях, которые, в соответствии с конструктивными особенностями используемых приводов, позволят оценить область допустимых положений платформы Гью-Стюарта. Проверка адекватности предложенных подходов проводилась путем численного эксперимента в программной среде MathCad.

Ключевые слова: Платформа Гью-Стюарта с шестью степенями свободы, прямая и обратная задача о положениях платформы, математическая модель

Введение

Одним из актуальных направлений развития современных робототехни-ческих систем является создание мехатронных устройств, обеспечивающих высокую точность управления перемещением и ориентацией выходного звена в рабочем пространстве, а также жесткость устройства при действии динамических нагрузок. Перечисленным требованиям удовлетворяют механизмы не с последовательной, а с параллельной кинематикой, которые используются в качестве базовой компоненты столов для монтажа сотовых сегментов экрана подземных туннелей и строительных конструкций; несущих конструкций многокоординатного сборочного и механооб-рабатывающего оборудования и в частности динамического тренажера водителей грузовых автомобилей [1 - 6]. Параллельные механизмы и их модификации отличаются типом и количеством опор, а также числом степеней подвижности.

В работе рассматривается испытательных стенд [1], реализованный на базе шестистепенной платформы Гью-Стюарта с классической кинематической схемой (рис. 1), управление положением и ориентацией выходного звена которой осуществляется изменением длин телескопических штанг (обобщенные координаты).

Решение прямой и обратной позиционной задач для механизмов с параллельной кинематикой требует использования непрямоугольного (нелинейного) базиса, что порождает следующие особенности [2]:

1. анизотропия и неоднородность динамических, упругих и скоростных свойств;

2. потеря управляемости в определенных конфигурациях;

3. интерференции (пересечение) отдельных кинематических цепей;

4. сложность задания движений манипулятора в обобщенных коорди-

Таким образом, одной из важнейших задач, связанных с исследованием механизмов параллельной структуры, в частности шестистепенной платформы Гью-Стюарта, является определение возможных движений (в общем случае винтовых) выходного звена [3] для заданных входных воздействий.

В основаниях конструкции исследуемого испытательного стенда, показанного на рисунке 2, лежат правильные треугольники, смещенные относительно друг друга на угол 60°. Положение опорных шарниров верхнего и нижнего треугольных оснований заданы радиусами Я1 и Я2 описанных около них окружностей.

Штанги попарно крепятся двух- и трехподвижными шарнирами в вершинах нижнего и верхнего оснований соответственно, и представляют собой линейные приводы, реализованные в виде актуаторов.

натах.

Рис. 1 Конструктивный чертеж испытательного стенда

Постановка задачи исследования

Рис. 2. Кинематическая схема исследуемого механизма

Задача анализа кинематика платформы Гью-Стюарта заключается в установлении отношений между положением и ориентацией подвижной платформы и обобщенными координатами, т.е. длинами телескопических штанг [3]. Выделяют прямую и обратную позиционную задачу, первая из которых предполагает вычисление координат шарниров подвижного основания в соответствии с заданными значениями длин штанг. А вторая -формулируется как задача поиска длин штанг по известным положениям узлов.

В процессе исследования приняты следующие допущения [4]:

- основным элементом штанги является интегрально встроенный электропривод поступательного движения с беззазорной передачей, жесткое соединение штанг с основаниями гарантирует отсутствие «мертвого хода»;

- штанги моделируются невесомыми стержнями переменной длины.

Математическая модель обратной задачи кинематики

Для упрощения математической модели параллельного механизма положим, что начало инерционной декартовой системы координат 0ху совпадает с центром треугольника А1В1С1, лежащего на неподвижном основании, а начало относительной системы координат °2х2У222 - с центром правильного треугольника А2В2С2. Оси систем координат направлены так, как показано на рис. 2.

Запишем однородные координаты шарниров верхнего и нижнего оснований в соответствующих системах координат, используя введенные на рис. 3 обозначения:

В ~ " Я СОБа: Я Бта 0 0" " В2 " Я2СОБ Д Я^П Д 0 0

А = я СОБа2 Я ¿та2 0 0 = Я2СОБ Д2 Я2 Бт Д2 0 0

_ Я СО8аз Я вта3 0 0 С 2 Я2 СОБ Д3 Я2 Бт Д3 0 0

где ' (* -1 ^3) - это полярные углы, соответствующие вершинам равносторонних треугольников А1В1С1 и А2В2С2. В соответствии с принятым расположением осей ^ - 0 ^ - 0, поэтому на рис. 3 не указаны.

Т

Рис. 3. Расчетная схема положений шарниров неподвижного (а) и подвижного (б) оснований платформы Гью-Стюарта

Для перехода из относительной системы координат °2 X2y2 Z2 в абсолютную Oi X1 yi zi воспользуемся обобщенной матрицей преобразования [5]:

cos ( cos À cos ( sin À sin y- sin ( cos y cos ( sin À cos y + sin ( sin y xO 2 sin (p cos À sin (sin À sin y + cos (cos y sin (sin À cos y- cos (sin y yO 2 - sin À cos À sin y cos À cos y zO2

0 0 0 1

" , (2) где À и y - углы между осями абсцисс, ординат и аппликат систем

Oi xi yi zi и O2 X2 y2z 2 соответственно.

Используя правило сложения векторов, вычислим перемещение телескопической штанги соответствующее заданному положению шарниров верхнего основания как модуль вектора В1С2:

ВС = ОО + ОВ - ОС1, (3)

где векторы О1О2 = (2 - XO1 yO2 - yO1 ZO2 - ZO1 0 ) = ((] + [В2] + [С23,

о2 В2 -[В2 ]* Т . ОД -[С1 ] ?

Остальные длины штанг рассчитываются аналогично формуле (3).

Математическая модель прямой задачи кинематики

Множество известных подходов к решению прямой задачи о положении подвижного основания платформы можно разделить на две группы, первая из которых использует аппарат векторной алгебры [5], а вторая - аналитическую геометрию [6ф]. В общем виде, математическая модель кинетики исследуемого механизма представляет собой систему нелинейных уравне-

ний, для решения которой требуется априорное знание большого числа параметров, описывающих конструктивные особенности.

При построении математической модели кинематики платформы Стюарта (рис. 2) использованы неподвижная декартовая система координат

" у1 21 с началом в центре основания А1В1С1 и относительная система координат °2 "2 У2 2 2, центр которой лежит в точке пересечения медиан правильного треугольника А2В2С2.

Положение и ориентацию платформы определяет вектор

х -("о ^ Уо ^ 2°2,а А у), первые три элемента которого - декартовы координаты центра подвижного основания, а последние три - тройка углов, которая однозначно определяет ориентацию системы координат подвижной платформы относительно системы координат основания. В результате решения прямой задачи кинематики необходимо установить функциональную зависимость -} (()

Уравнения голономных стационарных идеальных связей между сферическими шарнирами верхнего и нижнего оснований запишем средствами аналитической алгебры как евклидовы расстояния между точками в пространстве:

(А1 А )2 - (а1 - ха2 )2 + (Уа1 - У А2 )2 + (гА1 - 2а2 )2 ; (А1В2 )2 - (а1 - ХВ 2 )2 + (Уа1 - У В 2 )2 + (а1 - 2в 2 )2 ; (В1В2 )2 - (в1 - ХВ2 )2 + (Ув1 - Ув2 )2 + (в1 - 2В2 )2 (В1С2 )2 - (в1 - "с 2 )2 + (Ув1 - УС 2 )2 + (в1 - 2с 2 )2 ; (С1С2 ) — (хс1 - ХС 2 ) + (ус1 - Ус 2 ) + (с1 - 2С 2 ) ; (С1 А2 )2 — (с1 - ха2 )2 + (Ус1 - Уа2 )2 + (2с1 - 2А2 )2 .

(4)

Недостающие уравнения для расчета положения шарниров верхнего основания определим, используя формулы аналитической геометрии в пространстве:

(а2 - ХВ2 )2 + (а2 - УВ2 )2 + (2а2 - 2В2 )2 — < (а2 - "с2 )2 + (а2 - Ус2 )2 + (2а2 - 2с2 )2 — (с2 - ХВ2 ) + (с2 - УВ2 ) + (с2 - 2В2 ) — . (5)

Математическая модель (4) - (5) представляют собой нелинейную систему уравнений относительно девяти неизвестных

("а2^^ хВ^ Ув2, 2в2, "с2, Ус2, 2с2), которая решается известными численными методами, например, методом Ньютона.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки - вершины треугольника А2В2С2, сформируем в матричном виде:

х - X

а2

ХВ2 ХА2

хс2 ха2

У - Уа2 Ув2 - Уа2 Ус2 - Уа

2 - 2

А2

— 0

(6)

2

2В2 2 А2

2С 2 2 А2