CC BY
13
СИНТЕЗ СТРУКТУРЫ АКТИВОВ И ПАССИВОВ БАНКА ПО КВАДРАТИЧНЫМ СТОХАСТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ
А.Е. КУЛАКОВ, доктор технических наук Н.С. ЦАГАРЕЙШВИЛИ
В настоящей статье проводится более углубленное изложение математического обеспечения подсистемы синтеза структуры активов и пассивов банка, рассмотрению которой были посвящены две работы, опубликованные ранее в данном журнале1. С целью упрощения первоначального изложения материала в первой работе было принято допущение о линейном характере зависимости доходности вида актива и стоимости привлечения вида пассива Ш при изменении начальной процентной ставки do на величину Ас1:
dt = do + Ad — xt, С
(1)
где О - дневной оборот выплат по основной сумме вида актива или пассива, а С - сумма основной задолженности по этому же виду актива или пассива.
Линейный характер зависимости доходности dt от времени ? был обоснован принятым допущением о неизменности величин 0, Си среднего времени действия договоров Т при изменении процентной ставки А d. Вместе с тем это допущение является очень жестким и на практике, как правило, не сохраняется. Правильнее считать, что О, С и Т изменяются во времени. Принимая линейный характер таких изменений от времени то есть, считая 0(1), СО) и ТО) линейными функциями времени /, получим квадратичный характер зависимости (1).
На рис. 1 в качестве примера приведены таблица значений, графики зависимости (1) при условии: 0(0 = £Ю + V/, где V = 0,01£Ю - скорость изменения дневного оборота; ТО) = 70 + ц/, где и = 0,0170; С = СО + г|/, где ц = 0,001 СО
и соответствующая линейная зависимость. Зависимости построены для случая: do = 30% годовых, Ad = 3% годовых, Q0/C0 = 1/365. Разница в доходностях dt для зависимости (1) и линейной аппроксимации на протяжении 220 дней не превышает 0,17% годовых. На рис. 2 приведены таблица значений и графики зависимости (1) для случаев Q/C= 1/365 и Q/C= 1/250 при do = 30% годовых иДй?=3%, Ai/= 5% годовых. Таким образом, можно считать, что даже за относительно длительные промежутки времени t доходности видов активов и стоимости привлечения видов пассивов при изменении процентной ставки и оборота изменяются квазилинейно и достаточно хорошо описываются квадратичной моделью di(t) = diO + ait + pit2. Построить эту модель можно по статистическим данным методом наименьших квадратов. Наибольшую значимость коэффициентов обеспечивает построение при длине базового интервала, равного четырем значениям.
Сохраняя все принятые ранее обозначения и проведя вывод выражения для отношения процентной прибыли к активам П%/АХ, получим зависимость этой величины в интервале управления [Г; Т+1] в виде:
п т+1, ,
П% / AS = 2 J [лгО/ + со/ (t - 71)] (diO + ait + Рit)
¡=1 т ^ '
dt- k xCk (2)
Сдвиг начала отсчета переменной интегрирования t на величину Т обеспечивает изменение долей со/ в интервале управления [Г; Г+1] от О до со/. Выполнив перемножение подынтегрального выражения, получим:
1 Кулаков А.Е., Цагарейшвили Н.С., Яшин В.В. 1. Процентные риски и синтез структуры активов и пассивов банка // Финансы и кредит. 2000. № 6 (66). 2. Опыт разработки подсистемы синтеза активов и пассивов банка на основе стохастических
моделей и оценки ее возможностей // Финансы и кредит. 2000. № 7 (67).
П%/А£ = £ | \(x0i + ait)(di0 + a.it + pit)2]dt
(=1 т
п 741
JЦЛ'О + ait + р//) dt-kxCk
(3)
t <и <14 ск-(1Ч
0 30 29,83 0,17
10 30,00 29,88 0,13
20 30,01 29,93 0,08
30 30,02 29,98 0,05
40 30,04 30,02 0,01
50 30,06 30,07 -0,02
60 30,08 30,12 -0,04
70 30,11 30,17 -0,06
80 30,14 30,22 -0,08
90 30,18 30,27 -0,09
100 30,23 30,32 -0,10
110 30,27 30,37 -0,10
120 30,32 30,42 -0,10
130 30,38 30,47 -0,09
140 30,44 30,52 -0,08
150 30,51 30,57 -0,06
160 30,58 30,62 -0,04
170 30,65 30,67 -0,02
180 30,73 30,72 0,01
190 30,81 30,77 0,05
200 30,90 30,82 0,08
210 30,99 30,87 0,13
220 31,09 30,92 0,17
(10 а (1 (}/С т
30 3 1/365 365
Рис. 1 Зависимость изменения доходности актива (стоимости пассива) от времени 1 при изменении процентной ставки и линейная аппроксимация
г <и с!Ч
0 30 30,00 0,00
10 30,01 30,00 0,00
20 30,02 30,01 0,01
30 30,05 30,02 0,03
40 30,09 30,04 0,05
50 30,14 30,06 0,08
60 30,20 30,08 0,12
70 30,27 30,11 0,16
80 30,35 30,14 0,21
90 30,44 30,18 0,26
100 30,55 30,23 0,32
110 30,66 30,27 0,39
120 30,79 30,32 0,46
130 30,93 30,38 0,55
140 31,07 30,44 0,63
150 31,23 30,51 0,73
160 31,40 30,58 0,83
170 31,58 30,65 0,93
180 31,78 30,73 1,05
190 31,98 30,81 ■1,17
200 32,19 30,90 1,29
210 32,42 30,99 1,42
220 32,65 31,09 1,56
йо а <1 <2/с т
30 5 1/250 365
33 ■
29,5 I-,-----,-----т........г.............1
О 50 100 150 200 250
Рис. 2. Зависимости изменения доходности актива (стоимости пассива) от времени 1 при изменениях процентной ставки
Взяв интегралы и проведя очевидные преобразования, получим:
м
п%/xo/j до + ai (Т +1)2 - Т2
/2 +
+ 0'
(Г + I)3 -Т3]/3 | + ¿ом |до[(Г + I)2 -г2j / 2 + (Т +1)3 - T3 j / 3 + prjjr +1)4 - Г4 j / 4 | - ifj coi
(Г +l)2 - Г2 j / 2 + р/ (Г + 1)3-Г^/3 }-JfcxC/fc( 4)
М/О + ш
Это выражение можно упростить, записав в виде:
П% / Aï = £ xO/{</zo + а/(2Г + 1) / 2 + ¿=1
+ р»[(г + I)3 - Г3] / 3} + £ wi{diO(2T + 1) / 2 + а/[(Г + I)3 - Г3] / 3 + р/[(Г + I)4 - Г4] / 4} -
- Тр m/jrf/O + а/(2Г + 1) / 2 + р/[(Г + I)3 -
- Г3] / 3 |-bCi
(5)
; / az) = г2с| £ х2шв (до)+г2с / 4£ х2 m (ш) + [/=1 (=i
+ Г4С / 9£x2Oi0(pi) + 2g хО/ хО j\rijO^D(diO)D[djO) +
+ Т2с/ 4 £ в>2/1) (ДО) + Т2с / 2,25£ ш2Ш (ai) + Г4с / >1 /=1
/ 4£а>2/Я(р() + Т2с / 2£ со/ ау пуО^Л(ДО) Д (¿;0) j | + + Т2 / 2 j|j со/ [2) (ДО) + (2Г + I)2 / 4Д (а/) + +|~(Г +1)3 - Т /9Я(р/) +2£со/сч/ rijû^D(ДО)D(¿//0)j
При выводе этой формулы учитывалась корреляция между ШО и фО только для слагаемых первой суммы в выражении (5). При полном учете корреляции между <йО и 4/0 для всех трех сумм, составляющих выражение (5), первую сумму во второй строке последнего выражения для дисперсии необходимо записать в виде:
rijOjû{diO)D{djO)
2Х(Лг0/ хОу + 1 / 4ш(ш/ +1/2 хО/ со у)
1<1
Составляющие 1/4 со/ со/ и 1/2 хО/ со]' здесь и далее опущены, так как они малы по сравнению с хО/ хО/. Тогда среднеквадратичное отклонение примет вид:
ст(П% / As) = 7с
l/=i
+ Tlc / 4£х20/Я(а/) + / 9][V0/7> (р/) +
2Л.т
¡=1
¡=1
2^x0/хО/ пуО^Д (diQ)D (#0) j
+ Тс / 4
£ <oiJD (diO) + Т2с/ 2,25£ со2//) (ai) +
f=i
i=l
В первом приближении дисперсию и среднеквадратичное отклонение П%/АХ в начале интервала управления ( в конце базового интервала ) можно принять в качестве показателей суммарного риска. Чтобы получить среднее значение дисперсии D(n%/AZ) в интервале управления, достаточно рассчитать среднее ее значение между началом и концом интервала управления. Не внося существенной методической погрешности, можно составляющие третьей суммы в (5) уменьшить в два раза, а выражение для дисперсии ДП%/А£) рассчитать для времени, соответствующего середине интервала управления, то есть для Тс = Т + 0,5. Проделав это, окончательно получим:
+ Т,с/4^ш2Ш(р/)
м
+ Т2с/2¿ш/aj\jijOjD(diO)D(djO) + J +
+ Г2 / 2 со/рЭ (ДО) + (2Т + I)2 / 4D (ai) + 2
+ (r + l)3-r3J /9Д(рг)
+
I-1 1 l1/2
njQyjD(diQ)D(djO) l
(7)
Выражение для доли собственного капитала к в конце интервала управления можно получить из выражения (5), приравняв П%/А£ к нулю, в виде:
к =
X xOi{diO + ai (27* + l) / 2 + р/[(Г + l)3 - 7"3 /=1 L
/3 +
/ 3} + ¿ ш/|л-0(2Г + 1) / 2 + ai [(Г + l)3 - T2
{T + l)4 - Г4) / 4 }-rf>i{</iO + J ' j=i
а/(2Г + 1) / 2 + р/[(Г + l)3 - T3 /3 J ] / Ck (8)
+ p /
(6)
При решении задачи синтеза структуры активов и пассивов на линейные коэффициенты изменения доли актива или пассива должны быть наложены ограничения вида со/ min < оо/ < со/ max. Ограничения должны быть наложены также на сумму долей всех активов и на сумму долей всех пассивов. Если нумеровать виды активов, начиная с единицы до т, а виды пассивов с т+1 до п, то ограничения примут вид:
т it
X (jtO / + шТ) = ХА £ (хО/ + ю/ Т) = ХР (9)
/=1 i=m+l
Очевидно, что суммы долей активов ХА и пассивов ХР не могут превышать единицы. Так как не все активы являются работающими и не все пассивы платными, то ХА и ХР обычно лежат в диапазоне от 0,85 до 0,95. Ограничения (9) задают требования на конец периода, в течение которого будет осуществляться постепенное изменение структуры активов и пассивов.
Дадим часть реализованных в подсистеме математических формулировок задачи синтеза структуры активов и пассивов по квадратичным стохастическим моделям. Синтез по критерию максимального отношения процентной прибыли к суммарным активам
Для m видов активов и п-т видов пассивов найти такие значения col; ю2;... со/;... соп из диапазонов со/ min < со/ < ю/ max, которые обеспечивают
П% / AS = Z xOi{diO + ai (2Т +1) / 2 + /=1
+ ß/|(Г + I)3 - Г3] / 3} + pai{diO(2T +1) / 2 +
+ а/ [(Г +1)3 - Г3] / 3 + ß< [(Г +1)4 - Г4] / 4} -
- г|>/{й?/0 + а/(2Г +1) / 2 + р/Г(7* + I)3 -,=1 I
-Тг ]/3 к X Ос-
тах
при
о(П% /Ах) = 7с J ¿х20гД(<й0) + 12с/ 4£х20Ш(а/) +
Lu-i /=i
+ 7*с/9£х20Ш^г) + 2]Г х0< хОj\nj0^D (diÖ) Д (#0) j +
-T2c/4
¿со2Ш(Л0) + Гс / 2,25£ш2/ Z)(ou) -i=l 1=1
Vc/4^co2/Z)(ß/) + T^c / 2^coi i=l _ /</
гш +
ri/tyZ)(di0).D($0) + I + Г2 /2|£<a/[/>(<ff0) +
(2Г + if / 4Я(а/) +[(Г +1)3 -12 J / 9D(ßi) J +
+ 2^ö» шi rijü^D[diQ)D{djü) j I J/2 <о(П%/Ах) зад.
m n
И £ (хО/ + со/ Г) = Х4 X (хО/ + со/ Г) = ЛУ i=l i=m+1
Синтез по критерию минимального суммарного процентного риска
Для m видов активов и п-т видов пассивов найти такие значения ш1; ю2;„. со/;... соя из диапазонов со/ min < ю/ < со/ тах, которые обеспечивают
ст(П% / AS) = Тс \^xOiD(diO) +Т2с / 4£х20/Д(ш) +
[[/=1 /=1
+ Г4с / 9£х20//)(ßi) + хО/хОj -£ ш2Ш(Л0) + Г2с / 2,25£ со2Ш(а/) +
+ Т с/4
+ Г с/4£а> i'Z>(ßi)
(=1
+ Г2с/2£аию/
К/ L
+ Т2 / 2|£аи D(diO) + (2Т +1)2 / 4Я(ш) + ^(Г +1): / 9Z)(ß/) + 2g ш со/ rijQ^D(diO)D(djO) j j J'*
з тъ
■ min,
при
П% / AS = ¿хО/{ЛО + а((2Г + 1) / 2 + ß/ (Г + I)3 - Г3 / 3}
/=1
/3 +
+ ¿аи{Л0(2Г +1) / 2 -кх/ (Г +1) - Т + ßijjr + I)4 - Г4 j / 4} - toi {¿¡О + ш(2Г +1) / 2 -(Г + 1)3-Г3 /3}-A:xGfc>(n%/As) зад.
-ßi
m
и Х(й' + (о(Т) = » 2 (хО/ + со/ Г) = ХР /=1 i=m+1
Синтез по критерию максимального роста собственного капитала
Для m видов активов и п-т видов пассивов найти такие значения col; ю2;... со/;... соя из диапазонов со/ min < га/ < со/ тах, которые обеспечивают
к = ¿xO/i ДО + ш (2Г +1) / 2 + ßi (Т + I)3 - Г3 / 3 I + ¿со/|дО(2Г +1)/ 2 + о/ (Г +1)3 - ТЪ / 3 + (Г +1)4 - Г41 / 4 1 - coliДО + ai (2Г + 1) /
J J î=I
+ ßi
/ 2 + ßi
(Г +1)3 - 7*3 /3}/Ck=>max
при
ст(П% / AS.) = Тс
£ (ДО) + Т 2с / 4£ x20iß(ai)
(=1
¡=1
Г4с / х20iD(ßi) + 2£ xOiхОj rijü jD(diO)D[djti)
/=l
+ 7c/4
£ со2Ш (ДО) + 7"c / 2,25£ awZ)(ai) +
2-r
.'=1
(=1
- Г 4c / 4 mD (ßi)
i=i
Г2с / 2£ шay ri/0 Jz> (¿/0)0(4/0)
2
+ T / 2||j coi [Л (ДО) + (2Г +1) / 4 D (ai) + (Г + l) - 7 / 9Z)(ßi)J + 2£ со/со/ л/O (Д0)0 (i#0) j J j <, ст(П% / А£)зад.
И £ (xOi + шТ) = ХА £ (xOi + coi T) = XP
1=1 1=Ш+1
Отметим, что при любой постановке задачи синтеза ограничения со/ min < со/ < со/ шах могут иметь вид aw < ом < юг, что равносильно условию со/ = const, то есть постоянству соответствующей доли актива или пассива хО/. Таким же образом можно сформулировать задачу синтеза только активов или только пассивов.
В табл. 1 приведены данные по фактическим и модельным значениям показателя эффективности П%/АХ для варианта использования линейных моделей за несколько месяцев, на основе которых получено среднее значение абсолютной погрешности 0,238% за месяц. Значения долей активов и пассивов точно совпадают с фактическими на начало и конец каждого месяца (интервал управления). В табл. 2 приведены аналогичные данные за тот же период (все входные данные для синтеза одинаковы) для варианта использования квадратичных моделей. Среднее значение абсолютной погрешности здесь составило 0,166% за месяц.
Важно отметить, что при одинаковых требованиях по допустимой величине абсолютного значения риска снижения показателя эффективности n%/AZ, квадратичные модели позволяют сократить число видов активов и пассивов в подсистеме синтеза по сравнению с линейными моделями почти в 1,95 раза.
Таблица 1
Фактические и модельные значения показателя эффективности работы банка для варианта использования линейных моделей
Показатель эффективности (%П/АX)
Месяц % Доходы % Расходы % Приб. Грязн. Активы Месяц Факт Модель Абс. риск
01 сен. 99 46 846 45 274 1 572 66 375
01 окт. 99 52 767 50 639 2 128 67 590 Сентябрь 0,830
01 ноя. 99 58 800 56 508 2 292 72 977 Октябрь 0,233 0,855 0,622
01 дек. 99 63 129 60 755 2 374 76 897 Ноябрь 0,109 0,239 0,130
01янв. 2000 68 347 65 817 2 530 78 078 Декабрь 0,207 0,048 0,160
01 фев. 2000 13418 10 532 2 886 82 931 Январь 0,077 0,120 0,043
Среднее значение: 0,238
Таблица 2
Фактические и модельные значения показателя эффективности работы банка для варианта использования квадратичных моделей
Показатель эффективности (%П/АХ)
Месяц % Доходы % Расходы % Приб. Грязн. Активы Месяц Факт Модель Абс. риск
01 сен. 99 46 846 45 274 1 572 66 375
01 окт. 99 52 767 50 639 2 128 67 590 Сентябрь 0,830
01 ноя. 99 58 800 56 508 2 292 72 977 Октябрь 0,233 0,422 0,189
01 дек. 99 63 129 60 755 2 374 76 897 Ноябрь 0,109 0,352 0,243
01 янв. 2000 68 347 65 817 2 530 78 078 Декабрь 0,207 0,163 0,044
01 фев. 2000 13418 10 532 2 886 82 931 Январь 0,077 0,266 0,189
Среднее значение: 0,166
