ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ПРЕДПОЛАГАЕМОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ Χ2) СРЕДСТВАМИ EXCEL

Ковальчук Владимир Васильевич; Бурзун Марина Сергеевна

№1X94)

AuiSli Лт те)

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

январь, 2022 г.

DOI - 10.32743/UniTech.2022.94.1.129 74

ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ПРЕДПОЛАГАЕМОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ Х2)

СРЕДСТВАМИ EXCEL

Ковальчук Владимир Васильевич

проф. кафедры математики, информационных систем и программного обеспечения Мурманского государственного технического университета,

РФ, г. Мурманск E-mail: vl-kovalchuk@yandex. ru

Бурзун Марина Сергеевна

аспирант кафедры математики, информационных систем и программного обеспечения

Мурманского государственного технического университета,

РФ, г. Мурманск E-mail: burzun m@mail.ru

EXAMPLE OF VERIFICATION OF THE HYPOTHESIS OF CONSISTENCY OF THE ASSUMED LAW OF DISTRIBUTION OF FAILURES ACCORDING TO THE PEARSON CRITERION

(CRITERION Х2)

Vladimir Kovalchuk

Professor,

Department of Mathematics, Information Systems and Software, Murmansk State Technical University, Russia, Murmansk

Marina Burzun

Graduate student,

Department of Mathematics, Information Systems and Software, Murmansk State Technical University, Russia, Murmansk

АННОТАЦИЯ

В статье описан пример оценки показателей надежности безотказной работы системы и проверки гипотезы о непротиворечивости предполагаемого закона распределения отказов по критерию Пирсона. Расчет основных показателей произведен средствами VBA.

ABSTRACT

The article describes an example of evaluating the reliability of the system's failure-free operation and testing the hypothesis of consistency of the assumed law of failure distribution according to the Pearson criterion. The main indicators were Calculated using VBA tools.

Ключевые слова: доверительный интервал, закон распределения, испытания, надежность, число отказов.

Keywords: confidence interval, distribution law, tests, reliability, number of failures.

Для утверждения вида неизвестного распределения используют статистические модели. Для количественной оценки согласованности теоретического и эмпирического распределений применяют критерий Пирсона (критерий х2).

Для построения статистического ряда время испытаний разбивают на интервалы (разряды). Задавшись теоретическим законом распределения и определив

параметры надежности, находят для каждого разряда вероятность отказа qi. При экспоненциальном распределении q/■э подсчитывалось по формуле (1), а при нормальном законе распределения отказов -по формуле (2).

При экспоненциальном законе распределения отказов

^ = - (1)

Библиографическое описание: Ковальчук В.В., Бурзун М.С. ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ПРЕДПОЛАГАЕМОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ Х2) СРЕДСТВАМИ EXCEL // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2022. 1(94). URL: https://7universum. com/ru/tech/archive/item/12974

№1X94)

AuiSli Лт те)

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

январь, 2022 г.

При нормальном законе распределения отказов

<h

(2)

Для каждого разряда определятся также мера расхождения

2 = [n^btQ-Nqj]2 Xi Nqi

(3)

На основании этих расчетов определяется суммарная мера расхождения:

2 _ yr [n\Mi)-Nqj]2 Xi Li = 1 Nqi

Число степеней свободы равно R=k-S,

(4)

(5)

где к - число разрядов статистического ряда;

£ - число связей, наложенных на экспериментальные данные.

Связи, накладываемые на экспериментальные данные:

1. Совпадение математических ожиданий теоретического и статистического распределений М =М*

(Тср = Т*ср ) .

2. Совпадение значений среднеквадратического отклонения теоретического и статистического распределений о = о* и т. д [3, с. 65].

Производят расчет параметров надежности испытаний, проведенных в течение 100 часов на 100 деталях, 34 из которых вышли из строя.

Время испытаний разбивают на заданное число разрядов (интервалов). Число разрядов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и часто в нем обнаруживают незакономерные колебания), с другой стороны, оно не должен быть слишком малым (свойства распределения при этом описываются статистическим рядом слишком грубо) [2, с. 14]. В данном примере количество разрядов равно 10 (продолжительность 10 часов). Для каждого интервала производят расчет, и результаты заносят в таблицу.

Для практических расчетов важно знать вид функции распределения вероятности показателей надежности, сделать обоснованный выбор закона распределения, лучше всего согласующегося с эмпирическими данными.

Наиболее распространенной вероятностной моделью надежности является экспоненциальная модель распределения времени до отказа. Нормальный закон является наиболее универсальным.

Результаты вычислений представлены в таблице Excel (Таблица 1).

Таблица 1.

Результаты расчета основных показателей испытаний

Параметр Разряды

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

n* 5 3 5 2 2 3 3 3 5 3

qiэ 0,042 0,041 0,039 0,037 0,036 0,035 0,033 0,032 0,03 0,029

qiH 0,015 0,018 0,022 0,025 0,030 0,036 0,038 0,042 0,045 0,048

X2 iэ 0,152 0,295 0,310 0,781 0,711 0,071 0,027 0,013 1,333 0,003

X2 iH 8,371 0,8 3,778 0,115 0,306 0,106 0,160 0,323 0,060 0,657

X2 э 3,697934414

X2 н 14,67585717

Листинг фрагмента программы расчета показателей при экспоненциальном и нормальном законах распределения:

'Заполним 3 6 строку таблицы(38)=============================К2э

СтрокаТаблицы = 38 СтолбецТаблицы = 4 b = 0

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

b = b + Sheets(мОсновнаяТаблицам).Cells(25, n).Value

Sheets(мОсновнаяТаблицам).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n

- 1)).MergeCells = True

Sheets(мОсновнаяТаблицам).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n

- 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

A UNiVERSUM:

№ 1 (941_¿Д ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ_январь. 2022 г.

'Заполним 37 строку таблицы(39)=============================д1н

СтрокаТаблицы = 39 СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1) If n = СтолбецТаблицы Then

x1 = Abs((Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value - Tcp) / Сигма) x2 = Abs((0 - Tcp) / Сигма)

Else

x1 = Abs((Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value - Tcp) / Сигма) x2 = Abs((Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n - 1).Value - Tcp) /

Сигма)

End If

' найдем уменьшаемое СтрокаТаблФункцЛапласа = 2 ' проверим попадают ли входные данные в значения таблицы While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

Wend

If x1 <= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 1).Value Then ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 2).Value GoTo далее End If

If x1 >= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1,

1).Value Then

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1,

2).Value

GoTo далее End If

СтрокаТаблФункцЛапласа = 2 While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа,

1).Value = x1 Then

ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа,

2).Value

GoTo далее End If

If x1 < Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value And x1 > Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа

- 1, 1).Value Then

If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа,

1).Value - x1 < x1 - Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа

- 1, 1).Value Then

ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа,

2).Value

Else

ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа

- 1, 2).Value

End If GoTo далее End If

СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

Wend далее:

' найдем вычитаемое

СтрокаТаблФункцЛапласа = 2 ' проверим попадают ли входные данные в значения таблицы While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

Wend

If x2 <= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 1).Value Then

к UNiVERSUM:

№ 1 (941_¿Д ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ_январь. 2022 г.

ф2 = Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(2, 2).Value GoTo далее1 End If

If x2 >= Sheets(мТаблица функции Лапласам).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1,

1).Value Then

ф2 = Sheets(мТаблица функции Лапласам).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1,

2).Value

GoTo далее1 End If

СтрокаТаблФункцЛапласа = 2 While Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

If Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа,

1).Value = x2 Then

ф2 = Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа,

2).Value

GoTo далее1 End If

If x2 < Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value And x2 > Sheets(мТаблица функции Лапласам).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

If Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value - x2 < x2 - Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункц-Лапласа - 1, 1).Value Then

ф2 = Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункц-Лапласа, 2).Value Else

ф2 = Sheets(мТаблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункц-Лапласа - 1, 2).Value End If GoTo далее1 End If

СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

Wend далее1:

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = -(ф1 - ф2) Next

'Заполним 3 8 строку таблицы(40)=============================Х2 1н

СтрокаТаблицы = 4 0 СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1) Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = (Sheets("ОсновнаяТаб-лица").Cells(4, n).Value - КоличествоЭлементов * Sheets("ОсновнаяТаб-лица").Cells(39, n).Value) А 2 / (КоличествоЭлементов * Sheets("ОсновнаяТаб-лица").Cells(39, n).Value) Next

'Заполним 3 9 строку таблицы(41)=============================Х2н

СтрокаТаблицы = 41 СтолбецТаблицы = 4 b = 0

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

b = b + Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(40, n).Value

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n -1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n -1)).HorizontalAlignment = xlCenter [4]

№1X94)

AunÎ /ид TE)

universum:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

январь, 2022 г.

Суммарная мера расхождения составила для экспоненциального закона х2 = 3,69 и для нормального закона хИ = 14,67.

Из таблицы квантилей %2 - квадрат распределения находят, что вероятность непротиворечивости статистических данных экспоненциальному закону составила менее 1 % (число степеней свободы - 10), а нормальному закону - около 2,3 % (число степеней свободы - 9)[1].

Причины расхождения результатов эксперимента и теоретических характеристик могут быть вызваны малым объемом выборки, неудачным способом группировки наблюдений, ошибками в выборе

гипотезы о виде распределения генеральной совокупности и др.

Определение показателей надёжности необходимо для формулирования требования по надежности к проектируемым устройствам или системам.

Поскольку отказы и сбои элементов являются случайными событиями, то теория вероятностей и математическая статистика являются основным аппаратом, используемым при исследовании надежности, а сами характеристики надежности должны выбираться из числа показателей, принятых в теории вероятностей [5, с. 13].

Список литературы:

1. ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике (ССНТ). Основные понятия. Термины и определения.

2. Методы расчета и анализа надежности технических систем : метод. пособие / сост. Л.Н. Герасимов. - Иркутск: ИрГУПС, 2013. - 51 с.

3. Коваленко В.Н. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики : учеб. пособие / В.Н. Коваленко. - Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2013. - 87, [1] с.

4. Программирование на VBA MS Excel: учебное пособие / Н.Г. Кудрявцев, 116 с.- Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2015 -Д.В. Кудин, М.Ю. Беликова.

5. Федотов А.В. Основы теории надежности и технической диагностики: конспект лекций / А.В. Федотов, Н.Г. Скабкин. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010 - 64 с.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ковальчук Владимир Васильевич, Бурзун Марина Сергеевна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ковальчук Владимир Васильевич, Бурзун Марина Сергеевна

EXAMPLE OF VERIFICATION OF THE HYPOTHESIS OF CONSISTENCY OF THE ASSUMED LAW OF DISTRIBUTION OF FAILURES ACCORDING TO THE PEARSON CRITERION (CRITERION Χ2)