Проверка статистических гипотез при использовании полиномиальных решающих правил, оптимальных по моментному критерию суммы асимптотических вероятностей ошибок Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОТЕХНИКА^^

УДК621.37:621.391

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШАЮЩИХ ПРАВИЛ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО МОМЕНТНОМУ КРИТЕРИЮ СУММЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОШИБОК

КУНЧЕНКО Ю.П., ПАЛАГИН В.В.______________

Рассматриваются вопросы проверки простых статистических гипотез на основе разработки и использования нового моментного критерия суммы асимптотических вероятностей ошибок для синтеза полиномиальных нелинейных решающих правил обнаружения постоянного сигнала на фоне гауссовских помех. Показывается, что учет нелинейной обработки выборочных значений приводит к уменьшению вероятностей ошибок первого и второго рода решающих правил по сравнению с линейным решающим правилом, полученным из отношения правдоподобия для классического критерия суммы вероятностей ошибок.

1. Постановка задачи

Использование хорошо разработанной теории проверки статистических гипотез позволяет эффективно решать достаточно широкий спектр задач, в том числе и задачи обнаружения сигналов на фоне помех. Как известно, в основе теории лежит решающая функция, представленная в виде сравнения отношения правдоподобия с тем или иным порогом, который выбирается по какому-либо из критериев качества (критерий Байесса, идеального наблюдателя, Неймана-Пирсона и т.д.). Такие критерии назовем вероятностными, так как в их основе лежат вероятности ошибок первого и второго рода решающей функции.

Известно, что в теории вероятностей и математической статистике случайные величины количественно можно охарактеризовать не только с помощью установления вероятности осуществления того или иного события, но и с помощью более грубой количественной меры числовых характеристик случайных величин, таких как математическое ожидание, дисперсия и т.д. [1]. Критерии, основанные на использовании моментов решающей функции, назовем моментны-ми [2-4].

Несмотря на то, что никаких ограничений не наложено на использование вероятностных критериев относительно плотностей распределений сигналов и помех, наиболее широкое распространение получило пост-

роение алгоритмов обнаружения сигналов на фоне гауссовских помех. Это объясняется тем, что, с одной стороны, такой вид распределения помех часто распространенный в каналах связи, а с другой - является удобной математической идеализаций реальных природных процессов. Для негауссовских распределений помеховых ситуаций возникает ряд практических трудностей, связанных с реализацией таких алгоритмов. В качестве альтернативы разрешению данной проблемы можно успешно использовать новые мо-ментные критерии качества проверки статистических гипотез, где получены интересные результаты. Показано, что учет тонкой структуры негауссовской помехи может улучшить качественные показатели обнаружения по сравнению с гауссовской [5-7].

В данной работе представлен другой подход к решению классической задачи обнаружения сигналов на фоне широко распространенных гауссовских помех при использовании моментного критерия качества проверки простых статистических гипотез — критерия суммы асимптотических вероятностей ошибок, основанного на моментном и кумулянтном описании случайных величин. Данный критерий качества также успешно использовался при построении эффективных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех в указанных работах.

Целью исследования является возможность показать использование нового моментного критерия суммы асимптотических вероятностей ошибок для построения высокоэффективных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне гауссовских помех по сравнению с известными результатами.

2. Свойства стохастических полиномов и построение моментного критерия суммы асимптотических вероятностей ошибок

Применение критерия суммы асимптотических вероятностей ошибок основано на главных свойствах стохастических полиномов, полученных в [8-10]. Как отмечается в указанных работах, стохастические полиномы обладают множеством замечательных свойств, которые до настоящего времени в полной мере не изучены.

Одно из основных свойств заключается в том, что стохастические полиномы способны уменьшать дисперсию исходной случайной величины [10]. На основе этого свойства будут получены уникальные результаты по улучшению качественных показателей обнаружителей сигналов.

Другая отличительная особенность стохастических полиномов состоит в возможности распространения на них свойств центральной предельной теоремы, в соответствии с чем появляется возможность обосновать и использовать моментный критерий суммы асимптотических вероятностей ошибок для построения решающих правил.

Показано [2], что логарифм отношения правдоподобия для одинаково распределенных и n независимых

4

РИ, 2006, № 3

выборочных значений xv представляется в виде стохастического ряда

ln

Р(Х/ Hi) Р( H о)

ко + S SkivXv

v=1i=1

n CO

где ко , kiv - коэффициенты такого ряда.

Следовательно, существуют такие коэффициенты kiv, что решающее правило (РП) для проверки статистических гипотез будет иметь вид

Hi

n М ■ >

ко + S S kivXv 0

v=1i=1 < .

н 0

Если использовать не ряд, а полином конечной степени s , то РП в этом случае представляется в виде

H1

ns • >

k0 + SS kivxv 0 (1)

v=1i=1 < . (1)

H 0

Если выборочные значения одинаково распределены, то РП будет отличаться от выражения (1). В этом

случае коэффициенты ki будут независимыми от номера выборочных значений v. Тогда РП можно записать в следующем виде:

1 £

xn = /— S xv

Vn v=1

при n ^ да сходится к гауссовскому распределению с параметрами N(0,1).

Вторую сумму выражения (2) одинаково распределенных независимых случайных величин в степени i

1 ( 1_ S i 'ї

в общем виде можно представить как ^ I ^ S xv I.

Так как математическое ожидание mi = E(xi) и дисперсия каждой случайной величины являются конечными величинами, то согласно центральной предельной теореме при n ^ да вторая сумма (2) при любом i распределена по нормальному закону. Поскольку в стохастическом полиноме (2) имеется сумма случайных величин с таким свойством и коэффициентами

ki, не равных бесконечности и не всех равных нулю, то и в целом выражение (2) при любом значении степени полинома s асимптотически при n ^ да также будет распределено по нормальному закону с математическим ожиданием

Т = n S kimi + k0 i=1

и дисперсией

G = n SS kikjFij i = 1j = 1

H1

s n . >

Лns (x) = k0 + S ki S xv < 0 (2)

i=1 v=1 < . (2)

H0

Очевидно, что неизвестные коэффициенты РП (2) k0, ki необходимо находить из условия минимума выбранного вероятностного критерия качества, что сделать в общем случае нельзя. Поэтому чтобы использовать РП для проверки простых статистических гипотез, необходимо так изменить критерии выбора РП, чтобы они, с одной стороны, были связаны с хорошо изученными вероятностными критериями, а с другой-позволяли выразить критерий качества через неопределенные коэффициенты k0 и ki. Минимизируя такой критерий по данным коэффициентам, можно найти сами коэффициенты. Т аким условиям удовлетворяют моментные критерии, а именно критерий суммы асимптотических вероятностей ошибок.

Рассмотрим некоторые асимптотические свойства стохастических полиномов, в общем случае представленных в виде РП (2).

Пусть имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин x1, x2, ...,xn , для которых математическое ожидание Exn = 0 и дисперсия Ex2 = 1. Показано [8], что в этом случае плотность распределения суммы

где Fj,j = E[(x‘ - m;)(xj - mj)] = mi+j - m;mj.

Таким образом, для нахождения коэффициентов РП (2) можно воспользоваться моментным критерием суммы асимптотических вероятностей ошибок, который заключается в следующем.

В общем виде синтезированное РП должно быть таким, чтобы минимизировать один из вероятностных критериев. Пусть критерием качества будет критерий суммы вероятностей ошибок РП:

R = а + р. (3)

В общем случае РП (2) необходимо подобрать так, чтобы данная функция R (3) была минимальной.

Так как решающая функция Лns (x) (2) распределена по нормальному закону, то вероятность ошибок второго рода b при осуществлении гипотезы H1 будет равна

в

1

■y/2nG1

0

J exP

— М

(x -Т1 - k0 )2 2G1

dx

где T1 = Е[Л ns (x)/H1], G1= е{л ns (x)-T1]2/H1}.

РИ, 2006, № 3

5

x - T - k0

Произведя замену переменных-----05— = z, полу-

Gl'

чим, что вероятность ошибок второго рода b будет иметь вид

в

-0.5

G1

■yj2n Gj

Vi

J exP

- i^dz 2,

где V1 =

-Ti - k0 -0.5 G1

Аналогично, вероятность ошибок РП первого рода а при осуществлении гипотезы Но будет равна

1

■yj2nG,

J exP

о о

(x-То -ко)2 2Go

dx

где То = Е[ЛnS(x)/Но], Gi= E{[Лns(x) - Tj]2 /Hj} . После замены переменных получим

2

G0.5 то

о f

а = , J exp

^2nG(

о Vo

2

dz

а =

где V0 =

-То - k

-0.5

G0

о

Используя полученные выражения, легко найти асимптотическое значение вероятностного критерия (3), который в общем виде запишется как

R(a, в)

J exP

-z

2

2 А v1 '

— dz + J exp

/ -то V

,2 А

dz

2

(4)

Для оптимального решающего правила (2) константа ко должна быть такой, чтобы выбранный критерий качества (4) принимал минимальное значение. Показано, что константа ко, которая минимизирует R(a, в), имеет вид

ко = -

Т^5 + Т^°’5

*0^1

г0,5 ,

G0 +G

о,5

1

(5)

Для этой константні пределы интегрирования Vo и V1 равны

V) = Yu

-о,5

V1 = -Yu

-о,5

где

Yu [Л ns(x)]

(Gg5 + gQ5)2

(T1 -Tg)2

(6)

Из (4) и (6) видно, что значение вероятностного критерия R(a, в) зависит только от функционала Yu , причем чем меньше это значение, тем меньше вероятности ошибок первого и второго рода РП, а следовательно, меньше значение критерия R(a, в). Но так как Gi и Tj (i = 0,1) являются функционалом от РП, то Yu в конечном итоге также является функционалом от РП. Поэтому функционал Yu^ ns(x)] будем

считать критерием качества выбора решающих правил.

Определение 1. Примем функционал Yu^ ns(x)] за критерий качества выбора решающих правил вида (2) и будем считать наилучшим то правило, которое

при kg, равном (5), минимизирует по всем возможным выборочным значениям функционал Yu^ns(x)]. Этот критерий будем называть момент-ным критерием суммы асимптотических вероятностей ошибок.

Данный критерий имеет ясный физический смысл. В качестве оптимальной решающей функции берется та, для которой расстояние между математическими ожиданиями Tg, Т решающей функции при гипотезах Hg и Н1 наибольшее, а дисперсии Gg,G1 при этом минимальные. Полученный критерий тесно связан с вероятностными критериями, в частности с (3).

Показано, что неопределенные коэффициенты ki находятся из минимума функционала (6). Если в данный функционал подставить выражения для математического ожидания Ti и дисперсии G i РП при гипотезе Hj, i = 0,1, то он примет вид

Yus

s s — s s — 0

[(Z ZkikjF(i,j)(Hg))2 + (Z ZkikjF(i,j)(H1 ))2]2 i=1j=1 i=1j=1

s 9

n(Zki (mi -Ui))2

i=1

Дифференцируя этот функционал по ki легко показать, что система уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов k; будет иметь вид

s 1

Z kj[(1 + r)Fy(Hg) + (1 + - )Fij(H1)]

j=1 r

= mi -ui, (7)

где i = 1, s, r = (G^Gg)0-5,

Go = n Z Z kikjFij(Ho)

i=1j=1

G1 = nZ ZkikjFy(H1)

i=1j=1

Fij(Ho) = ui+j - uiuj, Fij(H1) = mi+j - mimj,

u;, mi - начальные моменты случайной величины x при гипотезе Hg и альтернативе H1 соответственно.

При этом математическое ожидание РП общего вида (2) при гипотезе и альтернативе имеет вид

Т0 = n Z kiui Т1 = n Z kimi

i=1 i=1

Некоторые свойства, характерные для коэффициентов ki стохастического полинома общего вида (2), приведены ниже.

6

РИ, 2006, № 3

Свойство 1. Для коэффициентов ki, найденных из решения системы уравнений (7), имеет место равенство

n n 1

Iyusn = n ZZkjk, [Fi,j (Ho)[1 + r] + Fi,j (Hi)[1 + -]] =

j=1i=1 r

n

= nZki(mi -ui). (8)

i=1

При этом минимальное значение моментного критерия Yusn (6) является обратной величиной, определенной из (8), или

Yu ■ =—1—

AUsnmin ■

1 Yusn

Определение 2. Величину I Yusn возьмем за количество извлекаемой информации из выборки xv объемом n о различии гипотез Ho и H1 с помощью РП в виде стохастических полиномов степени s , размерности n и оптимальных по моментному критерию суммы асимптотических вероятностей ошибок.

Согласно выражениям, определяющим математическое ожидание и дисперсию РП при гипотезе и альтернативе, выражение (8) можно записать в виде

Go[1 + (G1)0 5] + G1[1 + (G.)0-5 ] = T1 - To Go G1

После алгебраических преобразований легко показать, что выражение (8) имеет вид

I Yusn = [Go-5 + go-5]2 =Т -To- (9)

Свойство 2. Для коэффициентов ki, найденных из решения системы уравнений (8), имеет место неравенство

s

J-Yusn = Z ki(mi - ui) ^ o. i=1

На основе приведенного моментного критерия суммы асимптотических вероятностей ошибок приведем построение РП для проверки простой статистической гипотезы о принятии решения наличия постоянной величины а или случайной величины п ■

3. Построение оптимальных решающих правил по моментному критерию суммы асимптотических вероятностей ошибок

Пусть на входе системы наблюдается случайный сигнал £ в виде аддитивной смеси полезного постоянного сигнала а и помехи п с нулевым математическим ожиданием, которая распределена по гауссовскому закону £ = а + п ■

Допустим, что из случайного сигнала £ произведена выборка X = {x1,x2,...xn} объемом n- По результа-

там обработки необходимо вынести решение о принятии гипотезы H1, когда наблюдается полезный сигнал вида £ = а + п , либо решение о принятии гипотезы Ho , когда принимается только помеха £ = п с гауссовским законом распределения-

Для построения РП воспользуемся моментным критерием суммы асимптотических вероятностей ошибок (6)-

В качестве априорной информации о представлении гипотез Ho и H1 воспользуемся моментным описанием случайных величин [8, 11]- При рассмотрении бесконечного числа таких моментов можно как угодно точно приблизиться к полному описанию представления гипотез Ho и H1 - С практической точки зрения целесообразно использовать конечное число моментов- Учитывая данную постановку задачи, когда принимается полезный сигнал на фоне гауссовской помехи, в начальных моментах при гипотезе и альтернативе будут фигурировать только дисперсия помехи

X 2 и параметр q = а / X 2 , характеризующий отношение сигнал/шум по мощности- Кумулянтные коэффициенты третьего и выше порядков (коэффициенты асимметрии, эксцесса и т-д-) будут равняться нулю-Рассмотрим построение нелинейных РП до степени полинома s = 6 - При такой постановке задачи необходимо описать начальные моменты до 12 порядка при гипотезе и альтернативе-

Начальные моменты принимаемой случайной величины £ при гипотезе Ho имеют вид

u1 = ^ u2 = X2 , u3 = ^ U4 = 3хb u5 = ^ u6 = 15x2 , u7 = ^ u8 = Ш5х^ u9 = 0,

ию = 945x2 , u11 = 0, «12 = Ш395х2, где X2 - дисперсия гауссовской помехи-При гипотезе H1 начальные моменты имеют вид

m1 = x22q12. m2 = x 2 (1 + q).

m3 = X f(q3/2 + 3q12),

2 2

m4 = X 2(q + 6q + 3), m5 =X 2/2(q^2 + 1oq^2 + 15q^2),

m6 = X2 (q3 + 15q2 + 45q + 15),

m7 = X f(q7/2 + 21q52 + 1o5q3/2 + 1o5q12), m8 =X2(q4 + 28q3 + 21oq2 + 42oq + Ш5), m9 = X f(q9/2 + 36q7/2 + 378q5/2 +

+ 126oq32 +945q12),

m1o =X 2(q5 + 45q4 + 63oq3 + 315oq2 +

РИ, 2oo6, № 3

7

+4725q+945),

m„ =x2V2(q11/2 + 55q9/2 + 990q7/2 +

+ 6930q52 + 17325q3/2 + 10395q1/2), m12 =x 2(q6 + 66q5 + 1485q4 + 13860q3 + + 51975q2 + 62370q +10395),

a

2

где q = - отношение сигнал/шум по мощности.

x 2

Корреляты размером (i, j), в данном случае при степени полинома РП s = 6, получаются размерностью (6,6). При гипотезе H0 определяются как

Fi,j (H0) = ui+j — uiuj и имеют вид

F1,1(H0) = Х 2,

F1,2(H0) = F2,1(H0) = 0,

F1,3(H0) = F31 (H0) = 3x2,

F1,4(H0) = F41 (H0 ) = 0,

F1,5(H0) = F51 (H0) = 15x 3,

F1,6(H0) = F6,1(H0) = 0,

F2,2(H0) = 2x 2,

F2,3(H0) = F32 (H0 ) = 0,

F2,4(H0) = F4 2 (H0) = 12x3,

F2,5(H0) = F52 (H0 ) = 0,

F2,6(H0) = F6,2(H0) = 90x4,

F3,3(H0) = 15x 2,

F3,4(H0) = F43 (H0 ) = 0,

F3,5(H0) = F53 (H0) = 105x4,

F3,6(H0) = F6,3(H0) = 0,

F4,4(H0) = 96x 4,

F4,5(H0) = F54 (H0 ) = 0,

F4,6(H0) = F6,4(H0) = 900x 2,

F5,5(H0) = 945x 2,

F5,6(H0) = F6,5(H0) = 0,

F6,6(H0) = 10170x 2.

Аналогично, корреляты размером (6,6) при гипотезе H1 определяются в виде Fi,j (H1) = mi+j — mim j. В этом случае

F1,1(H1) = x 2,

F1,2(H1) = F2,1(H1) = 2x 3/2qV2,

F1,3(H1) = F31 (H1) = 3x 2(1 + q),

F14 (H1) = F41 (H1) = 4x2/2 (3q12 + q32), F1,5(H1) = F51 (H1) = 5x 2(3 + 6q + q2), F1,6(H1) = F6,1(H1) = 6x 2/2(15q12 + 10q3/2 + q5/2) F2,2(H1) = 2x 2(1 + 2q) ,

F2,3 (H1) = F3,2 (H1) = 6x2/2 (2q12 + q3/2) ,

F2,4(H1 ) = F4,2(H1 ) = 4x2(3 + 9q + 2q2), F2,5(H1) = F52 (H1) = 10x 2/2(9qV2 + 8q32 + q5/2) F2,6 (H1) = F6,2 (H1) = 6x 4(15 + 60q + 25q2 + 2q3), F3,3(H1) = 3x 2(5 + 12q + 3q2),

F3,4(H1) = F43 (H1) = 12x 2/2(8q12 + 7q32 + q5/2) F3,5 (H1) = F53 (H1) = 15x 2(7 + 25q + 11q2 + q3), F3,6(H1) = F6,3(H1) = 6x 9/2(150q12 +

+ 185q3/2 + 48q5/2 + 3q7/2),

F44 (H1) = 8x 4(12 + 48q + 21q2 + 2q3),

F4,5 (H1) = F54 (H1) = 20x 2/2 (45q12 +

+ 57q32 + 15q5/2 + q7/2),

F4,6 (H1) = F64 (H1) = 12x 2 (75 + 375q +

+235q2 +41q3+2q4),

F55(H1) = 5x 2(189 + 900q + 570q2 +

+100q3+5q4),

F5,6 (H1) = F6,5 (H1) = 30x212 (339q12 +

+ 550q32 + 208q52 + 26q7/2 + q9/2),

F66 (H1) = 6x 2 (1695 + 10170q + 8250q2 + .

+2080q3 +195q4 +6q5).

В приведенных соотношениях фигурируют параметры, которые характерны только для гауссовских случайных величин. Для таких величин отличными от нуля могут быть только математическое ожидание и дисперсия, а кумулянты высших порядков равны нулю.

На основании приведенной априорной информации, которая характеризует и описывает поведение гауссовских случайных величин, ниже приведены РП проверки статистических гипотез на основе использования стохастического полинома вида (2).

8

РИ, 2006, № 3

Пусть при осуществлении гипотезы Hj принимается п выборочных одинаково распределенных независимых значений x = {xj,x2,...,xn}, имеющих вид

Легко показать, что сумма асимптотических вероятностей ошибок первого и второго рода линейного РП (11) определяется согласно выражению (4) и имеет вид

xv = a + n, v = 1, n, а при осуществлении гипотезы

Ho - xv = n , v = 1,n.

Т ак как выборочные значения одинаково распределены как при гипотезе Ho , так и при гипотезе H1 , то легко показать, что РП (2) при степени полинома s=1 имеет линейный вид

Н1

п >

A(x)1n = k1 Z xv + ko 0 (10)

v=1 < . (10)

H o

Неизвестные коэффициенты данного РП находятся из минимума приведенного выше критерия (6). Соответствующие выражения для математического ожидания и дисперсии линейного РП (10) запишутся в виде

T0(sn) = nk1u1= °, G0(sn) = nk2X 2,

T1(sn) = nk1m1= nk1a , G1(sn) = nkj2X2 .

Показано, что неизвестный коэффициент k1 находится из системы уравнений (7) и имеет вид

k1 =

q

1/2

4Х

1/2 . 2

1 ” - z2 2 _ z2

R(a, P)1 *-=[ J exp(——)d— + J exp( — )dz]

V2n ^nq 2 -» 2 .

2

Таким образом, видно, что с увеличением количества выборочных значений n и отношения сигнал/шум q сумма асимптотических вероятностей ошибок первого и второго рода уменьшается. Данное выражение совпадает с выражением, которое характеризует вероятности ошибок линейного РП, полученного из отношения правдоподобия в предположении приема аддитивной смеси полезного постоянного сигнала и гауссовской помехи.

Показано, что при увеличении степени полинома РП (2) до s=2 при данной постановке задачи также получаем линейное РП вида (11) с теми же характеристиками вероятностей ошибок, при этом коэффициент РП k2 = 0 . Таким образом, никакой новой информации о различии гипотез из выборочных значений не извлекается.

При увеличении степени полинома РП (2) до s=3 и s=4 получим другой результат, при котором наблюдаются одинаковые коэффициенты РП при s = 3,4 , причем при s = 4 коэффициент k4 = 0 .

Коэффициент k0, выполняющий роль порога РП, имеет вид согласно выражению (5)

k0 =_

2

nk1a

2

Таким образом, линейное РП (10) запишется в окончательном виде как

H1

1 n a >

A(x)m = - Zxv _- 0. (11)

n v=1 2 <

H0

Необходимо отметить, что полученное линейное РП (11) эквивалентно правилу, полученному из отношения правдоподобия по вероятностному критерию суммы вероятностей ошибок РП в предположении, что рассматривается аддитивная модель принимаемого полезного постоянного сигнала a на фоне гауссовских помех. Таким образом, показана тесная связь моментного критерия (6) с вероятностным критерием.

Количество извлекаемой информации о различии гипотез определяется из (9) и имеет вид

I1n = n|. (12)

Показано, что согласно выражению (2) с учетом определения коэффициента k0 (5), при степени полинома s = 3,4 РП имеет окончательный вид:

A(x )з,4п =

Vq(1+q) nVx7

Z xv

v=1

q2 n

+т3— Z x

8nX2 v=1

2

v

H1

q32 ZZx3 q(24 + 24q + q2) > 0 _ 12nXf vZ1xv _ 48 < 0. (13)

H0

Полученное РП принципиально отличается от хорошо изученного линейного РП (11) и предполагает нелинейную обработку выборочных значений x v .

Показано, что количество извлекаемой информации о различии гипотез для данного РП (13), согласно (9), имеет вид

I = nq(24 + 18a + q2)

3 4,n і ті

96 + 72q

(14)

Так же как и для линейного РП (11), найдена сумма асимптотических вероятностей ошибок первого и второго рода синтезированного нелинейного РП (13).

РИ, 2006, № 3

9

Количественное значение данного выражения определяется согласно (4) и с учетом того, что в предел интегрирования входит величина критерия Yu, которая обратно пропорциональна количеству извлекаемой информации о различии гипотез для РП вида (14). Тогда выражение (14) примет следующий вид:

1 X - z2

R(a, Р)з 4 [ J exP( “ )dz +

" V2n 2

yI3_4,n

где M = 5760 + 11520q + 5640q2 + 900q3 + 48q4 + q5.

Качественные показатели полученного нелинейного РП (15) также характеризуются асимптотическими вероятностями ошибок первого и второго рода. Проведя аналогичные рассуждения, можем записать

1 x - z2

R(a,e)5 6 [ J exp^—)dz +

■ ^ ФГ6Л 2

-VI3_4,n - z2

+ J exp( - )dz] .

-X 2

"V І5-6,п — z2

+ J exp( 2 )dz] .

-X 2

При дальнейшем увеличении степени полинома РП до s = 5 и s = 6 получен аналогичный результат, при котором коэффициенты РП будут одинаковы, причем при s = 6 коэффициент k6 = 0 . В этом случае РП примет следующий вид:

Л(к)5_6,п

п п 2

A £ xv + B £xV + v=1 v=1

Н1

n 3 n 4 n 5 >

+ C £xV + D £x4 + E £xV + F 0

V=1 V=1 V=1 <

H 0

(15)

где

A =

7^(192 + 432q + 264q2 + 23q3 - q4)

Ч X 2

B =

q2 (24 + 54q + 7q2) nX 2

C = -

q3/2(48 + 108q + 6q2 - q3)

3nx 22

D = q3(8 + q) E = q5/2(8 + q)

2nx 2

5nx 22

1 2 F = — q(5760 + 12960q + 8160q2 +

6

+1230q3+48q4 +q5).

Легко показать, что количество извлекаемой информации о различии гипотез для РП (15) имеет вид

І nq • M

І5 6,n =-----1-------;-----2-----37

480І48 + 96q + 45q2 + 5q3 ,

(16)

Для оценки количественных показателей нелинейных РП вида (13) и (15) по сравнению с линейным РП (11) были проведены исследования, позволяющие сравнить количество извлекаемой информации о различии гипотез для линейного и нелинейных РП. Получены принципиально новые результаты. Из рисунка видно, что отношение количества извлекаемой информации при степени полинома РП s=1 (11) к количеству извлекаемой информации РП при степени полинома s=2 от отношения сигнал/шум q дает значение 1, что свидетельствует об их одинаковых значениях. При дальнейшем увеличении степени полинома РП s=3,4 и s=5,6 наблюдается увеличение количества извлекаемой информации о различии гипотез (14), (16) по сравнению с количеством извлекаемой информации для линейного РП (12). Такое увеличение характеризуется спадом кривых на рис.1 и соответственно улучшением характеристик нелинейных РП при степени полинома s=3,4 (13) и s=5,6 (15) по сравнению с линейным РП.

Как известно, одним из важных показателей синтезированных РП являются вероятности ошибок первого и второго рода. Отношение суммы асимптотических вероятностей ошибок для линейного РП при степени полинома s= 1 совпадает с данной величиной при степени полинома s=2. Таким образом, нелинейная квадратичная обработка выборочных значений не дает новых результатов. Однако с увеличением степени полинома РП до s=3,4 сумма асимптотических вероятностей ошибок уменьшается по сравнению с линейным РП, что соответствует убывающей кривой. Дальнейшее увеличение нелинейной обработки выборочных значений (s=5,6) улучшает данный показатель. При отношении сигнал/шум порядка q= 1 сумма асимптотических вероятностей ошибок уменьшается приблизительно в 2 раза по сравнению с суммой вероятностей ошибок для линейного РП.

Выводы

В результате проведенных исследований было показано использование нового моментного критерия качества проверки простых статистических гипотез, который тесно связан с хорошо известными вероятностными критериями. На основе моментно-кумулян-

10

РИ, 2006, № 3

тного описания случайных величин и использования стохастических полиномов высших порядков в качестве РП, оптимальные коэффициенты которых определяются по критерию суммы асимптотических вероятностей ошибок, были получены принципиально новые результаты. Синтезированы новые нелинейные РП с лучшими качественными характеристиками по сравнению с линейным РП, которое является оптимальным по вероятностному критерию суммы вероятностей ошибок. В качестве сравнительных показателей использовалась сумма вероятностей ошибок различных РП. Результаты исследований показали, что на основе использования свойств стохастических полиномов и нелинейной обработке выборочных значений принимаемого полезного постоянного сигнала на фоне гауссовских помех уменьшаются вероятности ошибок нелинейных РП, а следовательно, увеличивается их эффективность.

Полученные результаты могут найти широкое применение в различных прикладных областях, где решаются вопросы проверки гипотез при использовании гауссовских моделей помех.

Литература: 1. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1979. 376 с. 2. КунченкоЮ.П., ПалагинВ.В. Критерий асимптотической нормальности проверки простых статистических гипотез // Труды УНИИРТ, №3. Одесса. 1998. С. 66-70. 3. Kunchenko Y.P. A Moment Performance Criterion of a Decision Making for Testing Simple Statistical Hypothesis // IEEE, International Symposium on Information Theory, Ulm, Germany, June-July, 1997. 407 р. 4. Кунченко Ю.П., Палагин В.В. Построение моментного критерия качества типа Неймана-Пирсона для проверки простых статистических гипотез //Вісник ІАУ, 2005. №1. С.26-30. 5. Палагин В.В. Разработка алгоритмов обнаружения радиосигналов на фоне негауссовских помех //Праці УНДІРТ, №3,

Одеса. 1998. С.82-85. 6. Кунченко Ю.П., Палагин В.В. Построение эффективных обнаружителей постоянных сигналов на фоне негауссовских мультипликативных помех //Міжнародний радіофорум 2002, Харків, частина 1. С .108111. 7. Палагин В.В. Исследование нелинейных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех по моментному критерию типа Неймана-Пирсона. 2-й Международный радиоэлектронный форум «Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития.» МРФ-2005. Том 4. «Телекоммуникационные технологии и сети». Харьков: АНПРЭ, ХНУРЭ. С. 216-219. 8. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским случайным величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и применение для нахождения оценок параметров. Черкассы, 2001. 133с. 9. Kunchenko Yuriy. Polynomial Parameter Estimations of Close to Gaussian Random variables/ Yuriy Kunchenko. Germany, Aachen: Shaker Verlag, 2002. 396 p. 10. Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы. К.: Наук. думка, 2006. 275с. 11. Кунченко Ю.П., Палагин В.В., Куринной А.А. Моделирование нелинейных алгоритмов обнаружения постоянных сигналов на фоне гауссовских помех по критерию верхней границы среднего риска. Вісник ЧДТУ №4, 2004. С.39-40.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. А.А.Златкин

Кунченко Юрий Петрович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехники Черкасского государственного технологического университета. Научные интересы: нелинейная обработка сигналов при негауссовских помехах. Адрес: Украина, 18006, Черкассы, бул. Шевченко, 460.

тел./факс - (0472)435171, E-mail: ykunchen@chiti.uch.net

Палагин Владимир Васильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры радиотехники Черкасского государственного технологического университета. Научные интересы: нелинейная обработка сигналов при негауссовских помехах. Адрес: Украина, 18006, Черкассы, бул. Шевченко, 460.

тел./факс - (0472)435171, E-mail: palagin@chiti.uch.net

РИ, 2006, № 3

11