Динамический контроль квантовых состояний джозефсоновских кубитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Квантовая механика низкоразмерных систем Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 5 (2), с. 48-53

УДК 538.94

ДИНАМИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКИХ КУБИТОВ

© 2010 г. А.И. Гельман1, М.В. Денисенко2, А.М. Сатанин2

1 Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород 2Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

sarkady@mail.ru

Поступила в редакцию 13.05.2010

Изучено динамическое поведение кубита в сильном переменном электромагнитном поле. Показано, что бигармоническое поле может существенно влиять на темп переходов Ландау-Зинера, пересечение квазиэнергетических уровней и характер многофотонных переходов, а интерференционная картина для заселенностей возбужденных состояний кубита оказывается чувствительной к параметрам сигнала. Обнаруженные эффекты могут быть использованы для калибровки пикосекундных импульсов.

Ключевые слова: кубиты, динамический контроль, переходы Ландау-Зинера, квазиэнергия, амплитудная спектроскопия.

Введение

Как известно, основная суть эффект Джо-зефсона состоит в том, что если сверхпроводящий проводник «разрывается» слабой связью (прослойкой окисла), то через такую связь может течь сверхток, который зависит от разности фаз сверхпроводящих электронов в берегах перехода [1, 2]. При этом эффективный гамильтониан, описывающий переход, по виду совпадает с гамильтонианом нелинейного маятника, причем угол отклонения маятника от положения равновесия играет роль разности фаз в джозеф-соновском переходе. Вблизи положения равновесия системы можно ограничиться двухуровневым приближением, и сверхпроводящий контур с встроенным переходом Джозефсона ведет себя аналогично типичной двухуровневой системе, например, атому или молекуле, паре квантовых точек, спину электрона и т.д. Сверхпроводящая петля с несколькими переходами позволяет реализовать двухуровневую систему, параметрами которой легко управлять, используя сравнительно слабые электромагнитные поля. Двухуровневые системы могут находиться в двух различных состояниях (аналог нуля и единицы), а также в квантовой суперпозиции этих состояний. Именно такие системы рассматриваются для реализации кубитов - элементов памяти квантовых компьютеров [3].

В последнее время большое число работ посвящено теоретическому и экспериментальному изучению свойства одиночных джозефсонов-ских кубитов (см. обзор [4]). В недавних экспериментах была продемонстрирована возмож-

ность приготовления и проведения «неразрушающих измерений» состояний кубита, а также развита методика манипулирования состояниями кубита; были выполнены измерения параметров и времени декогерентности одиночного кубита. Большой интерес вызвала разработка амплитудной спектроскопии [5], в основе которой лежит методика получения информации о системе путем «развертки» функции отклика по амплитуде сигнала и управляющего параметра (определяющего расстояние между уровнями). Этот метод применим к системам с пересекающимися энергетическими уровнями, между которыми могут быть осуществлены переходы путем изменения внешних параметров. В такой ситуации частота электромагнитного поля может быть на несколько порядков ниже, чем расстояние между уровнями, поэтому система на периоде поля в основном эволюционирует адиабатически, за исключением относительно малых интервалов времени, когда происходит сближение уровней и между ними становится возможным туннелирование Ландау-Зинера [6, 7]. Поскольку эволюция системы идет по двум путям, приводящим к возникновению суммарной населенности уровней, это дает возможность получить интерференционную картину населенностей в зависимости от амплитуды поля и расстояния между уровнями. Главное достоинство амплитудной спектроскопии состоит в том, что система исследуется в широких диапазонах изменения амплитуды и дает информацию о воздействии шума на кубит.

Однако несмотря на имеющийся прогресс, многие вопросы квантовой динамики кубитов в

настоящее время все являются открытыми. Например, это проблемы влияния шума и управления кубитами, динамики взаимодействующих кубитов и т.д. В данной работе для описания контролируемой динамики кубита в периодическом негармоническом поле будут использованы идеи квазиэнергетического подхода [8-10]. Основная цель работы - исследовать управление переходами Ландау-Зинера и интерференционной картиной населенностей путем изменения формы сигнала на периоде изменения поля. Особое внимание будет обращено на фазовую зависимость отклика кубита на бигармо-ническое поле, которое представляет собой суперпозицию сигналов с заданным сдвигом фазы. Мы опишем интересные фазовые эффекты и следствия, которые могут наблюдаться в джо-зефсоновских контурах методами амплитудной спектроскопии при воздействии на них модулированных сигналов.

Динамика кубита в бигармоническом поле

Основные черты динамического поведения сверхпроводящего кубита, находящегося в переменном электромагнитном поле, могут быть описаны гамильтонианом:

я (>)=і

е(0 А

А - е(г)

ляющую функцию (поле) будем считать периодической во времени е(г) = е(Т + Т) . Хотя наш подход годится для любой периодической функции е(Т), мы обсудим подробней случай бигармонического сигнала

е(Т) = е0 + А(соэ ю г + у cos(2ю г + ф) ), (2)

где ф - относительная фаза сигналов в суперпозиции, у - относительная амплитуда. Динамика системы подчиняется уравнению Шредин-гера (Н = 1) :

д

і-|ПО) = Я(0|ПО) .

(3)

(1)

где е(Т) - управляющий параметр, определяемый магнитным потоком, пронизывающим сверхпроводящую петлю в данный момент времени г, А - туннельное расщепление уровней [5, 8] (см. рис. 1).

Если контур пронизывает только постоянное магнитное поле, то в этом случае параметр е = £о определяет смещение уровней в ямах эффективного потенциала [8], а положение уровней

1 Г2 2

определяется выражением: Е = ±—уе0 +А . Для осуществления квантового контроля управ-

В сильном переменном поле можно ввести адиабатические состояния, подчиняющиеся уравнению

Н (?)| ф± (0) = Е± (?)| ф± (г )). (4)

На рис. 2 изображены зависимости Е+ (г) и Е_(г) от времени на периоде изменения поля. Численное решение (3) показывает, что на тех временных участках, где амплитуда поля велика, кубит находится приближенно в состояниях | ф± (г)). На тех участках, где Е+ (г) и Е_ (г) сближаются, адиабатическое приближение нарушается, и имеют место переходы Ландау-Зинера. Как известно, вероятность перехода Ландау-

Зинера РЬ2 х ехр(-2пА2 / V) зависит от скорости изменения разности энергии между уровнями в

V = де(Т) (скорость

момент пересечения

дт

£(Т )=0

пересечения уровней V можно приближенно считать постоянной). Из рис. 2а видно, что в случае бигармонического сигнала имеются участки сближения уровней (типа 2), где имеет место обычное туннелирование Ландау-Зинера, а также пологие участки (типа 1), где линейная аппроксимация неприменима. На этих участках

формула Ландау-Зинера не работает, а вероятность перехода описывается выражением

Р х ехр[- 2пА3/2/(Ау)1/2 ] (см. рис. 2б), которое зависит от относительной амплитуды поля (при ф = п /2). Полученные результаты показывают, что переходами Ландау-Зинера можно управлять, меняя форму сигнала.

Укажем на аналогию поведения рассматриваемой системы с интерферометром Маха-Цендера в оптике, где имеет место интерференция волн, распространяющихся по разным путям в пространстве между системой делитель-

Рис. 2. «Адиабатические уровни» кубита (а); динамика населенностей кубита (б) в зависимости от относительного времени г/Т бигармонического сигнала. Выбраны следующие параметры кубита и поля: А = 0.5 ГГц, е0 = 0, А = 14 ГГц, у = 1/2,

Ф = п/2

ных пластин и зеркал. В нашем случае имеется два пути, по которым система может эволюционировать во времени. Поскольку переходы Лан-дау-Зинера «смешивают» амплитуды альтернативных путей (каналов), между ними становится возможной интерференция. Бигармониче-ский сигнал позволяет определенным образом смешивать сигналы, влияя на интерференционную картину.

Резонансное приближение

Исследуем теперь поведение системы в резонансном приближении. Предварительно совершим каноническое преобразование

|Т(0) =и(Т)| Т(о), и(т) = ехр(І0(?)стг) , (5)

А

где 0(0 = е0г +— ю

8ІП —Т + — (8Іп(2—Т + ф) - 8ІПф)

1 0

0 -1

(6)

Уравнение Шредингера для преобразованной волновой функции | Т (Ж приобретает вид

І-\Т(г)\ = Ги+И(1)и-ИҐ™ 11ТЩ) = Я(т) Т(0), (7)

а модифицированный гамильтониан записывается в виде

А +'х< +'х< Г А

Я(т)=- Е и„|-

2 п=—»м=-^ ^—

(

1А 1х 2ш

уА ■ \

-І — вшф+тф I

2- Уег1Е0+(и+2м)—]Т

Л

0 е

уА . Л

—вшф+тф I

е ч2ю у1е-г[в0+(и+2т)ю]Т 0

(8)

При получении (8) было использовано известное соотношение:

.А .

I — ВІД —Т

= 1 Л

- \е

—

ІП—І

(9)

Jn (х) - функций Бесселя. В резонансном приближении, когда е0 + (п + 2т)ю ~ 0 и А << ю, в выражении для эффективного гамильтониана можно опустить высокочастотные слагаемые. Тогда гамильтониан, описывающий медленное движение, приобретет вид:

И = 1

И п,т 2

0 А

Л

Ап

п,т

0

(10)

где введены обозначения

Ап,т = Ып (А / юУт (Ау / 2ю)е-((А/ ю>- ф+тф/2).

Гамильтониан соответствует резонансному взаимодействию переменного поля с двухуровневой системой и описывает обобщенный резонанс Раби. При этом частота Раби определяется выражением 0.п т =| Апт | и зависит от отношения амплитуд гармоник. Если отношение амплитуд у фиксировано, то имеются две серии нулей: Jn (А / ю) = 0 и Jт (Ау / 2ю) = 0.

Причем нули имеют место даже в условиях резонанса, что приводит к отсутствию возбуждения системы и эффекту когерентного подавления туннелирования даже при сильных полях, когда А >> А, А >> е0. В то же время имеется две серии максимумов, определяемых функциями Бесселя, когда населенности также будут иметь максимумы.

ст. =

г

т

—

е

п

Квазиэнергетические состояния

В сильном переменном поле хорошо определены только квазиэнергетические состояния [911], задаваемые выражениями

|Т(Т)) = |фк(Т)>е-^‘ ,

|Ф* (Т + Т)) = ф (?)), (11)

где | Фк (г)) - решение уравнения

н (г) - ^ФкЮ) = 0к\Фк(0), (12)

а параметры Qk называются квазиэнергиями (в рассматриваемой системе к = 1,2). При этом эволюция системы описывается выражением

|Т(0) = хск| Фк (0) е^кТ , (13)

где коэффициенты Ск определяются начальными условиями. Тогда амплитуда перехода за время г определится действием на начальный вектор состояния оператора Флоке:

р (Т) = !|Ф к (1)УШ{ Ф к (0)|. (14)

Поскольку вероятность перехода зависит от квадрата модуля матричного элемента оператора Флоке, то в среднем по времени вклады с разными к сильно осциллируют, что уменьшает вероятность перехода. Если же при изменении параметров системы квазиэнергии «пересекаются», то это может сильно увеличивать вероятность перехода. Ниже покажем это путем численного моделирования вероятностей перехода.

Характерной чертой зависимости квазиэнергии от параметров системы в случае бигармо-нического сигнала является нарушение симметрии Qк(е0) Ф Qк(-£0). Это свойство немедленно следует из выражения (1). На рис. 3 показана зависимость Qк (60) для типичных параметров кубита и управляющего поля.

Рис. 3. Зависимость квазиэнергии Q2 от параметра

смещения уровней для: А = 0.5 ГГц, А = 6 ГГц,

у = 0.8 , ф = 3п/4

Пусть первоначально кубит находился в состоянии | а , которое является собственным вектором гамильтониана (1) в отсутствие переменной составляющей поля ( А = 0 в выражении (2)), т.е. кубит был «приготовлен» на энер-

1 Г2 2

гетическом уровне Е = -—-^е0 +А . Пусть теперь измеряется вероятность перехода кубита в конечное состояние (после действия импульса поля), которое связано с измеряемой экспериментально проекцией тока в сверхпроводящей

петле

(состояние | в =

). Тогда нетрудно

показать, что вероятность перехода определяется соотношением:

|2|/ 1|2

а (Т V Ф к С

(т)=х|<р|ф*«я |(ф*(0)|^|. (15)

к

Выражение (14) необходимо усреднить по начальным временам прихода импульса поля на кубит и по длительности самого импульса при фиксированной фазе сигнала.

Приложения к амплитудной спектроскопии

Рассчитанные таким образом населенности состояния | в изображены на рис. 4. На рис. 4 представлены зависимости населенностей состояния | в от управляющего параметра £0 и амплитуды внешнего переменного поля А для двух значений соотношений амплитуд у гармонического сигнала (относительная фаза ф = п). Качественно эти зависимости могут быть поняты в рамках резонансного приближения. Как было сказано выше, частота осцилляций пропорциональна произведению функций Бесселя Jn (А / ю) Jm (Ау / 2ю) , следовательно, её минимумы и максимумы определяются нулями функций Бесселя и нулями их производных. Из рис. 4а следует, что при монохроматическом сигнале (у = 0 ) получается симметричная относительно

£0 ^ -£0 интерференционная картина. Это означает, что многофотонное поглощение кубитом не зависит от «направления» развертки по £0 , тогда как при у Ф 0 отчетливо видна асимметрия в расположении пиков поглощения. Из рис. 4б видны дополнительные пики, обусловленные отмеченной выше зависимостью функций Бесселя от параметров сигнала.

О 1

Рис. 4. Зависимость населенностей состояния | р) от амплитуды внешнего поля А и управляющего параметра кубита е0 при у = 0 (а) и у = 1/2 (б). Параметры кубита: А = 0.5 ГГц, ш = 1 ГГц, ф = П

Выводы

Таким образом, динамическое поведение кубита в сильном поле существенно зависит от формы сигнала возбуждающего поля. Подчеркнем еще раз наиболее существенные моменты, продемонстрированные в данной работе на примере бигармонического сигнала. Во-первых, суперпозиция двухчастотных сигналов может существенно изменить темп переходов Ландау-Зинера. Во-вторых, пересечения квазиэнергетических уровней оказываются зависящими от параметров сигнала, что приводит к изменению характера многофотонных переходов в зависимости от знака управляющего параметра. Наконец, интерференционная картина для заселенностей возбужденных состояний кубита оказывается чувствительной к параметрам сигнала. Отмеченные эффекты качественно согласуются с результатами эксперимента [12]. Еще раз укажем на аналогию с интерферометром Маха-Цендера: в случае кубита бигармонический сигнал как бы меняет проницаемость «полупрозрачных зеркал» -вероятностей туннелирования через области пересечения адиабатических уровней и, следовательно, интерференционная картина населенностей становится чувствительной к форме сигнала. Поскольку динамика и населенности кубита зависят от формы сигнала, то кубит может быть использован для калибровки ульт-

ракоротких (пикосекундных) импульсов. Это свойство кубита может иметь практическое значение для диагностики квантовых систем.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала вы1сшей школы» (2.1.1/3778, 2.1.1/2686) и фонда «Династия».

Список литературы

1. Likharev K.K. Dynamics of Josephson junctions and circuits. New York: Gordon and Breach, 1986.

2. Barone A. and Paterno G. Physics and applications of the Josephson effect. New York: Wiley, 1982.

3. Nielsen M.A. and Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000.

4. Wendin G. and Shumeiko V.S. in Handbook of Theoretical and Computational Nanotechnology / Eds by M. Rieth and W. Schommers // American Scientific. 2006. New York. V. 3.

5. Oliver W.D. et al. // Science. 2005. V. 310. 1653.

6. Landau L. D. // Phys. Z. Sowjet union. 1932. V. 2. 46.

7. Zener C. // Proc. R. Soc. A. 1932. V. 137. 696.

8. Orlando T.P., Levitov L.S. et al. // Phys. Rev. B. 1999. V. 60. 15398-15413.

9. Зельдович Я.Б. // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. С.1492.

10. Ритус В.И. // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. С.1544.

11. Shirley J.H. // Phys. Rev. 1965. V. 138. B979-B987.

12. Bylander J. et al. // Phys. Rev. B. 2009. V. 80. 220506 (R).

DYNAMIC CONTROL OF QUANTUM STATES OF JOSEPHSON QUBITS A.i. Gelman, M. V. Denisenko, A.M. Satanin

Dynamic behavior of a qubit in a strong variable electromagnetic field has been studied. It has been shown, that a biharmonic signal can substantially affect the rate of Landau-Zener transitions, the intersection of quasienergy levels and the nature of multiphoton transitions. It has been found that the interference pattern for populations of excited states of the qubit is sensitive to the parameters of the signal. These effects can be used for calibration of picosecond pulses.

Keywords: qubits, dynamic control, Landau-Zener transitions, quasienergy, amplitude spectroscopy.