CC BY
29
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Идрисов Ф.Ф., Устинова И.Г. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса при случайном числе измерений // Экономика, технология, предпринимательство. -Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. - Вып. 1. - С. 75-79.
2. Устинова В.Н., Устинова И.Г. Дискретные иерархические системы в геофизике // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320. - № 1. - С. 91-97.
3. Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации. - М.: Недра, 1986. - 342 с.
4. Бендат Дж. Основы теории случайных шумов и ее применения. - М.: Наука, 1965. - 463 с.
5. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. - М.: Наука, 1990. -642 с.
Поступила10.06.2013 г.
УДК 517
ОБОБЩЁННЫЙ G-ОПЕРАТОР КОМПЛЕКСНЫХ ПОРЯДКОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В.А. Чуриков
Томский политехнический университет E-mail: vachurikov@list.ru
Вводится локальный G-оператор дифференцирования и интегрирования вещественной переменной комплексных порядков, который является обобщением d-оператора вещественных порядков на случай бесконечного количества локальных операторов, для которых выполняется принцип соответствия. Рассмотрены некоторые его свойства и частные случаи.
Ключевые слова:
G-оператор комплексного порядка, пространство коэффициентов, полиномы интегрирования, полиномы дифференцирования. Key words:
G-operator of a complex order, space of factors, integration polynomials, differentiation polynomials.
Введение
В работе [1] был введён обобщённый вещественный локальный оператор дробного интегро-дифференцирования, но без учёта полиномов дифференцирования, или б-оператор, который представляет бесконечное множество локальных операторов дробного интегродифференцирования вещественных порядков вещественной переменной.
Обобщим б-оператор на комплексные порядки интегродифференцирования, действующие на степенные функции с комплексными показателями, следуя в основном [1]. Кроме того, в новый б-опера-тор, по сравнению с оператором из [1], внесены изменения, связанные с логарифмическими случаями.
6-оператор комплексных порядков
Определение. Оператор б’х будем называть обобщённым локальным оператором дифференцирования и интегрирования дробных комплексных порядков э=х+1у, X, X, У=сопя^ X, 7^0, дей-
ствующим над множеством степенных функций хч вещественной переменной х с комплексными показателями q=л+iv, /л, veK; /л, v=const
О-5х : х9 = К(-5, д; х)х9-5 + С—5(х);
О0 х: х9 = К (0, д; х) х9+0 + С0( х) = х9;
О5х: х9 = К(5, д; х)х9+5 + С5(х); 5 ^ — д;
О5х: х—5 = К (5, — 5; х) 1п 5 (х) + С5 (х). (*)
Рассмотрим важные частные случаи порядков интегродифференцирования в.
Если порядок нулевой, в=х=Т=0, то это соответствует единичному оператору, который переводит функции самих в себя, что можно записать О0х=1.
Если порядок интегродифференцирования вещественный, s=Re(s)=x>0, а в равенствах (*) перед показателем порядка оператора в, стоит знак минус, то это соответствует оператору дробного дифференцирования вещественного порядка х, а если перед показателем порядка оператора стоит знак плюс, тогда это будет соответствовать оператору дробного интегрирования вещественного порядка х.
Когда порядок мнимый, 8=іІт(в)=іу; у>0, а в равенствах (*) перед показателем порядка оператора в стоит знак минус, то это будет соответствовать О-оператору дробного дифференцирования мнимого порядка у, а если значение мнимого порядка оператора со знаком плюс, то это будет О-оператор дробного интегрирования мнимого порядка у.
Если порядок интегродифференцирования комплексный, в=х+іТу X, 7>0, и перед ним стоит знак минус, то это соответствует дробному дифференцированию комплексного порядка в, а если знак плюс - дробному интегрированию комплексного порядка в.
В случаях, когда знаки у вещественной и мнимой части порядка интегродифференцирования различаются, т. е. в=-х+іу или в=х-їу, то такие порядки будем называть смешанными комплекс-
ными порядками. Тогда нельзя говорить только о дифференцировании или только об интегрировании. Если в операторе у смешанного порядка перед вещественной частью стоит знак минус, то формально будем говорить, что это G-оператор смешанного дифференцирования комплексного порядка s, а если знак плюс, то это G-оператор смешанного интегрирования комплексного порядка s.
Далее C-s(x) - полиномы дифференцирования порядка s; Cs(x) и C1 - соответственно, полиномы интегрирования порядков s и 1. Полиномы интегрирования являются обобщениями констант интегрирования стандартного анализа [2].
Полиномы интегрирования и полиномы дифференцирования для удобства легко объединить в полиномы интегродифференцирования C+s(x).
Произвольные полиномы интегродифференцирования CTs(x) и C+s(x) дробного порядка s при их интегродифференцировании порядка s удовлетворяют уравнениям
G±sx : CTs(x) = C±s (x).
Функции lns(x) являются логарифмами порядка s, которые требуют дальнейшего определения. В частности, в стандартном анализе, для s=1, ln1(x)=ln (x).
Коэффициенты дробного интегродифференци-рования K(s,q;x) определяют вид операторов дробного интегродифференцирования; CTs(x) - полиномы интегродифференцирования дробного порядка s.
Вид полиномов интегродифференцирования определяется коэффициентами K(s,q;x).
В каждом конкретном случае при интегродиф-ференцировании необходимо задавать конкретный вид коэффициентов K(s,q;x).
Кроме этого, на коэффициенты K(s,q;x) и полиномы интегродифференцирования необходимо наложить дополнительные условия, которые должны обеспечить выполнение принципа соответствия [1]. Тогда для вещественного порядка 1 и порядка 0, дробного дифференцирования и дробного интегрирования, что соответствует стандартному анализу, эти условия будет
K (-1, q; x) = q;
K (0, q; x) = 1;
K(1, q; x) = (q +1)-1; q ^ -1;
K (1, -1; x) = 1; q = -1;
C-1( x) = 0; C0( x) = 0; C1( x) = C1 x0 = C1 = const.
Множество всех возможных функций коэффициентов K (s,q;x) образуют пространство коэффициентов обобщённого вещественного локального оператора комплексных порядков s и комплексных показателей степеней q: K(±s,q)cK (±s,q;x).
Каждый элемент пространства K(±s,q;x) задаёт локальный оператор дробного интегродифференци-рования, отличный от других операторов, задаваемых другими элементами пространства коэффициентов. Поэтому каждый из элементов пространства K(±s,q;x) может лежать в основе построения локаль-
ного дробного анализа, отличного от других подобных направлений, основанных на других операторах, определяемых другими элементами К(±8^;х).
Заданное таким образом пространство коэффициентов К(±8^;х) является очень широким, поэтому имеет смысл его сузить. Для этого на коэффициенты из К(±8^;х) наложим дополнительные условия.
Потребуем, чтобы коэффициенты были независимы от переменной х, или
К(±5, д; х) ^К(±5, д); дК(±5, д)/дх =0.
Коэффициенты К(э^) определены для всех значений в, q, однозначны и являются кусочно-непрерывными функциями по в и q.
Эти условия сужают пространство коэффициентов и приводят к пространству К(±в^), которое назовём суженным пространством коэффициентов, тогда К(±8^)сК(±8^;х).
Одним из самых простых в суженном пространстве коэффициентов, задающих конкретные направления дробного анализа, является й-оператор комплексных порядков, который в рамках обобщённого вещественного локального оператора задаётся соотношениями
К(-5, д) = Г(д + ^; д * -1, - 2, - 3,...;
K (-s, n) =
Г(q - s +1) (-і)”-1
-; n = 0,1,2,3,...;
(n -1) !Г(-s - n + 1) n є N; s ф 0,1, 2,3,...;
Hq +1) (q ф-1, - 2, - 3...;
K(s,q) = K(s,n) =
Hq + s +1) [s Ф-q; (-і)”-1
; s ф n; n = 0,1,2,3,...;
(n -1) !Г( s - n + 1)
K (s, - s) = 1.
Полиномом интегродифференцирования CTs(x) вещественного порядка s для данного случая определяется
от
C-cl(x) = ^bkx-k-a; s = а; а, bk єМ;
а, bk = const; а ф 0, 1, 2, 3, ...;
C-m (x) = 0; s = m; m є N;
Q( x) = 0; s = 0;
от
Ca(x) = ^akx-k+а; s = а; а, ak єМ;
k=1
а, ak = const; а ф 1, 2, 3, 4...;
m-1
Cm (x) = ^ akxk; s = m; ak = const; m є N.
В этом случае будут справедливы формулы ин-тегродифференцирования порядка s для произвольных полиномов интегродифференцирования C±s(x) и CTs(x) порядка s
dTsx: C±s(x) = CL (x).
k =1
k=0
Заключение
Операторы из множества обобщённого оператора Gsx могут быть использованы в приложениях и, прежде всего, для описания пространств с дробной размерностью и описания самых разных процессов в таких пространствах.
Может оказаться, что для тех или иных конкретных процессов в пространствах дробных размерностей будут подходить одни операторы дробного интегродифференцирования из множества обобщённого оператора G’x, а для других процес-
сов больше будут подходить другие операторы из того же множества.
При выборе операторов из множества бвх для приложений можно исходить из теоретического принципа простоты, согласно которому их двух операторов правильным должен быть признан наиболее простой из них. Но принцип простоты носит скорее рекомендательный характер. Окончательный отбор операторов из множества бвх следует проводить, опираясь на конкретные результаты наблюдений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чуриков В. А. Обобщённый вещественный локальный оператор дробного интегродифференцирования // Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики: Матер. II Междунар. Российско-Узбекского симпозиума. -
Кабардино-Балкарская республика, Эльбрус, 28 мая - 1 июня 2012. - Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2012. - С. 285-287.
2. Чуриков В.А. Краткое введение в дробный анализ целочисленных порядков. - Томск: Изд-во ТПУ, 2011. - 72 с.
Поступила 22.02.2013 г.
УДК 531.01
КОВАРИАНТНЫЕ ФОРМЫ ПРИНЦИПОВ И УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ
А.И. Родионов
Новосибирский Государственный технический университет E-mail: teormech@ngs.ru
Представлен авторский взгляд на систему дифференциальных вариационных принципов и уравнений механики систем с произвольными дифференциальными связями. Он основан на варианте расширения классической механики, описывающем динамику голономных и неголономных систем произвольных порядков. Для несвободной системы вводится ее изображающая точка. Она движется в пространстве E3N по многообразию Rm, стеснённому также дифференциальными связями. На основе уравнений движения ИТ выводятся ковариантные формы уравнений и принципов механики неголономных систем высших порядков.
Ключевые слова:
Системы с произвольными дифференциальными связями, дифференциальные вариационные принципы механики неголономных систем произвольных порядков, изображающая точка системы, уравнения движения изображающей точки системы, ковариантные формы уравнений движения и принципов.
Key words:
Systems with any differential constraints, differential variation principles of mechanics of any orders nonholonomic systems, Affix of a system, Affix motion equations, covariant forms of motion equations and principles.
Введение
Современное состояние и развитие мехатрони-ки, авионики и точной электромеханики поставило вопрос об адекватных механических моделях динамики систем управляемого движения с полными и неполными дифференциальными программами движения высших порядков. К таким системам относятся системы, управляемые по резкости-рывку и производным более высоких порядков.
Во второй половине ХХ в. стало понятно, что большой класс движений систем, управляемых по какой-либо программе, может быть описан как класс систем с голономными и неголономными связями общего вида [1]. А уравнения связей исполняют роль программ движения. В рамках одно-
го формализма эти связи могут быть определены как дифференциальные связи высших порядков.
Известно, что построение механики твердых тел и распределенных систем на основе дифференциальных и интегральных вариационных соотношений и принципов является устоявшейся научной традицией [2-5] и с развитием вычислительных методов и техники приобрело большое практическое значение. Разделение всех принципов на вариационные соотношения и собственно принципы признается рядом авторов и имеет в рамках вариационного исчисления глубокий смысл. Придерживаясь этой точки зрения, мы всё же будем называть в дальнейшем соотношения и собственно принципы для краткости принципами. В данной
