Метод максимизации полинома и его приложения в радиотехнике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

МЕТОД МАКСИМИЗАЦИИ ПОЛИНОМА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В РАДИОТЕХНИКЕ

КУНЧЕНКО Ю.П., ГАВРИША.С.

Предлагается и обосновывается метод нахождения оценок скалярного и векторного параметра случайной величины при неодинаково распределенных независимых выборочных значениях — метод максимизации полинома, основанный на использовании стохастических полиномов, когда для описания случайной величины применяется конечная последовательность моментов или кумулянтов.

1. Введение

Целесообразность и эффективность применения того или иного метода для оценки параметров зависит от целого ряда причин. Так, при наличии частичной априорной информации в виде последовательности усредненных характеристик (моментов, кумулянтов и т.д.), чаще всего используют 3 метода: метод моментов, метод наименьших квадратов и метод, основанный на использовании эмпирической функции распределения. Существенным недостатком перечисленных методов является то, что в них недостаточно полно используется априорная информация, а это неизбежно приводит к ухудшению точностных характеристик получаемых оценок по сравнению с эффективными.

Рассмотрим метод максимизации полинома, используя который можно максимально полно учитывать частичную априорную информацию о наблюдаемой случайной величине, что особенно актуально в случае, когда последняя является негауссовской.

Пред посылкой для разработки такого метода послужило новое разложение логарифма плотности распределения в степенной или тригонометрический ряд [1]. Предложенную аппроксимацию логарифма плотности распределения также можно эффективно использовать для нахождения оценок параметров, но лишь для узкого класса случайных величин, на распределение которых накладывается целый ряд ограничений. Однако именно это новое приближение логарифма плотности распределения позволяет выяснить структуру уравнения максимизации полинома и сформулировать более общий метод нахождения оценок параметров.

2. Нахождение оценки скалярного параметра методом максимизации полинома

Пусть имеется выборка x = {xbx2,...,xn} независимых неодинаково распределенных выборочных значений. Будем предполагать, что каждая случайная величина, соответствующая выборочному значению

xv, описывается последовательностью функций Tiv(S) = Е9;(xv), i = 1,s , v = 1,n, (1)

зависящих от одного и того же скалярного параметра 9 , О = © є (a,b).

Будем считать, что математические ожидания Tiv (О), i = 1, s, v = 1 n существуют и дважды дифференцируемы по параметру 9 , т. е.

_d_ d S

М(Д)

< ж

d

2

d S

^iv(S)

2 iv

< ж

VSe&.

Необходимо по выборке X, используя частичное априорное описание в виде последовательности функций вида (1), найти оценку параметра 9 .

Возьмем выборочный обобщенный стохастический полином lsn(X/О) вида:

!sn(X/ -9) = ЕЕМ(ДММ - МД), (2)

v=1i=1 __

для которого коэффициенты h0(S) и М(&) , i = 1,s соответственно равны:

Я ns &

М(Д) = \kiv(t)dt, йо(Д) = ЁЁ Jkiv(t)M(t)dt .(3)

a v=1i=1 a

При этом коэффициенты М(&) находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений:

s

Z MS)F(i,j)v(S)

j=1

— Yiv(S) dO iv

i = 1,s , v = 1,n ,(4)

где

F(i,j)v(S) = Y(i,j)v(S) -Yiv(S)Yjv(S), i,j = 1,s, (5) Mj)v (Q) = Ефi (xv )фj (xv).

В последнем выражении математические ожидания Yiv(S) имеют вид (1). Функции Y(i,j)v(S) называются коррелянтами функций ф iv(xv) и фjv(xv), а функции F(i,j)v(S) — центрированными коррелянтами относительно функций Tiv(S) и ^jv(^) .

Стохастический полином (2) обладает двумя основными свойствами, а именно:

1) при заданной выборке x для любого s = 1,2,... и при n ^ж полином lsn(x/ О) как функция параметра 9 имеет максимум в окрестности истинного значения параметра;

2) при различных выборках x отклонение максимума обобщенного полинома lsn (x/О) от истинного значения параметра О о должно иметь минимальную дисперсию.

Таким образом, если стохастический полином (2) дифференцируем по параметру 9 , то по аналогии с методом максимального правдоподобия оценку параметра можно находить из условия максимума по S функции lsn (x / -Э):

£ ‘sn<x ' 9>

=о

(6)

которое в развернутом виде равно:

£ем(Д)[Ф i(xv) -Yiv(S)i = о

v=li=l »=»

(7)

РИ, 2000, № 2

7

Следовательно, метод нахождения оценок неизвестных параметров случайных величин, основанный

на том, что при заданной выборке x в качестве оценки выбирается такое значение $ , при котором полином lsn(X/ О) принимает максимальное значение как функция параметра 9 , называется методом максимизации полинома. Уравнение вида (6), (7) называется уравнением максимизации полинома для нахождения оценки скалярного параметра при независимых и неодинаково распределенных выборочных значениях. При этом коэффициенты уравнения максимизации полинома kiv(S) находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений (5).

Отметим, что в общем случае как для нахождения самой оценки, так и для определения ее дисперсии достаточно ограничиться нахождением коэффициентов kiv(S), i = 1,s . Однако в случае нескольких действительных корней уравнения максимизации полинома требуется найти глобальный максимум функции lsn(X/ S), т.е. возникает необходимость найти коэффициенты h0(S) и hiv(S), i = 1,s вида(3).

3. Свойства оценок скалярного параметра, найденных методом максимизации полинома

Обсудим основные свойства оценок параметров случайных величин, получаемых методом максимизации полинома.

1. Оценка О , найденная из решения уравнения (6), будет состоятельной, т.е. при n оценка О в среднеквадратичном сходится к истинному значению оцениваемого параметра.

2. Оценка метода максимизации полинома является асимптотически несмещенной.

3. Рассмотрим квадратную матрицу Fsv (О), составленную из элементов F(i,j)v (О) вида (5). В дальнейшем матрицу Fsv (О) будем называть телом размером s стохастического полинома (2) при задании его с помощью функций 9iv(xv) или при описании его

с помощью функций Tiv (О) , І = 1,s . При этом если s является конечной величиной, то будем говорить, что имеется частичное тело, а если s равно бесконечности, то тело стохастического полинома будет полным.

Легко показать, что эта матрица является симметрической, т.е. F(ij)v(S) = F(j,i)v(S). Кроме этого, матрица Fsv (О) является положительно полуопределенной, следовательно, определитель этой матрицы

Asv(S) = МЭ)| ^ 0 . (8)

Определитель матрицы Fsv(0) вида (8) в дальнейшем будем называть объемом тела стохастического полинома размером s. По аналогии будем называть объем тела частичным, если он соответствует частичному телу, т.е. когда s является конечной величиной. Соответственно объем тела будет полным, если он соответствует полному телу стохастического полинома.

8

4. Для решения системы линейных уравнений удобно пользоваться методом Крамера. Так, если обозначить через Aiv(0) определитель, получаемый

из Дsv(0) путем замены І -го столбца столбцом,

составленным из элементов —— Trv (S), г = 1,s , то

0.^ ’

при Д sv (О) ф 0, V0 є © система линейных алгебраических уравнений (4) имеет единственное решение:

кІ>)

A.v(S)

Dsv(S) ,

І = 1, s .

5. Для функции l*n (X / -Э), получаемой из lsn (X / -Э)

при подстановке в нее коэффициентов k*v(0), справедливо следующее равенство:

d * ^ 2 d2 * ^

Jsn (S) = E[— lsn (x/ З)]2 = E[-у lsn (x/ 3)1 .

dS dO2

Функция Jsn(0) называется количеством информации о параметре 9 , которое можно о нем извлечь из независимой выборки объемом n при частичном априорном описании в виде последовательностей функций Tiv(S) и T(i,j)v(3) , i, j = 1,s методом максимизации полинома, или кратко — количеством извлекаемой информации при частичном описании. Данная величина введена по аналогии с количеством информации Фишера и также характеризует степень уменьшения неопределенности по отношению к неизвестному значению 9 после анализа выборочных данных.

6. Для оптимальных оценок параметров случайных величин, найденных методом максимизации полинома, минимальная асимптотическая дисперсия будет следующей:

стmin ~ Jsn ,

или в развернутом виде

2 n s s * * ,

* [ZZZkiv(3o)kjv(So)Fa j)v(So)] = v=1i=1j=1

n s * d 1

= [ EE kiv(So)d^^iv(So)]_1.

v=1i=1 dao

7. Если в полиноме (2) рассмотреть (s +1) членов, то для коэффициентов k*v(0) справедливо следующее неравенство:

СТ(s+1)min (s)min ИЛи Jsn(S) ^ J(s+1)n(S) .

Смысл последнего свойства состоит в том, что с увеличением числа членов s в полиноме lsn(x/ О) дисперсия оптимальной оценки, найденной методом максимизации полинома, не может возрастать.

4. Оценка векторного параметра при моментном описании случайной величины

Распространим метод максимизации полинома на нахождение оценок векторного параметра при моментном описании.

Рассмотрим случай, когда используется степенное преобразование выборочных значений, т.е.

Фі (xv) = xv . При этом будем предполагать, что

РИ, 2000, № 2

начальн ые моменты зависят от векторного параметра О = {^1,...,Sp} , т.е.

Tiv(Q) = ExV = miv(Q), v = й,

T(i,j)v Ф) = E Ф i (xv )Ф j (xv) =

— Ex vxv _ Exу ^ — m(i+j)v (^) , i, j = 1, S ,

F(i,j)v Ф) = m(i+ j)v (5) - miv (5)mjv (0).

Для нахождения оценки векторного параметра О необходимо использовать не один полином, а p полиномов l(n)(x / О), q = 1,p для каждой компоненты &q векторного параметра. Рассматриваемые полиномы l(n)(x / О) полностью совпадают по строению с полиномом вида (2), поэтому их выражения не приводятся. Очевидно, что коэффициенты q -го полинома могут отличаться от коэффициентов (q +1) -го полинома. В связи с этим в обозначение коэффициентов будет введен дополнительный индекс q, указывающий на то, какая именно из компонент векторного параметра исследуется.

максимизации полинома при использовании степенного стохастического полинома степени s.

Вариационная матрица оценок компонент векторного параметра, найденных методом максимизации полинома, асимптотически равна обратной матрице

Jsn(S) , т.е. Vsn(5) = J-4S) .

Тогда асимптотические дисперсии оценок составляющих векторного параметра являются диагональными элементами матрицы Vsn (О).

5. Синтез измерителей параметров сигнала при известных параметрах негауссовской помехи

В данном разделе будет продемонстрирована возможность и эффективность применения предложенного метода для нахождения оценок параметров реальных сигналов, используемых в радиотехнике, при воздействии негауссовских помех.

Пусть имеется выборка независимых неодинаково распределенных выборочных значений X = {xbx2,... xn } из случайной величины

xv = Sv + nv, v = 1,n . (12)

Показано, что при заданной выборке x каждый q -й стохастический полином l(n)(x /5) как функция параметра &q при известных значениях остальных

составляющих векторного параметра О при n ^ ж имеет максимум в окрестности истинного значения параметра. По своему строению каждый из стохастических полиномов дифференцируем по соответствующему параметру &q , следовательно, оценку векторного параметра можно находить из решения системы уравнений

- д _ 0, q = 1,p, (9)

которая будет иметь вид:

EEk(v(Q)[xv “ miv(S)] я = 0 , q = 1,p . (10)

v=1i=1 §=§

Система уравнений (9) или (10) называется системой уравнений максимизации полинома.

Показано, что оценка векторного параметра, найденная методом максимизации полинома, также является состоятельной и асимптотически несмещенной.

Введем в рассмотрение матрицу Jsn(0) с элементами:

J(n,m)(3) = EEEk(vq)(Oo)k((m)(So)F(i j)v(So) =

v=1i=1j=1

s n ( ) _ Я _

= kjv (^)-яа miv(S), m,q = 1,p . (11)

i=1v=1 a>3m

Матрицу Jsn(0) будем называть матрицей количества извлекаемой информации о векторном параметре О , которую можно извлечь из независимой

неодинаково распределенной выборки x методом

50 m

-isq)(x / 5)

В выражении (12) в качестве полезного сигнала Sv рассматривается гармонический сигнал, представленный в виде

Sv = a sin ю5у + bco s ю5у, (13)

где а и b — соответственно амплитуды синусной и косинусной составляющих сигнала; ю — частота сигнала; 5 — шаг дискретизации; v — отсчеты (моменты времени наблюдения).

Второе слагаемое в выражении (12) nv — негауссовская помеха, описываемая с помощью последовательности кумулянтов х r, порядка r [2]:

Mnv = 0,MnV =Х2, Mn^ =Хэ .

Будем предполагать, что на выборочные значения накладываются ограничения, обеспечивающие ортогональность составляющих сигнала [3].

Необходимо, используя метод максимизации полинома, по заданным значениям выборки синтезировать алгоритмы совместной оценки параметров

гармонического колебания а и b , а также найти дисперсии искомых оценок. Предполагается, что статистические характеристики помехи известны точно и оценке подлежат только параметры полезного сигнала.

Согласно методу максимизации полинома оценка

двух параметров а и b при степени полинома s = 1 находится из решения системы двух уравнений вида:

(1)

^k1v (a,b)[xv -asinю5у-bcosro5v]a=a = 0, v=1 b=b

^ k|V)(a,b)[xv - asin ю5у - bcos ю5у] a=a = 0,(14) V=1 b=b

РИ, 2000, № 2

9

где коэффициенты k|V)(a,b) и k(V)(a,b) определяются из решения соответствующих уравнений:

k1(V)(a,b)F

(U)v

5SV

3a

= sin ю8 v,

Zk1V)[Xv -Sv] + Zk(1^[xV -x2 -SV]| „ = 0,

V=1

n

V=1

n

s=a

Z ki(V)[xV - Sv] + E k2V)[xV -X 2 - SV]| „ = 0.

V=1 v=1 ■* ■*

(18)

s=a

k(V) (a,b)F

(1,1)V

3SV

3b

■ = cos ra8v.

Так как F

k(V)(a,b) =

(1,1)v “7,2 , TO sin ю8 v

X 2

k((V)(a,b) =

cos roS v X 2 '

(15)

Подставив (15) в (14) с учетом введенных ограничений, получим, что оценки параметров a и b гармонического сигнала (13) будут равны:

2 n Л 2 n

a = — ^ xv sinю8v, l) = —^ xv cosraSv. (16) n v=1 n V=1

Оценки (16) являются несмещенными, хорошо известными и используются в различных технических приложениях. Отметим, что они являются оптимальными, когда помеха имеет гауссовский закон распределения.

Дисперсии оценок (16) могут быть найдены непосредственно. Однако для демонстрации предложенного метода нахождения асимптотических дисперсий с помощью матрицы количества извлекаемой информации воспользуемся выражением (11). Легко показать, что при s = 1 матрица количества извлекаемой информации имеет вид

J 1n —----E 2

2х 2 2 ’

где Х2 — дисперсия помехи; E2 — единичная матрица размером 2.

Вариационная матрица оценок, равная обратной матрице J 1n , имеет вид

V1n =

2X2 e n

2.

Дисперсии оценок параметров a и b лежат на главной диагонали матрицы V1n , следовательно:

Как видно из (18), в данном случае выборочные значения кроме линейной обработки подвергаются нелинейному (квадратичному) преобразованию.

В уравнениях (18) коэффициенты k[:V)(a,b), i,r = 1,2

находятся соответственно из решения системы двух уравнений, имеющей вид:

k1(V)(§)F(1,1)v(§) + k2^)F(1,2)v(§) =

3Sv

3a

3Sv

kjV (§)F(1,2)v Ф) + k2y (§)F(2,2)v (§) =

I 3b

2S, SS-

3a

2S. £S-

(19)

3b

Левая часть системы уравнений (19) имеет один и тот же вид при нахождении как коэффициентов

k rV) (3), так и коэффициентов k Г2) (д), а правая часть принимает различные значения. Если находятся коэффициенты krV)(S), то необходимо в правой части (19) использовать верхние функции,

3SV 3SV

т.е.—— и 2SV —— . Если же находятся коэффици-3a 3a

енты второго уравнения максимизации полинома krV) (^), то необходимо использовать нижние фун-

3Sv

кции, т.е.—— 3b

и 2Sv

3Sy 3b .

Подставив в уравнения (19) функции F(i,j)v (a,b), i, j = 1,2 , имеющие вид

F(1,1)v _ Х2 , F(1,2)v - Х25 Y3 + 2SvX2 ,

F(1,3)v =x2(Y 4 + 3) + 3Sv х2’5 Y 3 + 3SV X 2

F(2,2)v - X2(У4 + 2) + 4SvХ25 Y3 + 4SVХ2 ,

22 — С А

a1 b1

2Х2

n

(17)

Аналогичный результат был бы получен, если бы дисперсии оценок находились непосредственно с использованием оценок (16).

Принципиально новые результаты с новыми свойствами получаются, когда оценка векторного пара-

легко показать, что решением искомой системы уравнений для коэффициентов k^ (a,b), i, r = 1,2 будет:

k1v(a,b) =y_(x 4 + 2X 2 + 2SV X 3)sin ro8 y, л 2

метра О = {a,b} находится из решения системы двух

уравнений максимизации полинома при его степени, равной двум:

k2v(a,b) = _7Г3 sin ю5 v, (20)

Л 2

10

РИ, 2000, № 2

k|V)(a,b) = -l-(X 4 + 2X2 + 2SV X3)cos raSv,

A 2

k^V (a,b) = ———cos o5 v,

A 2

где Д 2 — главный определитель системы (19), который равен

А 2 - Х2(У 4 + 2 _ У3) •

Подставив (20) в (18) с учетом условия ортогональности составляющих гармонического сигнала, после несложных преобразований получим, что совместная оценка параметров а и b находится из решения системы двух линейных алгебраических уравнений:

где

) aZl,l + bZl,2 - Pb

laZl,2 + bZ2,2 = Р2>

(21)

4 n 2

Zii = р — (Xxv sin ю5v)-l, n v=l

4 n 2

Z2 2 = P~(Zxv cos ra5v)-l,

n v=l

4 n

Z12 = р — X xv sin ro5v cos ra5v, nv=l

P =

X 3

X 4 + 2X 2

2 n 2 2 n

Pl = р — ^ xv sin ю5v---^ xv sin ю5v,

n v=l n v=l

2 n 2 2 n p2 = р — X xv cos ю5v ^ xv cos ю5v.

n v=l n v=l

Определитель системы уравнений (21) равен:

W2 =

Zl,l

Zl,2

Zl,2

Z2,2

Тогда, согласно методу Крамера, решением (21) будут оценки параметров a и b , имеющие вид:

l a = Pl Zl,2 , b = — Zl,l Pl

W2 Р2 Z2,2 W2 Zl,2 P2

(22)

Найденные оценки (22) являются принципиально новыми и существенно отличаются от оценок (16).

Необходимо отметить, что при s = 2 новые алгоритмы совместной оценки параметров a и b могут быть получены только в случае, когда помеха имеет несимметричный закон распределения, точнее, когда

у3 ф 0 . Если же у3 = 0 , то при s = 2 оценки, найденные методом максимизации полинома, со-

РИ, 2000, № 2

впадают с оптимальными оценками, найденными методом максимального правдоподобия, когда помеха является гауссовской (или при s = 1).

При s = 2 для нахождения асимптотической дисперсии оценки каждого параметра, так же как и при s = 1, необходимо первоначально найти матрицу количества извлекаемой информации. Используя весовые коэффициенты (20), легко найти, что в данном случае элементы этой матрицы будут равны:

J(l,l)

= т(2,2) = n (Х4 + 2Х2) 2n 2 Д2

T(l,2) _ T(2,l) J 2n J 2n

= 0 .

Тогда асимптотическая вариационная матрица оценок (22) будет иметь вид:

(

V2n =

2Х2 (l _ У3

У 4 + 2

)

0

0

2Х2 (l У2 )

У 4 + 2

n

n

Из этой вариационной матрицы оценок видно, что асимптотические дисперсии оценок параметров a и b вида (22) одинаковые и соответственно равны:

_2 _ 2 _ 2Х2 g CTa2 -СТЬ2 ^^S21,

(23)

У 3

где g2l -(l-72) .

Сравнивая (17) и (23), видим, что асимптотическая дисперсия оценок параметров a и b при s = 2 будет в g2l раз меньше дисперсии соответствующих оценок при s = l • В общем случае, уменьшение дисперсии зависит от коэффициентов асимметрии У3 и эксцесса у4. Если распределение помехи

симметричное, т.е. у3 = 0 , то никакого уменьшения дисперсии не происходит. С другой стороны, хорошо известно, что коэффициенты асимметрии и эксцесса не могут быть произвольными—для них существует неравенство [2]:

У4 + 2 ^ У2.

Поэтому при у 3 —^ у4 + 2 дисперсия оценок параметров a и b может как угодно близко приближаться к нулю при постоянном объеме выборки.

6. Адаптация метода максимизации полинома для совместной оценки параметров сигнала и помехи

В предыдущем разделе показано, что повышение точности измерения параметров исследуемого сигнала может осуществляться за счет учета и оптимального использования тонкой структуры помехи. Для синтеза оптимальных алгоритмов измерения параметров сигнала требуется знание статистических характеристик помехи, которые в ряде практических случаев отсутствуют. Поэтому наряду с задачей измерения информативных параметров полезного сигнала возникает необходимость оце-

11

нивать параметры негауссовской помехи. При мо-ментно -кумулянтном описании случайной величины априорная неопределенность относительно параметров помехи сводится к незнанию кумулянтов разных порядков.

В общем случае, решить задачу совместной оценки параметров полезного сигнала и конечного числа кумулянтов негауссовской помехи не удается, поскольку цепочка уравнений для совместной оценки параметров получается бесконечной, зацепляющейся и незамкнутой, т.е. оптимальные коэффициенты стохастического полинома s -й степени зависят не только от оцениваемых параметров, а и от других кумулянтов высших порядков. Поэтому необходимо ввести некоторые частные случайные величины, которые при конечном, но произвольном s описывались бы одинаковым набором куму-лянтных коэффициентов. Стандартным выходом из подобной ситуации является применение модельных распределений n -го порядка, для которых

все кумулянты случайной величины х s равны нулю для всех s > n [2]. Недостатком использования негауссовских модельных распределений является то, что они не вероятностные, т.е. не существует таких плотностей вероятности случайных величин, для которых первые s кумулянтов были бы отличны от нуля, а все остальные кумулянты равнялись бы нулю.

Далее будут введены и обоснованы частные случайные величины, лишенные указанного недостатка, которые позволяют адаптировать метод максимизации полиномадля совместной оценки параметров полезного сигнала и негауссовской помехи.

Учитывая широкое распространение гауссовских случайных величин в технических приложениях, желательно ввести негауссовские случайные величины, но близкие к гауссовским. Интуитивно понятно, что так как гауссовские случайные величины на языке кумулянтов описываются только кумулянтами 1-го и 2-го порядков, то негауссовские случайные величины, которые описываются только кумулянтами низших порядков, будут близ -кими к гауссовским.

Для ограничения числа используемых кумулянтов введем так называемые перфорированные случайные величины. Будем говорить, что случайная величина является перфорированной (от лат. perforatio - пробивание), когда не все оставшиеся кумулянты случайной величины равнялись бы нулю, а только определённая их часть, а остальная часть кумулянтов высших порядков может принимать произвольные значения. Такие случайные величины существуют, кроме того, ими можно аппроксимировать реальные помехи, которые достаточно полно описываются низшими кумулянтами, а учет высших кумулянтов практически не влияет на конечный результат.

Введем и обоснуем класс случайных величин (помех), которые по своим статистическим свойствам отличны от гауссовских и в то же время очень близки к ним. Близость случайных величин к

гауссовским определяется только через кумулянт-ные коэффициенты асимметрии, эксцесса и куму-лянтные коэффициенты 5-го и 6-го порядков. При этом в описании данных случайных величин присутствуют и кумулянты высших порядков, часть которых полагают равными нулю, а остальные принимают произвольные значения. Число куму-лянтных коэффициентов, равных нулю, будем называть глубиной перфорации r . При использовании метода максимизации полинома для совместной оценки параметров полезного сигнала и перфорированной случайной величины глубина перфорации в общем случае зависит от степени стохастического полинома s.

Используя понятия тела и объема тела стохастичес -кого полинома размером s, определим близкие к гауссовским случайные величины.

Если случайная величина задается с помощью степенных преобразований, (|) = £1, то в качестве параметров случайной величины могут выступать кумулянты х 1 или кумулянтные коэффициенты

у і, i = 1,s случайной величины. В общем случае, как само тело случайной величины размером s, так и объем тела зависит от всех кумулянтных коэффициентов уr до 2s -го порядка. Если рассматривается

тело размером (s+1) , то оно будет зависеть дополнительно еще от двух кумулянтных коэффициентов высших порядков. Подобное описание не всегда удобно и возникает потребность как-то ограничить число используемых кумулянтов и тем самым как бы задавать определенные типы случайных величин.

Выше было введено понятие перфорированной случайной величины, на основании которого можно частичное тело Fs определить не через все 2s кумулянтные коэффициенты, а только через определенные, соответственно задав перфорированную случайную величину.

Частичное тело Fs, соответствующее перфорированной случайной величине, будем называть перфорированным телом размера s. Перфорированному частичному телу соответствует и перфорированный объём тела, который будет зависеть уже не от всех 2s кумулянтных коэффициентов, а только от некоторых, определяемых соответствующей перфорацией случайной величины.

Введём три класса множеств близких к гауссовским случайных величин. Первый называется классом асимметричных случайных величин, второй—классом эксцессных случайных величин и третий класс — классом асимметрично-эксцессных случайных величин. Классы асимметричных и эксцессных случайных величин разделяются каждый на два типа.

Асимметричными случайными величинами 1-го типа, близкими к гауссовским, будем называть множество случайных величин, для которых объём

12

РИ, 2000, № 2

тела любого конечного размера s зависит только от X 2 и от коэффициента асимметрии у3 , а асимметричными случайными величинами 2-го типа — множество случайных величин, для которых объём тела любого конечного размера s зависит только от X2 и кумулянтных коэффициентов Уз и У5 .

Эксцессными случайными величинами 1-го типа, близкими к гауссовским, будем называть множество случайных величин, для которых объём тела любого конечного размера s зависит только от Х2 и от коэффициента эксцесса у 4, а эксцессными случайными величинами 2-го типа — множество случайных величин, для которых объём тела любого конечного размера s зависит только от Х2 и кумулянтных коэффициентов У 4 и У 6 .

Асимметрично-эксцессными случайными величинами, близкими к гауссовским, будем называть множество случайных величин, для которых объём тела любого конечного размера s зависит

только от Х2 и от коэффициента асимметрии у3

и эксцесса у4 .

Мы определили близкие к гауссовским случайные величины, используя понятия объёмов тел размером s. Случайные величины, близкие к гауссовским, можно также определить и непосредственно через понятие перфорированных случайных величин. Подробное истолкование определений классов случайных величин, близких к гауссовским, основанных на понятии перфорации кумулянтного описания помехи, представляется излишним, поскольку они являются интуитивно прозрачными и аналогичны определениям классов случайных величин, близких к гауссовским, основанных на понятиях тела и объема тела стохастического полинома. Отличие состоит в том, что в данном случае классификация осуществляется на основе анализа начальной последовательности кумулянтных коэффициентов, описывающих искомую случайную величину.

Перфорированные случайные величины, близкие к гауссовским, обладают рядом свойств. Во-первых, несмотря на то, зависит или нет тело стохастического полинома от кумулянта 1-го порядка, объем тела стохастического полинома всегда не зависит от кумулянта 1-го порядка (математического ожидания случайной величины). Это свойство имеет большое значение ввиду того, что объем тела не зависит от параметров полезного сигнала, а зависит только от параметров помехи. Во-вторых, условие неотрицательности объема перфорированного тела стохастического полинома накладывает ограничения на область допустимых значений кумулянтных коэффициентов, определяемых типом перфорации. С ростом степени полинома глубина перфорации увеличивается, что приводит к сужению области допустимых значений кумулянтных коэффициентов к окрестности нуля, т.е. при s ^ ж негауссовская случайная величина вырождается в гауссовскую.

7. Выводы

1. С учетом свойств стохастических полиномов предложен и обоснован метод нахождения оценки скалярного и векторного параметров случайных величин, названный методом максимизации полинома.

2. Предложена методика исл едования точностных характеристик оценок, найденных методом максимизации полинома.

3. С использованием метода максимизации полинома синтезированы алгоритмы совместной оценки параметров гармонического сигнала, принимаемого на фоне негауссовских помех. Показано, что линейный алгоритм нахождения искомых оценок не учитывает негауссовость помехи и совпадает с алгоритмом, полученным методом максимального правдоподобия, для случая, когда помеха имеет гауссовский закон распределения. При нелинейной обработке выборочных данных удается более точно измерять соответствующие параметры гармонического сигнала при известных параметрах негауссовских помех.

4. Предложены новые модели случайных величин, позволяющие использовать метод максимизации полинома для совместного измерения параметров сигнала и параметров негауссовских помех.

Литература: 1. Купченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров случайных величин методом максимизации полинома. К.: Наук. думка, 1992. 180 с. 2. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376с. 3. Гавриш А.С., Кунченко Ю.П. Синтез алгоритмов совместной оценки параметров гармонического сигнала при негауссовских помехах // Материалы научно-технической конференции “Радио и волоконнооптическая связь, локация и навигация”. Воронеж. 1997. Т. 2. С.673-682.

Поступила в редколлегию 14.03.2000 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кочкарев Ю.А

Кунченко Юрий Петрович, д-р физ. -мат. наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехники Черкасского инженерно-технологического института. Научные интересы: нелинейные методы обработки сигналов, принимаемых на фоне негауссовских помех. Увлечения: филателия. Адрес: Украина, 18022, Черкассы, ул. Толстого, 20, кв. 110, тел. (0472) 43-31-90, (0472) 43-51-71.

Гавриш Александр Степанович, аспирант Черкасского инженерно-технологического института. Научные интересы: вопросы теории статистической обработки сигналов, в частности, оценки параметров сигналов на фоне негауссовских помех. Увлечения: нумизматика, настольный теннис. Адрес: Украина, 18000, Черкассы, ул. серж. Смирнова,2, кв.131, тел. (0472) 42-5685, (0472) 43-51-71.

РИ, 2000, № 2

13