О смешанной задаче e для вырождающихся на границе области параболических уравнений 2-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

УДК 517.95

О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ Е ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА И. М. Петрушко

Аннотация. Исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для вырождающегося параболического уравнения 2-го порядка в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа ¿2. Данная тематика берет начало с классических работ Ф. Рисса [1] и Литтлвуда и Пэли [2, 3], посвященных граничным значениям аналитических функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина [4—9]. Условие гладкости границы (дQ £ С2) можно ослабить (см. [7]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерий существования граничного значения установлен в [7—9]. При этом, как показано в работе [9], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [1] и Литтлвуда — Пэли [2,3]. В случае вырождения типа Келдыша ситуация более сложная. Постановка первой краевой задачи и поведение решения вблизи границы определяются порядком вырождения уравнения, а в случае «сильного» вырождения — коэффициентами при младших членах. Вопросам разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено большое число работ. Достаточно отметить работы Ф. Трикоми [10], М. В. Келдыша[11], А. В. Бицадзе [12], С. А. Терсенова [13], И. М. Петрушко [14,15], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [16], Г. Фикеры [17] и др. Из недавних работ можно отметить [18]. В настоящей работе рассматривается случай сильного вырождения параболического уравнения 2-го порядка, когда соответствующая квадратичная форма убывает как г(х) и постановка первой смешанной задачи определяется коэффициентом при первой производной по нормали.

Б01: 10.25587/8УРи.2019.96.45.005

Ключевые слова: вырождающиеся параболические уравнения, сильное вырождение, функциональные пространства, первая смешанная задача, разрешимость, граничные и начальные значения решений, априорные оценки.

© 2019 Петрушко И. М.

Пусть Q — ограниченная область в Дп, расположенная в полупространстве хп > 0, часть границы Го = дQ П {хп = 0} которой лежит в гиперплоскости хп = 0. Остальную часть границы обозначим через Г^ Г1 = дQ П {хп > 0}. Будем предполагать, что Q П {0 < хп < ¡} = Ql х (0, ¡) при достаточном малом ¡г > 0, где Q1 — ограниченная область в Обозначим через Б область,

полученную продолжением области Q в нижнюю часть пространста Кп (хп < 0) симметрично относительно гиперплоскости хп = 0. Будем предполагать, что дБ € С2, и обозначим через гх = г1(х',хп) расстояние от точки х € Б до границы дБ. Пусть ¿о (0 < ¿о < ¡) столь малое число, что для всех 5 € (0, ¿о] подмножество Б ,5 = Б П гх >5 являентся областью с границей дБ,5 € С2. При этом для любой точки хо € дБ существует единственная точка х^ поверхности дБ,5, отстоящая от точки хо на расстоянии 5 : |хо — х,51 = 5, х,5 = х^(хо) = хо — 5г/(хо), где г/(хо) — вектор внешней по отношению к области Б единичной нормали к дБ в точке хо.

Введем обозначения: г(х) = гх(х), х € Q, Qг = Б^ П Q; Г1(5 = дБs П Q, Го<5 = Го П Бs. Обозначим через Qт цилиндр Qт = Q х (0, Т).

Пусть р1(х) — функция, обладающая следующими свойствами:

Р1 (ж) = г 1 (ж), ж € Б\Б5о, Р1 (ж) € С2 (Б), и существует константа 71 > 0 такая, что для всех х € Б

71Г1 (х) < Р1 (х) < 7-1г 1 (х).

Обозначим через р(х) функцию, равную р1(х), если х € Q.

Рассмотрим в Qт линейное параболическое уравнение 2-го порядка

п— 1 "] п

£ (ау)х3- + хпИх„х„ — £ + аи = / (1)

_2,У=1 J ^=1

с коэффициентами ау, ап € С2^т), = 1, 2,...,п — 1, а^,а € С1^т), г = 1, 2,..., п — 1, и существует такая постоянная 7о > 0, что для любых £ € Дп—1 и любых (х, £) € QT выполняется неравенство

п—1 п—1 п—1

то £ < £ ау< 7о—1 £ £2. (2)

г=1 2;У = 1 ^=1

Будем также предполагать, что ап > 1 для всех (х,£) € QT.

Правую часть уравнения (1), функцию /(х,£), будем предполагать принадлежащей пространству , г), где Ьр^т,г) — пространство измеримых в Qт функций, для которых конечна норма

ди

11/Нь2(дтГ) = |у / Ят

Будем говорить, что принадлежащая ^г21']0С((т) функция и(х,Ь) является обобщенным из ^2,'0С((т) 'решением уравнения (1), если она для всех финитных в (т функций у(х,Ь) € Н^((т) удовлетворяет интегральному тождеству

- иУ1 +22 агз Ух, + иХп (хпу )Хп -22 О^х. V + 0,иУ г,0=1 г=1

г!хгИ = J /V в,х<И.

Ят

Будем говорить, что функция ш(х,Ь) финитна по х в (т, если существует

такая область (' С что функция ш(х, Ь) равна нулю вне ('т.

Пусть и(х,Ь) является обобщенным из щ},'к>С((Т) решением уравнения (1)

тогда для всех финитных по х в (Т функций ш(х, Ь) € Н2((т ) и для любых Т' < Т' < Т, и /3, 0 < ¡3 < Т', имеет место равенство

¡и(х,Т').(х,Т') <х - I и(х,в>(х,в) <х

+

в Я

п-1

-ишг + "^2 агз их. Шхг + ихп (хпш)Х^ - ^ 0,гих. Ш + аиШ

г, 0=1

= J /Ш <х<Ь.

Ят

Так как уравнение (1) в области (т параболично, справедлива

Лемма 1. Пусть и(х,Ь) — обобщенное из '¡оС((т) решение уравнения (1), правая часть которого /(х,Ь) принадлежит Ь2(((т,г). Тогда для любых 6 £ (0, ¿о], /3 € (0, ¿о] и для любого Т' £ Т) справедливо равенство

2 J хп 2 3 хп

+

т'

/ /

в ЯгП|х„>в|

т'

I/ /

п1

Е

аго их. их

хп в 2 / а\ —- + ихп (хп ~ Р)

г ,0=1

п-1

(р — 6) <х<Ь

в Г1гП|х„>в|

Ерх.рх, хп — в 2( а\

«¿¿"^77]--1--Ь рх„ (ж„-/3)

г,0= 1

|Ур| х„

|и|2 ¿вМ

|и(х',в,t)| (р(х',в) — 6) <х'<Ь

в Гог п|х„>в| т'

+

\I I ап\и\2(р-6)

в Ягп|х„>в|

п1

п

2

2

х

п

т'

у ^^ у (Рх„Х„ (хп — в)+2Рх„ )|и|2

в фап|ж„>в|

Т'

] ] |и|

в Qгп|ж„>в| Т'

+ / /

в Qгп|ж„>в|

£ (аУРх)х. + (ап(Р — 5))х

хп в

^ ^ + аи

г=1

——— (р — <5)|г/.|2 йхМ

/[ /и(р — 5)——— ¿хМ. (3)

хп

в Qгп{ж„>в}

п1

х

п

п

Введем следующее обозначение:

^в(и)=у у

в Qгп{ж„>в}

(р — 5)

+ 1 |и(х, Т')|2(р — 5)

хп в

¿х,

п

х

п

где Уи = {иЖ1 ,их2,... }, и положим /г(и) = /¿г(и).

Лемма 2. Пусть и(х, £) € Тогда для любого е > 0 и любого

р > — 1 справедливы неравенства

У М У М2^ < е/^г/,) +С1(е)1 У М2^ Р(р-6)еЬсН,

\и\2——— (р — <5)м йхМ

хп

в Qгn{ж„>в}

Т'

2 хп в ;

<е%(и)+С2(е) У У

|и|

в Qгn{ж„>в}

1о ГпТх

Лемма 3. Пусть и(х, £) — обобщенное из ^2'1ОС^Т ) решение уравнения

(1), тогда

т'

т'

И8в (и)

в Г1гп|х„>в|

|и|2 + J J |и(х', в,Ь)\2(р(х', в) — 6) <х'

в Го г

< С2

Ыи)+0 / ¡^Г / П2(9-5)йх'Л

в в п Гог

¡3 J ! —J ап{х',хп,1)\и^(д — 5) ¿х'¿Ь

в в п Гог т'

— — J ! ап(х',хп,Ь)\и\2(д — 6) ¿х'сИ

в Гог

(4)

< Сз

т'

/3 I I I \и\\иХп\{р{х', ¡3, Ь) - 5)(],х'(М

хп

I в в Гог т'

+ Г

\и\2 ——— йхМ

в Яг П|х„>в|

с постоянными С2, Сз, не зависящими ни от 6 ни от ¡3.

В силу ограничения на область ( ((П{0 < хп < к}) леммы 2 и 3 (используя лемму 1) доказываются с небольшим изменениями так же, как соответствующие леммы 2 и 3 работы [15].

Определение 1. Будем говорить, что функция и(х,Ь) € ~№2,'0С(Ят) принадлежит классу Н2, если функция т'

М^{и) = 1 I \и\2<1зМ +! \и{х,р)\2^-^-{р-8)с1х в Г1гп|х„>в| Яг

ограничена на (0, 6о] х (0,6о], т. е.

вир Ыёв(и) < то, М55(и) = Ыё(и). 5е(0'5о]'

ве(о,5о]

Будем говорить, что функция и(х, Ь) € ^21'1°0С((т) обладает свойством (А), если функция

т'

Ы&в = ^ J |и(х',в,Ь)|2(р(х',в) - 6) йх'М

в Гог

ограничена на (0, 60] х (0, 60].

п

Теорема 1. Пусть и(ж, £) — обобщенное решение из '1ос(^т) уравнения (1) с ап > 1 для всех (ж,£) € . Тогда для того, чтобы функция и(ж, £), обладающая свойством (А), принадлежала классу Н2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

/г (и)

т'

г Ягп|ж„>г|

|\7'и|2 ——- +и2Хп{хп - 5)

(р — 5)

+ [ \и(х, Т')\2(р — 8)—--с1х< Къ (5)

Яг

Доказательство. Необходимость. Прежде всего отметим, что если и(ж,£), обладающая свойством (А), принадлежит классу Н2, то справедливы следующие неравенства:

I I и2(р-бф1<С3,

г Ягп|ж„>г|

т'

/[ и2(р — 5) —-¿хсИ < С4

] Хп

(6)

(7)

г Ягп|ж„>г|

Далее, так как

г я&п|ж„>г|

I I \/и\(р — 6)—-¿хсИ < I I ]2р{х)Лх(И

п|ж„>г| т'

// и2(р — 8)—-с1хсИ,

] Хп

г Ягп|ж„>г| т'

+

г Ягп|ж„>г|

из леммы 2 следует, что т'

г Ягп|ж„>г|

J У \/и\(р — 6)—-¿хсИ < J У /2р(ж) ¿хсИ +

г Ягп|ж„>г| т'

+ +Сг(е) У У

-5

г Ягп|ж„>г|

Используя равенство (3) леммы 1 (при в = 5), получим неравенство

т'

г Ягп|ж„>г|

" п— 1

Е

г, ¿=1

Хп - 5

+ (хп — 5)

(р — 5)

п

п

Х

п

+ | |и(х,Т'|2(р - 6)

хп 6

<х

< С5

т'

М$ +

+

/[ и2(р — 5) —-¿хсИ

хп

5 Ягп|х„>5|

! ! /2р(х) <Ы + Е'5

5 Ягп|х„>5|

т'

+ №) + !) I I и2(р-8)-

6

5 Ягп|х„>5|

из которого с учетом неравенств (2), (6), (7), свойства (А) решения и(х,Ь) и выбора достаточно малого е следует существование такой постоянной К > 0, что для 6 € (0, 60]

15 (и) < К,

т. е. справедливо неравенство (5). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть и(х,Ь) — обобщенное решение уравнения (1) из пространства ~№Г2'])ос(С}т) с ап(х', 0,1) > 1, где (ж',0,£) € Го х [0,Т], и пусть

0 Ягп|х„>0|

^ ^ аг0 их. их, + ихп хп

-г , 0=1

рйхйЬ + J |и(х, Т '|2р<х < К.

Так как из ограниченности 10 (и) следует неравенство

Ли2р(х) <х<ь<

0Я

из равенства (6) на основании лемм 2 и 3 имеем т'

5 Г1гп|х„>5|

Е

г 0=1

Рх.Рх, хп - 5 2

а'1'3 \У'р\ ХП +Рх"

и2

< |и(х', 6, Ь)|2(р(х', 6) - 6) <х'<Ь

5 Го

т'

+ 5 [ [ ап\и\2(д - + С6

■ ' хп

Яг пх„>5

т'

10(и) + J J /12Р<х<Ь 0Я

(8)

А так как из условия (А) следует, что любых в, 6 € (0, 60] выполняется неравен-

х

п

п

х

п

п1

ство

t '

ßf f an\u\2(ß-5)^dt<C7 (9)

J J xn

в QsПж„>в

с постоянной C7, не зависящей ни от ß, ни от то из (8) получим, что

t '

sup

У У |u|2 dsdt< то. (10)

Й(°>' й в п{*„>0}

Следовательно, u(x,t) принадлежит классу H2. Теорема 1 доказана.

Будем говорить, что функция и(ж, £) € 1ос(^Т) принимает граничное значение р на Г1 х [0,Т],

и|г1Х(0 ,т) = Р, Р € ¿2(Г1 х (0,т) (11)

в ¿2, если

т'

Ит / / (и(жг(ж),£) - р(М))2 = 0. (12)

5 riäп|ж„>5}

Будем также говорить, что функция u(x,t) G W2 loc(QT ) принимает начальное значение u|t=° = u°(x), если

u|t=° = u°(x), u°(x) G L2(Q,r)) (13)

в L2 с весом r(x), если

lim /(и(ж,5) — u°(x))2r(x) dx = 0 (14)

J

Qs

Определение 2. Функция u(x, t) является обобщенным решением из W2'i°0c(QT) первой смешанной задачи (1), (11), (13), если она удовлетворяет условию (A), является обобщенным решением уравнения (1), удовлетворяет граничному условию (11) в смысле равенства (12) и удовлетворяет начальному условию (13) в смысле равенства (14).

Теорема 2. При любых функциях р G L2(I\ х (0,T)), u°(x) G L2(Q,r), f (x,t) G L2(Qt, r) первая смешанная задача (1), (11), (13), имеет обобщенное решение из W2 lOc(QT). Это решение единственное и для него справедлива оценка

t t '

У У (|V'u|2 + )p(x) dxdt + J У |u|2pdxdt + max Mä(u)

° Q ° Q

< C9[||f yL2(QT,r) + У^У2Ь2(Г1Х(° ,T)) + IKIll(Q , r)] (15)

с постоянной Сд, зависящей только от коэффициентов уравнения (1).

Доказательство. Прежде всего отметим, что наряду с уравнением (1) всегда можно рассматривать уравнение

du

Ж

У^ (aijuXi )x, + XnU

-i , j=1

— aiUxi + (a + A)u = f, (1 ')

i=1

которые сводятся друг к другу простейшей заменой.

Установим вначале для обобщенного решения ^21 '¡0С((т) задачи (1'), (11), (13) (в предположении существования решения) справедливость оценки (15). В силу (12), (14) и принадлежности классу (А) функция и(х,Ь) принадлежит классу Н2■ Следовательно, для любого Т' £ ,Т) будет 15(и) < оо и на основании теоремы Лебега при 6 ^ +0 имеем

т '

S Qsn{x„>S}

, ,2 xn ô 2 / r\

:—+ux(xn-5)

|V' u|

(p — ô) dxdt

(|V u| + xnuXn)p(x) dxdt,

0 Q

/\u(x, T'\2(p — S)—-dx —> [ \u(x, T'\2p(x) dx,

xn

Qs Q

T' т'

j j |u|2(p — ô) dxdt ^ J j lul2pdxdt.

..... ^ J J lui

S Qs 0 Q

Кроме того, существует такая постоянная C10, что для всех ô G (0, ôo) т'

SÎ [ an(x,t)\u\2(p-S)^ <Ci„. (16)

J J xn

в Qsn{x„>S|

Рассмотрим равенство (3). Из него на основании лемм 2 и 3 следует, что т'

Is(u) + j j (a+A)|u|2(p — ô) dxdt

S Qs

т'

(an(x , ô) — 1)|u(x , ô|2(p(x , ô) — ô) dx dt

< C10

+ / I (an(x

в ros n{x„>S|

т'

lL2(QT ,r)

+

S risn{x„ >S}

n — 1

E

i j=1

xn ô

aij pxi pxj

+ px„ 2(xn — ô)

|u|2 dsdt

n

—-

2

x

n

т'

т'

+

/ / \u\\uXn\(p-ö)^-dt +J J М

и\2 —-(р — S) dxdt

S Qsn{x„>S}

Учитывая неравенство т'

S Qsn{xn>S}

(17)

sj J an(x,t)\u\p (p — 5)—— < C\\ J J(|V'-ii|2 + xnu2n)p(x) dxdt < то,

S Qsn{x„>S} получим

0 Q

T

ff

lim 6 / \u\\uXn\(p-S) — dt = 0.

J J xn

5 Ягп|ж„>5|

Переходя к пределу при 6 ^ +0 в неравенстве (17), с учетом (3) и неравенства ап(х', 0,£) > 1, (ж', 0,4) еГ0 х [0,Т], получим т'

I , \\|„.|2 _ ______ ¡Лт/.Л ^ лт II Л

1Ь2(ЯТ г)

I(и) + / / (a + А)М2pdxdt + max Ms(u) < C12 J J Se[o,So]

0Q

+

1Ь2(Го x(0,T),r)

+

L2(Q,r)

+

T

j j |u|2pdxdt

0Q

(18)

Выбирая А так, чтобы a + А = C18 + 1 в неравенстве (18), придем к (15).

Перейдем к доказательству существования решения. Возьмем произвольные функции ip G L2(ri х (0, Т)), и0(х) G L2(Q,r), f(x,t) G L2(QT,r). Пусть {</?m} — некоторая последовательность финитных функций из С2(Т\ х [0,Т]), сходящаяся в £2^1 х (0,T)) к функции - И|ь2(г\Х(0,Т)) ^ 0 при

m —> то, {йот} — некоторая последовательность финитных функций из C2(Q), сходящаяся к функции и0(ж) в L2(Q,r): ||u.0m — u0||L2(Qr) ^ 0 при m ^ то, |/m} — некоторая последовательность финитных функций из C2(QT), сходящаяся к функции / в L2(Qt,r): ||/m — /||L2(qt,r) ^ 0 при m ^ то.

Обозначим через ит(ж, t) решение задачи

du öt

— y^ ai uXi + au = /„

и|г1Х(0,Т) = Рт, и|4=0 = иот(х). Такое решение существует [16,17], удовлетворяет условию (А) и для него справедливо неравенство

т' т'

|2 + )р(х) dxdt^ J J

0 Я

0Q

< C13 [У /m 11L 2 (QT' r) + |^т|^2(Г1Х(0,)Т') + ||u0m У L2 (Q),r)]

n

2

2

n-1

с постоянной С1з, не зависящей ни от т, ни от и.

Стало быть, последовательность {ит}, т ^ то, сходится в гильбертовом пространстве В с нормой

llB

T' T '

I iumi2pdxdt +

Se [o'So]

|u||B = I I (iV'umi + xnumj p(x) dxdt+ / / i Um i p dxdt + max Ms(u) (19)

0 Я 0 Я

к некоторой функции и(х, Ь):

||ит - и||в ^ 0 при т ^ то, (20)

Так как ||и||Ь2 < ||и|в, то и € Ь2(<0т ) и ||и - ит||Ь2(ЯТ ') ^ 0 при т ^ то. В силу ограничений на коэффициенты уравнения (1) функция и(х,Ь) является обобщенным решением уравнения (1) из !°0С(^т) . Удовлетворение граничному и начальному условиям немедленно следует из (19), (20). Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Riesz F. Über die Randwerte einer analyschen Funktion // Math. Z. 1923. Bd 18, Heft 1. S. 87-95.

2. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. II // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1936. V. 42. P. 52-89.

3. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. III // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1937. V. 43. P. 105-126.

4. Михайлов В. П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей // Мат. сб. 1976. Т. 101, № 2. С. 163-188.

б. Михайлов В. П. О существовании предельных значений бигармонической функции на границе области // Докл. АН. 2004. Т. 395, № 4. С. 452-454.

6. Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений // Мат. сб. 1979. Т. 108б № 1. С. 3-21.

7. Петрушко И. М. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей // Мат. сб. 1983, Т. 120, № 4. С. 569-588.

8. Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 787-810.

9. Гущин А. К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 7. С. 53-90.

10. Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di 20 ordine di tipo misto // Acc. Linc. Rend. 1923. V. 14. P. 133-247.

11. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, № 2. С. 181-183.

12. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1959. (Итоги науки. Физ.-мат. науки).

13. Терсенов C. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ, 1973.

14. Петрушко И. М. О граничных и начальных условиях в Lp, p > 1, решений параболических уравнений // Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. С. 489-521.

15. Петрушко И. М. О существовании граничных значений для решений вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1999. Т. 190, № 7. С. 41-72.

16. Олейник О. .А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Сер. Математика. Математический анализ. 1969. М.: ВИНИТИ, 1971. C. 7-252.

17. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка // Математика. 1963. Т. 7, № 6. С. 99—122.

18. Капицына Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 4. С. 15-33.

Поступила в редакцию 11 августа 2019 г. После доработки 2 сентября 2019 г. Принята к публикации 3 сентября 2019 г.

Петрушко Игорь Мелетиевич

Московский энергетический институт (технический университет), ул. Красноказарменная, 14, Москва 111250 ре"Ьги8Кко1т@тре1. ги

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

UDC 517.95

ON THE MIXED PROBLEM E FOR SECOND-ORDER PARABOLIC EQUATIONS DEGENERATING ON THE BOUNDARY OF A DOMAIN I. M. Petrushko

Abstract. The paper investigates the question of the unique solvability of the first mixed problem for a degenerate second-order parabolic equation in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of type L2. This topic originates from the classical works of F. Riesz [1] and Littlewood and Paley [2, 3] devoted to the boundary values of analytic functions. Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criterion for the existence of a boundary value was established in [4—9]. The boundary smoothness condition (dQ € C2) can be weakened (see [7]). Moreover, as shown in [9], all directions of the adoption of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal; the solution has the property similar to the property of continuity in the set of variables. In the case of degeneration of the equation at the boundary of the region, when the directions are not equal, the situation is more complicated. Moreover, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. In the case when the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are nonzero (Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is correct, and the properties of such degenerate equation are very close to the properties of a uniformly elliptic equation. In particular, in this situation, analogs of the Riesz theorems [1] and Littlewood—Paley [2,3] are valid. In the case of degeneracy of the Keldysh type, the situation is more complicated. The statement of the first boundary-value problem and the behavior of the solution near the boundary are determined by the order of degeneracy of the equation, and in the case of "strong" degeneracy, by the coefficients of the lower terms. A large number of papers have been devoted to the solvability of the first boundary-value problem for degenerate elliptic and parabolic equations. Note the works of F. Tricomi [10], M. V. Keldysh [11], A. V. Bitsadze [12], S. A. Tersenov [13], I. M. Petrushko [14, 15], O. A. Oleinik and E. V. Radkevich [16], G. Fichera [17], etc. From recent works it is worth noting [18]. In this paper, we consider the case of strong degeneracy of a second-order parabolic equation when the corresponding quadratic form decreases as r(x) and the formulation of the first mixed problem is determined by the coefficient of the first normal derivative.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.96.45.005 Keywords: degenerating parabolic equations, severe degeneration, function spaces, first mixed problem, solvability, boundary and initial values of solutions, a priori estimates

REFERENCES

1. Riesz F., "Uber die Randwerte einer analyschen Funktion," Math. Z., 18, 87—95 (1923).

2. Littlewood J. and Paley R., "Theorems on Fourier series and power series. II," Proc. Lond. Math. Soc. (3), 42, 52-89 (1936).

© 2019 I. M. Petrushko

3. Littlewood J. and Paley R., "Theorems on Fourier series and power series. III," Proc. Lond. Math. Soc. (3), 43, 105-126 (1937).

4. Mikhailov V. P., "On the boundary values of solutions of elliptic equations in domains with a smooth boundary," Math. USSR, Sb., 30, No. 2, 143-166 (1976).

5. Mikhailov V. P., "On the existence of limit values of a biharmonic function on the boundary of a domain," Dokl. Acad. Nauk, 395, No. 4, 452-454 (2004).

6. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations," Math. USSR, Sb., 36, No. 1, 1-19 (1980).

7. Petrushko I. M., "On the boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations in domains with a Lyapunov boundary," Math. USSR, Sb., 48, No. 2, 565-585 (1984).

8. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On the existence of boundary values of solutions of an elliptic equation," Math. USSR, Sb., 73, No. 1, 171-194 (1992).

9. Gushchin A. K., "Some properties of the solutions of the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation," Sb. Math., 189, No. 7, 1009-1045 (1998).

10. Tricomi F., "Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di 20 ordine di tipo misto," Acc. Linc. Rend., 14, 133-247 (1923).

11. Keldysh M. V., "On some cases of degeneracy of elliptic equations at the boundary of a domain," Dokl. Akad. Nauk SSSR, 77, No. 2, 181-183 (1951).

12. Bitsadze A. V., Equations of the Mixed Type [in Russian], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow (1959).

13. Tersenov S. A., Introduction to the Theory of Equations Degenerating at the Boundary [in Russian], Novosib. Gos. Univ., Novosibirsk (1973).

14. Petrushko I. M., "On boundary and initial conditions in Lp, p > 1, of solutions of parabolic equations," Math. USSR, Sb., 53, No. 2, 489-522 (1986).

15. Petrushko I. M., "Existence of boundary values for solutions of degenerate elliptic equations," Sb. Math., 190, No. 7, 973-1004 (1999).

16. Oleinik O. A. and Radkevich E. V., "Second-order equations with non-negative characteristic form [in Russian]," Itogi Nauki, Ser. Matematika, Mat. Anal. (1969), pp. 7-252, VINITI, Moscow (1971).

17. Fichera G., "On a unified theory of boundary value problems for elliptic parabolic equations of second order," in: Boundary Probl. in Differ. Equations, Proc. Sympos. (Madison, WI, Apr. 20-22, 1959), pp. 97-120, Univ. Wisconsin Press, Madison (1960).

18. Kapitsyna T. V., "On the existence of boundary and initial values for degenerate parabolic equations in stellar domains," Math. Zametki SVFU, 25, No. 4, 15-33 (2018).

Submitted August 11, 2019 Revised September 2, 2019 Accepted September 3, 2019

Igor M. Petrushko

National Research University

Moscow Power Engineering Institute,

14 Krasnokazarmennaya Street, Moscow 111250, Russia

petrushkoim@mpei.ru