CC BY
21
1/2П11 ВЕСТНИК
_угогт_мгсу
ПРОТОРОМБОИД-КОНСТРУКТОР ФОРМОГРАФИКИ ЭНАНТИОМОРФНЫХ ПИРАМИД
PROTORHOMBOID-CONSTRUCTOR OF THE FORM-GRAPHICS OF THE ENANTIOMORPHIC PYRAMIDS
Ю.Н. Филин, Н.С. Картавцев, И.С. Картавцев Y.N. Filin, N.S. Kartavtsev, I.S. Kartavtsev
ГОУ ВПО МГСУ
Авторы статьи применяют Проторомбоид-конструктор для построения про-ективографического чертежа грани Звездчатого Изоромбоидного Суперкомпакта с конструктивным образованием компонентной формографики энантиоморфных пирамид.
The article authors used Protorhomboid-constructor to construct the projectivegraphy of a face of The Star-like Isorhomboidal Super-compact with constructive formation of the component form-graphics of the enantiomorphic pyramids.
Проторомбоид-конструктор, успешно применяемый ранее для эстетизации формографики компонентных тетраэдров [2], в силу своей универсальности может широко использоваться в геометрическом моделировании и решении формообразующих задач. Рассмотрим применение Проторомбоид-конструктора (ПР-конструктора) для решения конкретной формографической задачи: построения производно восполняемого однотипного основания для двух конструктивно разделенных энантиоморфных пирамид (Прим. 1), извлекаемых из октаэдрического ядра условно представленного Звездчатого Изоромбоидного Суперкомпакта (Звездчатого ИРСа) (Рис.1).
Рис. 1. Изображение конструкции Звездчатого ИРСа
ВЕСТНИК 1/2011
Построение производится на основе последовательного сложения трех проекти-вографических изображений (задаваемых ПР-конструктором), поэтапно компонуемых в форму треугольника для образования однотипного рисунка формографики единичной грани условно представленной модели Звездчатого ИРСа. Затем в составе этой грани фрагментарно определяется геометрический рисунок единичной грани центрального октаэдрического ядра, одновременно являющийся и рисунком однотипных граней двух энантиоморфных пирамид, что позволяет образовать формографику всей четырехгранной боковой поверхности каждой из пирамид. В конечном итоге, на основе формографики боковой поверхности находится искомое основание пирамиды.
Для решения актуальной геометрической задачи образования формографики энантиоморфных пирамид, получаемых разделением бипирамиды (Прим. 2) октаэдрического ядра и достраиванием квадратного основания для каждой из них, применяется универсальный ПР-конструктор. В частности, для создания проективографического чертежа грани Звездчатого ИРСа и последующего извлечения формографики единичной грани формируемых пирамид.
Достраивание однотипных оснований пирамид октаэдрического ядра связано с необходимостью визуализации скрытой от восприятия геометрической информации, т. е. с восполнением структур моделей пирамид, конструктивно воспроизводимых на основе всей сформированной компонентной формографики (Прим. 3).
Построение проективографии изображения единичной грани компонентной формографики Звездчатого ИРСа предполагает трехкратное применение проективографии Проторомбоид-конструктора. Напомним, что ПР-конструктор представляет собой устройство конструктивного преобразования объемной конструкции шестигранного ромбоида (составленной из компонентно сдвоенной пары трехгранных сборно-разборных углов) в плоскую фигурную матрицу для образования проективографического изображения по аналогии с уже известным Протокуб-конструктором [3]. В обоих устройствах реализуется метод конусно направляемого послойного кассетирования граней трехгранного угла [1]. В ПР-конструкторе, как и в его предшественнике, две складываемые в параллельных плоскостях кассеты (зеркально располагаемые друг против друга) и вращаемые на параллельных диагоналях своих плоскостей, совмещаются в единую плоскость с частичным наложением и образованием пересеченной фигуры. ПР-конструктор существует в двух основных состояниях:
а) обычное состояние, т. е. не преобразованное, где ПР-конструктор представлен в виде объемной формы известного шестигранного ромбоида (Рис. 2);
б) сложенное состояние, полученное сворачиванием двух трехгранных углов в две плоские кассеты, которые затем частично накладываются друг на друга с образованием плоской восьмиугольной фигуры (Рис. 3).
Рис. 2. Объемная модель ромбоида
1/2п11 ВЕСТНИК
_у201]_мгсу
Рис. 3. Исходный трехгранный угол и восьмиугольная фигура из сложенных
кассет
Обычное состояние сборно-разборного Проторомбоид-конструктора дает ясное представление об объемной форме модели - ромбоиде и о компонентно составленном его устройстве в виде локализованных и в дальнейшем преобразуемых трехгранников.
Второе состояние ПР-конструктора используется для получения проективографи-ческой матрицы (пр-матрицы). Для этого плоская восьмиугольная фигура (Рис. 3) графически достраивается до необходимого проективографического изображения в виде линейно завершенного дискретного ромба, образованного естественным продолжением всех сторон исходной фигуры до их пересечения (Рис. 4).
Рис. 4. Проективографическая матрица
В дальнейшем будем использовать пр-матрицу для поэтапного построения чертежа грани Звездчатого ИРСа. С этой целью рассмотрим три положения пр-матрицы, последовательно перемещаемой в пределах двухмерной плоскости чертежа. На Рис. 5 показано компонуемое построение проективографического чертежа грани путем последовательного перемещения данной пр-матрицы. Для этого на плоскости чертежа вначале объединим два изображения этой пр-матрицы, накладывая одно на другое под углом в 120 градусов, а затем под тем же углом добавляем к ним третье изображение этой же пр-матрицы с завершением образования общего проективографического чертежа для рисунка формографики единичной треугольной грани Звездчатого ИРСа.
ВЕСТНИК 1/2011
МГСУ 1/2011
Рис. 5. Последовательное построение треугольной грани Звездчатого ИРСа
Далее извлекаем из полученной грани Звездчатого ИРСа интересующий нас треугольный фрагмент - единичную грань октаэдрического ядра изомодели. На основе этой же грани будет формироваться четырехгранная боковая поверхность одной из энантиоморфных пирамид (пока не имеющей основания). На Рис. 6 дано изображение единичной грани Звездчатого ИРСа с треугольным фрагментом грани пирамиды (октаэдрического ядра) в ее составе.
Рис. 6. Грань пирамиды, извлеченная из состава грани Звездчатого ИРСа
В основе процесса формообразования изомоделей многогранников и их структурных фрагментов лежит авторский способ модульного геометрического формирования звездчатой конструкции многогранника Кеплера «Stella octangula» в виде связки из четырех пересекающихся ромбоидов с производно образуемым центральным октаэд-рическим ядром. Авторский способ модульного построения не противоречит общепринятому образованию звездчатого октаэдра Кеплера, в котором грани исходного октаэдра продолжаются до их вторичного самопересечения. Авторы обосновывают применяемый ими модульный способ формообразования и структурного усложнения многогранника Кеплера оптимально возможным представлением графической информации, заключенной в исходной геометрии ромбоида.
Итак, из полученной единичной грани Звездчатого ИРСа извлечен центральный треугольный фрагмент, являющийся гранью октаэдрического ядра, а также единичной гранью образуемой боковой поверхности энантиоморфной пирамиды.
Далее формируем четырехгранный угол для одной из двух пирамид (еще не имеющих оснований) способом объединения всех четырех граней по их ребрам с образованием боковой поверхности (Рис. 7).
1/2011
ВЕСТНИК
_мгсу
Рис. 7. Боковая поверхность четырехугольной пирамиды
Затем конструктивно достраиваем формографику недостающего квадратного основания пирамиды с целью получения замкнутой геометрической формы. Делаем это с применением вспомогательных построений на основе имеющегося рисунка формо-графики на гранях боковой поверхности.
Таким образом, восполненная формографика недостающего основания позволяет завершить итоговую структуризацию пирамиды на основе формографики всех ее пяти граней (Рис. 8).
Рис. 8. Пирамида с достроенным основанием
Две раздельно построенные пирамиды могут быть объединены в бипирамиду (ок-таэдрическое ядро Звездчатого ИРСа) с совмещением их оснований (Рис. 9). В результате этого образуется общая плоскость с ее геометрическим центром, совпадающим с центром многогранной конструкции.
ВЕСТНИК 1/2011
В итоге успешно решена геометрическая задача построения производно восполняемого однотипного основания для двух конструктивно разделенных энантиоморф-ных пирамид.
В результате изложенного можно сделать вывод, что ПР-конструктор как универсальное устройство или инструмент образования графических изображений многогранных моделей позволяет эффективно строить проективографию для рисунка граней различных многогранных моделей, а также дает возможность получать эстетическую компонентную формографику многогранных моделей, в частности, четырехугольных пирамид (Рис. 10).
Рис. 10. Четырехугольная пирамида с эстетической формографикой Примечание:
1. Энантиоморфный - термин, выражающий свойство быть «правым» или «левым» экземпляром, подобно двум перчаткам одной пары или предмету и его отраже-
1/2011 ВЕСТНИК _у2011_мгсу
нию в зеркале, иначе говоря, обладает зеркальной симметрией. Энантиоморфность обычно рассматривается на абстрактных моделях и может представлять идеальный вариант компонентности, трудно достижимый в реальности.
2. Бипирамида - многогранник, образованный из двух п-угольных пирамид, которые сложены равными основаниями (и находятся по разные стороны от общего основания). Пример рассматриваемой бипирамиды - многогранник октаэдра, гранями которого являются восемь равносторонних треугольников.
3. Компонентная формографика как геометрическое понятие складывается из конструктивно формируемого единства внешней и внутренней формы в виде двух компонентных составляющих многогранной модели, с производным образованием на ее поверхности условной, компонентно организуемой линейной графики.
Литература
1. Гамаюнов В.Н., Филин Ю.Н. «Проективография конфигурации Дезарга», статья из Сборника МИСИ «Формообразование в строительстве», Москва; МИСИ, 1987.
2. Георгиевский О. В., Филин Ю. Н., Картавцев Н. С. «Эстетизация формографики компонентных тетраэдров, /Изоконструктор Звездчатого КИРСа/, Научно-технический журнал Вестник МГСУ, №4. Т.1 2010. Периодическое научное издание. Москва, МГСУ.
3. Москвин М. А., Филин А. Ю., «Протокуб-конструктор» - прототип модели «Изокуб», статья из Сборника научных трудов Тринадцатой международной межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов (14-21 апреля 2010), Москва; МГСУ, Изд-во АСВ, 2010.
Bibliography:
1. Gamayunov V.N., Filin Yu.N. "Design-graphics of the Dezarga Configuration" (article). "Formorganization in Construction" Conference Collection MSCI, Moscow; MSCI, 1987.
2. Georgievskiy O.V., Filin Yu.N., Kartavtsev N.S. "The aesthetic aspect of the form-graphics of component tetrahedrons /Graphics designer of the Star-like Quadroisorhomboidal Super-compact/"-«Vestnik MGSU», №4. T.1 2010. - Moscow; MGSU, 2010.
3. Moskvin M.A., Filin Yu.N. "Protocube - Constructor" - a Prototype of the Isocube Model" (article). The Collection of the 13-Th International University Conference of Young Scholars and Post Graduates, Moscow. - MSCU, "ASV" Publishing House, 2010.
Ключевые слова: построение проективографии, Звездчатый Изоромбоидный Суперкомпакт, модель многогранника Кеплера «Stella octangula», Проторомбоид-конструктор, компонентная формографика, метод конусно направляемого послойного кассетирования граней трехгранного угла, эффективный инструмент архитектурного проектирования.
Key words: construction of the projectivegraphy, The Star-like Isorhomboidal Super-compact, model of the Kepler's polyhedron "stella octangula", Protorhomboid-constructor, component form-graphics, method of the conically directed layer-by-layer cassetting of the trihedral angle sides, efficient instrument of the architecture design.
E-mail авторов: [email protected]
Рецензент: В.И.Веселов кандидат физико-математических наук доцент, зав. секции Инженерной графики каф. Технологических инноваций РЭУ им. Г. В. Плеханова
