CC BY
44
Квантовая механика низкоразмерных систем Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 5 (2), с. 53-57
УДК 530.145
КВАНТОВЫЕ СКАЧКИ ПРИ СПОНТАННОЙ РЕЛАКСАЦИИ СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО КУБИТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЬНОГО ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ПОЛЯ
© 2010 г. А.И. Гельман1, А.М. Сатанин2
1 Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород 2Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
gelman@appl.sci-nnov.ru
Поступила в редакцию 13.05.2010
Методом квантовых траекторий изучено влияние скорости спонтанной релаксации на населенности уровней сверхпроводящего джозефсоновского кубита в отдельных реализациях эксперимента по воздействию на кубит сильного переменного высокочастотного поля. Прослежен переход к усредненной динамике, получающейся путем многократных измерений состояния кубита в недавних экспериментах.
Ключевые слова: сверхпроводящий кубит, переход Ландау-Зинера, квантовые скачки.
Введение
Существующие до недавнего времени методы описания процессов релаксации в квантовых системах изначально предполагали наличие ансамбля систем и давали усредненное (в квантово-механическом смысле) описание динамики [1, 2]. Такого описания было достаточно, поскольку считалось невозможным исследовать и контролировать отдельные квантовые системы. Так, в 1952 году Шредингер в работе «Существуют ли квантовые скачки?» [3] писал: «.. .Мы никогда не экспериментируем только с одним электроном, атомом или (малой) молекулой». Концепция квантовых скачков, когда атом переходит с одного энергетического уровня на другой с одновременным излучением фотона мгновенно, является одной из первых в квантовой механике. Она вновь стала актуальной в 1975 году в связи с предложением Демельта использовать одиночный трехуровневый Г-атом для высокоточной спектроскопии. В 1986 году появились сразу три работы по исследованию флуоресценции в отдельном атоме с Г-конфигурацией электронных уровней в ионной ловушке [4-6], где существование квантовых скачков было подтверждено экспериментально. Среднюю интенсивность флуоресценции ансамбля таких атомов легко рассчитать, например, на основе уравнений Блоха. Однако, чтобы аналитически описать статистику появления темных полос в интенсивности флуоресценции, требовались новые методы. Метод квантовых траекторий, квантовых скачков или Монте-Карло расчета волновой функции системы [7] для описания динамики одиночной квантовой системы появились в начале 90-х го-
дов. Поскольку влияние внешней среды на любой квантовый объект исключить невозможно, исследование единичных реализаций процессов в квантовых системах (а не только усредненных данных) позволило осуществлять численное моделирование многих экспериментов квантовой динамики, процессов передачи и хранения квантовой информации [8-12].
Сверхпроводящие кубиты - искусственный квантовый объект, в котором можно организовать большое число уровней [13]. Существенным преимуществом такого атома является возможность динамически управлять структурой уровней путем подачи внешнего поля, рассмотрена возможность охлаждения кубита на нижний уровень, эффекты пленения населенностей и другие. В недавних работах также предложены методы и проведены эксперименты [14, 15], позволяющие определить параметры кубита, в том числе уровень шума в системе, по его влиянию на населенности уровней в зависимости от интенсивности внешнего переменного поля накачки, поэтому представляют интерес особенности динамики единичного кубита в реальных условиях с учетом релаксации [12].
В данной работе впервые выполнено исследование диссипативной динамики одиночного кубита в сильном переменном поле методом квантовых траекторий. В продолжение наших работ [12, 16], где учитывался только процесс дефазировки, подробно изучен механизм диссипации, связанный со спонтанным излучением и релаксацией энергии в системе. Эти результаты позволяют дать интерпретацию переходам Ландау-Зинера в зашумленной среде с точки зрения единичных реализаций, а также устано-
вить связь с усредненной динамикой системы, которая может быть получена в экспериментах [13-15] путем многократного повторения опыта.
Модель и уравнения
Основные черты динамического поведения сверхпроводящего кубита, изучаемого в экспериментах [13-15], могут быть описаны гамильтонианом
Hs = 1 (s(t )а z +Aa x ) ,
2
(1)
где s(t) = s0 + A cos at - внешнее управляющее поле с периодом T = 2п / %, А - туннельное расщепление уровней, az, ax - матрицы Паули. Параметром s0 , определяющим расстояние между уровнями и амплитудой переменного поля A, можно управлять, меняя соответственно величину магнитного потока и амплитуду высокочастотного поля, возбуждающего кубит. Уравнение для оператора плотности системы р в марковском приближении можно записать в виде [ 1, 2]:
p = -iH, P] +1 Г(аzРаz -P) +
n 2
+ -2-(2a-pa+ -а+а-p-pа+а-),
(2)
TT ТГ ІПГ +
H^r = H------------а„а„
leff
4
ihy
2
аа
(3)
дефазировки
релаксации
¥(i )(t + At)) = ^a z
¥(i)(t + At)) = ^2а-
¥(i)(t)
y(i )(t )), где
X и X2 - нормировочные константы. Вероятность скачков Р(г)(?) зависит от времени и может быть вычислена [7]. После I -го прохода по
времени, мы получаем квантовую траекторию, представляющую одну реализацию эксперимента - диссипативную динамику одного кубита. Для нахождения среднего значения произвольного оператора А, определяющего параметры системы, для различных реализаций вол-
новой функции
¥(i )(t)) рассматривается кван-
тово-механическое среднее ^у(г)(0 берется среднее по числу реализаций.
Результаты и обсуждение
¥(i)(t))и
Поведение кубита в сильном переменном поле в отсутствие квантового шума хорошо известно [17]. В резонансном приближении, когда є0 ® пю и А << ю (здесь и далее выбираем систему единиц, в которой Н = 1), эффективный гамильтониан системы, описывающий медленное движение, запишется в виде
h ' = 1
2
0 An
VA n
0
(4)
где Г определяет скорость затухания когерентности (дефазировку), у - скорость релаксации
энергии [2, 8], а± = ах ± гау .
Уравнение (2) дает усредненную по ансамблю квантовую динамику системы. Чтобы проследить динамику отдельного кубита обратимся к методу квантовых траекторий [7]. Согласно этому подходу, динамика системы представляется как непрерывное изменение
векторов состояния | у(г)(?)) (І - номер «квантовой траектории») под действием неэрмитово-го гамильтониана И0-а-
где А« =АJn (А/ ю), (х) - функция Бесселя,
п - номер резонанса. Гамильтониан (4) хорошо известен в квантовой оптике [2] и соответствует резонансному взаимодействию лазерного поля с двухуровневым атомом, где Ап - частота Раби [17].
Результаты расчёта населенности верхнего уровня р одиночного кубита представлены на рис. 1 для типичных в эксперименте скоростей релаксации у при многофотонном резонансе,
когда є0 = 30ю, в отсутствии дефазировки. При
При этом диссипативная динамика прерывается скачками, переводящими волновую функцию в новое состояние, когда имеет место акт
или
Рис. 1. Зависимость населенности верхнего уровня от времени при скоростях релаксации у = 0.01ю (черная сплошная линия), у = 0.09ю (серая линия), у = 0.36® (черная пунктирная линия). Видны скачки населенности в момент спонтанной релаксации. Параметры А = ю , Б0 = 30®, Г=0, А = 43.3®
больших интенсивностях внешнего поля £0 >> ю, A >> ю собственные состояния гамильтониана (1) практически совпадают с состояниями оператора а2 , которые могут быть измерены в эксперименте. Поэтому в наших расчетах исследуются населенности кубита в базисе а 2.
Как видно из рис. 1, при большой амплитуде /2 2
A >>л/А +£0 [17] в отсутствии релаксации в
каждой реализации наблюдается характерная раби-динамика с эффективной частотой Раби А30(43.3) * 0.14ю . Дополнительной особенностью являются переходы Ландау-Зинера (ЛЗ) при пересечении неадиабатических уровней кубита (когда £^) = 0) и эффект пленения населенности на временах порядка T /2 в промежутках между пересечениями уровней [12-17]. При увеличении скоростей релаксации у характер траекторий существенно меняется. На начальном участке рис. 1 траектории определяются диссипативной динамикой Вигнера-Вайскопфа. В момент спонтанной релаксации кубит переходит в основное состояние, что отражается скачками населенности на рис. 1, при этом уже после первого скачка траектории существенно различаются. Наличие дополнительного члена в Heff (3) приводит к явному наклону графика p на участках пленения населенности, увеличивающемся при увеличении у . Как и следовало ожидать, большая скорость релаксации (рис. 1 при у = 0.36ю) приводит к невозможности возбуждения кубита на верхний уровень, даже в единичной реализации. Здесь играет роль конкуренция средней скорости возбуждения за счет переходов ЛЗ со скоростью релаксации у . Однако в отличие от режима де-фазировки [12, 16], где в зависимости от фазы поля в момент релаксации динамика системы оказывается различной, в рассмотренных условиях вне зависимости от фазы поля при релаксации кубит переходит в основное состояние и далее эволюционирует под действием гамильтониана (4). Видно, что элементы когерентной динамики, такие как осцилляции ЛЗ, осцилляции Раби не нарушаются при учете релаксации, а лишь прерываются скачками.
При обработке эксперимента по измерению параметров кубита требуется осуществить томографию состояния, выполняя представительное число измерений, повторяя их от сотен до десятков тысяч раз [13-15]. С точки зрения эксперимента наиболее интересно проследить переход к усредненной по ансамблю динамике
1.0
Рис. 2. Зависимость населенности верхнего уровня от времени (усреднение по 3000 реализаций). Обозначения и параметры, как на рис. 1. В отличие от стохастической динамики на рис. 1, наблюдается выход населенности на квазистационарный режим
системы, генерируя единичные траектории, изображенные на рис. 1, что представлено на рис. 2 для различных скоростей релаксации у (для тех же параметров, что и на рис. 1). При
слабой релаксации данные на рис. 1 и 2 совпадают (черные сплошные линии). Видно отличие релаксационной динамики в одной реализации -стохастическое случайное движение (рис. 1) -от усредненной динамики, когда наблюдается насыщение и переход населенности в квазиста-ционарный режим [9]. Результаты численного моделирования для выбранных параметров качественно согласуются как с [12], так и с экспериментом [13-15] для параметров А = 0.14ю , A * 30ю, £0 * 27ю и £0 * 27.5ю, где
ю = 90 МГ ц и найденный методом амплитудной спектроскопии уровень шума составил
Г = 0.13 - 0.2ю.
Заключение
Как было продемонстрировано, метод квантовых траекторий адекватно описывает релаксационную динамику джозефсоновского кубита в единичных реализациях и позволяет проследить его усредненную динамику. В работе приведены результаты анализа характерных режимов, такие как осцилляции Раби и динамика переходов ЛЗ как в одной реализации эксперимента в условиях шума, так и для усредненной по реализациям динамики в зависимости от величины скоростей квантовой релаксации. Показано, что даже слабый шум существенно влияет на динамику кубита в единичной реализации, подавляя переходы кубита в возбужденное состояние. Результаты численного моделирования сопоставляются с результатами экспериментов [13-15] и анали-
тических расчетов [12, 14], где найдено хорошее соответствие.
Авторы признательны В. А. Миронову за полезные замечания.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 09-0297059) и программы РНП.
Список литературы
1. Gardiner C.W., Zoller P. Quantum noise. Berlin: Springer, 2000. 438 p.
2. Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. М.: Физматлит, 2003. 512 с.
3. Schrodinger E. // Br. J. Philos. Sci. 1952. V. III. P. 109-123.
4. Bergquist J.C., Hulet R.G., Itano W.M. et al. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 1699.
5. Nagourney W., Sandberg J., Dehmelt H. G. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 2797.
6. Sauter T., Neuhauser W., Blatt R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 1696.
7. Plenio M.B. and Knight P.L. // Rev. Mod. Phys. 1998. V. 70. P.101.
8. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир, 2006. 824 с.
9. Гельман А.И., Миронов В.А. // ЖЭТФ. 2010. Т. 137. С. 627-636.
10. Gelman А. and Mironov V. // Proc. SPIE. 2009. V. 7521. P. 75210F.
11. Гельман А.И., Миронов В.А. // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2010. (принято к печати).
12. Гельман А.И., Сатанин А.М. // ФТТ. 2010. (принято к печати).
13. Oliver W.D, Valenzuela S.O. // Quant. Inf. Process. 2009. V. 8. P. 261.
14. Berns D. M., Rudner M. S., Valenzuela S.O. et al. // Nature. 2008. V. 455. P. 51.
15. Berns D.M., Rudner M.S., Valenzuela S.O. et al. // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 97. P. 150502.
16. Гельман А.И., Сатанин А.М. // Письма в ЖЭТФ. 2010, Т. 91. С. 584-589.
17. Ashhab S., Johansson J.R., Zagoskin A.M., and Nori F. // Phys. Rev. A 2007. V. 75. P. 063414.
QUANTUM JUMPS AND SPONTANEOUS RELAXATION IN SUPERCONDUCTING QUBIT DRIVEN
BY A STRONG RF FIELD
A.i. Gelman, A.M. Satanin
The impact of the spontaneous relaxation rate on level populations of a superconducting Josephson qubit driven by a strong RF field in single realizations of the experiment has been studied using the quantum-trajectory approach. The transformation has been traced to the averaged dynamics obtained by multiple determinations of the qubit state in recent experiments.
Keywords: superconducting qubit, Landau-Zener transition, quantum jumps.
