ПРОСТРАНСТВО HP РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика & Физика, 2022, том 54, №1. С. 33-39.

УДК 517.946 DOI 10.52575/2687-0959-2022-54-1-33-39

MSC35K65

ПРОСТРАНСТВО Нр РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Т. В. Капицына

(Статья представлена членом редакционной коллегии А. П. Солдатовым)

Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»,

Москва, 111250, Россия

E-mail: [email protected]

Аннотация. В цилиндре Q, основание которого ограничено ляпуновской поверхностью, рассматривается параболическое уравнение второго порядка, вырождающееся по касательным направлениям к границе основания. Для решений этого уравнения по аналогии с эллиптическим случаем вводится класс Нр. Установлен критерий принадлежности функций этому классу. Приводятся условия однозначной разрешимости задачи с граничными и начальными условиями, понимаемыми в смысле Ьр.

Ключевые слова: вырождающиеся параболические уравнения, второй порядок, граничные значения в смысле 12, ляпуновская граница, начальные и краевые условия

Для цитирования: Капицына Т. В. 2022. Пространство Нр решений вырождающихся параболических уравнений. Прикладная математика & Физика. 54(1): 33-39. БОТ 10.52575/2687-0959-2022-54-1-33-39

THE SPACE Hp OF SOLUTIONS OF DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS

Tatyana Kapitsyna

{Article submitted by a member of the editorial board A. P. Soldatov)

National Research University «Moscow Power Engineering Institute», Moscow, 111250, Russia E-mail: [email protected] Received February, 26, 2021

Abstract. Considered a second-order parabolic equation in the cylinder Q whose base is bounded by the Lyapunov surface. It is assumed that this equation is degenerated with respect to tangential directions to 5Q. The class Hp is introduced for solutions of the equation analogously to elliptic case. The criterion of belonging of functions to this class is established. The conditions of unique solvability of the problem with boundary and initial conditions, understood in the sense of Lp, are given.

Key words: degenerate parabolic equations, second order, boundary values in the sense of L2, Lyapunov boundary, initial and boundary conditions

For citation: Kapitsyna T. V. 2022. The space Hp of solutions of degenerate parabolic equations. Applied Mathematics & Physics. 54(1): 33-39. (in Russian) DOI 10.52575/2687-0959-2022-54-1-33-39

Пусть Й — ограниченная область К", граница которой принадлежит классу С1+л, 0 < X < 1. Рассмотрим в цилиндре Q = Й X (0, Т) параболическое уравнение второго порядка

ди п п

- ^ (а1]иХ])Х1 + ^ ащХ1 + аои = / (1)

=1 1=1

с вещественными коэффициентами аце С1 (0) и ао е С(0). Условие параболичности заключается в том, что квадратичная форма

п

{а(х,Г)£,£> = 2 аИ(х,*)6

У=1

положительно определена во всех точках цилиндра, т. е.

{а(х,г)££> > Г(х,г)

с некоторой положительной непрерывной функцией у(х, £). Эта квадратичная форма может вырождаться, т. е. у(х, 0 ^ 0 при (х, £) ^ ЗЙ X (0, Т). Однако, будем предполагать, что существует такая постоянная у0 > 0, что

< а(х, 0у(х), у(х)) > уо,

где \>(х) означает единичную внешнюю нормаль к границе ЗЙ области Й. Таким образом, на боковой поверхности цилиндра допускается вырождение трикомовского типа.

Как известно [2], под обобщенным решением уравнения (1) понимается функция и е ),

удовлетворяющая интегральному тождеству

/

- иr]t + (aVu, V г]} +

Z

1=1

О* т üv

г] + а0 г]

dxdt = J f rjdxdt.

(2)

В дальнейшем удобнее вместо расстояния г(х) от точки х е Й до границы ЗЙ пользоваться специальной функцией р(х), которая определяется как решение задачи Дирихле

АР = -1 р\зй = 0.

в области. Хорошо известно [3], что эта функция принадлежит классу С(Й) и эквивалентна расстоянию г(х), т. е. существует такая постоянная уг > 0, что для всех х е Й выполняются неравенства

у-1 г(х) < р(х) < угг(х).

При этом для ее вторых производных справедлива оценка

С (Я')

| Pvt XJ I <

0 < X < X,

[ г(х)]1-А'

с некоторой постоянной С = С (У). Кроме того, в силу леммы Жиро [4]

др

dv

< 0.

(3)

эп

В дальнейшем удобно предполагать, что функция продолжена нечетным образом за границу области дЙ на все пространство К" с сохранением класса Сг.

Для достаточно малых 8 > 0 рассмотрим семейство подобластей Й§ = {х е Й, р(х) > <5}, которые в силу эквивалентности р(х) ~ г(х) сходятся к Й при 8 ^ 0. При этом граница дЙ§ совпадает с поверхностью уровня р = 8. Зафиксируем точку х0 е дЙ с нормалью V0 = \>(х°) и рассмотрим в окрестности этой точки замкнутой области Й локальную систему координат у = (уг,.. .,уп) = (у', уп) с началом в точке х0, в которой ось уп направлена вдоль нормали V0. Функцию (р(х) -8) в этих локальных координатах обозначим Я(8, у', уп). Поскольку

iö [?(x)-S]

dR

дУп

(5,0,0)

на основании (3) не ограничивая общности можно считать, что

dR

дУп

<0

всюду в рассматриваемой окрестности точки .

Поэтому по теореме о неявной функции существуют такие положительные числа 0, 0, 0 и функция ф(8, у') е С1+А([0, <50] X {|у'| < г0}), по модулю не превосходящая я0, что

В(х0) = Й П({1у'1< Г0}х{1уп1< 30})

является замкнутой областью, в которой при 0 < 8 < 80 уравнение Я(8, у', уп) = 0 запишется в форме уп = ф(8, у'). Уменьшая при необходимости параметры г0 и 80, можем таким образом считать, что при 0 < 8 < 80 пересечение В(х0) П дЙ§ представляет собой поверхность Г(х0), которая описывается уравнением уп = ф(8, у'), 1у'1 < г0. При 8 = 0 символ нуль в обозначениях опускаем: Й0 = Й и Г0 (8) = Г(8).

В локальной системе координат отображение (у',ф(0, у')) ^ (у',ф(8, у')) осуществляет диффеоморфизм Г (х0) ^ Г (х0) класса С. В исходной системе координат его обозначим х ^ х§, геометрически это отображение представляет собой проектирование вдоль направления V0 поверхности Г(х0) на Г(х0).

0

Обратимся к уравнению (1) и опишем условия, накладываемые на его правую часть f. С этой целью введем пространство Ьрд, полученное замыканием класса С) по норме

So So

\f \ = \f \ l2 (Qáo X[ 8o,T])+J t\f \ Lp (aat X[ t,T])dt + J J \f [x,t] \p r (x)dx

o

Q

1/2

dt,

\ f \ =

где предполагается 80 < Т. Введем еще пространство Ър р), полученное замыканием класса С) по норме

/ \1/2 У \/(х)\2р (х)дх .

\е

Функцию / в правой части уравнения (1) и тождества (2) будем предполагать принадлежащей пространству !рд.

Обозначим Нр ) класс всех функций и е Мр^с), для которых величины

т'

М8 (и) = ! У 1и |рdxdt + ! 1и (х,8)р (х^х, 0 < 5 < 80 (4)

8 П^

равномерно ограничены при любом фиксированном Т' е (80, Т).

Введенное понятие класса Нр применительно к эллиптическим уравнением обобщает классическое определение для аналитических и гармонических функций. В работах В. П. Михайлова и А. К. Гущина ([4] при р = 2) и [1] в общем случае р > 1) для областей класса С2 было получено необходимое и достаточное условие принадлежности функции и классу Нр. Оно заключается в конечности интеграла

У р(х)1и 1р-2\Чи\2dx. (5)

п

Позднее этот факт был распространен И. М. Петрушко [5, 6] на случай областей с ляпуновской границей. Применительно к параболическим уравнениям в работе [7] это условие сводится к конечности интеграла

т '

У У р(х)(\и\р-2\Чи\2)(х, о п

для любого Т' < Т. Некоторые специальные случаи вырождающихся эллиптических и параболических уравнений также охвачены в работах И. М. Петрушко [8] и И. М. Петрушко, Т. В. Капицыной [9].

В данной работе указанные результаты распространим на более общий случай вырождающегося уравнения (1). Отметим, прежде всего, что в силу параболичности уравнения (1) в цилиндре Q имеет место следующее предложение.

■p,i

Lpjос(Q). Тогда для любых o < 8 < So < Т' < Т справедливо равенство

Лемма 1. Пусть и(х,1) е о) является обобщенным решением уравнения (1) с правой частью / е

1У \и (x,T')\p (р (х)- 8)dx - "У \и (x,8)\p (р (х)- 8)dx+

Qs Qs

ЯП п

^ a¡jUXiUXJ\и\p~2(р(х) - S)dxdt - S\и\p ^ a¡(at(р - 8))Xidxdt

S QS

T' T'

- lf / X [aii \u\pdsdt - lf J 2 (aiipxt )*j\u\p dxdt+

„ J=" S Qs hJ=

T ' T '

+ Ц a\u\p(P - 8)dxdt =¡ Jfu\u\p-lsgnи(P - 8)dxdt. (6)

5 Qs в(8) Qs

Доказательство этой леммы с некоторыми незначительными изменениями осуществляется аналогично лемме 1 из [7] и потому опускается.

Теорема 1. Пусть функция и(х, Х) е с(0*) является обобщенным решением уравнения (1) с правой частью/ е ЬрЛ^). Тогдаи принадлежит классуНр тогда и только тогда, когда

1 п

У | и(х,Т')1рр(х)<!х + ^ У ^ а1]иХ1иХ] 1и 1Р-2г(х)йх^ < ж.

8 Й и=1

Доказательство. Обозначим через

Мз (и) = тах

0<ц< 5о

/ / | и 1Р йьI и (х, ц)1р (р-ц) ± и идЙи и

(7)

1 п

Ы8(и) = ! У ^ а1}иХ1иХ]Мр-2(р - 8)с1хс11 + ^ и(х,Т')\р(р - 8)<1х. 8 Й5 и=1 Й5 Утверждается, что для любого 8, е (0,80] и для любого Т' е (Т/2, Т) справедливы оценки

(8)

0< ¡!< 80

тах М8(и)+ / ^^ (р - 8)йхс1х < С2 •

Р

+

8 Й

1

I мр

и,1оС (О) 'у J (р - 8)1-х' 8 Йз

■ + Ы5(и)\; (9)

Ц\ (р

Ы5(и)+ / Мр(р-8)йхс1х <Сз

Р

+

8 Й

1

I и ^

и,1оС(О) ' ] ] (р - 8)1~х' 8 Йз

■ йх Л + М§ (и)\ +

р

и,1ос (О)

1 '

ы(р-1)/р (и) +

\(р-1)/р

//к

и^(р - 8)с1хс11

\8 Пз

(10)

В самом деле, введем обозначение

М+(и) = тах Ма (и).

° 0<ц< 80

Так как

1

У У т Мр (р-8) йх&< [ (М5 (и))(р-Г)/р + \\и\\(р-1)р1р (Й0 х(80,Т')) ] \\/\\ЬрЛ (о ), (11)

5 Пз

то из (9) имеем

М+(и) < С,{[(М„(и))"-1]/' + М1'-"/чг(йЛ х (30),Т')] НЛк,,,о,

+* (и)+! !

8 Пз

Следовательно,

М++(и)<С4 о)+ * (и) + / / ,

(12)

5 Пз

что и требовалось доказать.

Покажем далее, что для любого > 0 найдется такое 2, зависящее от , что

1

и ^

8 Йз/Йз2

р1-х'(х)

<!х й f < е

1

\\Л\1РЛ О)+ (и)+//

5 Пз2

р1-х'(х)

+

+

Р

Действительно, воспользуемся неравенством

т

8 Пз/Пз2

\ и\р

р1-Х'(х)

йх Л < С0

0 т' 0

I /1 \ и\р й$ **+! и (р йх

1-Х'

Пз 8 ЭПц

Со^Х'

А'

йир М(р) < Со8Х

8 <ц< 82

т

С ( е) + Ъ(и) + / I

\ М р

8 П з2

р1-Х'(х)

Выбирая 2 = (и уменьшая ее, если нужно, чтобы 2 < 0), в результате получим оценку (13). Очевидно, достаточность теоремы сводится к следующей оценке

т

М8 (и)+! У \и\р (р-8)<Ъ&<Са (\\П\[рл (&+ N8 (и)) .

(14)

8 П з

Для ее доказательства рассмотрим функцию и(х, 0 = и(х, 0е , А > 0. Функция и(х, 0 является обобщенным из ) решением уравнения

д® П П - X ( а;)*] + X Щ^ + (а- Х)Ю = ?^ = &

и]=1 1=1

и, следовательно, для него справедливо равенство (см. лемму 1)

Т' п Т'

—// \ю\р + — /\ю(х' ^ (р-5) йхйг+х\/\ю\р (р-8) Лх^ =

8 ЭП8 1'^=1 Пз 8 Пз

Т' п

= (Р- 1)1 [ X аиох,Ох,Мр-2(р(х)-8)АхИ + — [ Кх,Т')\р(р - 8)йх+ и и ■ ■ 1 р и

8 Пб 7 П5

Т ' п Т '

+ \\ ^ а'иХ}\и\Р-1 (Р - + J У а\и\р(Р - й)

8 П3 1 1 8 П3

—// ^ ()х]\г)\Р йх йх + \ У ^-1§8П ®(Р-8)(15)

8 П з 1'^=1 8 П з

Из (14) легко следует неравенство

Т

| | (

—М11(и)+А I I \и\р(р-8)<1х<1г <Сэ

8 П з

Т'

\\fWl 1 (е)+ ^Ы + / /

8 П з2

(16)

из которого, с учетом (11) - (13), вытекает

Т

.//мр (

—Мц(и) +А/ I \и\р(р-8)<1х<1г<С9

8 П 3

Т'

\\fWLiе)+ Ъ(г}) + / /

\ \ р

8 П&

р1-Х'(х)

<С—

Т'

П\[рле)+ N8(^+01—1 У Ир(р-8)*х&

\ 8 П8г ]

Таким образом,

Т

—М, („) + (Л-С—2){ У Ир (р-8)йх(И<С1Ъ (У/1 \\[р1 е)+ N8(0)).

8 П з

Выбирая X настолько малым, чтобы X - С12 > 1/2 и, учитывая, что и(х, ^ = и(х, ¿)е , получаем (14). Что касается необходимости условия теоремы, то она легко получается из оценки

i

NSM + J J \u\p(p-5)dxdt<C(Wf\\PLpi(q) + \\и fLp

+ \ \ u (*,s \ \ Pp (Q)).

5 ns

Заметим, что ограниченность первого слагаемого в правой части (4) можем выразить в следующей эквивалентной форме: для любой точки 0 е Й интегралы

1

J J \и(xs, t)\pdxdt

8 Г (х0)

равномерно ограничены. Последнее обстоятельство позволяет ввести понятие обобщенных граничных значений.

По определению для заданной функции ф е Ьр(дЙ) X [0,Т] функция и е с(<2) принимает обобщенное граничное значение ф (в смысле Ьр) на боковой границе цилиндра Q, если для любой точки х0 е дЙ и для любого Т' < Т имеет место предел

dt = 0.

Кт У У |и(ха, 0 - ф(х, t)|pdx

8 Г )

Этот факт записываем в форме

и\эпх[0,т ] =ф. (17)

Аналогично вводится и принятие начального условия

и \ =0 = и0 (18)

в смысле Ър с весом р. По отношению к заданной функции и0(х) е Ьр (Й, р) оно определяется условием

Кт |и(х, 8) - и0(х)\рdx = 0.

5^0

Пользуясь теоремой 1, аналогично [7] можно установить однозначную обобщенную разрешимость рассматриваемой задачи.

Теорема 2. При любых ф е Ьр (дQ х (0, Т)), и0(х) е Ьр^, г) и любой /(х, ^ е Ьр>1 ^) П Ьр,10СШ) первая смешанная задача (1), (17), (18) имеет обобщенное из ) решение. Это решение единственно и для

него справедлива оценка

1 ' п

5™!^ \ и\\(8) + \ \ и(х,8\ \ 1Р(О,г)] +/ У Ё а^их>^ ^~Гг(х)<1х^+

8) Й 1']=1

1 '

+ У У | и^ г(х)dxdt<С[\\/\\Р1рлШ) + \\ф\\Р1р(дПзх10Х)) + Ш\[рш,г)].

0 п

Список литературы

1. Гущин А. К., Михайлов В. П. 1979. О граничных значениях в Ьр, > 1, решений эллиптических уравнений. Математический сборник, 108(150): 3-21.

2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева П. И. 1967. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 736.

3. Миранда К. 1957. Уравнения с частными производными из эллиптического типа. М., Изд-во иностранной литературы, 255.

4. Михайлов В. П. 1976. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей. Математический сборник, 101(2): 163-188.

5. Петрушко И. М. 1982. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей. Математический сборник, 119(161): 48-77.

6. Петрушко И. М. 1983. О граничных значениях в Lp, р > 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей. Математический сборник, 120(162): 569-588.

7. Петрушко И. М. 1984. О граничных и начальных условиях в Lp, р > 1, решений параболических уравнений. Математический сборник, 125(4), 489-521.

8. Петрушко И. М. 1999. О существовании граничных значений решений вырождающихся эллиптических уравнений. Математический сборник, 190(7): 41-72.

9. Петрушко И. М., Капицына Т. В. 2005. О первой смешанной задаче для вырождающихся параболических уравнений. Сборник «Неклассические уравнения математической физики», Новосибирск: 207-218.

References

1. Gushchin A. K., Mikhaylov V. P. 1979. O granichnykh znacheniyakh v Lp, p > 1, resheniy ellipticheskikh uravneniy [On the boundary values in Lp ,p > 1, solutions of elliptic equations]. Matematicheskiy sbornik, 108(150): 3-21.

2. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural'tseva P. I. 1967. Lineynyye i kvazilineynyye uravneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasi-linear equations of parabolic type]. M., Nauka, 736.

3. Miranda K. 1957. Uravneniya s chastnymiproizvodnymi iz ellipticheskogo tipa [Partial differential equations of elliptic type]. M., Izd-vo inostrannoy literatury, 255.

4. Mikhaylov V. P. 1976. O granichnykh znacheniyakh resheniy ellipticheskikh uravneniy v oblastyakh s gladkoy granitsey [On the boundary values of solutions of elliptic equations in regions with a smooth boundary]. Matematicheskiy sbornik, 101(2): 163-188.

5. Petrushko I. M. 1982. O granichnykh znacheniyakh resheniy ellipticheskikh uravneniy v oblastyakh s lyapunovskoy granitsey [On the boundary values of solutions of elliptic equations in areas with a Lyapunov boundary]. Matematicheskiy sbornik, 119(161): 48-77.

6. Petrushko I. M. 1983. O granichnykh znacheniyakh v Lp, p > 1, resheniy ellipticheskikh uravneniy v oblastyakh s lyapunovskoy granitsey [On the boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations in domains with a Lyapunov boundary]. Matematicheskiy sbornik, 120(162): 569-588.

7. Petrushko I. M. 1984. O granichnykh i nachal'nykh usloviyakh v Lp, p > 1, resheniy parabolicheskikh uravneniy [On boundary and initial conditions in Lp ,p > 1, solutions of parabolic equations]. Matematicheskiy sbornik, 125(4), 489-521.

8. Petrushko I. M. 1999. O sushchestvovanii granichnykh znacheniy resheniy vyrozhdayushchikhsya ellipticheskikh uravneniy [On the existence of boundary values of solutions of degenerate elliptic equations]. Matematicheskiy sbornik, 190(7): 41-72.

9. Petrushko I. M., Kapitsyna T. V. 2005. O pervoy smeshannoy zadache dlya vyrozhdayushchikhsya parabolicheskikh uravneniy [On the first mixed problem for degenerate parabolic equations]. Sbornik «Neklassi-cheskiye uravneniya matematicheskoy fiziki», Novosibirsk: 207-218.

Конфликт интересов: о потенциальном конфликте интересов не сообщалось.

Conflict of interest: no potential conflict of interest related to this article was reported.

Получена 26.02.2022

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ Капицына Татьяна Владимировна — старший преподаватель Национального исследовательского университета «Московский энергетический институт»

© http://orcid.org/0000-0002-7040-7370

ул. Красноказарменная, 14, Москва, 111250, Россия

E-mail: [email protected]

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR Tatyana Kapitsyna — senior lecturer, National Research University «Moscow Power Engineering Institute», Moscow, Russia