Распад ядер в поле лазера Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 152, кн. 2

Физико-математические пауки

2010

УДК 530.145^539.144.7

РАСПАД ЯДЕР В ПОЛЕ ЛАЗЕРА

А.Я. Дзюблик

Аннотация

Исследован распад ядер через промежуточный возбужденный уровень, индуцированный импульсным рентгеновским лазером. Представлен формализм, позволяющий учитывать как ипдуцироваппые. так и споптаппые переходы в ядре па равной основе. Задача решена для резонансных ядерных переходов произвольной мультиполыюсти в поле импульсов прямоугольной и гауссовской форм. В первом случае рассмотрены осцилляции Раби, зависящие от затухания возбужденного и начального уровней ядра. Выведены простые формулы для вероятности индуцированного распада ядра. Оценки для 84 Ш) показывают возможность ускорения его распада интенсивным рентгеновским лазером.

Ключевые слова: рентгеновский лазер, ядерный изомер, ускорение распада, индуцированный распад, осцилляции Раби, когерентная оптика, гамма-квапт.

Введение

Ряд ядер имеет возбужденные долгоживущие изомерные состояния. Предпринимались неоднократные попытки ускорить распад изомерных уровней и освободить большую энергию таких ядер. В частности. Коллинс с сотрудниками [1] пытались ускорить распад изомерного уровня 16+ изотопа 178 Ж, имеющего период полураспада 31 год и энергию 2.446 Мэв. облучая его рентгеновскими лучами. К сожалению. их вывод о незначительном (порядка двух процентов) ускорении распада этого изомера но был подтвержден в дальнейших экспериментах.

Изучалась также возможность возбуждения и дальнейшего распада ядер благодаря кулоновскому взаимодействию ядер с окружающими электронами (см.. например. [2]). Анализировалась и возможность ускорения распада изомеров с помощью оптического лазера [3].

В связи с тем. что в ближайшее время в ряде стран вступают в строй сверхмощные рентгеновские лазеры на свободных электронах, появляются новые уникальные для ядерной физики возможности. В недавней работе [4] был дан анализ Е1-переходов в ядре, индуцированных импульсом когерентного рентгеновского излучения. Задача решалась в стандартной для лазерной физики двухуровневой схеме [5]. Для определения временной зависимости заселенности уровней ядра в [4] численно решалась система кинетических уравнений с частотой Раби. зависящей от времени. Роль затухания основного и возбужденного уровней ядра при этом осталась поясной. Матричные элементы взаимодействия для переходов иной мультиполыюсти (М1-. Е2- и т. д.) вычислялись в работе [6].

В настоящей работе развит метод, позволивший получить аналитическое решение этой задачи с учетом затухания уровней и вырождения их по магнитному квантовому числу. Показана принципиальная возможность освобождения энергии изомеров сверхмощным рентгеновским лазером.

1. Квазиклассическое приближение

Ядро и поле 7-квантов мы описываем кваптово-мехапически, а лазерное излучение как классический линейно поляризованный электромагнитный волновой пакет с векторным потенциалом

Л(м) = Ао(г)со8(кг - Шкг), (1)

где Ло(4) - амплитуда, зависящая от времени. Для импульсов с продолжительностью т ^ 1 соответствующая компонента электрической напряженности волны равна

Е(г,*) « -Ео(*)вт(кг - шкЬ),

где ее амплитуда есть

Ео(*) = -кЛ о(4).

Невозмущеиный гамильтониан системы «ядро — квантованное электромагнитное поле» имеет вид

Но = Ни + Нга

где Ни и Нта,й — гамильтонианы ядра и квантованного поля соответственно. Последний в кулоновской калибровке определяется выражением

Нгас1 = ^ НкрНкр,

к р=± 1

где Н+р и акр - операторы рождения и уничтожения фотона с волновым вектором к и циркулярной поляризацией £р. Полный гамильтониан

Н = Но + Н + Н/ (*),

где Н — оператор взаимодействия ядра с квантованным электромагнитным полем и У/ (^ - оператор взаимодействия ядра с классическим полем. Первое взаимодействие дается известным выражением [7]:

К = I ¿г](г)А(г), (2)

где Н(г) - оператор плотности то ка ядра, А (г) - оператор векторного потенциала квантованного поля.

Совершенно аналогично оператор взаимодействия ядра с классической волной определяется тем же выражением (2) с классическим потенциалом (1) вместо оператора .А. Выбирая ось квантования г вдоль вектора поляризации волны е = = А0 /Ао, этот оператор можно записать в виде

Щг) = ~ + А0(1),

Ук) = I ^ Нг) екг.

Выразим орт е через сферические орты £р. Тогда произведение Н(±к)е запишется в виде (_;_1(±к) — ^1(±к))/\/2, где оператор ^р(±к) = .¡(гЬк^р определяется

стандартным разложенном по мультиполям [7]):

j

х Е DJmp((,0,0)

m=-J

где DJv(p,0, 0) = e-lmv dJmv(0) - матрицы вращения, зависящие от сферических

углов 0, р волнового век тора к лазерной вол ны, Mm(EJ) и Mm(MJ) - электрический и магнитный операторы ядра.

При выборе оси квантования z вдол ь e = A0 / A0 и ос и x в дол ь к матрица вращения Dpm((,0, 0) в (3) сводится к dpm(п/2).

2. Теория распада

Решением временного уравнения Шродингора с периодическим гамильтонианом H(t) = H(t + T) являются функции Флоке

Mq,t) = Фъ,иШ) e-i£b-nt/n,

где фb,n(q,t) = Фъ,п(я,t + T) - периодические функции, Еъ,п = Еъ + пНО - квазиэнергии, О = 2п/Т.

Весьма удобно иметь дело с квазиэнергетическими состояниями в композитном гильбертовом пространстве периодических функций ф(q,t) = ф(q,t + Т). В нем пространственные переменные q и время t равноправны, поэтому скалярное произведение функций ф^^) и р(q,t) определяется следующим образом [8, 9]:

Т/ 2

<Mq,t)|((q,t)» = J dt J dq ф* (q, t) p(q,t),

-T/2

и вместо гамильтонианов Но и H вводятся операторы Шредингера

о о

H0(t) = Но - гГг- H(t) = H(t) - гГг-dt dt

Это позволяет нам использовать формально методы стационарной теории возмущений и рассеяния [8, 9].

t=0

циой

Щ0) = \г0)) = \1^)\0)-^=, (4)

где IIjMj} - волновая функция ядра в начальном состоянии, |0) - функция вакуума квантованного электромагнитного поля. Функция (4) нормирована на единицу в композитном гильбертовом пространстве, то есть ((Ю|г0)} = 1. Соответствующая ей квазиэнергия Ej равна начальной энергии ядра Wj.

Лазерная волна связывает этот начальный квазиуровень | i0)} с промежуточным квазиуровнем |е?г}} = 11еМе) /л/Т^ егпШ с квазиэнергией We +nhCl, где We - энергия возбужденного уровня ядра. Заметим, что все эти уровни вырождены по магнитному квантовому числу Mi(e).

Mm(EJ) - iPMm(MJ) , (3)

Можно показать, что волновая функция в момент Т есть (см. также [10])

сю

*(<7,Т) = -^т | <ке-*т'*д+(е)Щд, 0),

— с

где

<5+ (е) = (е + «п -Ю —1

есть оператор Грина для полного оператора Шредингера Н (1;) с п ^ +0 •

Вероятность найти систему в момент времени г = Т, 2Т,... в начальном состоянии 0}} дается выражением

где амплитуда вероятности выражается в терминах матрицы Грина:

сс

№) = -¿т I ск С+.0(е), С+.0(е) = «г0|б+(£)|г0».

—с

Эта матрица Грина определяется системой алгебраических уравнений [9]:

^ ' п= — с Ме

40(е) + (е " - пШ + г^ С+г;Ю(е) = 0, где введено следующее сокращение:

= (Ы^ (*)|«0».

Решение этих уравнений имеет вид

^¿0;г0('

• Г 'С ^^ |К;п;г0|2

2 ^ ^ е - Же - пШ + «Ге/2

п= — с Ме

(5)

/

С™'го(£) - е - ТУе - пШ + гГе/2С^<о(е)' (6)

3. Импульсы с прямоугольной огибающей

Рассмотрим вначале распад ядра, индуцированный импульсом с прямоугольной огибающей

, , N (Ао, 0 < г < т, А0(г)= 0 0,.

Взаимодействие ядра с таким полем Vf (г) в интервале 0 < г < т описывается периодической функцией, для которой П совпадавт с В случае резонанса, когда частота лазера близка к резонансному значению = (Же — Жг)/Й, имеются два близко лежащих вырожденных по магнитному квантовому числу квазиэнергетических уровня

\1)) = \1гМ,)^ и \2)) = \1еМе)-±=е~™

1

с невозмущенными квазиэнергиями

е(0) = и £2(0) = Же — = <?(0) + ЙД, где расстройка есть

Д = ^0 — ^к. Д=0

^20) = Е(0) • Даже малое возмущение приводит к сильному отталкиванию таких квазиуровней и их смешиванию [8].

В описанной ситуации только матрицы Грина С+1 = С+;г0(е) и С+1 = = С,— 1;г0(е) 113 всего набора (5), (6) имеют существенное значение. Их можно представить в виде суммы двух резонансных членов. В частности.

^^ ( 1 1

GÍÁ-) =

Mi - M2 Vе - Mi е - M2

Здесь комплексные квазнэнергнн равны

e(0) + f20) Ге + Г , 1

где

Mi,2 = 1 2 ^ " ± ¿V*, (7)

z = Не4* = П2А2 + 4 ]Г \V,{ |2 - (■+ гПА(Ге - Г4). (8)

Me V 2 /

Комплексные квазнэнергнн можно представить в виде

Mi,2 = Ei,2 - iri,2/2. Из (7). (8) находим реальные возмущенные квазиэнергии:

¿1,2 = Wi - ^ ± Шд,

Mr = eos (^/2)

есть частота Раби. в которой учтены затухания уровней. Ширины же уровней определяются выражениями

Амплитуда вероятности найти ядро в возбужденном (промежуточном) состоянии |/eMe) в момент t = T, 2T,... во время действия прямоугольного импульса (t < т) задается интегралом

сю

Посредством контурного интегрирования получаем:

Vf /

x/I V

Вероятность найти ядро в возбужденном состоянии Р2(£) равна квадрату модуля этой амплитуды. В предельном случае, когда продолжительность лазерного импульса т намного меньше, чем время жизни возбужденного состояния ядра те = ^/Г'е, эта вероятность принимает вид

4|У Л2

к

Зная экспериментальное значение парциальной радиационной ширины Г7(е ^ г) для перехода |е) ^ |г), мы можем оценить параметр У./1 = — А0Мег/2, где Мег обозначает ядерный матричный элемент: Мег = с—1(,|егк)е. Для перехода мультипольности XI мы находим, что (см. также [6])

3 1 = v/2JTTv^ ]Г

ш= — 3

1 I ~ ) 1 ( —

где (/г1Мг0|/еМе) - коэффициент Клебша-Гордана, д - спиновый фактор:

21е + 1

д=

21 г + 1 •

4. Гауссовские импульсы

Рассмотрим теперь случай, когда рентгеновские волновые пакеты имеют огибающую в виде гауссовской кривой:

Ао(*) = Аоехр [—(I — 1о)2/2т2] ,

где ¿0 > 0 - момент, соответствующий пику мощности лазера. Для одиночного такого импульса Уf (¿) уже не является периодической функцией. Однако можно восстановить периодичность, налагая циклические граничные условия по £ или рассматривая последовательность периодически повторяющихся импульсов с интервалом Т = 2п/О. Теперь частота повторения О ^ Вследствие этого начальный квазиуровень |г0)) оказывается связанным с бесконечным числом близко лежащих квазиуровней |еп)), образующих практически непрерывный спектр. Выбирая Т ^ ¿о ^ т, найдем вероятность (Т) того, что ядро останется в начальном состоянии после действия одного импульса.

В пределе Т ^ го в функции Грина (5) мы переходим от суммирования по п к интегрированию. При этом пО переходит в ш и

сю

К^О - Цу^ш), ЧМ = ¿ / ^ ^^

—с

Все это позволяет нам переписать функцию Грина (5) в виде

<0;<<п~' е - Wi - <5Ще) + г(Г<(е) + йТг(е))/2 ' где сдвиг уровня, зависящий пока от е, определяется формулой

|2

— ^ I 2

АТТ/ ^ 2П [ К{И го,

=т]дШ (е — \¥е — Нш)2 + (Ге/2)2 ' (9)

а уширение формулой

¿Г<(е) = Г,

2тг

т

(о

(е — Же — М2 + (Ге/2)2 '

(10)

т

ше, чем время жизни ядра в возбужденном состоянии тП = Й/Ге. В этом приближении под знаками интегралов в (9) и (10) стоят произведения плавной функции, задаваемой (ш)|2 , зависящей от с ширин ой ~ 1/т и функции острого пика, задаваемой знаменателем, с шириной ~ 1/тП • Тогда стандартные оценки интеграла дают: ¿Жг = 0 и

¿Гг(е) =

Ме

Амплитуда вероятности &(Т) равна

сю /

е-^ ¿е

е — Ж + «(Гг(е) + ¿Г<(е)) /2'

Здесь подынтегральная функция нмеет полюс в точке

е0 « Ж — «(Гг + ¿Г<) /2, Г = Г<(Ж<), ¿Г = ¿Г<(Ж<).

Замыкая контур интегрирования в нижней полуплоскости комплексной переменной е = е' + е'', получим

£г(Т) = ехр [—«ЖгТ/Й — (Гг + ¿Г<)Т/2Й] ,

Так как для изомерного состояния ядра ГгТ/Й « 0, то вероятность найти ядро в таком начальном состоянии в момент Т равна

Р = ехр

Ме

Вычисляя (—ш0) для гауссовского импульса, получаем:

Р = ехр

П / т N 2

"2 и

|2е—Д2т2

Ме

А2

А0.

Принимая также во внимание связь

ск2

Р = —А1

8тг 0

между амплитудой волны А0 и пиковой мощностью лазера Р, легко получпть Рг. Усредняя |Жег|2 по Мг, находим окончательно вероятность заселения возбужденного состояния одним лазерным импульсом Ре = 1 — Рг:

Ре = 1 — ехр

—£2Г7(е ^ «)

пт X 2 1 Йк/ Шк

Ре

-Д2т 2

(Н)

Заключение

Оценим эффект для изомерного уровня Ii = 6_ с энергией Wi = 463.59 кэВ и Ti/2 = 20.26 мин в ядре 84 Rb. Выбирая гауссовский импульс с мощностью P = 1020 Вт/см2 и длительноетыо т = 30 фс при точном резонансе (Д = 0) с переходом в промежуточный уровень Ie = 5-, We = 466.64 кэВ находим, что вероятность заселения этого уровня одним импульсом составляет Pe « 7 • 10-3. Это соответствует ускорению распада изомера на интервале 30 фс в ~ 1013 раз.

Summary

A.Ya. Dzyublik. Nuclear Decay in a Laser Field.

The work examines the nuclear decay via intermediate excited level induced by a pulsed X-ray laser. The formalism is developed, which allows to treat both induced and spontaneous transitions in a nucleous on an equal footing. The problem is solved for resonant nuclear transitions of arbitrary multipolarity in the field of pulses with rectangular and Gaussian shape. In the first case the Rabi oscillations are considered, which depend on the attenuation of excited and initial levels of the nucleus. Simple equations are derived for the probability of the nuclear decay induced by a laser. The estimate for 84 Rb shows the possibility of acceleration of its decay by an intense X-ray laser.

Key words: X-ray laser, nuclear isomer, acceleration of decay, induced decay, Rabi oscillations, coherent optics, gamma quantum.

Литература

1. Collins G.B. et al. y emission from the 31-yr isomer of 178 Hf induced by X-ray irradiation // Pliys. Rev C. 2000. V. 61, No 5. P. 054305-1 054305-7.

2. Карпешип Ф.Ф. Резонансная внутренняя конверсия как путь ускорения ядерных процессов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2006. Т. 37, Л' 2. С. 523 564.

3. Dzyublik A.Ya., Meot V., Gosselin G. Decay of isomers stimulated by laser radiation // Laser Pliys. 2007. V. 17, No 5. P. 760 764.

4. Bürvenich Т. J., Evers J., Keitel G.H. Nuclear quantum optics with X-ray laser pulses // Pliys. Rev. Lett. 2006. V. 96, No 14. P. 142501-1 142501-4.

5. Делоне Н.Б., Крайиов В.П. Атом в сильном световом поле. М.: Эпергоатомиздат, 1984. 224 с.

6. Pnlffy A., Evers J., Keitel G.H. Elect.ric-dipole-forbidden nuclear transitions driven by super-intense laser fields // Pliys. Rev. C. 2008. V. 77, No 4. P. 044602-1 044602-9.

7. Давыдов A.C. Теория атомного ядра. М.: Физматгиз, 1958. 611 с.

8. Sam.be Н. Steady states and quasienergies of a quantum-mechanical system in an oscillating field // Pliys. Rev. A. 1973. V. 7, No 6. P. 2203 2213.

9. Дзюблик А.Я. Решение временного уравнения Шредипгера в нетрадиционном гильбертовом пространстве // Теорет. и матем. физика. 1991. Т. 87, Л' 1. С. 86 96.

10. Гольдбергер A4., Ватсои К. Теория столкновений. М.: Мир, 1967. 814 с.

Поступила в редакцию 28.01.10

Дзюблик Алексей Ярославович доктор физико-математических паук, ведущий паучпый сотрудник Института ядерных исследований HAH Украины, г. Киев, Украина. E-mail: dzyublikMukr.net