Влияние диполь-дипольного взаимодействия на динамику перепутанных атом-полевых состояний Гринбергера — Хорна — Цайлингера для двух кубитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 130.145

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2013. № 9/1(110)

ФИЗИКА

ВЛИЯНИЕ ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ДИНАМИКУ ПЕРЕПУТАННЫХ АТОМ-ПОЛЕВЫХ СОСТОЯНИЙ ГРИНБЕРГЕРА — ХОРНА — ЦАЙЛИНГЕРА ДЛЯ ДВУХ

КУБИТОВ

© 2013 Е.К. Башкиров, Т.А. Пузырная1

В настоящей работе рассмотрено влияние диполь-дипольного взаимодействия на динамику трех- и четырехчастичных состояний Гринбергера — Хорна — Цайлингера для двух сверхпроводящих потоковых кубитов с переходами Д-типа, взаимодействующих посредством двухфотонных переходов с одним или двумя различными электронными ЬС-резонаторами. в тепловом состоянии. Показано, что включение дипольного взаимодействия не приводит к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания и изменению его максимальной степени.

Ключевые слова: сверхпроводящие потоковые кубиты, вырожденные и невырожденные двухфотонные переходы, перепутывание кубитов, мгновенная смерть перепутывания.

Введение

Перепутанные состояния являются фундаментом современной физики квантовых вычислений, квантовых телекоммуникаций и т.д. [1]. При этом наибольшее значение для практических приложений имеют многокубитные перепутанные состояния [2]. Поэтому разработка наиболее эффективных схем генерации и управления многокубитными перепутанными состояниями является одной из фундаментальных проблем квантовой информатики. В настоящее время свойства двухчастичных перепутанных состояний достаточно хорошо изучены, поэтому основное внимание уделяется изучению трех- и четырехкубитных состояний. Недавно в работе [3] было показано,что для трехчастичных перепутанных состояний существуют всего два класса неэквивалентных состояний, а именно состояния Верне-ра ('-состояния) и состояния Гринбергера — Хорна — Цайлингера (СБ2-состо-яния). Четырехкубитные системы могут быть перепутаны девятью различными способами [4]. Среди них имеется СБ^-состояния и различные обобщения трехча-стичных '-состояний. СБ2-состояния очень чуствительны к потере частиц. Ес-

1 Башкиров Евгений Константинович (bash@ssu.samara.ru), Пузырная Тамара Анатольевна (adanagrey@mail.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

ли состояние одной из частиц становится определенным, то оставшиеся частицы оказываются в сепарабельном состоянии. Таким образом, СБ2-состояние обладает трехчастичными квантовыми корреляциями, но в то же время не проявляет двухчастичных корреляций, являясь, следовательно, истинным трехчастичным (или многочастичным) перепутанным состоянием. Такие состояния особенно удобны для телепортации и плотного кодирования. '-состояния устойчивы не только к потерям частиц (при измерении состояния одной частицы остальные остаются в перепутанном состоянии), но и к глобальной дефазировке и шуму. Соответственно '-состояния обладают большим временем декогеренции, чем СБ2-состояния. Это делает их более перспективными для квантовых вычислений. В настоящее время различные многочастичные перепутанные состояния реализованы для разных типов кубитов: ионов в ловушках, сверхпроводящих цепей, фотонов, спинов в твердых телах и др. [5]. Важным типом многочастичных перепутанных состояний являются атом-полевые перепутанные состояния, которые используются в квантовых сетях. Протоколы атом-полевого перепутывания могут быть реализованы различным образом, в частности, за счет взаимодействия атомов с полем в высокодобротных резонаторах [6; 7]. Естественным механизмом перепутывания кубитов является диполь-дипольное взаимодействие. В работах [8; 9] исследовано влияние диполь-дипольного взаимодействия на динамику двухкубитных беллов-ских, а в работах [10; 11] - на динамику трех- и четырехкубитных перепутанных атом-полевых состояний '-типа в моделях двух кубитов с вырожденными и невырожденными двухфотонными переходами, взаимодействующих с полем в идеальных резонаторах. Представляет интерес обобщение результатов, полученных в работах [10; 11] на случай начальных состояний СБ2-типа. В случае обычных двухуровневых атомов двухфотонные переходы возможны только для состояний с одинаковой четностью, а в этом случае прямое диполь-дипольное взаимодействие между атомами отсутствует. Вместе с тем существует физические системы, для которых обычные правила отбора нарушаются. К таким системам относятся макроскопические объекты - потоковые сверхпроводящие кубиты, которые при определенных условиях могут рассматриваться как искусственные трехуровневые атомы Д-типа [5]. Важной особенностью таких кубитов является также то, что их дипольные моменты значительно превосходят по величине дипольные моменты естественных атомов. Искусственными атомами можно управлять, используя токи, напряжения и микроволновые фотоны, которые переводят систему из одного макроскопического квантового состояния в другое.

1. Двухкубитная модель с невырожденными двухфотонными переходами

Рассмотрим два идентичных сверхпроводящих потоковых кубита с разрешенными переходами Д-типа, взаимодействующих индуктивно с двумя различными сверхпроводящими ЬС-контурами ("резонаторами"). Сверхпроводящие кубиты функционируют при температурах в десятки милликельвин. Два сверхпроводящих контура являются идеальными квантовыми гармоническими осцилляторами и описываются гамильтонианом Ир = Ншха+ах + Нш20+02, где о+(о,1)(1 = 1, 2) - операторы рождения и уничтожения элементарных возбуждений, связанных с колебаниями электронной плотности в контурах. В дальнейшем для краткости мы будем называть их операторами рождения и уничтожения "фотонов", ш = 1/у/ЬС - соб-

ственные частоты колебательных контуров (частоты "поля в резонаторах"), Ь и С - индуктивности и емкости цепей. При записи гамильтониана сверхпроводящих контуров мы пренебрегли взаимодействием мод гармонических осцилляторов.

Для получения эффективного гамильтониана потоковых кубитов рассмотрим две сверхпроводящие электрические цепи с джозефсоновскими переходами, являющимися нелинейными элементами. В результате энергетический спектр сверхпроводящей цепи с джозефсоновскими переходами перестает быть эквидистантным, как в случае обычного ЬС контура. В результате мы можем учесть при описании динамики цепи с джозефсоновскими переходами три нижних энергетических уровня. В случае обычных двухуровневых переходов при многофотонных переходах прямое диполь-дипольное взаимодействие отсутствует в силу правил запрета для атомных переходов. Однако, как уже было отмечено выше, потоковые сверхпроводящие кубиты при определенных условиях являются трехуровневыми атомами Д-типа. В таких искусственных атомах могут быть одновеременно разрешены как одно-, так и двухфотонные процессы. Обозначим состояния, соответствующие трем нижним уровням сверхпроводящей цепи \е), \г) и \д), где \е) - возбужденное, \д) - основное и \г) - промежуточное состояние искусственных атомов. Предположим, что отсутствует расстройка для частоты каскадного перехода \е) ^ \г) ^ д) и суммарной частотой "резонаторов" шде = + Ш2, в то время как частоты промежуточных переходов и сильно отстроены от частот резонаторов и Ш2. После адиабатического исключения промежуточного состояния мы получаем эффективный гамильтониан невырожденного двухфотонного взаимодействия потоковых кубитов с "полем резонаторов".

2

#1 = (а1а2а- + а+а1 а2), г=1

где а+ и а- - повышающий и понижающий операторы в г-м кубите (г = 1, 2), д -константа эффективного атом-полевого взаимодействия. Учтем в гамильтониане модели прямое поперечное взаимодействие между кубитами

#2 = 3 (а+а- + а+аГ)-

Здесь 3 - константа взаимодействия. Такое слагаемое в гамильтониане возникает за счет поперечного индуктивного взаимодействия кубитов. Константа индуктивного взаимодействия двух сверхпроводящих цепей с джозефсоновскими переходами может быть увеличена за счет их сближения на чипе. Кроме того, взаимодействие можно существенно увеличить, используя для соседних кубитов общую емкость [13; 14] или общую индуктивность [15].

В результате мы получаем эффективный гамильтониан рассматриваемой модели в представлении взаимодействия

2

Н = #1 + #2 = (а+а+а- + а+аа) + 3 (а+а- + а+а-). (1)

г=1

В двухатомном базисе \ +, +), \ +, -), \ —, +), \ —, —) оператор эволюции и(Ь) для рассматриваемой модели может быть записан как

U (t) =

U11 U12 U13 U14

U21 U22 U23 U24

U31 U32 U33 U34

U41 U42 U43 U44

(2)

где

A

A

A

U11 = 1 + 2aia^—- a+a+, U14 = 2aia^—- ai a2, U41 = 2a+a+—- a+ia+2,

Л Л Л

A B B

U44 = 1 + 2a+a+ — a1a2, U12 = U13 = a1 a2 —, U21 = U31 = — a+a+,

B

U24 = U34 = — a1a2, U42 = U43 = a+a+ —

U22 = U33 =

exp Г—г# (a + 6)tl { g }

—^-— \ [1 - exp(tg6t)]a + 29 exp[(^ (3a + 6)t] + в[1 + exp(tg6t)]\,

46 I 2 J

U23 = U32

exp [—гI (a + 6)tl { g }

—^-— \ [1 - exp[(«g6t)]a - 26 exp(^(3a + 6)t] + 6[1 + exp(«g6t)] \

46 I 2 J

{cos(g°t) + V sin(T^} -1

ga

-гТt

-г2 (a + 6)t [1 - exp(«g6t)].

A = exp

B = exp

a = —, Л = 2(a1a2a+a+ + a+a+a1a2), 6 = \/8(a1a2a+a++ + a+a+a1a2) + a2. g

Рассмотрим динамику перепутывания кубитов для начального четырехкубит-ного атом-полевого состояния GHZ-типа

|Ф(0)> = о|+, +;0,0) + Ь—, —; 2, 2),

где коэффициенты удовлетворяют условию нормировки

(3)

Н^ + ^ = 1.

В этом случае временная волновая функция системы может быть записана в виде

где

|*(t)> = X1I+, +;0,0) + X2I+, -; 1,1) + X3-, +; 1,1) + X4-,-;2,2),

X1 = (1 + 2A) a + 4 ^ b, Л1 Л1

B1

(4)

X2 = X3 = -1 (a + 2b) 61

и

ХА =4 ^ а +(1 + 8 А )Ь.

Л1 Л1

Здесь введено обозначение = (и,п\Б\п,п).

Информация относительно перепутывания состояний атомов содержится в редуцированной атомной матрице плотности рл(^), которая может быть получена при усреднении полной матрицы плотности системы "атомы+поле" рлр (¿) = = \Ф(£))(Ф(£)\ по переменным резонаторного поля

рл(Ъ)= Ттр рлр(6)

В двуатомном базисе \+, +), \+, -),\—, +),\—, —) редуцированная матрица плотности (6) с учетом формул (5) может быть записана в виде

рл =

0 0 0 0 \

0 \Х1\2 Х1Х1 0

0 Х2Х1 \Х2\2 0

0 0 0 \Хз\2 )

(7)

Для количественной оценки степени перепутывания двух двухуровневых атомов воспользуемся "согласованностью". Для редуцированной атомной матрицы плотности (7) соответствующий параметр перепутывания дается выражением

С(рл) = 2 шах{0, \Х2Хз\ - \Х1ХЛ\]. (8)

На рис. 1 показано временное поведение параметра перепутывания для начального состояния (3) и различных значений интенсивности диполь-дипольного взаимодействия а и коэффициентов а и Ь. Хорошо видно, что для выбранного начального взаимодействия диполь-дипольное взаимодействие не приводит к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания и изменению максимальной степени перепутывания кубитов в отличие от случая '-состояний [10].

2. Двухкубитная модель с вырожденными двухфотонными переходами

Рассмотрим два идентичных сверхпроводящих потоковых кубита с разрешенными переходами Д-типа, взаимодействующих индуктивно с одним сверхпроводящим ЬС-контуром. Сверхпроводящая цепь в представлении вторичного квантования описывается гамильтонианом Кша+а. Как и в предыдущем случае, обозначим через \-), \г) и \+) состояния, соответствующие трем нижним уровням цепи. Предположим, что частота каскадного переход \+) ^ \г) ^ \-) удовлетворяет условию

__= 2ш, в то время как частоты переходов между промежуточным уровнем и

двумя другими уровнями и сильно отстроены от частоты "резонатора" ш. После адиабатического исключения промежуточного уровня \г) мы можем получить эффективный гамильтониан вырожденного двухфотонного взаимодействия двухуровневых кубитов с полем "резонатора". С учетом прямого диполь-диполь-ного взаимодействия искусственных атомов на переходе\+) ^ \-) двухфотонный гамильтониан рассматриваемой системы в представлении взаимодействия можно представить в виде

2

Н = (а2+а- + а+а2) + КЗ (а+а- + а+а-). (9)

г=1

е

0.5 1 1.5 2 2.5 3

а

е

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

б

Рис. 1. Временная зависимость параметра перепутывания С(рА) для двухатомной системы с начальным состоянием (3) и значениями коэффициентов: а = Ь = 1/%/2 (а) и а = у^Г/З, Ь = \/2/3 (б). Параметр диполь-дипольного взаимодействия а = = J/g = 4 (сплошные линии) и а = J/g = 0 (штриховые линии)

В двухатомном базисе | +, + ), 1 +, -), 1 1 -, -

для рассматриваемой модели может быть записан как

( ип и 12 и13 и 14 \

и21 и22 и23 и24

и (*) = и31 и32 и33 из4

к и41 и42 и43 и44

Здесь

А А А А

ип = 1 + 2а2-а+2, иы = 2а2-а2, и41 = 2а+2- а+2, и44 = 1 + 2а+2-а2

„2 А„2

А

Г

А

в в в в

и 12 = и1з = а2и21 = из1 = уа+2, и24 = из4 = уа2, ^2 = ^з = а+2

и22 = изз

6ХР^ 12 + ^ {[1 - ехр[(гд0;)]а + 20 ехр(«д (За + 0);] + 0[1 + ехр( 40 I 2

и23 = и32 =

ехр Г—г§ (а + 0);! г д

—^—^-— \ [1 - ехр[(гд0;)]а - 20 ехр(г|(За + 0);] + 0[1 + ехр(

40 I 2

где

А = ехр

да.

{ео8() + 1~е 8К) } -1

В = ехр -^ (а + 0); [1 - ехр(гд0;)]

а = Г = 2(2а+2а2 + а2а+2), 0 = ^(8(а+2а2 + а2а+2) + а2 . д

Предположим, что атом-полевая система приготовлена в начальный момент времени в трехчастичном перепутанном СБ2-состоянии

|Ф(0)> = а|+, +, 0) + Ь\-, -, 4). (11)

Используя формулы (9) и (10) для начального состояния (11), получаем решение уравнения временного уравнения Шредингера в виде

|Ф(0)> = Х1 + +, 0) + Х2 + -, 2) + Хз\-, +, 2) + Х4\-, -, 4), (12)

где

Х1 = (1+4А)а + 4^6А Ь, Г2 Г2 в

Х2 = Хз = v/2 -2(а + >/3Ъ), 02

Х4 = 4^6 А а +(1 + 24А)Ъ. Г2 Г2

Здесь введено обозначение = {п^Б|п).

С учетом (12) редуцированная матрица плотности (6) в двуатомном базисе |+, +), |+, -), -, +), -, -) может быть представлена, как и для предыдущей модели, в виде (7). Соответственно согласованность для рассматриваемой модели описывается формулой (8).

На рис. 2 показано временное поведение параметра перепутывания для начального состояния (11) и различных значений интенсивности диполь-дипольного взаимодействия а и коэффициентов а и Ъ. Хорошо видно, что, как и в предыдущем

и

случае, для GHZ-состояния включение диполь-дипольного взаимодействия не приводит к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания и существенному изменению максимальной степени перепутывания кубитов. Таким образом, в отличие от случая ^-состояний возможность управления степенью перепутывания двухкубитных систем в GHZ-состояниях отсутствует.

a

б

Рис. 2. Временная зависимость параметра перепутывания C(pA) для двухатомной системы с начальным состоянием (11) и значениями коэффициентов: a = b = 1/%/2 (а) и a = \J 1/3, b = \J'l/3 (б). Параметр диполь-дипольного взаимодействия а = = J/g = 4 (сплошные линии) и а = J/g = 0 (штриховые линии)

Таким образом, мы исследовали влияние диполь-дипольного взаимодействия на динамику перепутанных трех- и четырехкубитных GHZ-состояний для двух искусственных атомов Д-типа, взаимодействующих с полем электронных резонаторов-осцилляторов посредством вырожденных и невырожденных переходов в резонаторе. Для обеих рассмотренных моделей в случае GHZ-состояний включение ди-польного взаимодействия не приводит к исчезновению эффекта мгновенной смер-

ти перепутывания и увеличению его степени. Соответственно обсуждаемый механизм не может быть использован для эффективного контроля за перепутыванием кубитов. При выводе эффективных гамильтонианов мы использовали ряд приближений. Во-первых, мы использовали приближение вращающейся волны (RWA). Такое приближение является адекватным для случая слабого взаимодействия атомов с полем. Однако для ряда кубитов, в том числе и для сверхпроводящих кубитов [17], реализованы режимы сильной и сверхсильной связи [5]. В этом случае при выводе гамильтониана необходим выход за рамки RWA. Во-вторых, при описании модели с невырожденными переходами мы не учитывали взаимодействие между модами двух осцилляторов. Однако в случае сверхпроводящих кубитов, когда на реальном чипе резонаторы представляют собой сверхпроводящие квантовые интерферометры (SQUID), охватывающие кубит, необходимо учитывать взаимодействие между модами двух SQUIDS [18]. Рассмотрение динамики перепутывания системы двух потоковых кубитов вне рамок RWA и с учетом взаимодействия мод резонаторов будет являться предметом нашей следующей работы.

Литература

[1] Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information, Cambrige: Cambrige University Press, 2000.

[2] Schumacker D., Westmoreland M.,D. Quantum Processes, Systems, and Information, New York: Oxford University Press, 2010. 469 p.

[3] Diir W.D., Vidal G., Cirac J.I. Three qubits can be entangled in two inequivalent ways // Phys.Rev. 2000. V. A62. 062314.

[4] Four qubits can be entangled in nine different ways / F. Verstraete [et al.] // Phys. Rev. 2002. V. A65. 052112.

[5] Buluta I., Ashhab S., Nori F. Neutral and artificial atoms for quantum computation // Rep. Prog. Phys. 2011. V. 74 P. 104401.

[6] Stute A. et al.Tunable ion-photon entanglement in an optical cavity // Nature. 2012. V. 485. P. 482-486.

[7] An elementary quantum network of single atoms in optical cavities / S. Ritter [et al.] // Nature. 2012. V. 484. 195-200.

[8] Zhang G.-F, Chen Z.-Y. The entanglement character between atoms in the non-degenerate two photons Tavis-Cummings model // Optics Communications. 2007. V. 275. P. 274—277.

[9] Li C., Shao X.-Q., Zhang S. The influence of dipole-dipole interaction and detuning on the sudden death of entanglement beween two atoms in the Tavis-Cummings model // Chinese Physics B. 2009. V. 18. P. 888-893.

[10] Башкиров Е.К., Евдокимова А.М., Мастюгин М.С. Влияние диполь-дипольно-го взаимодействия на мгновенную смерть перепутывания состояний двух атомов с вырожденными двухфотонными переходами // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86). С. 109-114.

[11] Башкиров Е.К., Мастюгин М.С. Перепутывание в невырожденной двухфо-тонной модели Тависа — Каммингса // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86). P. 109-114.

[12] Ji Y.H., Hu Y., Yu Y.X. Entanglement and Decoherence of Coupled Superconductor Qubits in Contact with a Common Environment // Int. J. Theor. Phys. 2011. V. 50. P. 3313-3321.

[13] Quantum spin chains and Majorana states in arrays of coupled qubits / L.S. Levitov [et al.] // cond-mat/0108266 (2001).

[14] Circuit QED with a flux qubit strongly coupled to a coplanar transmission line resonator / T. Lindstrom [et al.] // Supercond. Sci. Technol. 2007. V. 20. P. 814—821.

[15] You J.Q., Nakamura Y., Nori F. Fast two-bit operations in inductively coupled flux qubits // Phys. Rev. 2005. V. B71. 024532.

[16] Wootters W.K. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 2245-2248.

[17] Fedorov A. Strong Coupling of a Quantum Oscillator to a Flux Qubit at Its Symmetry Point // Phys. Rev. Lett. 2010. V. 105. 060503.

[18] Омельянчук А.Н., Оболенский М.А. Квантовые компьютеры и джозефсонов-ские кубиты // Университеты. 2005. № 3. С. 12-19.

Поступила в редакцию 10/VI/2013; в окончательном варианте — 10/VT/2013.

INFLUENCE OF DIPOLE-DIPOLE INTERACTION ON DYNAMICS OF ENTANGLED GREENBERGER — HORNE — ZEILINGER STATES FOR TWO QUBITS

© 2013 E.K. Bashkirov, T.A. Puzyrnaya2

The influence of dipole-dipole interaction on dynamics of three- and four-particle GHZ states for two Д-type superconducting flux cubits interacting with one or two different electronic LC cavities via two-photon processes has been investigated. The results show that dipole-dipole interaction does not lead to the disappearance of the effect of entanglement sudden death and does not change the maximum degree of entanglement.

Key words: supercoducting flux cubits, degenerate and nondegenerate two-photon transitions, entanglement of cubits, sudden death of entanglement.

Paper received 10/VI/2013. Paper accepted 10/VI/2013.

2Bashkirov Evgeniy Konstantinovich (bash@ssu.samara.ru), Puzyrnaya Tamara Anatolyevna (adanagrey@mail.com), the Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.