Простой метод оценки критерия перехода металл-диэлектрик в модели Хаббарда Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физика». Том 22 (61). 2009 г. № 1. С. 57-60

УДК 538.915

ПРОСТОЙ МЕТОД ОЦЕНКИ КРИТЕРИЯ ПЕРЕХОДА МЕТАЛЛ-ДИЭЛЕКТРИК В МОДЕЛИ ХАББАРДА Овчинников С.Г., Сидоров К.А.

Институт физики им. Л.В. Киренского СО РАН, Красноярск, Россия E-mail: sso@ivh. krasn. ru

В работе рассчитаны энергии основного состояния парамагнитного металла в приближениях Хартри-Фока и Хаббард-1 как функции параметра Я =-. Определено пороговое значение параметра Я

2w

как точка пересечения графиков зависимости энергии от параметра Я в указанных приближениях. Это пороговое значение можно рассматривать как точку перехода металл-диэлектрик. Ключевые слова: электронные корреляции, переход металл-диэлектрик, приближение Хартри-Фока, модель Хаббарда.

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена центральной проблеме в модели Хаббарда, которой Е.В.Кузьмин придавал большое значение. Она написана по материалам курсовой работы студента К.Сидорова 4 курса кафедры теоретической физики, основанной много лет назад Е.В.Кузьминым в Красноярском Госуниверситете. Уже почти полвека модель Хаббарда остается одной из самых популярных для исследования систем с сильными электронными корреляциями. Хорошо известны два предельных случая, которые используются при расчете параметров систем, приближенно описываемых гамильтонианом модели Хаббарда [1]

H = Z\(S-V) nf + 1 -nf ^f-a I + E (tfgClf aag a + Э.С.). (1)

2f,g,a

Один из них соответствует случаю малых —. В этом случае при расцеплении бесконечной цепочки «зацепляющихся» уравнений движения для функций Грина используется приближение Хартри-Фока

—nf nf ^ 2 (—nf (nf ^+— (nf ) nf ). (2)

В случае же когда кулоновское взаимодействие электронов на узле не является малым, часто используемым приближением является приближение Хаббард-1

af+Kanf^\ а+Г,*))М nf,-«)( (af+h,*\ а+Г,*)) . (3)

Интересную задачу представляет собой нахождение порогового значения

параметра Я =- (w - полуширина зоны), при котором приближения Хартри-Фока

2w

и Хаббард-1 переходят друг в друга.

Поскольку приближение Хартри-Фока описывает металлическое решение, а приближение Хаббард-1 для наполовину заполненной зоны приводит к диэлектрику Мота-Хаббарда, то переход от одного решения к другому означает переход металл-диэлектрик. Математически это пороговое значение должно получиться в результате решения уравнения

(Я) = 22 (Я). (4)

= Е

где 2 =- - обезразмеренная энергия, индексы 1 и 2 относятся к приближениям

w

Хартри-Фока и Хаббард-1 соответственно. В настоящей работе с использованием аппарата функций Грина рассчитаны энергия парамагнитного металла при 7=0 в приближениях Хартри-Фока и Хаббард-1 и численно решено уравнение (4).

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Функция Грина в приближении Хартри-Фока равна [1,2]

С(к, Е) = 1 (5)

Е - а (к,а)

где

а (к,а) = а +1 (к) + и(пка). (6)

Среднее количество электронов в состоянии можно найти с помощью

спектральной теоремы. Энергия основного состояния

Е0 = а ( к, а). (7)

к

Заменяя в (7) суммирование интегрированием с использованием полуэллиптической модели плотности состояний

2

N (а ) = —,

"ЙТ- (8>

нами был получен следующий результат:

о

2 (Я) = - — + Я. (9)

3п

В приближении Хаббард-1 для наполовину заполненной зоны можно получить следующее выражение для электронной функции Грина [1]:

Е

^•^(Е-ЕЩЕ-Едк)) (10)

Для энергии основного состояния с использованием спектральных теорем и полуэллиптической модели плотности состояний мы получили следующее выражение

ПРОСТОЙ МЕТОД ОЦЕНКИ КРИТЕРИЯ ПЕРЕХОДА МЕТАЛЛ-ДИЭЛЕКТРИК ...

4 3 3 3-(l + 4-2) J 3п 4 п 2п 2-

+-

2—

41 + 4—

п

( (

F

V V

п 1

.2 Vi + 4— J где F и E - т.н. эллиптические интегралы

> ( - E

ж 1

^ i i

2 41+4-

JJ

+1 Í*2J

П О V

1 - x2

x2 + 4-2

dx

(11)

F (% k) = jb= О V 1

- k2 sin2 £

% i-

E(%, k) = JV1 - k2 sin2

0

Графики функций 2. (—), 7—1, 2 изображены на рис. 1. Решением уравнения (4) является точка — ~ 0.6.

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

_L

0.1

_[_

0.2

_t_

0.3

_[_

0.4

_[_[_

0.5 0.6

lm=U/2w

0.7 0.8 0.9

Рис. 1. Энергии основного состояния в модели Хаббарда в приближениях Хартри-Фока (сплошная линия) и Хаббард-1 (пунктир).

2

0

0

ВЫВОДЫ

В данной работе получена оценка порогового значения параметра

Я0 =-~ 0.6, ниже которого реализуется металлическое состояние, а выше -

2w

диэлектрическое. Это значение достаточно хорошо согласуется с полученными ранее посредством других методов. Так, в работе Хаббарда [3] посредством применения приближения Хаббард-3 для перехода металл-диэлектрик получена оценка Я0 « 0.87 . Наиболее полный обзор по рассмотренной здесь проблематике можно найти в работе [4]. Все приведенные там оценки отличаются от приведенного нами не более чем в 2 раза.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 09-02-00127 и Программы Президиума РАН 5.7.

Список литературы

1. Кузьмин Е.В. Физика магнитоупорядоченных веществ / Е.В. Кузьмин, Г.А. Петраковский, Э.А. Завадский. - Новосибирск: Наука, 1976.

2. Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма / С.В. Тябликов. - М.: Наука, 1964.

3. Hubbard J.C. Electron correlations in narrow enegy bands. III. An improved solution / J.C. Hubbard // Proc. Roy. Soc. - 1964. - Vol. A281. - P. 401.

4. Georges A. Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions / Georges A., Kotliar G., Krauth W. et all. // Rev. Mod. Phys. - 1996. - V. 68.

Овчинников С.Г. Простий метод оцшки критерто переходу метал^електрик в моделi Хаббарда / С.Г. Овчинников, К.О. Сидоров // Вчеш записки Тавршського нацюнального ушверситету iм. В.1. Вернадського. Серiя: Фiзика. - 2009. - Т. 22(61), № 1. - С. 57-60.

У робота розраховаш енергй основного стану парамагнитного металу в наближеннях ХартрьФока i Хаббард-1 як функцп параметра Я =-. Визначено граничне значення параметра Я як точка

2w

перетину графтв залежносл енергй ввд параметра Я у вказаних наближеннях. Це граничне значення можна розглядати як точку переходу метал^електрик.

Ключовi слова: електронш кореляцп, переход метал^електрик, наближення ХартрьФока, модель Хаббарда.

Ovchinnikov S.G. Simple method of an estimation of the metal-insulator transition criterion in the Hubbard model / S.G. Ovchinnikov, K.A. Sidorov // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics. - 2009. - Vol. 22(61), No. 1. - P. 57-60.

We have calculated energy of the paramagnetic system with one electron per atom in the Hartree-Fock and the

Hubbard-1 approximations as functions of parameter Я = . Threshold value of parameter as a crossing

2w

point of graphs of the energy dependence on parameter Я in specified approximations is certain. This threshold value it is possible to consider as a point of transition metal-insulator.

Key words: electron correlations, metal-insulator transition, Hartree-Fock approximation, Hubbard model.

Поступила в редакцию 26.11.2009 г.