Процентные риски и синтез структуры активов и пассивов банка Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

)

Повышение резервных требований при уменьшении ставки рефинансирования следует считать прямым противоречием денежно-кредитной политики, а косвенным - имевшее место уменьшение нормативов резервирования с 1 мая 1997 года с реальным увеличением средств в ФОРах за счет изменения методики расчета отчислений в фонды обязательных резервов (подробно рассматривалось выше).

Восстановление дифференциации норм резервирования, но в новом качестве - по субъектам экономики и валютам, введенное с 10 июня 1999 года, представляется менее эффективным даже в сравнении с последней, более чем скромной дифференциацией по срокам привлечения, упраздненной с 1 февраля 1998 года. Так, в частности, норма по рублевым средствам не стимулирует "длинные" депозиты юридических лиц (8,5% против 5,5% у граждан), поэтому временно свободные средства последних, вероятно, уйдут на валютный рынок. Нормы по инвалютным средствам (8,5%), завышенные в, казалось бы, благих целях дедолларизации, вообще препятствуют привлечению

инвалюты всех субъектов экономики: при высоких нормах банки не могут выплачивать по привлеченным средствам высокие проценты, поэтому инвалюта, например, физических лиц не только останется в "чулке", но и, вероятно, уйдет из коммерческих банков в "кубышку". Это, думается, иллюстрирует противоречие уже принципов дифференциации нормативов обязательных резервов, действующих с 10.06.99.

Учитывая изложенную зависимость инвестиций от действия таких инструментов денежно-кредитной политики, как учетная ставка, нормы резервирования и методы организации оборота наличных денег, считаем необходимой отмену использования минимально допустимого остатка денег в операционной кассе и других методов организации наличного денежного обращения как неадекватных рыночным отношениям, а также постепенное снижение нормативов обязательных резервов и увязку с последними учетной ставки. Это, думается, позволит увеличить ресурсы для активных операций банков на неинфляционной основе, в частности, для оживления инвестиций.

ПРОЦЕНТНЫЕ РИСКИ И СИНТЕЗ СТРУКТУРЫ АКТИВОВ И ПАССИВОВ БАНКА

Проблеме управления активами и пассивами (УАП) в банковской деятельности западные ученые-финансисты стали придавать значение в 40-х, 50-х годах XX века. Однако до 60-х годов западные банкиры большей частью воспринимали пассивы и собственный капитал как нечто само собой разумеющееся. В 60-х годах источники финансирования существенно сократились при устойчивом спросе на ссуды, что повлекло значительные изменения в способах управления активами и пассивами. В конце 60-х - начале 70-х годов, сталкиваясь с быстрым ростом величины процентных ставок и интенсивной конкуренцией за источники средств, чтобы обеспечить дальнейший рост кредитов, банковские менеджеры были вынуждены уделять повышенное внимание изысканию новых источников средств и обратиться к управлению обязательствами банка. Серьезный экономический спад середины 70-х годов на Западе, особенно в США, инфляция, высокая изменчивость процентных ставок заставили банковских менеджеров все боль-

А.Е. КУЛАКОВ, доктор технических наук,

В.В. ЯШИН, Н.С. ЦАГАРЕЙШВИЛИ

шее внимание уделять обеим сторонам баланса. Развитие приемов управления пассивами, происходящее в условиях увеличивающейся изменчивости процентных ставок и, как следствие, увеличения риска, способствовали возникновению подхода, названного управлением фондами (западная терминология) или управлением активами и пассивами. Дж. Ф. Синки [3] определяет нынешнее существо управления активами и пассивами банка как объединение использовавшихся в течение трех десятилетий отдельных методов управления в один скоординированный процесс. П.С. Роуз [2] и Timothy W. Koch [4] выделяют два наиболее широко используемых в настоящее время метода управления активами и пассивами: метод дисбаланса (или метод на основе GAP) и метод временного промежутка (или метод на основе дюрации), определяя их, соответственно как метод хеджирования чистой процентной маржи и метод хеджирования собственного капитала банка. Остановимся на рассмотрении недостатков этих методов.

В методе УАП на основе GAP активы и пассивы различаются только по признакам зависимости или независимости от процентной ставки. Вместе с тем каждому виду актива и пассива присущи свои показатели доходностей, стоимостей привлечения и риска. Из теории и банковской практики широко известно, что доходности или стоимости привлечения могут отличаться даже при близких по значениям сроках до погашения. При этом, чем выше среднее за некоторый предшествующий период времени значение доходности или стоимости привлечения, тем, как правило, выше и изменчивость этого показателя за этот же период. Именно эта изменчивость доходности и стоимости привлечения и является непосредственным источником риска, в качестве меры измерения которого чаще всего используют дисперсию или среднеквадратичное отклонение. Метод УАП на основе GAP не различает виды активов и пассивов по этим существенным параметрам, определяющим прибыльность и риск снижения или недополучения прибыли. Так как общая доходность всех активов и общая стоимость привлечения всех пассивов банка определяется средневзвешенной доходностью и стоимостью привлечения, соответственно, на основе долей конкретных видов активов и пассивов, а метод УАП на основе GAP не различает виды активов и пассивов по этим показателям, то данный метод не дает рекомендаций по изменению структуры активов и пассивов, обеспечивающих минимальный суммарный процентный риск, и не дает рекомендаций по изменению структуры активов и пассивов на уровне их конкретных видов, которые бы обеспечивали максимально возможный в данных условиях рост прибыли.

Аналогичными принципиальными недостатками обладает метод УАП на основе временного промежутка, или дюрации. В этом методе все виды активов и пассивов также не различаются между собой, а характеризуются только сроком обратного получения начальной стоимости (дюрация). Метод УАП на основе дюрации выдает рекомендации по изменению средневзвешенной дюрации активов и пассивов путем привлечения пассива и размещения актива с дюрацией выше или ниже средневзвешенной дюрации для всех пассивов и активов банка.

Вместе с тем различные виды активов и пассивов банка даже при одинаковой дюрации отличаются как средней величиной доходности и стоимости привлечения за период, так и их изменчивостью за этот же период, а значит, и возможным процентным риском. Так как стоимость собственного капитала банка равна разности стоимостей активов и пассивов, которые правильнее определять как приведенные стоимости сложившейся в предшествующий период структуры активов и пассивов банка, все составляющие которых имеют свои средние доходности, стоимости привлечения и показа-

тели риска (дисперсии доходностей и стоимостей привлечения), то вполне справедливо говорить об ожидаемой стоимости собственного капитала и о риске его снижения. Следовательно, метод УАП на основе временного промежутка не дает рекомендаций по оптимизации структуры активов и пассивов по критерию сохранения стоимости собственного капитала при минимально возможном риске его снижения или по критерию его максимизации с учетом заданного риска снижения.

Резюмируя все сказанное в части принципиальных недостатков, можно заключить, что метод УАП на основе GAP дает лишь рекомендации по целесообразному изменению или сохранению объемов чувствительных к процентной ставке групп активов и пассивов с целью сохранения текущей прибыльности банка при меняющихся процентных ставках или увеличения текущей прибыльности при известном направлении изменения процентных ставок. Метод не дает никаких рекомендаций по целесообразному изменению активов и пассивов, нечувствительных к процентной ставке.

Аналогично метод УАП на основе временного промежутка дает рекомендации по целесообразному изменению или сохранению средневзвешенной дюрации активов и пассивов, направленному на сохранение стоимости собственного капитала.

В обоих методах изменяются параметры активов и пассивов (стоимость зависящих от процентной ставки активов и пассивов или, соответственно, средневзвешенная дюрация активов и пассивов), которые лишь косвенным образом влияют на будущую прибыль банка и будущую стоимость собственного капитала, но не определяют их однозначно и непосредственно как доходности определенных видов активов, стоимости привлечения определенных видов пассивов и их доли в итоге баланса. Таким образом, методы управления активами и пассивами на основе GAP и временного промежутка не могут рассматриваться как методы синтеза оптимальной структуры активов и пассивов, напрямую определяющие ожидаемую прибыль, стоимость собственного капитала банка и риски их снижения, и не обеспечивают получение наилучшего возможного с определенной величиной вероятности результата.

Целью данной статьи является описание математического аппарата и подхода к синтезу структуры активов и пассивов банка по различным критериям оптимальности, в котором отсутствуют вышеописанные недостатки. Перейдем к рассмотрению предлагаемого подхода.

Зависимости доходностей актива или стоимостей привлечения пассива, рассматриваемые в достаточно длительном интервале времени, отличаются бесконечным разнообразием. Такой характер зависимостей складывается при одновременном воздействии множества самых разнообразных факторов.

Покажем, что для относительно небольшого периода времени I доходность актива или стоимость привлечения пассива описывается линейной или квазилинейной зависимостью. Пусть банк на текущий момент времени располагает некоторым видом актива или пассива стоимостью С. Это может быть, например, основная сумма задолженности заемщиков - юридических лиц или основная сумма вкладов физических лиц. Условия по кредитным договорам заемщиков могут существенно отличаться, как и по договорам вкладов. Однако всю совокупность действующих на настоящий момент кредитных договоров с некоторой точностью можно заменить одним эквивалентным договором со сроком погашения Т и процентными выплатами Р. Выражение для доходности <1о примет вид:

, Р 365

о = сх~Т"

(1)

Совокупность действующих договоров по вкладам также может быть заменена одним эквивалентным договором со сроком погашения Т и процентными выплатами Р. Выражение для стоимости привлечения вкладов при этом также примет вид (1). Пусть произошло изменение ставок на величину Дс1, тогда за период времени г будет получена по кредитным договорам или выплачена по вкладам основная сумма в объеме V = 01, где 0 -дневной оборот выплат по основной сумме кредитов или вкладов. К концу периода I новое значение для доходности по кредитам или стоимости привлечения вкладов примет следующий вид:

. P + AdQtT/365 365

üt —---X ■ _'■.

1 с т

(2)

Здесь второе слагаемое в числителе первой дроби - изменение в ожидаемых процентных выплатах, возникшее за счет погашения старых и открытия на ту же основную сумму новых договоров за период ^ Уменьшение знаменателя второй дроби на величину I не происходит, так как считаем, что вновь заключаемые договора имеют средний срок до погашения, совпадающий со сроком до погашения по эквивалентному договору. Выделяя из (2) зависимость (1), окончательно получим линейную зависимость для доходности или стоимости привлечения <1( в виде:

с1( = с10 + ДБ х С? / С х ^ (3) За момент начала отсчета времени I можно принять любой момент времени после последнего изменения процентных ставок, в который был проведен расчет эквивалентной начальной доходности с10. Таким образом, мы получили линейную модель доходности актива или стоимости привлечения пассива с1, = с!0 + а и где а = Дс1 х 0 / С. Коэффициент а может быть как положительным, так и отрицательным, что определяется знаком Дс1, то есть увеличением или снижением процентной ставки, так как все остальные величины, его определяющие, всегда положительны. При 0 « С разброс ставок по вновь заключаемым договорам, изменения ос-

новной суммы С действующих договоров, дневного оборота и средневзвешенного времени до погашения договоров Т не изменяют принципиального характера зависимости (3) от величины времени г. Таким образом, можно считать, что даже за относительно длительные промежутки времени доходности рассмотренных видов актива и стоимости привлечения пассива при изменении процентной ставки и оборота изменяются квазилинейно. Очевидно, что аналогичные рассуждения могут быть проведены для других видов активов и пассивов.

Рассмотрим статистический подход к построению модели доходности актива или стоимости привлечения пассива конкретного вида. Пусть имеется временной ряд значений доходностей актива или стоимостей привлечения пассива за некоторый базовый период. Мы аналитически показали, что эта зависимость линейная. Для принятых в теории статистического моделирования обозначений модель изменения значений доходностей актива или стоимостей привлечения пассива будет иметь вид:

х, = х0 + СЛ, (4)

где

X, - значение доходности актива или стоимости привлечения пассива в момент времени ^

Х0 - начальное значение доходности актива или стоимости привлечения пассива;

а - линейный коэффициент изменения доходности актива или стоимости привлечения пассива во времени;

Ь текущее время.

Среднее значение доходности актива или стоимости привлечения пассива во времени выражается зависимостью

Xt = Хо + a t,

(5)

где

Xматематическое ожидание значения доходности актива или стоимости привлечения пассива в момент времени t;

X 0- математическое ожидание начального значения доходности актива или стоимости привлечения пассива;

а - математическое ожидание линейного коэффициента изменения доходности актива или стоимости привлечения пассива во времени.

Зависимость (5) представляет собой линию регрессии. Разброс значений доходности актива или стоимости привлечения пассива от линии регрессии учитывается дисперсией D(Xt). Дисперсия доходности актива или стоимости привлечения пассива при принятой модели вида (5) выражается зависимостью D(Xt) = D(X0) + D(oc)t2. (6)

Здесь: D(X0) - дисперсия начальной доходности актива или начальной стоимости привлечения пассива;

D(a) - дисперсия линейного коэффициента изменения доходности актива или стоимости привлечения пассива во времени.

Таким образом, модель доходности актива или стоимости привлечения пассива в этом случае описывается четырьмя параметрами: Х0; D(X0); а и D(oi). Так как дисперсия по определению не может быть отрицательной (квадрат отклонения от среднего значения величины), то разброс значений с ростом времени t либо остается неизменным (при D(a) = 0), либо растет (при D(a) > 0).

Доходность какого-либо вида актива или стоимость привлечения какого-либо пассива складывается из совокупности действующих на данный момент договоров (кредитные, депозитные, договоры вклада и др.) и составом портфелей ценных бумаг. Рассматривая эти договоры, отдельные выпуски государственных облигаций или акции конкретных эмитентов, входящие в портфель как составляющие этого вида актива или пассива, следует отметить их существенные отличия. Например, проценты по вкладам отличаются в зависимости от суммы и срока размещения, а помимо этого - и порядком начисления. Проценты по кредитным договорам, кроме этого, отличаются для различных категорий заемщиков и порядком выплаты. Доходности государственных облигаций отличаются в зависимости от вида облигации, номера выпуска и срока до погашения. Фактические доходности акций предприятий также отличаются для различных эмитентов. Таким образом, для каждого конкретного вида актива или пассива доходность или стоимость привлечения на каждую дату занимает некоторый диапазон значений. _ _

Для вычисления параметров модели X 0; а; D(X0) и D(a) воспользуемся статистическим подходом. Пусть имеется временной ряд значений доходности вида актива или стоимости привлечения вида пассива X,; Х2;.... Х.;....Хк на некотором предшествующем интервале времен t,....t. .....t k (базовый интервал времени). Найдем сначала параметры Х0и а квадратичной регрессионной модели (5). обеспечивающие минимум суммы квадратов разностей значений ряда X,; Х2;.... Х.;....Хк от_модел_ь-ных значений, то есть такие значения X 0 и а, которые обеспечивают

£(Х0+<х ti - Xi)2

>min.

i=l

Этот метод известен как метод наименьших квадратов [1].

- ¡=1 а

к к ^Xiti-l/k^XjX^ti i= 1 i=i

£t¡2- 1/кх ¿t¡

i= i U= i

к _ к

I*-«I i= 1 i=l

(8)

Xo = l/kx (JXi-cx^ti).

Найдем квадраты отклонений фактических

значений Х( от модельных в моменты времени tj.....t.

.....tk. Так как в методе наименьших квадратов сумма отклонений модельных значений от фактических по всем к реализациям равна нулю, то квадраты этих оклонений есть не что иное, как дисперсия величины Xt в моменты времени t,.....t......tk.

Найдем методом наименьших квадратов параметры D(Xt) и D(a) зависимости D(Xt). Сумма квадратов отклонений запишется в виде:

к

£[D(X0) + D(cx)t?-D?], (9)

i = l

где

D, - квадрат отклонения фактического значения X. от модельного значения в момент времени t, то есть фактическая дисперсия в момент времени t¡.

Для поиска минимума выражения (9), продифференцируем его по D(X0) и D(cc) и приравняем производную к нулю. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, решая которую, получим

D(a) =

i = l

i=l i=l

5V-i/kx(£tjy (10)

i = 1 i = 1 k k D(X0) = 1/kx (£d¡- Da^t?).

i = 1

i = l

Наиболее широко используемыми показателями эффективности работы банковской фирмы являются отношение процентной прибыли к суммарным активам П%/АХ и стоимость собственного капитала К. Процентную прибыль за интервал времени [1,; у в общем виде можно записать как

h п ш

П% = J A¡(t)d¡(t) - ^Г Pj(t)Cj(t)]dt •

(7)

t, i = l j = l KxCkx(t2-t,).

где

(И)

A(t) - балансовая стоимость i-го актива; d.(t) - доходность i-ro актива (в относительных единицах);

Pj(t) - балансовая стоимость j-го пассива; c.(t) - стоимость привлечения j-ro пассива (в относительных единицах);

К - стоимость собственного капитала; Ск - предусмотренная ставка по акциям банка (в относительных единицах).

Стоимость собственного капитала определяется как разница стоимости активов и пассивов, то есть для любого момента времени t

m

j=i

(12)

i=l

Выберем в качестве начала отсчета времени t,=0, а в качестве продолжительности интервала времени t2 -t, величину Т. Разделив левую часть и составляющие первой суммы равенства (11) на суммарные активы, а составляющие второй суммы и собственный капитал К на равные им суммарные пассивы плюс собственный капитал, получим:

Т n m

n%/As= f [У Xi(t)di(t) - Yxj(t)Cj(t)]dt-

o ¡=1 j=i (13)

- k x Ck x T,

где

x.(t) - доля i-го актива в суммарных активах;

x.(t) - доля j-ro пассива в суммарных пассивах;

к - доля собственного капитала в суммарных пассивах.

Упростим запись этого выражения, введя единое обозначение x;(t) и единую нумерацию долей активов и пассивов, а также единое обозначение d.(t) и единую нумерацию для доходностей активов и стоимостей привлечения пассивов. Получим:

I n

П%

/ Az = x¡(t)d¡(t)]dt - k x Ck x T.

o ¡ = i

(14)

il

/ As = [Xi(di0 + a¡T / 2)] - k x Ck}.

i = l

(16)

Выведем зависимость для дисперсии Б(П%/ которая наряду со среднеквадратичным отклонением а(П%/А1) является обобщенным показателем процентного риска. Воспользуемся для этого известным выражением для дисперсии суммы п коррелированных величин У = х, + х2 + х3 +... + х. +... + х. +... + х :

1 j и

п _

= + (17)

i = l

KJ

В нашем случае случайными величинами являются <1.0 и а. Используя для них выражение (17), заменив в нем X. на с!ю, а также правило, по которому дисперсия произведения случайной величины на детерминированную равна произведению дисперсии случайной величины на квадрат детерминированной величины, получим:

п п

0(П% / А£) = Т2{£х;2О(ф0) + Т2 / 4]Г Х^сц) +

i=i

i=l

+ 2£гу xj xj [(D(d¡0) + T2 / 4D(o¡» x (D(dj0) +

KJ

(18)

-T2/4D(aj))'/2]}.

Нами рассмотрен случай постоянства долей х. в течение интервала времени [0; Т]. Для случая линейного изменения долей активов и пассивов получим:

it

П% / Az = T {£ [x0i (di0 + <x¡T / 2)] +

i=l

11

+ T / 2^ co¡ [(d¡0 + «¡T / 1,5)] - k x Ck.

(19)

¡=i

Дисперсия этого выражения равна:

Отметим, что стоимости привлечения пассивов здесь имеют отрицательную величину. Рассмотрим случай постоянства долей активов и пассивов в интервале времени [0; Т]. Используя обоснованную в предыдущем параграфе модель для доходности актива и стоимости привлечения пассива вида (2.7), запишем:

П Т

П% / As = £ [x¡ J (d¡0 + o¡t)dt] - k x Ck x Т. (15) i=l o

Взяв определенный интеграл, окончательно получим:

it

D(n%/Az=T2{£x0i2D(di0) + i=i

n

+Т2/4^Х012О(а;) + i=l

+ 2Xx0ix0jIij ^/D(di0)D(dj0) +

(20)

KJ

11 11 + T2 / 4[^CÚ¡2 D(di0) +T2 / 2,25 2 ®i2 D(«i) +

i=l

+ 2£<Di(Dj[ijj VD(di0)D(di0)]},

i=l

kj

a среднеквадратичное отклонение:

n

o(n%/Az) = T{^x0i2D(di0) +

i=l

n

+Т2/4^х012ЕКа1) + 2 JxoiXoji-j ^D(d^)D(d^)

i=l n

i = l

+T2 / 4 co¡2 D (di0 )+T2 / 2,25 ]Г ю2 D(a¡ ) + (21) i=l 1=1

+ 2^a>i«Dj [ry ^D(d¡o)D(djo)]}1/'2.

kj

Однако при управлении структурой активов и пассивов изменение долей х1 на некоторую вели-

чину са происходит в течение интервала управления Т , который следует за базовым интервалом Тв. Пусть длительнось Тв измеряется числом месяцев, а длительность Ту равна одному месяцу, то есть Т = 1. Такая дискретность измерения временных интервалов наиболее приемлема, так как реально соответствует ежемесячному получению на основе балансовых данных величин доходностей активов и стоимостей привлечения пассивов. Используя ранее принятое обозначение Т для длительности базового интервала, запишем выражение для отношения П%/А1( аналогичное (16), в интервале управления в виде:

П Т+1

n%/Az = T f <[xoi+©i(t-T)]x

i-i т (22)

х (di0 + a¡t)} dt - k x Ck.

Сдвиг начала отсчета переменной интегрирования t на величину Т обеспечивает изменение долей cOj в интервале управления [Т; Т+1] от 0 до сог Выполнив перемножение подинтегрального выражения, из него можно выделить как часть зависимость для пределов интегрирования от Т до Т+1. Получим:

третьей суммы в (24). Чтобы получить среднее значение дисперсии Б(П%/Ае) в интервале управления, достаточно, учитывая монотонный характер ее изменения, найти среднее ее значение в начале и конце интервала управления. Не внося большой методической ошибки, можно поступить проще: составляющие третьей суммы в (24) уменьшить в два раза, а выражение (20) рассчитать для момента времени, соответствующего середине интервала управления, то есть при Т+0,5. Проделав это, окончательно получим:

П%/АХ=]Г J (xo¡ + cüjt) (djQ + ctjt) dt —

i=l т

n T+l (23)

"TX j ^(dio+OiOdt-kxq,.

i=l y

Взяв интегралы и проведя очевидные преобразования, получим:

п

П%/А, = Х% {di0 + a¡ КГ +1)2 - Т2] / 2}+ i=l

п

+£«>i <d>o [(Т2 +1) -Т2]/ 2+a¡ [(Т +1)3 - Т3] / 3}- (24)

п

-т£со; {d¡0 + щ [<Т2 +1) -т2] / 2}- к хСк.

i=l

Слагаемые, включающие квадраты временных интервалов, можно упростить, записав их как х0Д0+ а(2Т+1)/2] и со^ю+ а(2Т+1)/2].

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение П%/Ах в начале интервала управления (в конце базового интервала) выражаются зависимостями (20) и (21). В первом приближении их можно принять в качестве показателей суммарного риска. Для того, чтобы определить дисперсию Б(П%/А1) в конце интервала управления, к выражению (20) для конца интервала управления, то есть для момента времени Т+1 необходимо добавить составляющие, обусловленные слагаемыми под знаком

n

Б(П%А2) = (T + 0,5)2 x0¡2 D (di0) + i=l

n

+ (T + 0,5)2 / x0j2 D(cq ) + i=l

+ 2 ^ x0i XQjijj ^D(di0) D(djo) + i<j

n

+ (T + 0,5)2 / 4[^<a2D(di0) +

i=l

+ (T + 0,5)2 / 2,25^ <o2D(a¡ ) + <25)

i=l

+ 2 £ tûiCûj [ijj p(di0) D(djo) ]} +

i<j

n

+T2 / 2[^cûi [D(di0) + (2T +1)2 / 4D(«i) + i=l

+ û)j [r¡j0 ^D(di0)D(djo)]}.

1<J

Среднеквадратичное отклонение примет вид:

n

с(П%Aj;) = (T + 0,5) [xqí D(di0) + i=l

n

+ (T + 0,5)2 / 4^ XQ¡2 D(a¡) + i=l

+ 2 X x°' x°jrü >/D(d¡o)D(djo) + i<j

n

+ (T + 0,5)2/4[£cû?D(di0) + i=l

n

+ (Т + 0,5)2/2,25£со?Е>(а1) +

i=l

+ 2£œiœj[rû>/D(di0)D(djo)]}+

¡<j

n

+ T2 / 2[]Г со; [D(di0) + (2T +1)2 / 4D(a¡)] +

i=l

+ 2£(BicûjrpA/D(dio)D(djo)]}1/2.

(26)

1<J

Выражение для доли собственного капитала к в конце интервала управления получим из (2.40), приравняв П%/Ах к нулю, в виде:

(27)

II

к = X Хш + 04 + ^ / 21+

1=1

п

+ ^ш1{ё10(2Т + 1)/2 +

¡=1

+ щ [(Т + I)3 -Т3]}-

п

-Т^ш1[с1ю + а1(2Т + 1)/2]/Ск.

¡=1

Из банковской практики хорошо известно, что возможность изменения объемов активов или пассивов того или иного вида, а значит, и их долей достаточно ограничена. Поэтому при решении задачи синтеза структуры активов и пассивов на линейные коэффициенты изменения доли актива или пассива должны быть наложены некоторые ограничения вида со^ < оо1 < аигаах. Ограничения должны быть наложены также на сумму долей всех активов и на сумму долей всех пассивов. Если нумеровать виды активов, начиная с единицы до ш, а виды пассивов с ш+1 до п, то ограничения примут вид:

111

^Г(Х0; +Ю;Т) = Ха; ¡=1 п

^(ХШ+С0; Т) = ХР.

(28)

¡=ш+1

Очевидно, что суммы долей активов ХА и пассивов Хр не могут превышать единицы. Так как не все активы являются работающими и не все пассивы платными, то ХА и Хр обычно лежат в диапазоне от 0,85 до 0,95. Ограничения (22) задают требования на конец периода, в течение которого осуществляется постепенное изменение структуры активов и пассивов.

В выведенных выше зависимостях для отношения процентной прибыли к суммарным активам П%/А£ (24) и доли собственного капитала в пассивах к (27) используется параметр Ск - предусмотренная процентная ставка по акциям. Следует иметь в виду, что проценты по акциям начисляются с чистой прибыли, поэтому Ск в этих выражениях представляет собой приведенную ставку с учетом налогообложения прибыли. Так как налогообложение прибыли Сп увеличивает затраты, связанные с выплатой процентов по акциям, то, сохранив для предусмотренной процентной ставки по акциям обозначение Ск, выражения (24) и (27) следует записать в виде:

11

П%А£ = £ Х(и [с1ю + а; (2Т + 1) / 2] +

¡=1

п

+ {¿ю(2Т +1) / 2 + 0Ц[(Т +1)3 - Т3] / 3} -

¡=1

11

-^00^0 + 04(2^1)/2]-к: 1=1

(29)

хСк/(1-Сп/100)Т;

11

к = ^х0;[сЗш+^(2Т + 1)/2] + ¡=1

п

+ {¿¡о(2Т +1) / 2 + ос;[(Т +1)3 - Т3] / 3} - (30)

¡=1

п

- Т£ со([(1;о + а;(2Т +1) / 2] X (1 - Сп / 100) / Ск.

¡=1

Выражение (17) представляет собой отношение процентной прибыли до начисления налогов, то есть "грязной прибыли", к суммарным активам. Выведем выражение для отношения чистой процентной прибыли к суммарным активам П%„ист/Аг Обозначим ставку налога на доход от государственных ценных бумаг через Сгц6; ставку налога на остальные процентные доходы через Сд и ставку налога на прибыль через С . В настоящее время Сга6 = 15%; Сд = 4,5% и Сп"= 35%. Тогда чистую прибыль за период Т можно вычислить следующим образом:

П%чист/Ах = П%/А1-С/100х{1 хснИю +

¡=1

1П

а(Т+0,5)]+2ш;{с!ю(Т+0,5)+а![(Т+1)3-Т3]/3}-

¡=1

V (И)

-Т2,ю.[ёю+а.(Т+0,5)]} - (Сц6-С)/100х ¡=1

х К^га6(Т+0,5)+(1га6шга6(Т+0,5)+ага6[(Т+1)з --Т3]/3-Тсогц6[<1гц6 +ага6(Т+0,5)]}]х (1-Сп/100).

Здесь т - число видов активов. В соответствие с действующим налоговым законодательством доход от ГЦБ уменьшает налогооблагаемую базу налога на прибыль. Поэтому при

П%А, <х0габс1га6(Т+0,5) + с1га6шга6(Т+0,5)агаб[(Р+1)--Т3]/3-Та>гц6[<1гц6+агаб(Т+0,5)] (32)

последнее выражение примет вид:

Щ

П^чист/Ах = П%/Ах-Сд/100 х x0¡ [di0 +

i=l

m

a¡(T+0,5)]+Scoi{dffl(T+0,5)+ai[(T+l)3-P]/3}-

i=l

n

-т£соД0+«Д+0,5)]} - (Сгаб-Сд)/100Х

i=l

x{[x0ra6dra6(T+0,5)+dra6coni6(T+0^)+ara6[(T+l)3-

-P]/3-Tœra6[dra6+ara6(T+0,5)]}.

(33)

Это условие при синтезе можно учесть, используя логическую функцию "если". Более компактно зависимости (31) - (33) можно представить в виде:

П%чист /А,=[П%/^-С/100 х Шо/К-"(С^-СУЮОхД^КЬС/ЮО;

(35)

П%ч„ст/А1=[П%/А1-Сд/100хД%/А1-"(С^-СУЮОхД^А,]. (36)

Здесь: Д% - процентные доходы за интервал времени управления [Т, Т+1], которые рассчитываются по формуле, аналогичной (24), суммирование в которой проводится только для числа видов активов ш; Дгаб - доходы по государственным ценным бумагам.

Выражение для общего процентного риска потери отношения чистой процентной прибыли к активам может быть получено на основе зависимости для Б(П%/АХ) (25) и выражения (34) в виде:

а(П%чист/А1) = [Ъ(П%/\) + (Сд/100)2 х 0(Д%/\)-- (С^-ЭД/Ю х 0(Дп1б/А1)1'2] х (1-С/100). (37)

Во многих банках фонд формирования выплат по акциям формируется за счет отчисления процентов от прибыли Сп. В этом случае выражение для примет вид:

П%чист/Ах= 1/[1+СА/100х(1-С/100)]х

х [П%/А1 - Сд/100 х Д%/Ах - (Сга6 - Сд)/100 х

хДт6/Ах]х(1-Сп/100). (38)

Среднеквадратичное отклонение отношения чистой прибыли к активам на основе этого выражения примет вид:

ада^/А^/ [1+СА/100х (1-С/100)] х

х[0(П%/А2) - Сд /104 х ) -

(Ст6-СУ/10* х 0(Дгц6/А1)] х (1-С/100) (39)

Рассмотренный подход является упрощенным вариантом математического обеспечения части подсистемы синтеза структуры активов и пассивов и управления риском Московского банка Сбербанка России. Подсистема реализована на базе универсальной электронной таблицы ЕхсеГ97 с встроенной функцией "Поиск решения" и позволяет синтезировать оптимальные изменения долей активов и пассивов со. по критериям максимума собственного капитала, максимума П%чист/Ах, или минимума а(П%чист/А1) с учетом различных ограничений.

Список литературам

1. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. - М.: Физматлит, 1962.

2. Роуз. Питер С. Банковский менеджмент. Предоставление финансовых услуг. М.: Дело лтд., 1995. - 743 с.

3. Синки Дж. Ф. Управление финансами в коммерческих банках. М., 1994.

4. Timothy W. Koch Bank management. Dryden Press, 1988.