CC BY
32
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чуриков В.А. Дробный анализ на основе оператора Адамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т 312. - № 2. - С. 16-20.
2. Чуриков В.А. Экспоненты в дробном анализе целочисленных порядков на основе ¿-оператора // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320. - № 2. - С. 16-20.
3. Чуриков В.А. Краткое введение в дробный анализ целочисленных порядков. - Томск: Изд-во ТПУ, 2011. - 72 с.
Поступила 28.06.2012 г.
УДК 517.3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ БИНОМИАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В ЛОКАЛЬНОМ ДРОБНОМ АНАЛИЗЕ
В.А. Чуриков
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассмотрено дробное интегродифференцирование биномиальных разложений в локальном дробном анализе на основе d-оператора.
Ключевые слова:
Дробный анализ, d-оператор, биномиальное разложение.
Key words:
Fractional analysis, d-operator, binomial decomposition.
В стандартном анализе справедлива формула дифференцирования степенных рядов в окрестности центра aeR; a=const<<»
га га
d-1 x: ^ bn (x ± a )” = ^ nb„ (x ± a )”_1; bn = const <га.
n=0 n=0
Эта формула часто используется в дробном анализе для дифференцирования нецелочисленных порядков, например [1].
Но при простом распространении данной формулы на случай дробных производных она уже не является справедливой. Покажем это на простом примере для второго члена разложения ряда.
Найдём производную нецелочисленного порядка s с помощью локального ¿-оператора [2], когда скобки не раскрываются, тогда по формуле можно записать
J-s I I X Г(2 + 1) 2 -
d x :(x ± a) =--------------- ------- — (x ± a)
(1)
Г(2 - 5 +1)
Здесь Г(...) - гамма-функция Эйлера.
Найдём производную такого же порядка, но уже раскрыв скобки
^-5х:(х ±а)2 = d-5х:(х2 + 2ах +а2) =
= Г(2 +1) -х2-5 ± 2а Г(1 +1) х1- +
Г(2 - s +1)
Г(1 - s +1)
+а2 Г(0 + 1 х0-5.
Г(-5 +1)
Полученные результаты не равны между собой, если йФ0. Последний полученный результат явля-
ется правильным. Из этого следует, что в дробном анализе формула дифференцирования степенных рядов (1), обобщающая формулу стандартного анализа, не применима в дробном анализе.
Поэтому имеет смысл получить для дробного анализа общие формулы интегродифференцирова-ния дробных порядков биномиальных разложений как для случаев с целочисленными порядками, так и с нецелочисленными порядками разложения.
Для целочисленных порядков т справедливо разложение
(x ± a)m = £ (±1)
n=0
n=m
=Е (±1)
m
n
m!
n=o n !(m - n)
n!
m!( n — m)!
; m, n Є N; m > n > 0 .
Здесь
- биномиальные коэффициенты, ко-
торые в общем случае вещественных коэффициентов будут
f a Г(Ь +1)
; a, b є\
Г(а + 1)Г(Ь - а +1)
Когда показатель степени д>0, #*1,2,3,... не является целочисленным, будет справедливо разложение в ряд, сходящийся для значений, когда выполняются условия: -1<х±а<1; а*0
= (±a)‘
(x ± a)q = (±1) q(a ± x) q = ( ±a) q
q(q —1)
1 ± -1 =
1 ± q
2!
x I ± q(q—1)(q—2)
3!
- ...+(±1)
q(q —1)(q — 2)...( q — n +1)
= (±a)q J (±1)n
= (±a) q J (±1)n
r(q + 1)
Г(п +1)Г(д -п +1)
=(±в).£ Г(д+1) хп.
(а)п п!Г(д - п +1)
Коэффициент (±а)д распадается на множество неравных друг другу комплексных коэффициентов.
Если д рациональное число, и его можно представить в виде д=г/р; г,реМ с условием, чтобы у г и р не было общих нетривиальных делителей, тогда в комплексной плоскости эти коэффициенты будут распадаться на два множества, для случаев с положительным и с отрицательным значением а
Если число д иррациональное, то имеется бесконечное счётное множество комплексных коэффициентов.
Ряды, у которых каждый коэффициент разложения имеет более одного значения, будем называть многослойными рядами. А общее число комплексных значений коэффициентов задают множество слоёв ряда.
Ряд с главным коэффициентом будем называть главным рядом.
Ряды с дополнительными коэффициентом будем называть дополнительными рядами, каждый из которых имеет свой номер, в соответствии с номером I.
Интегродифференцирование целочисленных порядков к биномиальных разложений с целочисленными порядками т будет
n=0
m!
a \q (exp(i>a>o)) q; _ a \q (exp(i>a<o)) q.
a IP (exp(i>a>0)) p;_ a \P (exp(i>a<0)) p.
d±kx :(x ±a)m = d±kx : J(±1)
n=m
= d±kx : J (±1)
n=m
=j (±1)
n=0 n=m
= J (±1)
= J (±1)
n=o n!(m — n)!
m! r(m — n +1) n!(m — n)! Г(m — n ± s +1) m! (m — n)!
n!(m — n)! Г(m — n ±k +1) m! m—.±
xm—n±k +Ca( X) =
■xm—n±k +Ca( c) =
+ Ca (X );
r f f r m, n Є N; m
I a Г exp| ^ Va>0 | ;
V V P jj
r f f r = Ca (X) = ■
I a \P exp| ^ Va<0 |
v V P jj
a \p exp j i2nl— |; a >0;
^,
a \p exp I in—+ P
p exp I in + i2nl— |; a < 0 .
cos I 2nl —
v v P
- i sin | 2 nl
a > 0;
n!(m — n ±k)!
>n > 0; a = ±k; k >0; k = 0, 1, 2, 3, ...;
0; a < 0;
k—1
Ca (x) = JajXj; a 7 = const; a >0.
j=1
Здесь Ca(x)- полиномы интегрирования, которые для оператора дифференцирования и для единичного оператора будут равны нулю. В случае оператора интегрирования полиномы интегрирования будут отличны от нуля.
Интегродифференцирование нецелочисленных порядков s биномиальных разложений с целочисленными порядками показателей степени m
j
гГ Г r r f r ГЧЛ
cos I n—+ 2nl — 1+ isinj n—+ 2nl —
p p j V p p
v
a < 0.
d±sx :(x ± a)m = d±sx : J(±1)n
j
Всего имеется р комплексных коэффициентов, которые задают разложение. Число 2пг будем называть периодом коэффициентов. Все коэффициенты будут повторяться при каждом прохождении углом р периода коэффициентов.
В случае иррациональных порядков д число комплексных коэффициентов будет образовывать бесконечное счётное множество.
Коэффициент, соответствующий номеру 1=0, будем называть главным коэффициентом.
Остальные р-1 комплексных коэффициентов будем называть дополнительными коэффициентами с соответствующими номерами I.
= d ±sx: J (±1)
= J (±1)”
n=0
= J (±1)”
n=0
m!
n!( m — n)! r(m — n +1)
n !(m — n)! Г(m — n ± s +1) , m! (m — n)!
n !(m — n)! Г(m — n ± s +1)
: +Ca( x) =
: +Ca( x) =
=1: (±1)n
!
„=0 п!Г(: — n ± s +1)
a = ±s; s >0; s ^ 1, 2, 3, 4...; 0; a < 0;
+ Ca (x);
Ca (X) =
Ca(x) = Jakx /'+i; =const; a>0; ari,2,3, 4...
n=0
n=0
r
r
n=0
n=0
7=1
Формула интегродифференцирования целочисленных порядков к с нецелочисленными показателями д
7±k
= d x:
d ±kx :(x ± a)q =
(±a)q £ (±^ r( q +1) xn
£ (a)n n!r(q - n +1)
= (±fl)q £ (±1)П J(q +1)_ _Г(” +1)1N xn±k +Ca(x) =
a” n!r(q — n +1)Г(n ±k +1)
= (±a)q £
Ca (x) =
(±1)n
Г( q +1)
-xn±k +Ca( x); n=0 an r(q — n + 1)(n ±k)!
m, n e N; m > n > 0; a = ±k; k >0; k = 1, 2, 3, 4...;
0; a < 0;
j=k—1
Ca(x) = £ ax7'; aj = const; a >0.
Формула интегродифференцирования нецелочисленных порядков ^ с нецелочисленными показателями д
= d "x
d±"x :(x ± a)q =
(±a) q £ (±1)n Г( q+1) xn
•”г0 (a)" п!Г( q — n +1)
= (±a)q £ (±1и^+1_ J(n +^ Xn +Cia) =
an n!Г(q —n +1)Г(n ±" +1)
= (±a)q £
Г( q +1)
-xn±" +Ca( x);
Ca (x) =
n_0 an Ц# — n +1)Г(п ±" +1) a = ±"; " >0; " ^1, 2, 3, 4...;
0; a < 0;
Ca (x) = £akx—j+"; a7 = const; a >0; a ^1, 2, 3,4..
Из полученных двух последних выражений можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема. При дробном интегродифференциро-вании многослойного ряда биномиального разложения, имеющего р слоёв, получается ряд, который тоже имеет р слоёв.
Доказательство следует из того, что коэффициенты являются константами и в случае дробного интегродифференцирования выносятся за знак оператора, и их число остаётся неизменным.
Из теоремы следует, что число слоёв биномиального ряда является величиной инвариантной относительно дробного интегродифференцирова-ния, и каждый слой является «самостоятельным» рядом.
n—U
7-1
n=0
7=1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самко С.Г, Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. -Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.
2. Чуриков В.А. Локальный d-оператор дифференцирования и интегрирования конечных вещественных порядков для
дробного // Известия Томского политехнического университета. - 2011. - Т. 318. - №2. - С. 5-10.
Поступила 19.03.2012 г.
