CC BY
66
ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
УДК 530.145
ДИССИПАТИВНАЯ ДИНАМИКА ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО КУБИТА В БОЗОННОМ ТЕРМОСТАТЕ
© 2012 г. М.В. Денисенко, А.М. Сатанин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 06.02.2012
Методом квантовых траекторий исследована динамика сверхпроводникового джозефсоновского кубита в бозонном термостате. Рассмотрен процесс возбуждения кубита Раби-импульсами, и промоделирована диссипативная динамика возбужденных состояний, прерываемая квантовыми скачками, обусловленными взаимодействием с термостатом, как в каждой единичной реализации, так и в среднем по ансамблю реализаций. Прослежен переход к усредненному поведению, характеризуемому временами продольной и поперечной релаксации. Результаты численного моделирования качественно согласуются с недавними экспериментами по изучению кубитов методом «однократных» измерений (single-shot measurements).
Ключевые слова: кубит, квантовые скачки, метод квантовых траекторий, квантовый метод Монте-Карло.
Введение
В последнее время разработаны методы квантовых измерений, позволяющие выполнять наблюдения единичных квантовых систем (атомов в ловушках, спинов, локализованных в квантовых точках, джозефсоновских петель и т.д.). Современные методы позволяют также осуществлять «однократные» измерения (singleshot measurement) над уединенными системами [1—3], то есть мониторинг состояний открытой системы в реальном времени. Благодаря этому стало возможно исследовать динамику и характеристики отдельных квантовых систем как для каждой реализации, так и в среднем по ансамблю измерений.
Как известно, в открытой квантовой системе, помещенной в термостат, между стационарными состояниями могут происходить переходы -внезапно, в виде так называемых квантовых скачков. Такие переходы были предсказаны Нильсом Бором еще на заре становления квантовой теории [4]. Первые экспериментальные регистрации отдельных квантовых скачков наблюдались в 1986 году для ионов, помещенных в ловушки Паули [5-7]. Недавно подобные скачки были наблюдены в системе ядерных спинов [1], полупроводниковых квантовых точках [2] и сверхпроводниковых контурах с джо-
зефсоновскими переходами [3]. Подобные системы играют важную роль в области квантовой информатики [8], так как они позволяют реализовать двухуровневые системы или кубиты (квантовый аналог бита). В этой связи исследование поведения кубитов, взаимодействующих с различными полями и классическим измерительным прибором, играет первостепенную роль в теории квантовых компьютеров. Одной из главных проблем на пути создания квантового компьютера являются процессы декогерентности, то есть быстрый распад суперпозиции состояний за счет взаимодействия квантовой системы с окружающей средой. Перспективными кандидатами на роль кубитов для квантового компьютера являются сверхпроводниковые кольца с несколькими джозефсоновскими переходами, так как они устойчивы к шумам и имеют простую схему импульсного управления состояниями. В силу этого объектом исследования данной работы является сверхпроводнико-вый кубит, помещенный в бозонный термостат. На основе недавнего эксперимента [3] рассчитываются релаксационная динамика системы и квантовые скачки под действием бозонных осцилляторов. Рассмотрен процесс возбуждения кубита Раби-импульсами, и промоделирована диссипативная динамика возбужденного состояния, прерываемая квантовыми скачками,
как в каждой единичной реализации, так и в среднем по ансамблю реализаций. В работе прослежен переход к усредненному поведению, характеризуемому временами продольной и поперечной релаксации. Выполненное численное моделирование динамики кубитов качественно согласуется с недавними экспериментами по изучению кубитов методом «однократных» измерений.
Модель и основные уравнения
Гамильтониан кубита, управляемый переменным полем e(t) = ^cos(Qt), имеет стандартный вид:
h
Hq = -(шд аг + e(t)o,), (1)
где ох и oz - матрицы Паули. Расстояние между уровнями кубита (Aaq) определяется частотой raq/2n ~ 10 ГГц.
При рассмотрении динамики кубита существенное влияние оказывают процессы декогерентности. Так, например, для сверхпроводни-кового кубита таковыми процессами являются: флуктуация заряда на джозефсоновских контактах, движение квазичастиц на островках сверхпроводимости, взаимодействие с ядерными спинами в подложке, а также затухание при взаимодействии с электромагнитным управляющим полем и измерительным прибором. Процессы релаксации можно рассматривать как взаимодействие кубита с бозонным резервуаром с большим числом степеней свободы. Отметим, что эксперименты проводятся при криогенных температурах, поэтому вклад шума фермион-ных возбуждений мал и не учитывается в данной работе. В таком случае гамильтониан, описывающий шум в системе, имеет вид:
H = F о + F о , (2)
noise z z х х’ V/
где эрмитовы операторы Fz, Fx отвечают за продольную и поперечную релаксацию кубита и линейно зависят от операторов резервуара.
С учетом релаксационных членов уравнение для оператора плотности кубита р, где исключены переменные резервуара Fz, Fx в форме Линдблада, в борн-марковском приближении [11, 12] примет вид:
= Th [Hq , р] + ^ (СТ zPCT z -Р) +
otih 2
у i
+ у (СТ-СТ + р + рСТ + СТ- - 2СТ-РСТ+ ) + (3)
у*
+ — (СТ+СТ-Р + РСТ-СТ+ - 2ст+рст-),
где о±= (ох ± ioy)/2, уф - фазовая скорость релаксации кубита, у^ - энергетическая скорость
релаксации («down»-процесс), у| - параметр, отвечающий за термическое («ир»-процесс) возбуждение кубита. Данные параметры определяются корреляционными функциями бозонного термостата (^Fг(t)F2+^, ^Fx(t)F^), где ^(?), Fx(t) - гейзенберговские операторы.
Метод квантовых траекторий
Уравнение (3) дает усредненную по ансамблю квантовую динамику системы. Чтобы проследить динамику кубита в каждом акте измерения, обратимся к эквивалентному языку описания динамики - методу квантовых траекторий или, как его ещё называют, квантовому методу Монте-Карло [9, 10]. Согласно данному подходу, эволюция системы может быть переформулирована на эквивалентном языке динамики состояний («квантовых траекторий»).
Применяя конечно-разностную аппроксимацию для производной по времени в уравнении (3) и расписывая матрицу плотности
р = ^ р. | ф. (?)^ф . (?) |, где i - номер траектории,
/
Р. - вероятность нахождения системы в состоянии с волновой функцией |ф. (7)^, в результате
можно перегруппировать слагаемые в (3) и ввести вектор состояния открытой системы (вспомогательную волновую функцию) |ф. (7)^, динамика которого имеет стохастический характер. Следовательно, диссипативная динамика системы представляется как непрерывное изменение векторов состояния |ф. (7)^ под действием неэрмитова гамильтониана согласно уравнению:
л
/Й л?! ф.^=Н<&! ф.(7)^ (4)
где диссипативный гамильтониан (гамильтониан Вигнера-Вайскопфа [13], см. детали в [12]) имеет вид
Н, = Н —/Й—ст+ст -/Й—ст+ст -/Й—ст ст+. (5)
д 4 гг 2 + — 2 — + V '
Однако временная динамика системы может прерываться квантовыми скачками, вероятность которых определяется выражением Г =
= 2(ф.(?)\С++Ск\ ф.(?)}, где Ck - операторы Лин-
k
дблада [10]. Для рассматриваемой двухуровневой системы (кубита) к = 3: С] = ог - фазовый скачок, С2 = о- - энергетический и С3 = о+ -термическое возбуждение при взаимодействии с термостатом. Для определения типа скачка рассчитываются парциальные вероятности
г Ф, (?) \с+ск\ ф, (?) П
1 к = ----!———!------ . При численном расчете
на каждом интервале времени А? считается, что может произойти скачок только одного типа. Таким образом, нормированная волновая функция после скачка, определяемого одним из трех операторов Линдблада для кубита, имеет вид:
|ф,(? + А?)) = С^(?^ . (6)
Итак, за время наблюдения эволюции системы мы получаем квантовую траекторию, представляющую одну реализацию реального эксперимента - диссипативную динамику кубита. Поскольку процесс релаксации является случайным, каждая траектория уникальна. Для нахождения усредненной динамики (аналог того, что получаем в результате решения уравнения (3)) следует получить набор единичных реализаций М ~ 1000-10000 и далее усреднить величину по ним
1 м
р = мм ^1 ф,(? }Хф ,(? }|. (7)
Метод квантовых траекторий в отличие от аналогичного метода для матрицы плотности имеет ряд преимуществ. Во-первых, это возможность исследовать релаксационные процессы квантовых систем в единичных реализациях, а не только усредненные по ансамблю квантовые траектории. Во-вторых, это эффективность распараллеливания метода. Уравнение для матрицы плотности приводит к системе линейных уравнений, включающих N комплексных переменных, где N - размерность гильбертова пространства. Квантовый же метод Монте-Карло требует лишь рассмотрения N комплексных переменных, характеризующих вектор состояний. Реализации статистически независимы, поэтому есть возможность генерировать каждую реализацию в отдельном потоке (на отдельном процессоре), собирая затем данные и усредняя.
Моделирование квантовой динамики единичных кубитов
В недавней работе [3] осуществлен эксперимент, суть которого состоит в следующем. По аналогии с оптикой, где атомы, взаимодействующие с оптической модой, располагаются в резонаторе Фабри-Перо, кубит был помещен в квантовый сверхпроводящий резонатор. Входное устройство позволяло подавать на кубит управляющие Раби-импульсы заданной длительности, а выходная схема позволяла осуществить измерения состояний кубита с использованием быстрого шумоустойчивого параметри-
ческого усилителя [14]. При этом, если кубит возбуждался Раби-импульсом из основного состояния на первый возбужденный уровень, вследствие взаимодействия с бозонным термостатом он мог скачком вернуться в основное состояние. Этот процесс можно было наблюдать во времени, как исследуя динамику системы в случае единичной реализации, так и генерируя временной ансамбль систем, обладающих одинаковыми начальными условиями.
В данной работе проведен численный эксперимент, имитирующий процессы, происходящие в системе «кубит+термостат», на основе метода квантовых траекторий [9]. Полученные «траектории» кубита представлены на рис. 1. При этом были учтены три возможных процесса релаксации: 1) дефазировка, вызывающая случайные изменения фазы в состоянии кубита, физически обусловленная флуктуацией потока через сверхпроводящий контур кубита; 2) энергетическая релаксация, приводящая к переходам между уровнями кубита, обусловленная, например, флуктуацией заряда на джозефсонов-ских контактах; 3) термические возбуждения системы вследствие конечности температуры термостата. Характер траекторий существенно меняется в зависимости от соотношений между параметрами релаксации. Скорости дефазиров-ки и энергетической релаксации в численном эксперименте были выбраны как величины од-
Рис. 1. Зависимость населенности верхнего уровня кубита в случае короткого п/2-Раби-импульса (а) и длинного (б) для единичных квантовых реализаций. Параметры кубита и шума: = А, А = 0.Ш, уф = =
= 0.Ш, уТ = 0.013П
■Ї Юй ' 200 ІЙ; 400 500 рзо 70$
1 Щ® 200 000 400 500 600 380
гіі
Рис. 2. Треки, характеризующие скачки населенности возбужденного уровня от времени в случае короткого п/2-импульса (а) и длительного импульса (б). Параметры системы аналогичны тем, что приведены на рис. 1
1.0 0.8 0.6
о_
0.4 0.2
°°0 1000 2000 3000 4000 5000
Рис. 3. Зависимость населенности верхнего уровня кубита для 1000 реализаций (черная кривая) и 5000 реализаций (серая) для длительного импульса. Параметры системы аналогичны тем, что представлены на рис. 1
ного порядка, так как времена релаксации кубита в эксперименте [3]: tф = 290 нс и te = 320 нс, а скорость термической релаксации является величиной на несколько порядков меньше У| < у^ и У| < Уф (так как эксперименты с кубитами проводятся при температурах ~ 30 мК).
Отметим, что на начальном этапе динамика кубита описывается диссипативным гамильтонианом Вигнера-Вайскопфа (5), но после первого скачка траектории существенно различаются (см. рис. 1а, черная и серая кривые), и, таким образом, данные траектории являются уникальными для каждой реализации. Видно, что для короткого возбуждающего п/2-Раби-импульса (см. рис. 1а) происходит энергетическая релаксация и кубит может скачком оказаться в основном состоянии, в котором находится долго до момента возможного термического заброса, что показано на рис. 1а серой кривой. В случае длительного импульса (длительностью т >> 2л/ю^ кубит испытывает скачки между основным и возбужденным уровнями. Подобное поведение джозефсоновского кубита было зарегистрировано в экспериментах Р. Виджея и др. [3]. Отметим, что ранее такого типа зависимости наблюдались при спонтанных переходах состояний ионов в ловушках Паули [5-7].
На рис. 2 представлено по 30 треков (характеризующих динамику населенности для определенной реализации), демонстрирующих квантовые скачки населенностей состояний кубита. Темные области на рис. 2 показывают, что кубит находится на верхнем уровне, а серые - на нижнем. На рис. 2а считалось, что кубит находился в возбужденном состоянии после действия п/2-Раби-импульса; хорошо заметно, что энергетический скачок происходит в случайный момент времени и квантовые траектории стати-
стически независимы. Если на систему, например, подать п-Раби-импульс, то кубит в момент прекращения действия импульса так и останется в основном состоянии, поэтому в этом режиме видны лишь термические скачки, которые возбуждают систему на высший уровень, и в дальнейшем снова происходит энергетическая релаксация к основному состоянию. В случае длительного импульса (см. рис. 2б) происходит постоянная накачка системы, поэтому кубит испытывает регулярные скачки между основным и возбужденным уровнями.
Метод квантовых траекторий также позволяет численно рассчитывать усредненную динамику системы. В силу того, что реализации являются статистически независимыми для каждого акта измерения, имеет место статистическая ошибка, зависящая от числа реализаций
х — , где М - количество реализаций. Шаг
Ш
по времени М = 0.0Ш-1 в численном эксперименте выбирался так, чтобы удовлетворить условиям метода квантовых траекторий, а также чтобы обеспечить точность метода Рунге-Кутта четвертого порядка, применявшегося при численном моделировании динамики между скачками. На рис. 3 приведены усредненные траектории кубита для М = 1000 реализаций (черная кривая) и М = 5000 реализаций (серая кривая). Видно отличие диссипативной динамики в одной реализации - стохастическое случайное движение (рис. 1) - от усредненной динамики, когда наблюдается насыщение и выход населенности на стационарное значение Р ~ 0.5. Отметим, что с увеличением набора реализаций усредненная кривая на рис. 3 становится более гладкой, что связано с повышением точности численного метода. Данный результат аналоги-
чен зависимостям, полученным в экспериментах, и прямому численному решению уравнения для матрицы плотности (3).
Заключение
В работе проведено численное моделирование диссипативной динамики джозефсоновского кубита с использованием метода квантовых траекторий. Данный подход позволяет промоделировать напрямую результаты «однократных» неразрушающих измерений (single-shot measurement) [1-3], то есть производить мониторинг состояний системы в реальном времени для одного акта измерения. Приведены результаты исследования возбуждения системы двумя типами Раби-импульсов: коротким и длительным в единичных реализациях и для усредненной по ансамблю динамики. Показано, что поведение системы в этих случаях существенно различается. В случае усредненной динамики для длительного Раби-импульса населенности уровней системы выходят на насыщение P ~
0.5, в отличие от единичных реализаций, где можно проследить несколько типов квантовых скачков: фазовый, энергетический и термический (взаимодействие с термостатом). Результаты численного моделирования качественно согласуются с результатами эксперимента [3]. Если проводить аналогию с измерениями в квантовой оптике, например измерением резонансной флуоресценции атомов, то метод квантовых траекторий не только позволяет получить информацию о системе в среднем по ансамблю, но и промоделировать поведение каждого атома в отдельности.
В силу того, что расчет квантовых траекторий выполняется независимо, данный метод допускает естественное распараллеливание, позволяющее реализовать расчеты траекторий в виде отдельных потоков. С учетом этого свойства, расчет диссипативной динамики в данной работе производился с использованием графических ускорителей и технологии CUDA, что позволило достичь заметного ускорения при расчете усредненных характеристик.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП ГК №07.514.11.4012 и РФФИ № 12-07-00546-a.
Список литературы
1. Neumann P., Beck J., Steiner M. et al. // Science. 2010. V. 329. P. 542.
2. Vamivakas A.N., Lu C.-Y., Matthiesen C. et al. // Nature. 2010. V. 467. P. 297.
3. Vijay R., Slichter D. H., Siddiqi I. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 106. P. 110502.
4. Bohr N. // Philos. Mag. 1913. V. 26. P. 1.
5. Bergquist J.C., Hulet R.G., Itano W.M. et al. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 1699.
6. Nagourney W., Sandberg J., Dehmelt H.G. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 2797.
7. Sauter T., Neuhauser W., Blatt R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 1696.
8. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир, 2006. 824 с.
9. Molmer K., Castin Y., Dalibard J. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 580.
10. Plenio M.B. and Knight P.L. // Rev. Mod. Phys. 1998. V. 70. P.101.
11. Gardiner C.W., Zoller P. Quantum noise. Berlin: Springer, 2000. 438 p.
12. Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. М.: Физматлит, 2003. 512 c.
13. Weisskopf V.F., Wigner E.P. // Z. Phys. 1930. V. 63. S. 54.
14. Hatridge M., Vijay R., Slichter D.H. et al. // Phys. Rev. B. 2011. V. 83. P. 134501.
DISSIPATIVE DYNAMICS OF A JOSEPHSON QUBIT COUPLED TO A BOSONIC BATH
M. V. Denisenko, A.M. Satanin
The dynamics of a superconducting Josephson qubit coupled to a bosonic bath has been studied by the quantum trajectory method. The excitation of the qubit by Rabi pulses has been considered. Excited state dissipative dynamics interrupted by quantum jumps has been simulated both for each single realization and for an average over the ensemble of realizations. The transition to the averaged behavior, which is characterized by the intervals of longitudinal and transverse relaxation, has been studied. The simulation results qualitatively agree with the recent single-shot measurements of qubits.
Keywords: qubit, quantum jumps, quantum trajectory method, quantum Monte Carlo method.
