CC BY
78
УДК 621.3.049.77
ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМОВ ОПЫТНЫХ ПАРТИЙ
ИЗДЕЛИЙ ЭЛЕКТРОНИКИ
------ Б. Ф. Безродный, О. Ю. Шмелев, С. А. Майоров
Одним из важнейших параметров, присутствующим почти в каждом плане испытаний, является количество образцов техники п. От правильного определения п зависит достоверность и точность статистически определяемых показателей надежности (ПН). Директивное определение п, преобладающее в настоящее время, приводит в тому, что во многих случаях количество техники явно недостаточно для получения оценок ПН с заданной точностью и достоверностью.
Существующие методы определения объема выборки [1] основаны на априорном знании закона распределения наработки до отказа, который на практике не всегда бывает известен. Предложенный в [2] метод позволяет определить п через точечную оценку вероятности безотказной работы изделия на основе биноминального распределения числа отказов из выражения
Л
п (1-Р) , л (1+єР1)( п -і)
I (С )р
і=0
л (1+єрі)
1 - Р
= 1 -Р, (1)
где £р - доверительный интервал или точность оценки Р ; Р - доверительная вероятность.
Л
Принципиальное затруднение состоит лишь в том, что величина Р в момент планирования испытаний неизвестна. Кроме того, непосредственное решение уравнения (1) очень громоздко и трудоемко, а специальные таблицы [3, 4], как правило, не охватывают с достаточной полнотой всех практически встречающихся случаев [2].
В настоящей работе эта задача решается через среднюю наработку на отказ Тср, поскольку этот показатель наиболее важен для восстанавливаемых изделий и чаще всего присутствует в ТУ.
Л
Выражение для определения точечной оценки средней наработки на отказ ТСр выглядит следующим образом [5]:
Л
Т _ і=1
1 ср —----------
ІТ
кі
I т
где Т - средняя наработка на отказ /-го изделия; Т = —; Ту = +1г- -1у/ (у = 1, к/ ) - наработка
между соседними отказами /-го изделия; - моменты отказов; к - количество отказов за время
Л
наблюдения Т і-го изделия. Найдем п через Т,
сР.
Л
Известно, что распределение случайной величины Т Ср согласно центральной предельной теореме [6] при неограниченном увеличении значения п, независимо от распределения случайной величины Т, асимптотически приближается к распределению Гаусса с математическим ожиданием Тср и дисперсией Шп, где В - дисперсия величины Т , и при п > 10 отличается от него уже
столь незначительно, что этим различием на практике можно пренебречь [6]. Следовательно, веЛ
роятность того, что точечная оценка Т Ср будет отличаться от истинного значения Тср меньше, чем
п
на величину Ер (точность оценки Тcp). Выражение для Р запишем через функцию Лапласа
( \
Ф
"Р
42
Т
V СР
[6]:
Р(
Т ср - ТС
СР
<£і
р ) = Ф
42
у Т V ср
=р,
где а л - среднее квадратическое отклонение величины Тср; а Л = л№/ .
Т Т V ' п
± ср 1 ср
Тогда интервальную оценку параметра Тср запишем в виде
Ер = ал 42ф-1 (р) = Упо42ф~1 (р),
/ \П
где Ф 1 (Р) - обратная функция Лапласа; а = 4~Ё. Из выражения (2) получаем
К _ і
п' =
=0
^л/2Ф-1 (Р).
(2)
(3)
Однако в момент планирования испытаний (ПЭ) величины а и Ер неизвестны. В [7] предложено задавать а и Ер в независимых единицах как отклонение от математического ожидания (например, а = 10, Ер =6). Однако это неудобно, так как нет определенности в выборе конкретных значений этих величин.
Введем новую величину у= Ер / а, которая представляет собой относительную погрешность оценки величины Тср. Тогда выражение (3) запишем в виде
п =
:[,йф-1 (р)]2.
(4)
Задавая значения величин р и V, можно определить объем выборки п из соотношения (4). На практике чаще всего выбирают р = 0,8...0,9 [8]. При выборе величины V необходимо исходить из требований к точности, предъявляемых к интервальным оценкам, т.е. необходимо задать: какую часть (V) от разброса случайной величины Tj (от а) должен составлять доверительный
интервал Ер. Чем точнее надо иметь оценку Тср ( ^ о), тем меньше необходимо выбирать величину V .
На рис. 1 приведены зависимости п = / (V) для различных значений р, позволяющие проиллюстрировать количественные зависимости объемов подконтрольных выборок, требуемых для получения оценок ПН с относительной погрешностью, не превышающей величины V с априорно заданной достоверностью р .
Более высокие требования к достоверности (р^1) и точности оценок, т.е. к величине относительной погрешности (V ^ 0), получаемой по экспериментальным данным, приводят к необходимости увеличения объема выборки. Следует отметить, что стремление уменьшить объем выборки, снизив тем самым затраты, наталкивается не только на возможное увеличение относительной погрешности V при фиксированной р, но и на некоторую область п<10, не вызывающую особого доверия, поскольку в этом случае начинает существенно сказываться влияние априорно
неизвестных законов распределения случайных величин Tj, входящих в выражение для Тср . По-
р
этому представленным на рисунке кривым можно доверять на отрезке [0, V 0], где 10 = /(\>0), т.е. существует некоторое предельное значение относительной погрешности \0 , при превышении которой сложно что-либо сказать о правильном определении объема выборки.
\0 \о \0
Рис. 1
Таким образом, выражение (4) на практике может быть применено в допустимой области \<\0 для расчета ПН с доверительной вероятностью Р и относительной погрешностью V , но с различной абсолютной точностью (величиной интервальной оценки 2вр искомого ПН) из-за различных значений а.
На основании изложенного получаем методику определения количества образцов электронного изделия для оценки его ПН по результатам опытной эксплуатации при неизвестном законе распределения наработки на отказ, сводящуюся к следующему:
- задается степень доверия (доверительная вероятность) к интервальной оценке параметра Тср, которая будет определяться по экспериментальным данным - Р;
- выбирается величина относительной погрешности оценки (точность) параметра Тср как некоторая доля разброса (среднего квадратического отклонения) случайной величины Tj - V;
- из выражения (4) определяется количество испытываемых образцов п.
Таким образом, предложенная методика позволяет определить п более простым, по сравнению с известными, методом через легко задаваемые в момент планирования опытной эксплуатации величины Р и V , а также не зависит от конкретных законов распределения случайной величины Tj. При этом из практических соображений рекомендуется ограничение пт{п = 10 .
Предложенная методика определения п эффективна для условий, когда возможна постановка в опытную эксплуатацию более 10 образцов изделия. Однако для мелкосерийного производства нередки случаи, когда такой возможности нет.
Известные методы математической статистики, применяемые для оценки п в этом случае, описанные в [6, 8, 9], основаны на том, что случайные величины, подвергающиеся наблюдениям, имеют априорно распределение Гаусса. Тогда п находится через ^-распределение Стьюдента. Однако в большинстве случаев случайная величина Tj распределена по экспоненциальному закону [10, 11]. Как определить п в этом случае? Ниже предложена методика расчета количества образцов исходя из заданных величин точности, достоверности оценок ПН и расчетного значения средней наработки на отказ, взятого из ТУ на изделия, при ограничении десятью образцами.
Известно [6, 10-13], что в этом случае на вид и параметры распределения оценки средней наработки на отказ
T cp = n-1±T
i=1
будет оказывать значительное влияние закон распределения случайной величины Т1 . Как было отмечено, на практике в большинстве случаев встречается экспоненциальное распределение Ti .
Л
Тогда оценка ТСр будет иметь у -распределение [6, 8, 10, 11] с плотностью вероятности
Фп
Л
T cp
V У
{nn ITcpnГ(п)
n-1
cp
n(T cp/Tcp)
где Г(п) - стандартная гамма функция; Тср - наработка на отказ.
Введя новую безразмерную относительную случайную величину
x = T cp1 Tcp :
можно записать зависимость доверительной вероятности Р от доверительных границ Т1 и Т2 (точности оценки) и числа образцов п в виде
( Л \ 2
Р = у = pI T < Tcp < T2 I = [nn І Г(п)] J xn-1e-nxdx,
(5)
ГДе X1 = V Tcp, X2 = T2> Tcp.
Величины T1 и T2 необходимо задать исходя из требований к точности оценки. Величина Гер априорно неизвестна. Однако в ТУ на изделия содержится ее расчетное значение Гср,, полученное исходя из предположения экспоненциального распределения наработки на отказ через справочные значения интенсивностей отказов X комплектующих элементов. Тогда запишем
Х1 = V тр, Х2 = V тр. (6)
Интеграл (5) табулирован в [14]. Для различных значений Р составлена таблица зависимости объема выборки n от x1 и х2, с помощью которой для заданных значений T1 и Т2 отыскивается минимальное n такое, что у <Р. Следовательно, задавая относительные значения границ доверительного интервала (Т1, Т2) и величину доверительной вероятности Р = у из выражения (5) с помощью указанной таблицы определяется значение n (табл. 1).
Таблица 1
Л
Л
n P
*1 *2
0,99 0,95 0,9 0,8 0,01 0,05 0,1 0,2
1 0,01 0,05 0,105 0,223 4,6 3,0 2,3 1,61
2 0,075 0,077 0,265 0,412 3,325 2,37 1,95 1,5
3 0,145 0,272 0,361 0,512 2,8 2,07 1,8 1,433
4 0,206 0,341 0,436 0,574 2,512 1,94 1,675 1,375
5 0,256 0,394 0,486 0,618 2,32 1,83 1,6 1,34
6 0,3 0,434 0,525 0,65 2,15 1,75 1,542 1,317
7 0,336 0,47 0,557 0,679 2,078 1,69 1,507 1,3
S 0,362 0,5 0,581 0,7 2,0 1,84 1,469 1,281
9 0,389 0,52 0,805 0,717 1,933 1,6 1,444 1,266
10 0,419 0,545 0,62 0,73 1,88 1,57 1,42 1,25
Другими словами, предлагается следующая методика определения требуемого объема подконтрольной выборки п в предположении экспоненциального распределения случайной величины Tj :
- задается значение доверительной вероятности Р;
- выбираются доверительные границы оценки средней наработки на отказ Т1 и Т2 исходя из требований к точности оценки параметра Тср;
- вычисляются значения коэффициентов точности х1 и х2 из выражений (6) относительно
величины ТСР, взятой из ТУ на изделие;
- определяется количество образцов п по таблице или из выражения (5);
- проводится корректировка данных.
Если п получилось больше 10, то можно увеличить значения коэффициентов точности х и х2, т.е. расширить интервал (Т1, Т2). При этом, естественно, происходит снижение точности.
Таким образом, разработанная методика дает возможность определить количество образцов изделия электроники п для проведения опытной эксплуатации до ее начала с использованием расчетного значения наработки на отказ Т^, взятого из ТУ на изделие, для экспоненциального распределения Tj. Используя настоящую методику при составлении плана испытаний, исследователь имеет возможность представить реальные значения интервальной оценки требуемого ПН исходя из требований к точности, достоверности, оперативности получения оценок, а также из экономических соображений обосновать количество образцов техники и длительность испытаний.
Список литературы
1. ГОСТ 27.503-81 Надежность в технике. Система сбора и обработки информации. Методы оценки показателей надежности.
2. Заренин, Ю. Г. Определительные испытания на надежность / Ю. Г. Заренин, И. И. Стоянова. - М. : Изд-во стандартов, 1978. - 364 с.
3. Рябинин, И. А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергетических систем / И. А. Рябинин. - Л. : Судостроение, 1967. - 184 с.
4. Шторм, Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества / Р. Шторм. - М. : Мир, 1970. - 215 с.
5. Половко, А. М. Основы теории надежности / А. М. Половко. - М. : Наука, 1964. - 346 с.
6. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. - М. : Наука, 1969. - 212 с.
7. Джонсон, Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных :
пер. с англ. / Н. Джонсон, Ф. Лион ; под ред. Э. К. Лецкого. - М. : Мир, 1980. - 386 с.
8. Барлоу, Р. Математическая теория надежности : пер. с англ. / Р. Барлоу, Ф. Прошан ; под ред.
Б. В. Гнеденко. - М. : Сов. радио, 1969. - 264 с.
9. Кендал М. Статистические выводы и связь : пер. с англ. / М. Кендал, А. Стьюарт. - М. : Наука, 1973.
10. Надежность технических систем : справочник / Ю. К. Беляев и др. ; под ред. И. А. Ушакова. - М. : Радио и связь, 1985. - 524 с.
11. Информационная технология многофакторного обеспечения надежности сложных электронных систем / Н. К. Юрков, А. В. Затылкин, С. Н. Полесский, И. А. Иванов, А. В. Лысенко // Надежность и качество сложных систем. - 2013. - № 4. - С. 75-79.
12. Юрков, Н. К. Концепция синтеза сложных наукоемких изделий / Н. К. Юрков // Надежность и качество : тр. Междунар. симп. : в 2 т. / под ред. Н. К. Юркова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. - Т. 1. - С. 3-5.
13. Затылкин, А. В. Исследование влияния деформационной составляющей внешнего вибрационного воздействия на надежность радиоэлектронных средств / А. В. Затылкин, Д. А. Голушко, Д. А. Рындин // Надежность и качество : тр. Междунар. симп. : в 2 т. / под ред. Н. К. Юркова. - Пенза : Изд-во ПГУ,
2013. - Т. 2. - С. 42-43.
14. Репкин, В. Ф. Основы надежности и эксплуатации радиоэлектронных систем / В. Ф. Репкин, А. С. Персиков, В. Ю. Лернер. - Киев : КВИРТУ ПВО, 1976. - 314 с.
УДК 621.3.049.77 Безродный, Б. Ф.
Оценка показателей надежности на основе определения объемов опытных партий изделий электроники / Б. Ф. Безродный, О. Ю. Шмелев, С. А. Майоров // Надежность и качество сложных систем. -
2014. - № 2(6). - С. 21-26.
Безродный Борис Федорович
доктор технических наук, профессор, главный инженер,
Проектно-конструкторско-технологическое бюро железнодорожной автоматики и телемеханики (105082, Россия, г. Москва,
Переведеновский пер., 21/9)
(849-9)260-01-19
E-mail: boris.bezrodny@yandex.ru
Шмелев Олег Юрьевич
кандидат технических наук,
старший научный сотрудник (пенсионер)
Майоров Сергей Алексеевич научный сотрудник,
Межрегиональное общественное учреждение «Институт инженерной физики»
(142210, Россия, Московская обл., г. Серпухов,
Б. Ударный пер., 1 «А»)
8(4967)35-31-93 E-mail: info@iifrf.ru
Аннотация. Предложена методика определения количества образцов электронных устройств, необходимого для проведения испытаний и опытной эксплуатации с целью получения оценок показателей надежности по экспериментальным данным с заданной точностью и достоверностью.
Ключевые слова: электронное устройство, опытная эксплуатация, оценка показателей надежности.
Bezrodnyy Boris Fedorovich doctor of technical sciences, professor, chief engineer,
Design-technological bureau of railway automation and remote control
(105082, 21/9 Perevedenskiy lane, Moscow, Russia)
Shmelev Oleg Yur'evich candidate of technical sciences, senior stuff scientist
Mayorov Sergey Alekseevich
research associate,
Inter-regional public institution «Institute of engineering physics»
(142210, 1»A» B. Udarniy lane, Moscow region, Serpukhov city, Russia)
Abstract. The technique of determining the number of samples devices for testing and trial poeration in order to obtain estimates of the reliability of the experimental data with a given precision and certainty.
Key words: electronic device, operation testing, estimation of parameters of reliability.
