CC BY
121
УДК 519.62:536.2
ПАВЛОВ Алексей Романович, доктор технических наук, профессор кафедры математического анализа Института математики и информатики Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова. Почетный работник высшего профессионального образования РФ. Автор 65 научных работ, в т.ч. монографии, трех учебно-методических пособий
МАТВЕЕВА Майя Васильевна, аспирант кафедры математического анализа Института математики и информатики Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова. Автор 14 научных публикаций
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ МОРОЗНОГО ПУЧЕНИЯ ГРУНТА*
Предлагается алгоритм численного исследования температурно-влажностного режима и пучения грунтов в процессе промерзания. Изучены закономерности влияния основных параметров, определяющих морозное пучение.
Система уравнений тепломассопереноса, промерзание грунта, пучение грунта
Одной из основных причин морозного пучения является увеличение объема грунта при промерзании в результате перехода воды в лед и миграции влаги к фронту промерзания [1]. Количественная оценка этих процессов аналитическими методами затруднена из-за нелинейности определяющих уравнений [2]. Расчетный метод определения морозного пучения влажных грунтов основан на исследовании совместного тепловлагопереноса при промерзании. В настоящей работе исследование температурно-влажностного режима грунтов с учетом фазовых превращений поровой влаги в процессе их промерзания выполнено на математической модели тепломассопереноса [3, 4] в случае, когда не учитываются количество тепла, переносимое миграционным потоком влаги, и термоградиентный механизм переноса влаги.
Постановка задачи о промерзании. Температурная задача в одномерном случае, когда пространственная координата х направлена от дневной поверхности грунта внутрь массива, состоит из следующих уравнений:
ст _с_(х сТ
дґ дх і 1 дх
°ір^|, Т>г-, <х<', (1)
дТ д ( дТ Л дW
СР а -£Iя- *] + *РЦТ• Т<Т*, 0<х<«*
(2)
На границе раздела фаз имеет место условие типа Стефана:
дТ дТ d£
я - Л — = ЬрЩ, - Wl(T,)] ^, Т = Т., X = £(/).
дх дх д/
(3)
* Работа частично поддержана грантом имени академика В.П. Ларионова для молодых ученых, специалистов и студентов по физико-техническим наукам РС(Я) (№07-05/28 от 22.01.2008).
На дневной поверхности грунта задано условие теплообмена по закону Ньютона:
дТ
Л — _ а{Т - Тс) х _ 0, ґ > 0, (4)
дх с
а на нижней границе области - отсутствие теплового потока:
£\ГП
Л— _ 0, х _ І, ґ > 0. дх
(5)
Температура по толщине грунта удовлетворяет следующему начальному условию:
Т(х,0) = р(х), 0 < X < I, (6)
где р( х) - заданная функция.
В уравнениях (1-6) приняты следующие обозначения: Т - температура; W— влажность в талой зоне; W W2 - влажности по жидкой и твердой фазах в мерзлой зоне соответственно; Т, -
температура фазового перехода; с1, р1, Я1 -соответственно удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности талой зоны; с2, р2, Я2 - те же величины в мерзлой зоне; р - плотность скелета (сухого) материала; Ь - удельная теплота кристаллизации воды (плавления льда); W» = W(Т,) - значение влажности на фронте со стороны талой зоны; W1 (Т,) - такая же величина со стороны мерзлой зоны; а - коэффициент теплопередачи, Тс - температура окружающей среды; X = £(/) - уравнение фронта фазового перехода.
Влажностная задача ставится с учетом миграции влаги, как в талой, так и мерзлой областях:
дЖ __в|*
дґ дх
( дЖ}
Г ~дк\ 1(0 < х <1, Т > Т*, (7)
дЖ д дЖ
дґ дх
к
дЖ }
-^)0 < х < ^ Т < Т*. (8)
Уравнение баланса массы на фазовой границе можно записать в виде
Ж,(Т.) О-.
аґ
дх дх
Граничные условия влажности записываются в зависимости от фазового состояния границы. В талом состоянии всей границы грунта задаются условия:
К ^ = а, {Ж—/), х = 0, Т > Т., (10)
дЖ
дх
_ 0, х _ I, Т > Т,.
(11)
Для мерзлых границ указанные условия принимают следующий вид:
дЖ
к„
дх
1 _ а,(Ж1-щ), х _ 0, Т < Т., (12)
дЖ
1 = 0, х = I, Т < Т,. (13)
дх
Начальное распределение влаги во всей области известно:
Ж(х,0) = р, (х), 0 < х < I. (14)
В уравнениях (7-14) приняты следующие обозначения: Ж1 (Т) - известная функция, выражающая количество незамерзшей воды при температуре Т; Ж2 (Т) - льдосодержание (количество льда); Ж = Ж1 + Ж2 - суммарная влажность в мерзлой зоне; Ж - влажность в талой зоне; /( х) - равновесная с окружающей средой влажность материала; О, - коэффициент влагообмена; к1, к2 - коэффициенты диффузии влаги соответственно в талой и мерзлой зонах; Ж2 (Т,) = Ж, — Ж1 (Т,) - свободная влага (вода), которая замерзает скачком на фронте фазового перехода.
Уравнениями (1-14) полностью описываются температурное и влажностное поля при выбранных граничных условиях. Разработанный алгоритм численного решения указанной задачи подробно изложен в работе [5].
Алгоритм определения морозного пучения. Морозное пучение является результатом увеличения объема поровой воды при ее переходе в лед. В процессе промерзания происходит перераспределение влаги путем ее миграции, которое при определенных условиях может привести к пучению и образованию внутри промерзшего слоя прослойков льда различной мощности.
В настоящей работе предлагается методика численного моделирования морозного пучения грунтов, основанная на результатах численного решения задачи тепловлагопереноса в промерзающих грунтах. Методика позволяет прослеживать за динамикой полей температуры, влажности и пучения в процессе промерзания.
Вывод формулы для расчета величины пучения основан на предположении, что увеличение объема грунта происходит вследствие увеличения объема порового вещества за счет перехода воды в лед. И расширение объема происходит по высоте (по направлению к дневной поверхности грунта) без возможности бокового расширения, как это принимается в задаче о компрессионном уплотнении грунтов [7].
Построение разностной сетки по пространственной координате означает разбиение всей рассматриваемой толщины грунта на отдельные слои. В результате пучения слои мерзлой области перемещаются в направлении к поверхности грунта и границы между слоями (сеточные линии) займут новое положение. Поэтому в случае возникновения пучения переходим к другой сетке с новыми шагами к . Для вывода формулы, по которой рассчитывается новый шаг сетки, возьмем элементарный объем грунта V с площадью основания Р и высотой к. Условие возникновения пучения определяется соотношением V + У2 > Уп, где V1, V2 - объемы воды и льда соответственно. Величину суммарного объема влаги, равную объему пор, назовем порогом пучения V * = V* + = Уп.
Приращение объема влаги за порогом пучения в рассматриваемом объеме выразится следующим образом:
А¥ _ V
V _ у + У2
V.
Разделив обе части на Vc - объем твердых частиц (скелета), получим
ЬУ V, V, V п —- = -^ + -^ — — = 3 + V — т,
V V V V
с с с с
т - пористость материала; 3, V - объемные влажности по жидкой и твердой фазам влаги. С другой стороны,
AV Рк ‘ — Рк
V V
с с
Pкi = V - объем взятого элемента, который состоит из суммы объемов твердых частиц и порового пространства V = Vc + Vn. Разделив на Vc обе части и заменив V на Рк1, получаем:
V = Рк
1 + т
Тогда из предыдущего равенства следует:
АУ
вл
~У~
И -1
h
л
С1 + т).
У
и, приравнивая два полученных выражения для / V , приходим к равенству
V і
(і + т)_ 3 + ц - т.
Отсюда следует формула для расчета нового шага сетки:
И * _ И
(15)
1 + т
Величина пучения всей области на текущем шаге расчета определится как разность между начальными узлами новой и старой сеток х 0 — х 0, которые лежат на поверхности грунта. При построении новой сетки ее последний узел, совпадающий с нижней границей области, считается неподвижным.
Условие возникновения пучения удобно представить в виде
3 + т}> т. (16)
Исходя из изложенного, алгоритм определения морозного пучения грунтов можно сформулировать в следующем виде.
1. На каждом временном шаге решается температурно-влажностная задача.
2. Вычисляются 3., г/. по найденным в первом пункте функциям Ж, Ж2:
3 = —Ж, Т > Т., 3 = — Ж1, Т < Т.,
Р\ —1
Ц= — Ж2, Т < Т..
— 2
где р, —\, р2 - плотности сухого грунта, воды и льда соответственно.
3. Проверяется условие (16) во всех узлах сетки. Если оно не выполнено, переходим к следующему временному шагу и возвращаемся к пункту 1. Если имеет место условие (16), то переходим к следующему пункту.
4. По формуле (15) вычисляются шаги новой сетки и определяется величина пучения как расстояние начального узла новой сетки от первоначальной дневной поверхности грунта.
5. Переходим к следующему временному шагу и повторяем пункты 1-4.
Примеры численных исследований. Проведены расчеты по описанному алгоритму, где рассматривается массив грунта длиной
I = 3 м в течение 720 ч. Необходимые в расчетах исходные данные взяты из [7, 8, 9].
Значения Я при различных степенях влаго-насыщенности q вычислены по формулам из [6]:
Я = 1.38 + 1.05а, Я2 = 1.32 +1.05а.
Пористость определяется по плотностям сухой супеси р = 1770 кг / м3 и его скелета рс = 2650 кг / м3:
т = 1 - р/рс = 0.33.
Максимальная влагоемкость:
Жтах = т—1/Р = 0186
Начальная влажность находится по формуле
Ж = аЖ .
1 тах
Найденные ее значения помещены во втором столбце таблицы. Удельная теплоемкость скелета супеси принята равной
Сс = 0.959 кДж /кг • град.
Коэффициенты влагопроводности талого и мерзлого грунтов выбраны функциями температуры и влажности:
^ = k2 ехр(-0.23Ж2),
к2 = 1.4 • 107 ехр(0.172Ж)(1 + 0.04Т).
Рассмотрим на примере супеси влияние начальной влажности на величину пучения. Пусть нижняя граница влагонепроницаема и теплоизолирована, температура среды Тс =-15° С. Из результатов расчета, представленного на рис. 1, следует, что увеличение начальной влажности грунта приводит к росту величины пучения.
Изучены также закономерности пучения в случае, когда на подошве сезонноталого слоя имеются надмерзлотные воды, т.е. на нижней границе области задается постоянная влажность, равная полной влагоемкости. Результаты расчетов показывают возрастание величины и скорости пучения (рис. 2) по сравнению со случаем, когда есть подток влаги на этой границе.
Данные по теплопроводности талой и мерзлой супеси (кДж/м^час^град)
Степень влагонасыщенности а Начальная весовая влажность Л талой супеси Я мерзлой супеси
0,6 0,1116 8,171 8,422
0,7 0,1302 8,426 8,862
0,8 0,1488 9,05 9,302
0,9 0,1674 9,45 9,742
Рис. 1. Развитие пучения во времени при различных степенях влагонасыщенности а и Тс = -15° С
Рис. 2. Развитие пучения во времени при степени влагонасыщенности а = 0.6 и Тс = -7° С
Известно [6], что немонотонный характер изменения температуры поверхности грунта вызывает неравномерное льдообразование внутри слоя зимнего промерзания. Для исследования влияния указанного фактора в данной
работе выполнены расчеты, когда температура окружающей среды в процессе промерзания изменяется от — 30° С до —15° С и затем опять становится равной — 30° С, т.е. происходит некоторое потепление в процессе промерзания. Из результатов расчета (рис. 3) видно, что в случае промерзания с потеплением пучение грунтов превышает его величины при постоянной температуре окружающей среды.
------30" с
Рис. 3. Развитие пучения во времени при степени влагонасыщенности Ц = 0.9
Приведенные в работе результаты решения некоторых типичных задач промерзания сезонноталых грунтов показывают, что разработанная методика численного исследования процесса промерзания грунтов дает достаточно удовлетворительный прогноз динамики температурного и влажностного полей, а также возникающего при этом пучения. Она дает возможность в достаточно близкой к реальным условиям постановке вскрыть основные закономерности формирования криогенных текстур и величины пучения.
Список литературы
1. КиселевМ.Ф. Предупреждение деформации грунтов от морозного пучения. Л., 1985.
2. Кудрявцев С.А. Численное моделирование процесса промерзания, морозного пучения и оттаивания грунтов // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2004. N° 5. С. 21-26.
3. ЛыковА.В. Явление переноса в капиллярно-пористых телах. М., 1954.
4. ИвановН.С. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. М., 1969.
5. Павлов А.Р. Итерационная разностная схема для задачи тепломассопереноса при промерзании грунтов / А.Р. Павлов, М.В. Матвеева // Вестник Самарского государственного университета. Серия естественнонаучная. 2007. № 6(56). С. 242-252.
6. Цытович Н.А. Механика грунтов. М., 1979.
7. ИвановН.С. Теплофизические свойства мерзлых горных пород / Н.С. Иванов, Р.Н. Гаврильев. М., 1965.
8. Степанов А.В. Теплофизические свойства дисперсных материалов / А.В. Степанов, А.М. Тимофеев. Якутск, 1994.
9. Гарагуля Л.С. Основы мерзлотного прогноза при инженерно-геологических исследованиях. М., 1974.
Pavlov Alexey, Matveeva Maya
NUMERICAL MODELING OF FROST HEAVE DYNAMICS
The algorithm for numerical research on the temperature-humidity conditions and soil heaving during freezing is proposed. Regularities in the influence of the key parameters determining soil heaving are studied.
Рецензент - Матвеев В.И., доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
