Производные и интегралы дробных комплексных порядков функций дискретной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ ДРОБНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ПОРЯДКОВ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: vachurikov@list.ru

Вводится дискретный d-оператор дробного интегродифференцирования комплексных порядков. Рассматривается алгоритм дискретного дифференцирования идискретного интегрирования функций дискретной переменной.

Ключевые слова:

d-оператор дискретной переменной, дискретная производная, дискретный интеграл. Key words:

d-operator of discrete variable, discrete derivative, discrete integral.

Как известно, такие аналитические операции, как дифференцирование и интегрирование, применяют к функциям, которые обладают рядом необходимых свойств. Например, дифференцируемая функции в точке должна быть непрерывной в данной точке, а интегрируемая функции (по Ри-ману) на отрезке должна быть кусочно непрерывной на данном отрезке [1].

Формально операции дифференцирования и интегрирования (интегродифференцирования) можно определить и для последовательностей -функцийДп) дискретной переменной п, пробегающей ряд натуральных чисел. Особенностью этих операций является то, что они должны определяться на нигде не плотном множестве. Эти операции назовём дискретной производной и дискретным интегралом порядка з, и будем обозначать

О-°п: f (п) - (п) = (-О-') f(п);

ап V.ап ]

йп: f (п) = |f (п)йп,

где символами й-!!п и й!п обозначены, соответственно, операторы дифференцирования и интегрирования порядка з, по дискретной переменной п.

Прежде чем определить данные операции, сформулируем условия, которым они должны удовлетворять.

Потребуем, чтобы функции дискретной переменной Дп) переходили в функции непрерывной переменной Дх), а операторы дискретного дифференцирования й~*п идискретного интегрирования йп переходили в соответствующие непрерывные операторы дифференцирования й-!!п и интегрирования йп, при замене дискретной переменной п непрерывной переменной х. Такой переход назовём прямым переходом, а переход при замене непрерывной переменной на дискретную в функциях и операторах - обратным переходом. Прямой и обратный переходы должны всегда выполняться и приводить к однозначным результатам для всех значений п из области определения функции Дп). Порядок интегродифференцирования з является комплексным и не меняется при прямом и обратном переходах

f (п) f (х) о f (п) = f (х)| п=х;

й±п< >0±*х о 0±*п = 0^x1 . (1)

1п=х

Из этого следует выполнение равенств, для производных и интегралов при тех же преобразованиях

0±ап: f (п)< ”^х >0±ах:f (х) о 0±п : f (п) =

= О ± *х: f (х)| .

\п=х

Дополнительно потребуем, чтобы при переходе функций дискретной переменной к функциям непрерывной переменной, от которых берётся производная и/или интеграл порядка 1, результат совпадал с аналогичным результатом, если эту функцию продифференцировать и/или проинтегрировать в стандартном анализе. Выполнение этого условия является следствием принципа соответствия.

В данной работе введём дискретную производную и дискретный неопределённый интеграл на основе локального й-оператора дробного интегро-дифференцирования. Этот оператор носит алгебраический характер, что и позволяет применить его к функциям дискретной переменной. В данном случае переопределим й-оператор как оператор дискретной переменной п, действующий в пространстве степенных функций дискретной переменной пя. Это сужает возможности ранее введённого й-оператора [2, 3].

В рассматриваемом й-операторе порядки инте-гродифференцирования и показатели степенных функций, на которые действует й-оператор, являются комплексными числами, что в данном случае расширяет область применения й-оператора.

Определение. Дискретным й-оператором, или оператором дробного дифференцирования и дробного интегрирования дискретной переменной пеЖ комплексного порядка л=х+гу, х,уеК; Х,У=сош1; Х,7^0, действующим в пространстве степенных функций дискретной переменной п с комплексными показателями д=ц+1У, /л^еК; л,>=сош1, будем называть равенства

dsn: nq =

Г(д +1) ;

Г(q - s +1)

Г(q + 1) „

s; q ^-1, - 2, - 3,...;

Г(q + s +1) q*-1,-2,-3,...; s q = -1, - 2, - 3,...; s (-1)m-1

+ Cs (n); N;

N; s< | q|

d n: n = —

(m -1)!Г(-s - m +1)

m є N; s ^ 0,1,2,3,...;

(-1)m-1

dsn : n-m =---------^---------------n-'

(m -1) !Г( s - m +1)

m є N; s ^ 0,1,2,3,...;

d 1n:n-1 = ln | n | +C1; C1 = const.

+ Cs (n);

(2)

Рассмотрим частные случаи возможных порядков интегродифференцирования.

Когда порядок д=х=у=0, это единичный оператор, переводящий функции самих в себя.

Когда порядок интегродифференцирования вещественный, s=Re(s)=x>0, а в равенствах (2) перед показателем порядка оператора д стоит знак минус, это будет соответствовать оператору дробного дифференцирования вещественного порядка х, а если значение порядка оператора со знаком плюс, то это будет оператор дробного интегрирования вещественного порядка х.

Когда порядок интегродифференцирования мнимый, д=/1ш(д)=гу, у>0, и если в равенствах (2) перед показателем порядка оператора д, стоит знак минус, то это будет оператор дробного дифференцирования мнимого порядка х, а если значение мнимого порядка оператора со знаком плюс, то это оператор дробного интегрирования мнимого порядка х.

Если порядок интегродифференцирования комплексный, д=х+іу, х,ї>0, а знак у порядка отрицательный, то это будет дробное дифференцирование комплексного порядка, а если знак положительный, то это соответствует дробному интегрированию комплексного порядка.

Если знаки у вещественной и мнимой части порядка интегродифференцирования различаются, т. е. д=-х+іу или д=х—у, то такие порядки будем называть смешанными комплексными порядками. В этом случае нельзя говорить только о дифференцировании или только об интегрировании. Если в операторе у смешанного порядка перед вещественной частью стоит знак минус, то формально будем говорить, что это оператор смешанного дифференцирования комплексного порядка д, а если знак плюс, то это оператор смешанного интегрирования комплексного порядка д.

Первое равенство в операторе (2) определяет дробное дифференцирование порядка д. Дополнительные условия исключают случаи дифференцирования в полюсах гамма-функции Г(...) в числителе коэффициента оператора. Полюса угамма-

функции имеются для целочисленных вещественных порядков s=Re(s)=x=0,-1,-2,-3,...

Второе равенство определяет дробное интегрирование порядка з>0, когда значение гамма-функция в числителе не попадает в полюс. Первые дополнительные условия в данном равенстве исключают случаи интегрирования в полюсах. Вторые дополнительные условия исключают интегрирование в логарифмических случаях.

Третье и четвёртое равенства определяют дифференцирование и интегрирование в полюсах, когда показатели степени степенных функций вещественные и имеют отрицательные целочисленные значения.

Пятое равенство определяет интегрирование в логарифмическом случае, которое соответствует такому случаю в стандартном анализе.

Все указанные дополнительные условия в операторе, налагаемые на й-оператор, лежат в вещественной области.

Далее С(п) и С1 — полиномы интегрирования порядков з и 1 соответственно, которые являются обобщениями констант интегрирования стандартного анализа. Производная порядка з от полинома интегрирования порядка з равна нулю.

При дискретном дифференцировании порядка з полиномов интегрирования порядка з получим ноль

О- *п: С (п) = 0.

Полиномы интегрирования дискретного аргумента определяются как в случае одномерного дробного анализа [2, 3]

С (п) =

Q(n) = 0; s = 0;

от

Ca (n) = Х a*n-*

s = a;

a = x + гул s = ±x + Y;

ak є С; ak = const; j a j >0; а Ф 1, 2, 3, ...;

m-1

Cm (n) = ^aknk; ak = const; s = m; m є N. (3)

Здесь неопределённые коэффициенты ak являются константами интегрирования, которых будет k в случае целочисленных порядков и бесконечное счётное множество для нецелочисленных порядков.

При дискретном интегрировании порядка s, по дискретной переменной n, функции дискретной переменной f(n) получим

dsn: f (n) = F(s> (n) + C>) - f )(n) + Cs (n).

Здесь Fs)(n)=F~s)(n) - базовая первообразная порядка s функции f(n), т. е. такая первообразная, у которой полином интегрирования равен нулю [4] и Cs(n) - полином интегрирования порядка s.

При прямом переходе, n——x, дискретный оператор (2) и полином интегрирования (3) переходят в непрерывный J-оператор и полином интегриро-

k =1

k=0

вания, зависящие от непрерывной переменной. Порядки дифференцирования и интегрирования в этом операторе в общем случае являются комплексными. Действует такой оператор на степенные функции х1, показатели степени 1 у которых в общем случае тоже комплексные.

Дискретный й-оператор является линейным

О±“п : (пf (п) + Ag(п)) = п鱓 п: f (п) + АО± п: g(п).

Здесь Дп), g(n) — функции дискретной переменной; п,ЯеС; п,^=сопб1.

Для непрерывного й-оператора справедлив принцип соответствия [5], из которого следует, что он выполняется и для дискретного й-оператора ввиду того, что дискретный й-оператор является частным случаем непрерывного й-оператора.

Нахождение дискретной производной и дискретного интеграла от функций дискретной переменной, которые можно представить в виде суперпозиции степенных функций от дискретной переменной, производится, используя оператор (2).

В силу преобразований (1) возможен и более сложный, но более универсальный, алгоритм нахождения дискретной производной и дискретного интеграла от функции дискретной переменной, который заключается в последовательности действий:

1) замена в функции дискретной переменной самой дискретной переменной на непрерывную и получение функции непрерывной переменной (прямой переход);

2) представление функции непрерывной переменной в виде конечной линейной комбинации степенных функций или в виде степенного ряда;

3) интегродифференцирование полученной функции непрерывным й-оператором;

4) обратный переход, т. е. замена в производной (первообразной) функции непрерывной переменной на функции дискретной переменной. Второй способ интегродифференцирования

необходимо использовать, когда функция дискретного аргумента не представлена в виде суперпозиции степенных функций дискретного аргумента.

Производную дискретной переменной, можно интерпретировать как скорость изменения после-

довательности при изменении дискретного аргумента.

Рассмотрим пример дифференцирования комплексного порядка в=а+іЬ, а, ЬєК, а, Ь=сош1 ря-

от

да арифметической прогрессии У п. Непосред-

ственное дифференцирование даёт

О-вп: У п = Г(1 +1 У п- =—1— У п-.

£ Г(1 -в+1) Г(1 + *)

Здесь 1—в=1—а—г"Ь=—з.

Если Re(s)=а—1>1, то полученную производную можно выразить через дзета-функцию Римана

от

а*)=У п- * [б]

п=1

О-ап: У п =-------1— У п- * =-----1--£ ().

£ Г(1 + *) ^ Г(1 + *)^'

Пример интегрирования компотлексного порядка р=а+1Ь гармонического ряда У п-1

п=1

от

О рп: У п-1 + Ср (п) =

1

п=1

\ 0 -\ от

У пр-1 + Ср (п) =

= ИТ___________

0! Г(-1 + р +1) ^

от

=---------У п- * + Ср (п).

Г(1 - *) £ р ()

Здесь р—1=—з=а—1+/Ь.

Если Re(s)=а—1>1, то полученный неопределённый интеграл можно выразить через дзета-

функцию Римана

от

Орп: У п-1 + Ср(п) = —— С(*) + Ср (п).

п=1 Г(1 - *)

Последовательности играют важную роль для строгого определения пределов в анализе. Дискретный й-оператор позволяет использовать дифференцирование и интегрирование для более глубокого изучения самих последовательностей.

п=1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс / под ред. А.Н. Тихонова. 2-е изд., пе-рераб. — М.: МГУ, 1985. — 662 с.

2. Чуриков В.А. Локальный й-оператор дифференцирования и интегрирования конечных вещественных порядков для дробного анализа // Известия Томского политехнического университета. — 2011. — Т. 318. — № 2. — С. 5—10.

3. Чуриков В.А. Краткое введение в дробный анализ целочисленных порядков. — Томск: Изд-во ТПУ, 2011. — 72 с.

4. Чуриков В.А. Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе й-опера-тора. — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. — 118 с.

5. Чуриков В.А. Доказательство принципа соответствия вдроб-ном анализе на основе й-оператора // Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Матер. Междунар. конф. молодых ученых. — Нальчик, 5—8 декабря, 2011. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011. — С. 237—239.

6. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994. — 376 с.

Поступила 16.07.2012 г.