Проявление неабелевой геометрической фазы в системах с квадрупольным взаимодействием Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 539.2

А.И. Иванов, В.В. Березюк

ПРОЯВЛЕНИЕ НЕАБЕЛЕВОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФАЗЫ

В СИСТЕМАХ С КВАДРУПОЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

Рассмотрен эксперимент Р. Тико по вращательному расщеплению линий в спектрах ЯКР. Показана связь этого расщепления с неабелевой геометрической фазой. Вычисленная на основе КЭС величина расщепления согласуется с ее экспериментальным значением.

R. Tycko's experiment on rotational splittings of lines in NQR spectra are discussed and showed its connection with non-Abelian geometrical phase. Splitting value calculated on the basis of quasisteady states coincides with its experimental value.

Введение

Несмотря на два десятилетия, прошедшие с момента публикации работы М. Берри [1], в которой было показано, что при достаточно медленной эволюции квантовой системы полная фаза ее волновой функции наряду с хорошо известным динамическим вкладом содержит слагаемое, имеющее геометрическую природу, интерес к этой теме как у теоретиков, так и у экспериментаторов не угас. Существенным продвижением на этом пути стало введение Ф. Вильчеком и А. Зи [2] неабелевой геометрической фазы. Одним из наиболее важных результатов, способствовавших лучшему пониманию абелевой и неабелевой геометрических фаз, является предложение рассматривать фазу Берри как голономию связности линейного расслоения, относящуюся к невырожденным собственным состояниям гамильтониана [3].

Хотя уже выполнены сотни работ по геометрическим фазам, число детально рассмотренных примеров не так велико.

Одним из примеров проявления геометрической фазы является эксперимент, описанный в работе Р. Тико «Адиабатическое вращательное расщепление и фаза Берри в ядерном квадрупольном резонансе». В этой работе для демонстрации вращательного расщепления в спектрах ЯКР рассмотрен эксперимент с вращением образца. Расщепление интерпретируется как проявление геометрической фазы, обусловленной адиабатически меняющимся гамильтонианом. Данная статья посвящена детальному рассмотрению эксперимента Р. Тико и применению подхода Ф. Вильчека и А. Зи к расчету геометрической фазы.

1. Адиабатическая фаза Берри и неабелева фаза Вильчека и Зи

В работе [1] для уравнения Шредингера (h = 1)

i ¥ (г) = H(t)¥, (1.1)

9

Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 9 — 15.

10

с гамильтонианом Н(т), медленно изменяющимся со временем, был введен полный набор ортонормированных функций (рп (т)

Н(т)(рп (т) = Еп (т)Рп (т), (1-2)

в предположении, что спектр Еп (т) не вырожден. В адиабатическом пределе функции

( т it А

рп (т) • exp - i J Еп (r)dr (1.3)

I 0 J

удовлетворяют уравнению (1.1), причем фазы функций Рп (т) выбираются так, чтобы выполнялось условие

(Рп (т),р п(т)) = 0. (1.4)

М. Берри в работе [1] исследовал случай, когда гамильтониан Н зависит от времени т через набор функций {j (т)}=1,те [0, T]. Он ввел

набор ортонормированных собственных функций хп (J) мгновенного гамильтониана Н(Л)

Н(Л)Хп (J) = Еп (Х)Хп (J). (1.5)

В случае невырожденности спектра Еп (J) эти функции в каждый момент времени т е [0,T ] совпадают с точностью до калибровочного преобразования с функциями Рп (т):

Рп = U(JX(j) = ехр0'©п (J))Xn(j). (1.6)

Из условия (1.4) следует уравнение для фазы Берри ©п :

©п = КХп, Xп )4 Jj , (1.7)

где

Апг =i

( я

дХп

Хп>

(1.8)

дЛ]

имеет смысл «индуцированного калибровочного поля».

Неабелево обобщение фазы Берри в случае вырождения было найдено в работе [2]. Вырождение обусловлено симметрией системы. Если симметрия сохраняется для всех точек параметрического пространства, то будет сохраняться и вырождение вдоль определенных траекторий в нем. Обобщение геометрической фазы на вырожденный случай показывает, что при адиабатической эволюции по замкнутому контуру С в параметрическом пространстве вырожденные состояния не возвращаются к исходным с точностью до фазового множителя, а трансформируются в новые состояния внутри мультиплета. Унитарная матрица преобразования Ы(С) от исходных состояний к конечным называется неабелевой геометрической фазой.

В своей работе Вильчек и Зи связали функции (рпа (г) с функциями Хпа (г) унитарным преобразованием

Рпа(г) = иП (Л)ХпЬ (г), (1-9)

обобщающим выражение (1.6); здесь индексами а и Ь отмечены вырожденные состояния. Тогда уравнение (1.7) обобщается следующим образом:

. п . к

иаЬ =-ипас(Ап )сЬ Л , (1.10)

где неабелев калибровочный потенциал определен соотношением, обобщающим уравнение (1.8):

( \ дХпЬ

к),

к >аЬ 1

Хпа, ^к

(1.11)

2. Вращательное расщепление для квадрупольной системы со спином 3/2

Обратимся к эксперименту, описанному в работе Р. Тико [4]. В этой работе в качестве образца использован кристалл ЫаС103, в котором ядра

3

35С1, имеющие спин ] = —, находятся в аксиально-симметричном электрическом поле. Вследствие этого наблюдается единственная резонансная линия на частоте ю0 = 29,935 МГц. Затем образец приводится во вращение с частотой ю << ю0 вокруг оси, наклоненной на угол в по отношению к главной оси симметрии тензора градиента электрического поля. При этом наблюдалось расщепление первоначальной линии на три линии с частотами ю1 = ю0 --^Ъа, ю2 = ю0, ю3 = ю0 +43ю . Частота вращения в процессе эксперимента, изменяясь, не превышал) 15 кГц.

В этой части работы мы вышолним расчет вращательного расщепления и установим его связь с неабелевой геометрической фазой.

Гамильтониан квадрупольной системы со спином ] = 1 и параметром асимметрии п = 0 при повороте на угол р вокруг оси, составляющей угол в с главной осью тензора ГЭП, в молекулярной системе координат примет вид

На = А((3сОБ(в)2 - 1)/2 + (3 БІи(р)2 БІи(в)2 - 1)|2 + (3сОБ(р)2 БІи(в)2 - 1)12 +

+ 3 БІи(р) СОБ(р) БІи(в)2(Іх1у + їуї-х ) + 3 вт(в) СОБ(в) СОБ(р)(/2Іх + ІХІ г ) +

і (2.1) + 3 8т(в) с°8(в) вт( р)(І2Іу + 1у12));

2

А = е ЦоО.

12 '

где е^о — градиент электрического поля, eQ — квадрупольный момент ядра.

11

12

Гамильтониан НQ имеет два уровня энергии, оба из которых вырождены, а соответствующие им собственные функции имеют вид

&1 = А;

X \ = со8(О)е( Р)| + 3/2) + —8т(0)е(2гр)|-1/2) +—>/3 8т(О)|-3/2);

\ . 2 . 2 (2-2)

X ) = —8т(0)е( 2гр)| + 3/2)-со8(0)е(гр)|-1/2) +—->/3 8т(О)| +1/2);

12 / 2 2

^2 = - А; е (гр)|

О = -7^)1 - 3/2) + сов(О)е(гр)| +1/2) + -л/3 8т(О)е(2гр)|-1/2); (2 3) ^) = --181п(0)е(гр)| +1/2)- со8(0)|- 3/2) + 81п(0)е(-гр)| + 3/2).

Для дальнейшего удобно вместо функций Хп), Х12), Х21),

22 ^ ввести их линейные комбинации, отвечающие тем же самым собственным значениям:

Х11) = “^а/1 - со8(О)| Хц) +(1 - с08(^))(3/2) /(л/2 8т(О))| Х1^;

, у _______________ (2.4)

Х12/ = ^2^ + со8(О)1 Хи) +(1 + со8(О))( )/(>/28т(О))| Х12);

X

Х21) = Р(О) 8™(О) со8(О)| Х11) - Р(О)(й - 81п2 (О) -1) Х12 );

Х22 ) = g(О) 8™(О) со8(О)| Х11) + g(О)(d + 8т2 (О) +1) Х12 ^

(2.5)

где р(О) =

g(О) =

■д/2(3 со82 (О) - 4 + й со82(О) - 20)

л/2(3 со82 (О) - 4 - й со82 (О) + 2й)

В выражении для НQ от времени зависит только один параметр

р: р(Ь) = юЬ, где ю — частота вращения образца. Для нахождения мат-(1) (2)

риц и , и , обеспечивающих унитарность преобразования базисных функций, предварительно вычислим явных вид неабелевых калибровочных потенциалов А(1) и А(2):

А(1) =

1

-—(1 - 3со8(О))ю

0

-—(1 + 3со8(О))ю

(2.6)

1

0

А

(2)

1

—(1 + й)ю 0

1

0 --(1 - й)ю

(2.7)

где й = ■)! 1 + 381п2(О) .

Далее подставим полученные выражения для А(1) и А(2) в (1.10) и получим две системы дифференциальных уравнений относительно компонент матриц и(1)(Ь) и и(2)(Ь):

ди )

дЬ

= - ^ аЬт + (-1)а 3со8(О))ю;

ди Ф(0 у (1)

= - 2и № » + <-1>ай>®,

где а, Ь = 1, 2.

Решая их, получим:

и (1)(Ь) =

(1-3со8О)юЬ

2

0

•(1+3со8О)юЬ

(2.8)

(2.9)

(2.10)

15

и (2)(0 =

2

•(1+й)Ю

0

0

- (1-й)Ю

(2.11)

откуда видно, что фазы Вильчека и Зи, характеризующие фазовый на-

бег за период Т = -2п, выглядят следующим образом: ю

и (1)(Т) =

-П(1-3со8(О))

и (2)(Т) =

0 е

,-П(1+й) 0

0

П(1+3со8(О))

0

е

-П(1-й)

(2.12)

(2.13)

Тогда собственные функции мгновенного гамильтониана окончательно имеют вид

|рц) = -^л/6(1 + со8(О))(1 - со8(О))

+2/ еШ +- со8(О))(3/2)

+ 3\ е-ю + 2

+ + со8 (О))л/2 8т(0)| -

|р12) = - —^6(1 - со8(О))(1 + со8 + со8 (в))Л(1 + со8(О))2

+ — д/6(1 + со8( О)) 8т( О)

+ 7/е-ЮЬ - - со8(О))

3

2

(3/2)

. ехр

+1\ е ~Ш + (2.14)

+ — 4

8т( О)

где Е1 = А + (1 - 3со8(О)), Е2 = А + (1 + 3со8(О));

+ —^6(1 - со8( О)) 8т( О)

. ехр

е

0

е

е

е

е

14

р21> =

/(в)сО8(в(А - 1Г)

- 3) - / (в)^/38Іп( в)( А + СО52(в) - 2) + 0

- /(в)43СОБ( в) 8ІП 2 (в)

- у)е2Ш + /(в^т(в)( А + 3СОБ2(в) - 2)

+ ею

|р2^ =

- в(в)СО8(в(1 + А )2)

- 3І + Б(в)л/3 5Іп(в)(А - СОБ2(в) + 2

+ Б(в)л/3СОБ( в) 8ІП 2 (в) где /(в) =

3 2

1 \„2 ІЮ

• ехР1

3\ -ІФІ + е +

- 2 е

- Б(в)5Іп(в)( А - Эсоб2 (в) + 2) 1

{ іЕ3 4;

(2.15)

• ехР {-ІЕ 44

-; в(в) =

2^2й(й + со82(О) - 2) 2^2й(й - со82(О) + 2)

Е3 = - А + (1 + й), Е4 =- А + (1 - й).

Нетрудно убедиться, что вектора |ри), |р12), |р21), |р22) удовлетворяют также нестационарному уравнению Шредингера с гамильтонианом НQ (р)

І І - Н Q (р)1| раЬ) = 0

(2.16)

и описывают квазиэнергетические состояния (КЭС), а Е1, Е2, Е3, Е4 — соответствующие им квазиэнергии, которые, как следует из сравнения выфажений (2.14) и (2.15) с (2.12) и (2.13), связаны с фазами Вильчека и Зи. Действительно, согласно определению квазиэнергетические состояния могут быгть представлены в виде

Ла)і

^ '(?Д) = ехр(-ІЕаОр где ра (г, і) — периодические функции времени,

ра (г, І) = ра(ї,І + —),

(2.17)

(2.18)

а вектора | ри), | р12), | р21), | р22) удовлетворяют этим условиям.

Переходы между различными КЭС подобны переходам из возбужденного стационарного состояния в основное (или из одного возбужденного состояния в другое возбужденное состояние). Частоты переходов между различными КЭС определяются разностью соответствующих уровней квазиэнергии:

ю>14 = ю>0 + ~ (-3 СО8 в + А);

ю. .

Ю13 = ®0 + -^^(—3 СО8 в - А);

Ю24 = ®0 + юю(3 СО§ в + А); Ю23 = Ю0 + ~ю (3 соэ в - А),

(2.19)

где Ю0 — невозмущенная резонансная частота; А = 1 + 38ІП2(в)

2

1

ю

Поскольку в эксперименте Р. Тико угол в определяется условием cos2 (в) = 1/3, то из уравнений (2.19) сразу получаем три резонансные линии на частотах

®14 = ®23 = ®0 ,

®13 = ®о — л/3® ,

®24 = со о +43® .

Такое расщепление и наблюдал Р. Тико.

Список литературы

1. Berry M. // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 392. 1984. Vol. 45.

2. Wilczek F, Zee A. // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 52. P. 2111.

3. Simon B. // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 41. P. 2167.

4. Tycko R. Adiabatic Rotational Splittings and Berry's Phase in Nuclear Quadru-pole Resonance// Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 58. № 22. P. 2281.

5. Born M, Fock V. // Ztschr. Phys. 1928. Bd. 51. S. 165.

Об авторах

A. И. Иванов — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта, physics@dekan. albertina.ru.

B.В. Березюк — ст. преп., БГА РФ, Dzheta@km.ru.

15

УДК 539.12.01

С.Д. Верещагин, А.В. Юров

О СВЯЗИ МЕЖДУ НАРУШЕНИЕМ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЙ И ПОЛЕВОЙ СУПЕРСИММЕТРИЙ

Показано, что спонтанное нарушение нерелятивистской квантовомеханической суперсимметрии для одномерных систем приводит к «раздвижке по массе» суперпартнеров, описываемых соответствующей полевой моделью.

We show that spontaneous breaking of non-relativistic quantum-mechanical supersimmetry for one dimensional systems lead to «mass separation» for superpartners in corresponding field model.

Введение

Хорошо известно, что нерелятивистская суперсимметричная квантовая механика может быть построена с помощью преобразований Дарбу (ПД). ПД объединяет два гамильтониана ^ и ^:

ho = ^ ^ + Е0; hl = ^ + Е0;

Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 15 — 19.