CC BY
10Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1
УДК 517.95
О ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ И. М. Петрушко, М. И. Петрушко
Аннотация. Изучаются свойства решений параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Устанавливается эквивалентность условий Рисса и Литлвуда — Пэли для указанных решений. Доказывается однозначная разрешимость первой смешанной задачи с граничными и начальными функциями из пространства типа L2. Устанавливается также существование пределов в L2 с весом решений на тех участках границы, которые свободны от начальных условий. Ключевые слова: вырождающиеся уравнения, изменение направления времени, функциональные пространства, интегральные тождества, первая смешанная задача, разрешимость.
Пусть Q — ограниченная область n-мерного пространства Rn, n > 2 (x = (x1;x2, ...,xn) — точка из Rn), расположенная в полупространстве xn > 0, граница которой dQ — (n — 1)-мерная поверхность без края класса C2. Часть границы Го области Q расположена в гиперплоскости xn =0. Остальную часть границы обозначим через I\: I\ = 8Q П {хп = 0}, Го U I\ = 8Q. Обозначим через Qs следующее подмножество множества Q:
Qs = Q П { min |x — y| > 5}.
yedQ
Как известно (см., например, [1]), существует такое малое число ¿о > 0, что для всех 5 £ (0, ¿о] подмножество Qs является областью с границей dQs класса C2. При этом при произвольном 5 £ (0, ¿о] для любой точки x £ dQ существует единственная точка xs поверхности dQs, отстоящая от точки xo на расстояние, равное 5, |xs — xo| = 5,
xs = xs (xo) = x0 — 5v(xo),
где v(xo) — вектор внешней по отношению к области Q единичной нормали dQ в точке xo. Обратное отображение задается формулой
xo(xs) = xs + 5vs(xo),
© 2016 Петрушко И. М., Петрушко М. И.
где (жд) — вектор внешней по отношению к области фд единичной нормали дфд в точке жд. Обозначим через г (ж) расстояние от точки ж € ф до границы дф области ф:
r(x) = min |x — y|.
V ; yeöQ1
Рассмотрим в цилиндрической области QT уравнение
n— 1 n
Lu = k(x)ut — ^ (ai,jUxi )xj — + a^x, + au = f (x, t), (1)
i,j=1 ij=i
где G C1^), i,j = 1,2,...,n, a, G C1^), г = l,2,...,n, a G С (О5"), то -постоянная, 0 < m < 1, и для всех (x,t) G QT существует такая постоянная yo, что для всех £ G Rn— 1
n-1
YO|£|2 < £ ai,j< Y—11£|2. (2)
i,j=1
Будем также предполагать, что функция k(x) меняет знак в области Q. Положим Q+ = {x G Q, k(x) > 0}, Q— = {x G Q, k(x) < 0}. Для простоты изложения будем предполагать, что x1k(x) > 0, если x1 = 0, и k(x) = 1, x G Q+, k(x) = —1, x G Q—. Правую часть f (x, t) уравнения (1) будем предполагать принадлежащей пространству L2(QT).
Введем следующие пространства [2]: V2(QT) — банахово пространство, состоящее из всех элементов W2'0(QT), имеющих конечную норму
IMIv2(Qt ) = Vo^T^IK^IIMQ) + IIVu(x,t)lU2(QT)),
V21,0(QT) — банахово пространство, состоящее из всех элементов V^Q7), непрерывных по t по норме L2(Q), с нормой
||u| V21,0(QT) = 0maixT (||u(x,t)||L2(Q) + yVu|L2(QT ))-
Непрерывность по t функции u(x, t) в норме L2(Q) означает, что
||u(x, t + At) — u(x,t)|L2(Q) ^ 0 при At ^ 0.
Пусть V21lOc(QT) — множество функций, принадлежащих V21,0(Q'T e) для любой Q', строго внутренней по отношению к Q, и для любого е G (0, -j).
Будем говорить, что функция u(x, t) является обобщенным решением из V1lOc(QT) уравнения (1), если она принадлежит V^1 ¿c(QT), является решением уравнения (1), и для всех финитных в QT функций v(x,t) из H 1(QT) имеет место равенство т
— k(x)uvt + aijux,Vx3- + uxn (xmv)xn + ^ агиж,v + auv I dxdt
о q ^ 1j=1 i=1
т
f v dxdt.
о Q
Пусть р(х) — функция, обладающая следующими свойствами: Р{х) = г{х), хеС}/д8о, р(ж)еС2(д), и существует такая постоянная 71 > 0, что для всех х € Q
71г(ж) < р(х) < 7—1г(х).
Лемма 1. Пусть и(х, £) — обобщенное решение из ) уравнения (1),
правая часть /(х, £) которого принадлежит ). Тогда для любых 6 € (0, 60)
и ¡3 £ (0, справедливо равенство
1 I ¿х-\ I и2{х,Т-$)Р—^Лх + \ ¡п2{х,Р)Р 5
Q+ Q- Q-
Т-в /
- / п —1
3+ п в Qг ' п '
п—в / п—1 \ тт—в п—1
/ / ( / / 13 п2АхА1
- .-1 п / в Qг 1 '.-1 Х
1 тт—в п 6 тт—в 6
— / / ( ^ т ) и2 (1хсИ + / / о,и2 Р т ¿хсИ
2 У У V хп / xi ^ хт
в Q¿ 1-1 i в Q¿
Т—в
/и—-с1хсИ. (3)
хп
гт п
в Qs
Доказательство леммы 1 проводится так же, как и в параболическом случае [9], если в качестве функции ад(х, £) в равенстве (2') взять функцию
0, (х^) € Qт \ QT.
Обозначим
I \ > / т>т
т—в /
^ ' п—1
в Qs Кг'
Н— [ и2(х, Т — в)—-¿ж— [ и2(х,в)—-Ах,
2 У 1 ^ ж™ 2 У 1 ' ж™
п
Q+ Q
/ / (е^^+^У2*-*
в V» ' .-1 п )
Л— / и2(х, Т — в)—-¿ж— [ и2(х,в)—-¿ж
2 У у ^ ж™ 2 У V _
Q- Q+
с произвольными 6 £ (0, ¿о] и ¡3 £ (0,-^)- Из равенства (3) вытекает справедливость следующих неравенств:
т-в т-в
(и)
в а! в
т-в т-в
Ms (u) = M (u) < Ci
IP — S
>P — s
Ml/1--dxdt + J(u) + / / u2--dxdt
xm ./ ./
Js(u) = J(u) < C2
//|u|
IP — S
dxdt + M (u) + / / u2
P — S
dxdt
в в и тем самым справедливость леммы 2.
Лемма 2. Пусть и(ж, £) — обобщенное решение из У^1 ¡0С(фт) уравнения (1). Тогда для всех 6 £ (0, ¿о] и /3 £ (0, справедливы оценки
т-в
max Mu(u) < C3 <
ме(о , So)
max Ju(u) < C4<
M£(0,So)
IL2Q) + J (u) +
в Qs
т-в
|L2(qt ) + M (u) +
■ dxdt
■dxdt >.
(4)
(5)
в Qs
Лемма 3. Пусть u(x, t) — обобщенное решение из V2 ¡^(Q ) уравнения (1), и пусть sup J(u) < то. Тогда u(x, t) принадлежит L2(QT) и для любого
se(o , So) , ве(о , t/2)
e > 0 существует такое S2 > 0, зависящее от e и коэффициентов уравнения, что
т-в
в Q\Qs
■dxdt < e
lL2(QT)
т-в
+ J(u) + J J u
в Qs2
2 dxdt
(6)
Доказательство. Для любых S4 и S5, 0 < S4 < S5 < S0,
т-в
в Qs4\Qs
■dxdt <
S5 т-в
— / u2 ds dt
У Pm J J
S4 в 9Qs
Следовательно,
т-в
< C5( s5m — sm)
S5 т-в
dP
т-в
J J ^
dxdt
в Qs4
-dxdt < / —
mm
u2 ds dt
в Qs4\Qs5
< C5S51
Pm
S4 в
т-в
lL2(QT ) ^ JS4
+ JS4 (u) + J J
т-в
dxdt +
■ dxdt
в Qs4\Qs
в Qs
m
m
x
x
n
n
u
m
x
2
u
m
x
2
u
m
x
2
2
u
m
x
5
s
2
2
u
u
2
m
m
x
x
5
Из последнего неравенства получаем
т-в
/ / X"
в ^
< ^¿Г
■
т-в
т-в
и2
в ^
в аг
• (7)
Выберем ¿з = -^г-, уменьшая его, если нужно, так, чтобы ¿3 < ¿о, положим
(2се) т
в последнем неравенстве ¿5 = ¿3. Тогда для любых ¿4 € (0, ¿3) имеем
т-в
в Зг4 ^г
■<
т-в
1ь2(дт)
+ ^4 (и)+ у у
и2
в аг
(8)
Из (8) следует, что
Выберем теперь
и2 < то.
о а
¿
2 = Ш1П
(гее)
,(1+ е)Сб,
(уменьшая, если нужно, так, чтобы ¿2 < ¿о) и положим ¿5 = ¿2 в неравенстве (7). Переходя к пределу при ¿4 ^ 0, с учетом неравенства (8) получим (6).
Будем говорить, что функция и(ж, £) из У^1 ¡°С(^Т) принадлежит классу Харди Н2, если
8ир М(и) < то.
ге(о , го) , ве(о , т/2)
(9)
Теорема 1. Для того чтобы обобщенное решение из У2 ¡оС ) уравнения (1) с /(ж, £) € Ь2(фт) принадлежало классу Харди Н2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
8Ир J(и) < ТО.
ге(о , го), ве(о , т/2)
(10)
Доказательство. Необходимость. Пусть и(ж, £) принадлежит классу Харди Н2. Тогда из (9) следует, что
Т-во
/ / И2(ж'') ^ ^ / /И2(М) ^ ТО'
о д\дг
во аг
2
и
т
ж
3
г
о
о
во
0 Q+
т—во Q-^ ¿о
Следовательно,
т—во
во Q
Из (11) вытекает существование такого числа въ во < в1 < Т/2, что
/И2(х'в1) 'х<
Покажем, например, что
(11)
во
0 Q-
(12)
Рассмотрим функцию ^(х,£) = и(х, £)в А*. Легко видеть, что функция ^(х, £) удовлетворяет уравнению
к(х)и - ^ (а»,.^ )х3 - хтих„х„ + ^ а»^ + (а + кА)и = /(х,£),
l'JUJХiJ Х3 ^ ^
следовательно, для нее справедливо равенство
/ё
Q- в Q¿о м-1
Р - ¿0
+
в Q-
-ЕЫёг) +(а-л)
,Р - 6о
»'¿-1 4 "п 7 Х3
Р - 6о , 1
/2
„ . г^2 (ж, /?1) —-- ¿х
2 к ' хт
+о
в! Г п—1
| / + // Е "(« + *)
^ » 1 \ п / Хз
1+ в ^ 1г'.-1 3
Р - 60
V2
в Q+
в! 6 в! 6
+ / / fl/—-- (1х(И + / / fl'—-- с1хсИ. (13)
/ / хт / / хт
в Q-
в Q+
т
х
о
1
2
о
т
х
о
о
Так как
в1
{и—-- ¿хсИ
жт
в а-
<в/ / ^Р^А^ + ае) Г [
в а-
в а-
{и—-- йхМ
жт
в
<
1 в1 ¿ 1 в1
v2 —-- в,хс!,1 Н—
-т 2
2ж
в
го
/2—--
го го
выбрав — Л < 0 настолько большим, что
в
тв1
в
п-1
,Р — ¿о
тв1
Ч .1
в в,-о
из (13) получим неравенство (12). Аналогично показывается, что
тт т
/ /И2(М) ^
т-во
го
Таким образом, из принадлежности обобщенного из У^О^^т) решения и(ж,4) уравнения (1) классу Н2 следует, что
тт т
оа
Необходимость вытекает из неравенства (5) леммы 2. Достаточность следует из леммы 3 и неравенства (4) леммы 2. Теорема 1 доказана.
Будем говорить, что функция и(ж,4) принимает граничное значение
^(ж^еах^т) = V (14)
в смысле Ь2, если ^(ж,£) € Ь2(дф х (0,Т)) и
т-в
11т / / |и(жг(ж),4) — ^(ж,£)|2 ^^ = 0. (15)
г,в^° У У
в
Будем также говорить, что функция и(ж, 4) € ) принимает на-
чальные значения
и\г=о,хеЯ+ = и!(х), ( и\(ж)^^ ¿х < У жп
(16)
о
о
о
и
т
ж
п / ж
ТО
l\t=T,xeQ- = и2{х), ful(x)^-dx< оо
(17)
n
в среднем с весом r(x), если
lim
\u(x,P)-Ul(x,t)fr-^
dx = 0,
(18)
5
lim J (и(х,Т - Р)-u2(x,t))2^-dx = 0. (19)
5,в^о J x.
Q-
Теорема 2. Существует такая постоянная ао > 0, что для всех <^(x,t) £ L2(8Q х (0,Г)), Ul(x) G L2(Q+,^), u2(x) G L2(Q-,^) и для всех f(x,t) G
) существует решение из У2 ) задачи (1)-(4) при а(х, £) > а0. Это
решение единственно, и для него справедлива оценка
0Q
Е" 1 r(x) 2 \
a-ijuXiuXj+uXnr{x) 1 ax at
i,j=1 n /
+ sup[ f u2(x, T - Р)1—^- dx + ( dx )
V xn J xn J
Q-
¿i Qi
< C(ll/ll W) + IMI W(O,T)) + H^illLcQi,^) + \\U2t2{Q-m)- (2°)
Доказательство. Докажем вначале, что существует такое число а0 > 0, что при а > а0 для обобщенного решения задач из ^¡О,^7) и (1), (14), (16), (17) справедливо неравенство (20). Пусть и(х, £) — обобщенное из ) решение
задачи (1), (14), (16), (17). В силу (15), (18), (19) функция и(х, £) принадлежит классу Н2. Поэтому на основании теоремы 1 справедливы неравенства
^ r (x) \ (* С
у aijuxiuxj—— + uXnr(x) J dxdt < оо, J J u2(x,t) dxdt < оо.
0Q
0Q
Рассмотрим неравенство (3). Так как
т-в
fu—-dxdt
в Qi
т-в
<
j j u2(x, t)P m dxdt + j j f2(x,t)dxdt
в Q
0Q
из (3) следует, что
I I и2(х, ¡3)
2 У х™
аг+
т-в / п-1 + / ! ( Е „ж„Ж3
в а г
вл-
т-в
Р — ¿ , ..2 , гЛ ^ , [ [, ^.2 Р — ¿
+ (р — ¿) + / / (а — 1)и
< Сз
тт-в
в аг
т-в
I //2,ж.(,а* + ЛВД+ / /„»(М,А*
в аг
В силу леммы 3
т-в
в аг
т-в
■ (21)
У |и2(ж,4) ¿ЕЛ < ер/Н^т) + Л«)] + С1(е) У У
2
и -ожог.
(22)
в аг
Поэтому из (21) имеем
в аг
Р — ¿
/и2(х, Т — в)—-¿ж Н— [ и2(х,в)--¿ж
у ^ ж™ 2 У у -
аг+
т-в
+ (1 — еСз)
в аг
' п-1
Е
Р — ¿
жп
+ (р — ¿)
т-в
+
(а — 1 — С (е))г
¡Р — ¿
< Сз
в аг
тт-в
/ //2(ж-() **+М(и)
в аг
(23)
Выберем в неравенстве (23) е = 1/2Сз, ао = 3/2 + С1(е)Сз и, переходя к пределу при ¿ ^ 0 и в ^ 0, получим неравенство (20).
Докажем существование решения первой смешанной задачи (1), (14), (16), (17) с а(ж,4) > ао. Возьмем произвольные функции ^(ж, 4) € Ь2(д^ х (0,Т)), И1(ж) € и2{ж) € Ь2{Я~,ф;) и произвольную /(ж, £) € Ь2{0:т).
Пусть — некоторая последовательность функций из Ь2(д^ х (0,Т)),
сходящаяся в Ь2(д^ х (0,Т)) к функции
Н^т — ^Нь2(аах(о,т)) ^ 0 при т ^ ТО,
{и1т} — некоторая последовательность функций из С2(^+), сходящаяся к функции и1(ж):
\\uim - и1\\Ь2(п+^_Е_) —>■ 0 прито^оо,
{и2т} — некоторая последовательность функций из С2(^-), сходящаяся к функции и2(ж):
\\и2т - и2\\Ь2(д- и2_^ 0 прито^оо,
1
2
т
ж
ж
п
п
ж
п
г
т
ж
п
|/т(ж,£)} — некоторая последовательность функций из С2(^т), сходящаяся к функции /(ж, £):
У/т - /) ^ 0 ПРи т ^
Обозначим через ит(ж, £) «сильное» решение из ) задачи (1), (14),
(16), (17). Такое решение существует (см. [3-5]) и, как легко видеть, для него справедливы неравенства (20). Таким образом, последовательность {ит(ж,£)} сходится к некоторой функции и(ж, £) в гильбертовом пространстве В с нормой
п_1 г(ж) ^
о д Жп '
т
+ эир ( [ и2(х,Т — в)-в,х + [ и2(х,в)-¿ж | + [ [ и2{хЛ~)йх<И.
/3,5 V1 ^ У я™ у У У
д- 0 д
т. е.
||ит — и||в ^ 0 при т ^ то.
Следовательно, функция и(ж, £) является обобщенным решением из ^¡^(От) уравнения (1), принадлежащим классу Харди Н2. Удовлетворение соотношениям (15), (18), (19) очевидно. Теорема 2 доказана.
Из теоремы 2 аналогично тому, как это делалось в работе [8], доказывается
Теорема 3. Если функция и(ж,£) является обобщенным из УпОс(Ог) решением задачи (1), (14), (16), (17) с а(ж, £) > ао, то существуют такие функции и3(ж) € Ь2(Я+, ^г), и4(ж) € Ь2{С}~, -¿ж), что
Ит [ (и(х,Т - Р)-и3(х,г))2^--с1ж = 0,
д+
Ит / (и(ж, /3) - и4(ж, Л)2Р^~5 Лх = 0.
5
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов В. П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с гладкой границей // Мат. сб. 1976. Т. 101, № 2. С. 163—188.
2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
3. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.
4. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.
5. Пятков С. Г. О разрешимости одной задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, № 6. С. 1322-1327.
6. Пятков С. Г. Разрешимость начально-краевых задач для одного нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: НГУ, 1987.
7. Кислов Н. В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т. 125, № 1. С. 19—37.
8. Петрушко И. М., Черных Е. В. О начально-краевой задаче для уравнений с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ. 2000. № 6. С. 60—70.
9. Петрушко И. М. О граничных и начальных значениях решений параболических уравнений // Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. С. 489-521.
Статья поступила 30 января 2016 г.
Петрушко Игорь Мелетиевич, Петрушко Максим Игоревич Научно-исследовательский университет МЭИ, ул. Краснознаменная, 14, Москва 111250 ре"ЬгизЬко1т@тре1 .ги, ре"ЬгизЬкот1@тре1. ги
Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1
UDC 517.95
ON THE FIRST PROBLEM FOR THE DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS
WITH CHANGING TIME DIRECTION I. M. Petrushko and M. I. Petrushko
Abstract: We study the properties of solutions of parabolic equations with changing time direction. We prove that the Riesz and Littlewood—Paley conditions for these solutions are equivalent. We demonstrate the unique solvability of the first mixed problem with boundary and initial functions of the space type and also establish the existence of limits in with the weight of the decisions on the sections of the border, which are free from the initial conditions.
Keywords: degenerate equations, changing time direction, functional spaces, integral identities, first mixed problem, solvability.
REFERENCES
1. Mikhailov V. P. "On the boundary values of solutions of elliptic equations in domains with a smooth boundary," Mat. Sb. 101, 163-188 (1976).
2. Ladyzhenskaia O. A., Solonnikov V. A., and Ural'tseva N. N. Linear and Quasilinear Parabolic Equations, Nauka, Moscow (1967).
3. Tersenov S. A. Parabolic Equations with Changing Time Direction, Nauka, Novosibirsk (1985).
4. Egorov I. E., Pyatkov S. G., and Popov S. V. Nonclassical Differential-operator Equations. Nauka, Novosibirsk (1965).
5. Pyatkov S .G. "On the solvability of a boundary value problem for a parabolic equation with changing time direction," Soviet Math. Dokl., 285, No. 6, 1322-1327 (1985).
6. Pyatkov S. G. Solvability of the Initial-boundary Value Problems for a Nonlinear Parabolic Equation with Changing Time Direction, Novosib. Gos. Univ., Novosibirsk (1987).
7. Kislov N. V. "Nonhomogeneous boundary value problems for operator- differential equations of mixed type and their applications," Mat. Sb. 125, No. 1, 19-37 (1984).
8. Petrushko I. M. and Tchernikh E. V. "On initial-boundary value problem for equations with changing time direction," Vestn. MPEI. No. 6, 60-70 (2000).
9. Petrushko I. M. "On the boundary and initial values of solutions of parabolic equations," Mat. Sb. 125, No. 4, 489-521 (1984).
Submitted January 30, 2016
Petrushko Igor' Meletievich, Petrushko Maksim Igorevich Research University MEI,
Krasnoznamennaya st., 14, Moscow 111250, Russia [email protected], [email protected]
© 2016 I. M. Petrushko and M. I. Petrushko
