Определение объемов опытных партий изделий электроники, необходимых для оценки показателей надежности с заданной точностью Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Безродный Б.Ф., Шмелев О.Ю., Майоров С.А.

ПКТБ железнодорожной автоматики и телемеханики, Москва, Россия МОУ «ИИФ», Москва, Россия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ОПЫТНЫХ ПАРТИИ ИЗДЕЛИИ ЭЛЕКТРОНИКИ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ

Одним из важнейших параметров, присутствующим почти в каждом плане испытаний, является количество образцов техники n. От правильного определения n зависит достоверность и точность статистически определяемых показателей надежности (ПН) . Директивное определение n, преобладающее в настоящее время, приводит в тому, что во многих случаях количество техники явно недостаточно для получения оценок ПН с заданной точностью и достоверностью.

Существующие методы определения объема выборки [1] основаны на априорном знании закона распределения наработки до отказа, который на практике не всегда бывает известен. Предложенный в [2] метод позволяет определить n через точечную оценку вероятности безотказной работы изделия на основе биноминального распределения числа отказов из выражения

n(1-P) л (1+£b1)(n-i)

L (cn)P

i=0

л (1 + eb1)

1 - P

1 -b, (i)

где £ - доверительный интервал или точность оценки P ; Ь - доверительная вероятность.

л

Принципиальное затруднение состоит лишь в том, что величина P в момент планирования испытаний неизвестна. Кроме того, непосредственное решение уравнения (1) очень громоздко и трудоемко, а специальные таблицы [3,4], как правило, не охватывают с достаточной полнотой всех практически встречающихся случаев [2].

В настоящей работе эта задача решается через среднюю наработку на отказ Тср, поскольку этот показатель наиболее важен для восстанавливаемых изделий и чаще всего присутствует в ТУ.

л

Выражение для определения точечной оценки средней наработки на отказ Tcp выглядит следующим образом [5] :

n _

л LTi

гг i=1

Tcp — ,

ki

_ _ LT _ _

где Ti - средняя наработка на отказ i-го изделия; T, = ---; Tj = ti+1i -t j (J = 1,ki) - наработка ме-

i i k J J_r 1,i Ji x%/ i'

жду соседними отказами i-го изделия; tj - моменты отказов; ki - количество отказов за время наблю-

W i

л

дения T i-го изделия. Найдем n через Tcp .

Известно, что распределение случайной величины Tcp , согласно центральной предельной теореме [б] при неограниченном увеличении значения n, независимо от распределения случайной величины Tt , асимптотически приближается к распределению Гаусса с математическим ожиданием Тср и дисперсией D/n, где D - дисперсия величины Ti , и при n>10 отличается от него уже столь незначительно, что этим различием на практике можно пренебречь [6] . Следовательно, вероятность того, что точечная

оценка Tcp будет отличаться от истинного значения Тср меньше, чем на eb (точность оценки Tcp )

запишем через функцию Лапласа Ф

£b [6] : ^3 1 ■3 л II е £b

s лУ2

V Tcp У T V Tcp У

=b,

Tcp ; S, =. D

S л - среднее квадратическое отклонение величины Tcp T T

1cp 1cp

Тогда интервальную оценку параметра Тср запишем в виде

eb=S V2F-1 (b) = s/2F-1 (b), (2)

где Ф-1 (b) - обратная функция Лапласа; S = 4D . Из выражения (2) получаем

У2 = уєо42Ф-х (b). (3)

n

л

где

Однако в момент планирования испытаний (ПЭ) величины S и £ неизвестны. В [7] предложено задавать S и £ в независимых единицах как отклонение от математического ожидания (например, S = 10, £ь= 6 ) . Однако это неудобно, так как нет определенности в выборе конкретных значений этих величин.

Введем новую величину V = £b/ S, которая представляет собой относительную погрешность оценки величины Тср. Тогда выражение (3) запишем в виде

п = yn2 [Т2Ф-1 (р)]2. (4)

Задавая значения величин р и V , можно определить объем выборки n из соотношения (4) . На практике чаще всего выбирают b=0,8...0,9 [8]. При выборе величины V необходимо исходить из тре-

бований к точности, предъявляемым к интервальным оценкам, т.е. необходимо задать: какую часть (V

) от разброса случайной точнее надо иметь оценку

величины Ti

Тcp (еь ® о)

(от S) должен составлять доверительный интервал £р. Чем тем меньше необходимо выбирать величину V.

На рисунке приведены зависимости п = f (v) для различных значений р, позволяющие проиллюстрировать количественные зависимости объемов подконтрольных выборок, требуемых для получения оценок ПН с относительной погрешностью, не превышающей величины V с априорно заданной достоверностью р .

Более высокие требования к достоверности ( р® 1 ) и точности оценок, т.е. к величине относительной погрешности (V® 0 ), получаемым по экспериментальным данным, приводит к необходимости увеличения объема выборки. Следует отметить, что стремление уменьшить объем выборки, снизив тем самым затраты, наталкивается не только на возможное увеличение относительной погрешности V при фиксированной р , но и на некоторую область n<10, не вызывающую особого доверия, поскольку в этом случае начинает существенно сказываться влияние априорно неизвестных законов распределения слу-

__ А

чайных величин Т , входящих в выражение для Tcp . Поэтому представленным на рисунке кривым можно доверять на отрезке [ 0,Vo ] , где 10 = f (v) , т. е. существует некоторое предельное значение относи-

тельной погрешности Vo , при превышении которой сложно что-либо сказать о правильном определении объема выборки.

Таким образом, выражение (4) на практике может быть применено в допустимой области V< Vo для расчета ПН с доверительной вероятностью р и относительной погрешностью V , но с различной абсолютной точностью (величиной интервальной оценки 2Єр искомого ПН) , из-за различных значений S .

На основании изложенного получаем методику определения количества образцов электронного изделия для оценки его ПН по результатам опытной эксплуатации при неизвестном законе распределения наработки на отказ сводящуюся к следующему:

- задается степень доверия (доверительная вероятность) к интервальной оценке параметра Тср, которая будет определяться по экспериментальным данным - р ;

- выбирается величина относительной погрешности оценки (точность) параметра Тср, как некоторая доля разброса (среднего квадратического отклонения) случайной величины Т - V ;

- из выражения (4) определяется количество испытываемых образцов n.

Таким образом, предложенная методика позволяет определить n более простым, по сравнению с известными, методом через легко задаваемые в момент планирования опытной эксплуатации величины р и

V , а также не зависит от конкретных законов распределения случайной величины Т . При этом из практических соображений рекомендуется ограничение П^п = 10 .

Предложенная методика определения n эффективна для условий, когда возможна постановка в опытную эксплуатацию более 10 образцов изделия. Однако для мелкосерийного производства нередки случаи, когда такой возможности нет.

Известные методы математической статистики, применяемые для оценки n в этом случае, описанные в [6,8,9], основаны на том, что случайные величины, подвергающиеся наблюдениям, имеют априорно распределение Гаусса. Тогда n находится через t-распределение Стьюдента. Однако в большинстве случаев случайная величина Т распределена по экспоненциальному закону [10,11]. Как определить n в этом случае? Ниже предложена методика расчета количества образцов, исходя из заданных величин точности, достоверности оценок ПН и расчетного значения средней наработки на отказ, взятого из ТУ на изделия, при ограничении десятью образцами.

Известно [6,10], что в этом случае на вид и параметры распределения оценки средней наработки на отказ

Л n _

Tcp = n-l^T<

i=1

будет значительное влияние оказывать закон распределения случайной величины Tt . Как было отмечено, на практике в большинстве случаев встречается экспоненциальное распределение Tt . Тогда

Л

оценка Tcp будет иметь g-распределение [6,8,10,11] с плотностью вероятности

j[Tcp І = [пп /TcpnG(п)]

Tcp e

п(Тср/ Tcp )

где Г( п) - стандартная гамма функция; Тср - наработка на отказ.

Введя новую безразмерную относительную случайную величину

X = Tcp / Tcp ,

можно записать зависимость доверительной ности оценки) и числа образцов n в виде

*2

вероятности b от доверительных границ T и T2 (т

b=g = P [ T1 < Tcp < T2 ] = [пп / Г(п)]| Xn-1e-n‘dx, (5)

где X1 = T1/ Tcp> x2 = T2/ Tcp ■

Величины Tj и T2 необходимо задать, исходя из требований к точности оценки. Величина Тср априорно неизвестна. Однако в ТУ на изделия содержится ее расчетное значение T^ , полученное исходя из предположения экспоненциального распределения наработки на отказ через справочные значения интенсивностей отказов 1 комплектующих элементов. Тогда запишем

x = Tx/ Tcp, *2 = T2/ Tcpp ■ (6)

Интеграл (5) табулирован в [11]. Для различных значений b составлена таблица зависимости объема выборки n от *1 и *2 , с помощью которой для заданных значений Tj и T2 отыскивается минимальное n такое, что g£b . Следовательно, задавая относительные значения границ доверительного интервала ( T1,T2 ) и величину доверительной вероятности b= g из выражения (5) с помощью указанной таблицы определяется значение n.

Таблица.

b

n X, X 2

0.99 0.95 0.9 0.8 0.01 0.05 0.1 0.2

1 Т— О О 0.05 0.105 0.223 4.6 3.0 2.3 1.61

2 0.075 0.077 0.265 0.412 3.325 2.37 1.95 1.5

3 0.145 0.272 0.361 0.512 2.8 2.07 1.8 1.433

4 0.206 0.341 0.436 0.574 2.512 1.94 1.675 1.375

5 0.256 0.394 0.486 0.618 2.32 1.83 1.6 1.34

6 0.3 0.434 0.525 0.65 2.15 1.75 1.542 1.317

7 0.336 0.47 0.557 0.679 2.078 1.69 1.507 1.3

8 0.362 0.5 0.581 0.7 2.0 со тН 1.469 1.281

9 0.389 0.52 0.805 0.717 1.933 1.6 1.444 1.266

10 0.419 0.545 0.62 0.73 1.88 1.57 1.42 1.25

Другими словами, предлагается следующая методика определения требуемого объема подконтрольной выборки n в предположении экспоненциального распределения случайной величины Tt :

- задается значение доверительной вероятности b;

- выбираются доверительные границы оценки средней наработки на отказ Tj и T2 , исходя из требований к точности оценки параметра Тср;

*2 из выражений (6) относительно величины

- вычисляются значения коэффициентов точности *1 и Tp , взятой из ТУ на изделие;

- определяется количество образцов n по таблице или из выражения (5);

- проводится корректировка данных.

Если n получилось больше 10, то можно увеличить значения коэффициентов точности *1 и *2 , т.е. расширить интервал ( T1 ,T2 ) . При этом, естественно, происходит снижение точности.

Таким образом, разработанная методика дает возможность определить количество образцов изделия электроники n для проведения опытной эксплуатации до ее начала с использованием расчетного значения наработки на отказ Tcpp , взятого из ТУ на изделие, для экспоненциального распределения Ti .

Используя настоящую методику при составлении плана испытаний, исследователь имеет возможность представить реальные значения интервальной оценки требуемого ПН, исходя из требований к точности, достоверности, оперативности получения оценок, а также из экономических соображений обосновать количество образцов техники и длительность испытаний.

п-1

Л

Л

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ 27.503-81 Надежность в технике. Система сбора и обработки информации. Методы оценки показателей надежности.

2. Заренин Ю.Г., Стоянова И.И. Определительные испытания на надежность.-М.: Издательство стандартов , 1978.

3. Рябинин И.А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергитических систем.-Л.: Судостроение, 1967.

4. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества.-М.: Мир, 1970.

5. Половко А.М. Основы теории надежности.-М.: Наука, 1964.

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.-М.: Наука, 1969.

7. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных: Пер. с англ./Под ред. Лецкого Э.К.-М.: Мир, 1980.

8. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности: Пер. с англ./Под ред. Гнеденко Б.В.-М.: Сов. радио, 1969.

9. Кендал М., Стьюарт А. Статистические выводы и связь.:Пер. с англ.-М.: Наука, 1973.

10. Надежность технических систем: Справочник / Беляев Ю.К. и др.; Под. ред. Ушакова И.А.-М.: Радио и связь, 1985.

11. Репкин В.Ф., Персиков А.С., Лернер В.Ю. Основы надежности и эксплуатации радиоэлектронных систем.-Киев: КВИРТУ ПВО, 1976.