CC BY
59
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 624.139.262
З.Г. Тер-Мартиросян, П.А. Горбачев
ФГБОУВПО «МГСУ»
ПРОМЕРЗАНИЕ ГРУНТА С УЧЕТОМ ПЕРЕМЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ И ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ИНТЕРВАЛЕ ТЕМПЕРАТУР
Рассмотрена задача о промерзании грунтовой толщи при учете переменных теплотехнических параметров грунта в температурном интервале фазового перехода и циклически изменяющегося температурного поля на дневной поверхности. Показано, что учет этих особенностей существенно отражается на скорости продвижения фронта промерзания и на эпюрах температурных полей по глубине промерзающего слоя грунта. Предложен возможный вариант аппроксимации графика движения нулевой изотермы и эпюр распределения температуры по глубине.
Ключевые слова: промерзание грунтов, количество незамерзшей влаги, фазовый переход, эффективная теплоемкость, метод линий.
Известно, что процесс промерзания грунтовой толщн всегда сопровождается формированием дополнительных полей напряжений и деформаций в грунте и в контактирующих с ним строительных конструкциях (трубопроводы, фундаменты, подпорные стены).
Очевидно, что достоверная оценка напряженно-деформированного состояния в массиве грунта и взаимодействующих с ним конструкциях во многом зависит от точности прогноза температурных полей в массиве грунта.
В научной литературе принято выделять следующие основные разновидности данной задачи. В 1831 г. Г. Ламе и Б. Клайпероном была сформулирована постановка одномерной задачи о промерзании влажного грунта и был решен упрощенный ее вариант, впоследствии дополненный И. Стефаном. В этом случае предполагается образование мерзлой и талой зон, а также подвижного фронта промерзания. Считается, что все фазовые переходы происходят при одной температуре, что соответствует промерзанию грубодисперсных пород. В случае с глинистыми грунтами может быть использована задача второго типа, в которой фазовые переходы происходят не на фронте единичной толщины, как в предыдущей постановке, а в области, ограниченной температурами начала 0Н и конца 0К фазовых превращений (рис. 1, а). Несовершенство данной модели проявляется в отсутствии учета притока влаги из талой зоны к фронту промерзания и ее миграции в мерзлой зоне. Этого недостатка лишена третья модель, учитывающая массоперенос. Данный тип задач является наиболее сложным. Аналитические решения при некоторых упрощениях были получены И.А. Золотарем [1], Г.М. Фельдманом [2]. Нахождение приближенных решений данной задачи также возможно численными методами [3].
32
© Тер-МартиросянЗ.Г., Горбачев П.А., 2011
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
-9 9f=8(0,t) 9к 6н0
Щ
N. I Дм^См
ЭДСэф(О)
\eU(z,o)
|f(z=L,t)=0 z=Lj кст
Рис. 1. Расчетная схема температурной задачи промерзания грунта (а); схемы зависимости от температуры 0 количества незамерзшей воды Жнз (б) и теплоемкости Сэф (в)
Г.М. Фельдманом [2] показано, что при выполнении практических расчетов миграцию влаги можно не учитывать без больших потерь в точности. Используя это допущение, в работе решается задача второго типа для прогнозирования изменения температуры во времени и по глубине массива в одномерной постановке.
Перейдем к более подробному рассмотрению данного типа задач. Известно, что температура на поверхности грунта изменяется в годовом цикле и может быть представлена в виде [4]
е f (0, t) = еср +-у sin I Y (t+м)
(1)
где 0ср — среднегодовая температура поверхности грунта; Д0 — амплитуда колебания температуры в годовом цикле; Т — период колебания температуры; At — сдвиг по оси времени; t — текущее значение времени.
Распределение температуры 0 по глубине г в начальный момент времени:
00(г,0)= A
Г \
1 --L
V
+
А2 у
Аъ +-
(2)
(г + 4Г+Лу
где г — текущая координата; А1, А2, А3, А4, А5, А6 — коэффициенты, подбираемые на основе экспериментальных данных.
В результате охлаждения поверхности грунтового массива начинается процесс промерзания (см. рис. 1, а).
Уравнение теплопроводности в этом случае можно записать в виде [5]
Сэф - ^у [ме)Егаёе( г, t) ], (3)
где 0(г, t) — искомая функция температуры 0 в зависимости от координаты г и времени ^ Х(0) — переменный коэффициент теплопроводности; Сэф(0) — эффективная теплоемкость грунта, определяемая по следующей формуле
с* (е) = см (е)+и ск (4)
где См(0) — переменная теплоемкость мерзлого грунта; Ь — удельная теплота фазового перехода воды, содержащейся в грунте; Жнз(0) — зависимость количества незамерзшей воды от температуры.
Зависимость количества незамерзшей воды WYa от температуры 0 находится экспериментально. Для ее аппроксимации существуют различные функции, в данной работе воспользуемся зависимостью, предложенной Л.В. Чистотиновым [6] (см. рис. 1, б):
К (0) = А + С^, (5)
где А, В, С — коэффициенты, подбираемые на основе экспериментальных кривых; 0 — температура.
Продифференцируем (5) и подставим в (4), в результате получим зависимость Сэф(0). Как видно из рис. 1, в, функция Сэф(0) имеет разрыв в точке с координатой 0Н, что сильно затрудняет получение решения дифференциального уравнения (д.у) (3). Для аппроксимации Сэф(0) воспользуемся зависимостью [5]
Сэф(0) = Сав-"1 ^-е)^2 + 0,5(См + Ст) + 0,5К-с(0)(См - Ст), (6)
причем,
К 'с(0) = 1 + Рз
1 [У -е|
, K"с(0) = , (7)
"из "
где р2 и р3 — коэффициенты полученные на основе анализа физических свойств грунта; Со — максимальное значение теплоемкости грунта; См, Ст — теплоемкости грунта в мерзлом и талом состоянии соответственно; 0нз — температура начала замерзания грунта; 0 — текущее значение температуры.
Коэффициент теплопроводности зададим в виде [5]
Зф (9) arctg
I + "кз + "нз
Кс, (8)
где Хм, ^т — коэффициенты теплопроводности мерзлого и талого грунта соответст-
венно; КС" — коэффициент сжатия функции arctg
I + "кз + "нз 2
■ темпе-
ратуры начала и конца замерзания грунта соответственно.
Температуропроводность можно определить, разделив (8) на (6). Получение решения параболического д.у. (3) с переменными коэффициентами аналитическими методами возможно при некоторых упрощениях и при использовании специальных методик [5]. В предлагаемой статье речь пойдет о приближенном решении, полученном при помощи метода линий, реализованного на основе программного комплекса MathCAD [3].
Рассмотрим одномерную задачу о промерзании грунта при следующих исходных данных: 0ср = 0,6 °С, Д0 =19 °С, T = 365-86400 с, At =184 86400 с — параметры зависимости 0/0, t); A1= 5,7, A2=13,5, A3= 5, A4= 6, A5= 0,3, A6=0,55 — параметры функции 0o(z, 0); p = 2000 кг/м3 — плотность грунта; A= 0,05, B = 0,0495, C = 0,49 — параметры зависимости W(0); CM =1130 Дж/(кг °C), CT = 1340 Дж/(кг °C) — теплоемкости мерзлого и талого грунта соответственно; L = 320 кДж/кг — удельная теплота фазового перехода воды, ß2 = 3, ß3 = 10 — параметры функции Сэф(0); ^=1,3 Вт/(м'°С), Хм=1,28 Вт/(м'°С) — коэффициент теплопроводности мерзлого и талого грунта соответственно, КС" =15 — параметр зависимости Х(0).
В результате были получены следующие кривые распределения температуры по глубине массива для различных фиксированных моментов времени (рис. 2, б).
Наличие на поверхности меняющегося во времени температурного поля существенно изменяет распределение температуры по глубине массива (для сравнения см. графики 0(z, t) из работы [7]).
Интересной особенностью данной задачи является дальнейшее охлаждение (нагрев) грунта после прохождения температуры на дневной поверхности через сезонный максимум (см. рис. 2, а, б).
Построим график перемещения фронта нулевой изотермы во времени для полученных кривых, затем аппроксимируем его с помощью полинома третьей степени. Для сравнения построим график d(t) из решения задачи Стефана [7] (см. рис. 2, в). В этом
случае происходит ритмичное движение фронта вглубь массива по закону: df(t) = ß л/t, где ß — коэффициент, характеризующий скорость продвижения фронта в глубь массива; t — время.
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
ВЕСТНИК
.МГСУ
е, °с
\
\
\
5х106 lxlO7 1.5Х107
в
Рис. 2. Графики изменения температуры на поверхности грунта во времени (а); температуры 0 по глубине г для фиксированных моментов времени (б); координаты фронта нулевой изотермы во времени (б): 1 — численное решение задачи промерзания; 2 — аппроксимация полиномом третьей степени; 3 — решение, полученное на основе задачи Стефана
Учет фазовых переходов в интервале температур существенно тормозит продвижение фронта промерзания вглубь массива. В предлагаемом решении фронт достигает глубины в 2 мна 124 сут (см. рис. 2, в, гр. 1), в то время как в задаче Стефана при коэффициенте Р = 8,167'10-4 это происходит за 70 сут (см. рис. 2, в, гр. 3).
Для аппроксимации полученных численно кривых 0(г, ¿) воспользуемся линейной зависимостью
где 0/ — переменная температура на поверхности грунта, определяемая по (1), /) — координата подвижной границы раздела фаз, аппроксимированная полиномом третьей степени (см. рис. 2, в).
В результате получим аппроксимирующие прямые, показанные на рис. 2, б в виде линий из точек. Как видно из графика на рис. 2, б выражение (5) с достаточной точностью для инженерных расчетов аппроксимирует исходное решение и может быть использовано для вычисления НДС промерзающих массивов грунта с учетом реологических процессов.
Библиографический список
1. Золотарь И.А. Расчет промерзания и величины пучения грунта с учетом миграции влаги // Процессы тепло- и массопереноса в горных породах. М. : Наука, 1965. С. 19—25.
2. Фельдман Г.М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. М. : Наука
3. Schiesser W.E. The Numerical Method of Lines: Integration of Partial Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1991.
4. Основы геокриологии. 4.4. Динамическая геокриология / под ред. Э.Д. Ершова. М. : Изд-воМГУ, 2001. 688 с.
5. Иванов Н. С. Тепло и массоперенос в мерзлых горных породах. М. : Наука, 1969. С. 190—192.
6. Чистотинов Л.В. Влияние миграции влаги на промерзание грунтов // Сезонное протаивание и промерзание грунтов на территории Северо-Востока СССР. М. : Наука, 1966.
7. Тер-Мартиросян З.Г., Горбачев П.А. Напряженно-деформированное состояние промерзающего слоя грунта вокруг сваи с учетом ползучести // Геотехника. 2010. № 4. С. 68—76.
8. Цытович H.A. Механика мерзлых грунтов. М. : Высш. шк., 1973.
Поступила в редакцию в декабре 2011 г.
z
(9)
1973. 254 с.
С. 77—84.
Об авторах: Тер-Мартиросян Завен Григорьевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой механики грунтов, оснований и фундаментов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected], 8-925-517-60-93;
Горбачев Павел Анатольевич, аспирант кафедры механики грунтов, оснований и фундаментов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected], 8-926-104-09-27.
Для цитирования: Тер-Мартиросян З.Г., Горбачев П.А. Промерзание грунта с учетом переменной температуры на поверхности и фазовых переходов в интервале температур // Вестник МГСУ. 2012. № 1. С. 32—36.
Z.G. Ter-Martirosjan, P.A. Gorbachev
HEAT TRANSFER IN FREEZING GROUND IN ACCOUNT OF VARIABLE TEMPERATURE ON DAYLIGHT SURFACE AND PHASE CHANGE IN TEMPERATURE INTERVAL
Problem of heat transfer in freezing soil is considered. It is shown that velocity of freezing and temperature distributions through depth for fixed moments of time are influenced by variable temperature on the daylight surface and thermal properties, changing in the temperature interval of phase change. A variant of freezing front penetration curve fitting and approximation of temperature distributions through depth for fixed moments of time are proposed.
Key words: soil freezing, amount of unfrozen moisture, phase change, effective specific heat, method of lines.
References
1. Zolotar I.A. Raschet promerzanija i velichiny puchenija grunta s uchetom migracii vlagi [Freezing and frost heave displacement calculation accounting mass transfer]. Processy teplo- i massoperenosa v gornyh porodah [Processes of Heat and Mass transfer in rock]. Moscow, Nauka, 1965, Pp. 19—25.
2. Feldman G.M. Metody rascheta temperaturnogo rezhima merzlyh gruntov [Calculation methods of frozen ground thermal regime]. Moscow, Nauka, 1973, 254 p.
3. Schiesser, W. E. The Numerical Method of Lines: Integration of Partial Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1991.
4. Osnovy geokriologii. Ch.4. Dinamicheskaja geokriologija [Fundamentals of Geocryology Vol. 4. Dynamic geocryology] / Edited by E.D. Ershov. Moscow, MSU Press, 2001, 688 p.
5. Ivanov N.S. Teplo i massoperenos v merzlyh gornyh porodah [Heat and mass tranfer in frozen soil]. Moscow, Nauka, 1969, Pp. 190—192.
6. Chistotinov L.V. Vlijanie migracii vlagi na promerzanie gruntov [Moisture migration impact on soil freezing]. Sezonnoe protaivanie i promerzanie gruntov na territorii Severo-Vostoka SSSR [Seasonal thawing and freezing of the soil in the North-East part of the USSR]. Moscow, Nauka, 1966, Pp. 77—84.
7. Ter-Martirospan Z.G., Gorbachev P.A. Naprjazhenno-deformirovannoe sostojanie promerzajush-hego sloja grunta vokrug svai s uchetom polzuchesti [The deflected mode of freezing soil layer around the piles]. Geotehnika [Geotechnics]. № 4, 2010, Pp. 68—76.
8. Tsytovich N.A. Mehanika merzlyh gruntov [Mechanics of frozen soils]. Moscow, Visshaja shkola, 1973, 448 p.
A b o u t a u t h o r s: Ter-Martirosjan Zaven Grigorievich — Doctor of Science (DSc), Professor Chief of the Department of Mechanics of Soil, Beds and Foundations, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26, Jaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, [email protected];
Gorbachev Pavel Anatolievich — postgraduate student of the Department Mechanics of Soil, Beds and Foundations, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26, Jaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, [email protected].
F o r c i t a t i o n: Ter-Martirosyan Z.G., Gorbachev P.A. Promerzanie grunta s uchetom peremennoj temperatury na poverhnosti i fazovyh perehodov v intervale temperatur [The freezing of the soil, taking into account the variable surface temperature and phase transitions in the temperature]. Westnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no 1, Pp. 32—36.
