Пространственное распределение переходного излучения релятивистских частиц в двугранном угле, образованном идеально проводящими плоскостями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.872.32

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ В ДВУГРАННОМ УГЛЕ, ОБРАЗОВАННОМ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИМИ ПЛОСКОСТЯМИ

А. В. Кольцов, А. В. Серов

Проведены расчеты, пространственных распределений ■интенсивности переходного излучения частиц, влетающих в двугранный угол, и вылетающих из него. Показано, что излучение вылетающего заряда при любых растворах двугранного угла а сосредоточено вблизи от направления, движения. В том случае, когда, частица, влетает в угол, распределение излучения определяется, величиной угла, раствора. При углах раствора а = п/n излучение концентрируется, около направления, движения, реально-n

n

ло. При других углах раствора, пространственное распределение излучения влетающей частицы имеет два, максимума, положение которых определяется, углом, инжекции.

Ключевые слова: переходное излучение, ускорители.

Переходное излучение заряда на плоской границе раздела подробно исследовано как теоретически, так и экспериментально [1]. Уже в первой работе [2] было показано. что энергия, излучаемая частицей, вылетевшей из идеально проводящей среды в вакуум перпендикулярно поверхности раздела, равна нулю по направлению скорости и максимальна под углом ф = y-1 к скорости, где y - приведенная энергия частицы. При падении частицы на поверхность нет излучения под углом ф = п к скорости, а максимальная интенсивность наолюдается под углом ф = п — y • Таким образом изменение направления скорости частицы, движущейся перпендикулярно поверхности, не изменяет распределение энергии излучения в вакууме.

ФИАН, Россия, 119991, Москва, Ленинский проспект, 53; e-mail: serov@x4u.lebedev.ru.

Когда заряд пересекает границу раздела, имеющую форму двугранного угла, пространственное распределение излучения, вообще говоря, существенно отличается от распределения излучения на плоской поверхности. Спектрально-угловые распределения переходного излучения частиц в двугранном угле рассмотрены в работах [3, 4]. Были исследованы распределения излучения в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Проводилось сравнение излучения частиц, влетающих в двугранный угол и вылетающих из него. В настоящей работе рассматриваются пространственные распределения переходного излучения.

Геометрия задачи представлена на рис. 1. Предполагалось, что заряд q движется в плоскости, перпендикулярной ребру, и вектор скорости в направлен под углом к биссектрисе. Поверхности, образующие двугранный угол с раствором а, определялись уравнениями р = ±а/2, а направление в точку наблюдения P - углами в, р.

В работе [4] было показано, что энергия W, излучаемая в интервал частот du в телесный угол dQ = sin ededp, описывается выражением

Рис. 1: Геометрия задачи (пояснения в тексте).

W=

\Ke |2 + \KH | sin2 в

2

(1)

КЕ (и сое 9) = (±)

д сое 9 { 1 — Н сое V(у — у0)

(2)

а

— у2 81п2 9 V 1 + Н2 — 2Н сое V(у — уо) 1 + Н сое V(у + у0) \

1 + Н2 + 2Н сое V(у + у0)

дН { вт V(у — у0) а \ 1 + Н2 — 2Н сое V(у — у0)

вт V (у + у0) \

а

+

(3)

1 + Н2 + 2Н сое V (у + у0)

V = п/а.

Н

траекторией движения заряда. Для частицы, стартующей из ребра двугранного угла, знак в скобках - плюс, а функция Н = Но^ описывается выражением

Когда частица влетает в двугранный угол5 знак в скобках - минус, а функция Н = Н\ в этом случае будет иметь вид

Отметим, что функция Н-т существенно отличается от Нои^. Значение Но^ всегда деи~ ствительно, а величина Нщ при углах раствора а = п/п будет комплексной. Это обстоятельство приводит к принципиальным различиям в характере угловых распределений интенсивности излучения частиц, вылетающих из угла и влетающих в него. Анализ выражений показывает, что в первом случае временная зависимость электромагнитного поля представляет собой ¿-импульс, возбуждаемый частицей в момент пересечения поверхности двугранного угла. В том случае, когда частица влетает в угол, временная зависимость имеет более сложный характер: наряду с ¿-импульсом могут возбуждаться электромагнитные поля, протяженные во времени, амплитуда которых в данной точке при больших временах обратно пропорциональна Ь.

По соотношениям (2) (5) были рассчитаны пространственные распределения интен-

а

в двугранном угле у0. Энергия частиц принималась равной 7 =15.

(а) (б)

Рис. 2: Распределения интенсивности излучения частиц, влетающих в двугранный угол ((а), (в)) и вылетающих из него ((б), (г)): ((а), (б)) а = п/3; ((в), (г)) а = п/4; 7 = 15.

Как показали расчеты, распределения интенсивности излучения частиц, влетающих в двугранный угол (Жщ) и вылетающих из него в общем случае существенно

различаются. На рис. 2 показаны распределения интенсивности излучения частицы, влетающей в двугранные углы а = п/3 (рис. 2(а)) и а = п/4 (рис. 2(в)), и вылетающей из углов а = п/3 (рис. 2(6)) и а = п/4 (рис. 2(г)). Во всех случаях траектория заряда проходила под углом = —0.2 к биссектрисе.

Из расчетов следует, что только при углах раствора, удовлетворяющих условию а = п/п где п - четное число, изменение направления движения не влияет на распределение интенсивности (сравните рис. 2(в) и рис. 2(г)). В обоих случаях излучение сосредоточено вблизи от траектории влетающего или вылетающего заряда, а максимум интенсивности наблюдается под углом ф = 7-1. В случае, когда угол раствора равен а = п/п, где п - нечетное число, распределение излучения влетающего заряда сосредоточено вблизи траектории заряда-изображения, проходящей через двугранный угол, в котором движется реальный заряд (сравните рис. 2(а) и рис. 2(6)).

Рис. 3: Зависимость пространственного распределения интенсивности от раствора двугранного угла а: (а) а = п/3, (б) а = п/3.25, (в) а = п/3.5, (г) а = п/3.75, (д) а =

На рис. 3 показаны распределения излучения частиц, влетающих вдоль биссектрисы (р0 = 0) в двугранные углы с углом раствора а много больше угла расходимости излучения ф = 7-1. Из рисунка следует, что при углах раствора а = п/3 (рис. 3(а)) и а = п/4 (рис. 3(д)) (т.е. а = п/и), пространственные распределения близки к распределению излучения частицы, пересекающей плоскую границу раздела: интенсивность максимальна под углом ф = 7-1 к скорости частицы и распределение практически сохраняет осевую симметрию.

Когда раствор равен а = п/3.5 (рис. 3(в)), картина распределения качественно другая. Во-первых, интенсивность излучения в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла, много больше чем в плоскости, проходящей через ребро и биссектрису. Во-вторых, максимальная интенсивность наблюдается вдоль плоскостей двугранного угла, т.е. под углами много больше р = 7-1. В третьих, значение интенсивности в максимуме в 3 раза выше, чем при растворах а = п/3 и а = п/4.

Рис. 3(а)-3(в) иллюстрируют эволюцию пространственного распределения интенсивности при изменении угла раствора от а = п/и до а = п/(и + 0.5).

На рис. 4 показаны распределения в двугранном угле с раствором а = п/3.5 при различных углах влета частиц р0. Видно, что при любых углах влета распределение

Рис. 4: Зависимость пространственного распределения интенсивности от угла ин-жекции ро: а = п/3.5, (а) = 0, (б) = —0.15, ^в) = -0.4.

остается симметричным относительно плоскости, проходящей через ребро и биссектрису. Когда частица инжектируется вдоль биссектрисы (рис. 4(а)), распределение имеет два максимума излучения, прижатых к плоскостям, образующим двугранный угол, а траектория проходит через пространство, в котором интенсивность излучения равна нулю. При увеличении угла влета боковые ветви распределения интенсивности стремятся к биссектрисе (рис. 4(6)) и сливаются (рис. 4(в)). В последнем случае распределение имеет только один максимум. Дальнейшее увеличение угла влета, при котором выполняется условие а/2—7-1 < < а/2, приводит к уменьшению интенсивности излучения в максимуме, и чем ближе к плоскости, образующей двугранный угол, проходит траектория частицы (т.е. — а/2), тем меньше интенсивность излучения в максимуме. Когда частица инжектируется под углом = п/(4п + 2) в двугранный угол с раствором а = п/(п + 0.5), то траектория проходит через область, в которой интенсивность переходного излучения максимальна. Поэтому при инжекции сгустка хвостовые частицы будут двигаться в поле максимальной интенсивности, генерируемом головными частицами.

Авторы благодарны Б. М. Болотовскому за плодотворное обсуждение результатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 10-02-01481.

ЛИТЕРАТУРА

[1] В. Л. Гинзбург, В. П. Цытович, Переходное излучение и переходное рассеяние (Наука, М., 1984).

[2] В. Л. Гинзбург, И. М. Франк, ЖЭТФ 16, 15 (1946).

[3] А. В. Серов, Б. М. Болотовский, ЖЭТФ 131(6), 994 (2007).

[4] А. В. Кольцов, А. В. Серов, ЖЭТФ 140, 2(8), 662 (2011).

Поступила в редакцию 17 января 2012 г.