Обобщённая фаза Берри спиновой системы со спином s=1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №9-10_

ФИЗИКА

УДК 51-72:530.145+537.621+537.9

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Д.А.Саттаров, Ю.Юсефи

ОБОБЩЁННАЯ ФАЗА БЕРРИ СПИНОВОЙ СИСТЕМЫ СО СПИНОМ £=1

Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан

В работе проведено последовательное обобщение фазы Берри для спиновой системы спином S=1 с использованием дифференциальной 2-формы в когерентных состояниях группы SU(3). Показано, что обобщённая фаза Берри появляется при наличии одноионной анизотропии.

Ключевые слова: фаза Берри, геометрическая фаза, SU(3)-спиновые когерентные состояния, дифференциальная форма, внешнее умножение, внешняя производная.

С того времени, как была опубликована знаменитая статья Берри (M.V.Berry) «Квантовые фазовые множители, сопровождающие адиабатические изменения» [1], понятие геометрической фазы (ГФ), или фазы Берри (ФБ), распространилось в самые различные области физики. С ГФ связывают эффекты Яна - Теллера, Ааронова - Бома, квантовый эффект Холла. Берри обратил внимание на то, что при медленной (адиабатической) циклической эволюции волновая функция системы приобретает фазовый множитель, содержащий, кроме тривиальной динамической фазы, дополнительную топологическую фазу. В [2] было показано, что ФБ есть голономия, поворот на некоторый угол касательного вектора при его параллельном переносе вдоль замкнутой кривой на изогнутой поверхности в пространстве параметров системы, например на сфере, для трехмерного случая [3].

Рассмотрим систему, которая описывается гамильтонианом Н, изменяющимся варьированием параметров Я = (X, У, 7). Тогда циклическая эволюция системы во времени от t=0 до t=T будет описываться как перемещение вдоль замкнутого контура в параметрическом пространстве с гамильтонианом н (Й(о) и Я ( Т) = Я ( 0 ) . Этот замкнутый контур обозначим через C. Для адиабатического приближения время T должно быть большим. Состояние системы | т/*(0) эволюционирует согласно уравнению Шрёдингера

й(ъ ( 0 )| ф(0) = т\ф(0).

В любой момент времени естественный базис составлен из собственных состояний оператора , которые удовлетворяют уравнению на собственные значения . Система, нахо-

дящаяся в одном из таких состояний , при адиабатическом процессе эволюционирует вме-

сте с Н и в момент времени t окажется в состоянии | п (и(Ь)). Тогда изменение геометрической фазы вдоль всего контура C имеет вид [1]

Адрес для корреспонденции: Саттаров Джамолиддин Абдужабборович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Айни, 299/1, Физико-технический институт АНРТ. E-mail: iristropos@yandex.ru

Фп (С) = I (п(Й) | Уйп(Й))с1Й , (1)

дй

где д И = С - контур, вырезающий на поверхности возможных состояний область D.

Применяя теорему Стокса к (1), ФБ можно выразить через интеграл по поверхности [1]

Ф п ( С) = - I т Л (15 • V х <п | Уп) = - I т Ц 15 • (Уп | х | Уп) . (2)

в в

Фаза Берри в виде (2) применима к системам со спином ^ = однако в случае систем с более

высоким спином, при наличии дополнительных степеней свободы спиновой динамики выражение (2), вообще говоря, не даёт полного описания системы.

Получим фазу Берри, возникающую при эволюции спиновой системы со спином 5"= 1 при наличии одноионной анизотропии, которая приводит к возбуждению квадрупольных степеней свободы спиновой динамики. Адекватное описание таких систем на полуклассическом уровне, как было показано в работах [4,5], обеспечивается применением обобщённых когерентных состояний (КС), построенных на группе 8и(3). Спиновая динамика в этом случае описывается четырьмя действительными переменными [4]. Поэтому теорему Стокса в том виде, в котором она использована выше (трёхмерный случай), применять нельзя, её следует обобщить. Такое обобщение проведено в рамках теории дифференциальных форм и дифференциальной геометрии [6,7]. Производная по направлению V переходит во внешнюю производную с(, а векторное произведение х — во внешнее произведение Л дифференциальных форм. Выражение (1) преобразуется в интеграл от 2-формы по поверхности, ограниченной контуром С в некотором многообразии. Как известно из теории дифференциальных форм, если а и // есть р- и д-формы соответственно, то их внешнее произведение есть (р+д)-форма, причём , а также . Внешняя производная нильпотентна, то есть

. Такая производная действует на внешнее произведение по модифицированному правилу Лейбница С (а Л //) = (С а) Л // + ( - 1 ) ра Л (с?/) .

Обобщённая теорема Стокса — центральная теорема интегрального исчисления дифференциальных форм на «-мерном многообразии. Для любой «-мерной области В на ориентированном п-мерном многообразии М и для любой («-1)-формы:

Iйа= Jа,

(3)

Ъ дЪ

где д И есть («-1)-мерный многогранник — внешняя граница области В и ориентированный в направлении внешней нормали [6,7]. В рассматриваемом случае многообразие М представляет собой четырёхмерное пространство параметров ^ (/=1,2,3,4) КС группы 8Щ3).

Замечая, что в выражении (1) присутствует 1-форма и, заменив состояния | п) на 8Щ3)-КС , перепишем его в следующем виде

Ф С5 (С) = ! ^ ( С5 | С | С5) . (4)

дй

Применяя формулу Стокса (3) к (4), получим

i j>(CS\d\CS) = i I d ((CS\d\CS))

(5)

д'о О

Воспользуемся фактом нильпотентности производной и её действия на внешнее произведение

и преобразуем (5) к следующему виду

ФС5(0 = 11<ЙС5(Х(0) I Л ИС5(х(0)> ■

(6)

Таким образом, в выражениях (4) и (6) имеем 1-форму (связность <А) и 2-форму (кривизну Т)

соответственно:

сД(х) = L(CS(x)\d\CS(x)) = i(CS(x)\dL\CS(x))dxL ,

(7)

Т(х) = л |ЙС5(Х(0)> = 1<агС50с(0)1 л | д^БШШх1 А^',

где для индексов используется правило суммирования Эйнштейна. В итоге, формула (1) для ФБ принимает следующий вид

ФС5(С) = j л (х) = f т (х).

до о

(8)

(9)

Используя КС, введённые в работе [4]:

/1 cosg cos2 ® + e2iYsing sin2 ® ^ е~Кг+<Р)\

\CS) =

fQ\ íQ

-j + e217 sing sin2 í-

e~lY(cosg — e2íysin5|)sin0

V2

eí(~Y+<p) [ e2¿ycos2 / ^ sing + cosgs[n2

/

где эйлеровы углы в, р являются параметрами спиновой динамики, а g и у - квадрупольной. Соответственно имеем:

Л = соз2д(со5в d(p + dY), Т = 2со5(0)5т(2д)dф Adg + со5(2,д)5т(0)^Ф Л dв — 2sm(2g)dg Л dY,

ФС5 = JJ 2 cos в sin 2д с?ф Л dg + JJ cos 2д sin в с?ф Л dO — JJ 2 sin 2д dg A dy.

Проведём преобразования в выражении (10):

JJ 2cos(e)sin(2g)dcp Adg = -¡ 2cos(0) ^ J sin(2 g)dg^j Л е?ф =

= J cos(d) (cos(2g) dcp = J cos(d) (cos(2g) — 1)е?ф =

= J(cos(e)cos(2g) — cos (0))е?ф

JJ cos(2g)sm(6)d<fyd6 = — J 2cos(2g) ^ J sin(6)d6^j е?ф = = J cos(2g) ^cos(0) д^Ф = J cos(2g) (cos(0) — 1)е?ф = = J(cos(e)cos(2g) — cos(2g))dcp

(10)

JJ 2sin(2д) dgdy = — J cos д dy = — J(cos(2g) — 1) dy = = J( 1 - cos(2,g)) dy

Окончательно, обобщённая фаза Берри запишется в виде

Ф = J (со s в (с о s 2 д — 1 ) — со s 2 д) с?ф — J ( 1 — с о s 2 g ) dy . (11)

Очевидно, выражение (11) в отсутствие квадрупольного момента (g=0) сведётся к выражению для ФБ для КС группы SU(2):

=/(cose-1)*ф = -/(1-cos*) ¿ф.

Полученное выражение (11) для геометрической фазы Берри позволяет последовательно учесть возбуждение мультипольной динамики в спиновых системах со спином S > ^ при наличии одноионной анизотропии.

Поступило 29.07.2016 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Berry M.V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes. - Proc. R. Soc. Lond., 1984, A392, pp.45-57.

2. Barry Simon. Holonomy, the quantum adiabatictheorem, and Berry's phase. - Phys. Rev. Lett., 1983, v.51, №24, pp.2167-2170.

3. Клышко Д.Н. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах. - УФН, 1993, т.163, №11, с.1-18.

4. Ostrovskii V.S. - Sov. Phys. JETP, 1986, v.64(5), pp.999-1005.

5. Абдуллоев Х.О., Муминов Х.Х. - ФТТ, 1994, т.36, №1, с. 170-178.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М. Наука, 1974, 472 с.

7. Marian Fecko. Differential geometry and lie groups for physicists. - Cambridge: Cambridge University Press, 2006, 697 p.

^Д.Муминов, Ч,.А.Саттаров, Ю.Юсефй

ФАЗАИ УМУМИКАРДАШУДАИ БЕРРИ БАРОИ СИСТЕМАМИ СПИНИИ

БО СПИНИ S=1

Институти физикаю техникаи ба номи С.У. Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар маколаи мазкур мафдуми фазаи Берри барои системадои спинии бо спини S=1 бо истифода аз 2-шакли дифференциалй дар холатдои кодерентии гуруди SU(3) пайдарпай умумй гардонида шудааст. Нишон дода шудааст, ки фазаи умумикардашудаи Берри дар мавчудияти гайридамсонгардии як-ионй пайдо мешавад.

Калима^ои калиди: фазаи Берри, фазаи геометри, холатдои кодерентии спинии SU(3), формаи дифференсиали, зарби беруна, уосилаи беруна.

Kh.Kh.Muminov, D.A.Sattarov, Yu.Ysefi GENERALIZED BERRY'S PHASE FOR S=1 SPIN SYSTEM

S.U.Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

In this paper consecutive generalization of Berry's phase for 5=1 spin system in SU(3) coherent states using differential forms have been done. It is shown that generalized Berry's phase appears in the presence of single-ion anisotropy.

Key words: Berry's phase, geometrical phase, SU(3) spin coherent states, differential forms, wedge product, exterior derivative.