Полиномы дифференцирования в локальном дробном анализе на основе d-оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Евтушик П.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. - 1979. -Т. 9. - С. 3-246.

2. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Тр. Геом. Сем. - 1974. - № 16. - С. 37-42.

3. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Сер. Геометрия. - 1965. - Т. - С. 65-107.

4. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. - 1971. - Т. - С. 153-174.

5. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

6. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТП, 1948. - 432 с.

7. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№2. - P. 231-240.

Поступила 15.02.2013 г.

УДК 517

ПОЛИНОМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ЛОКАЛЬНОМ ДРОБНОМ АНАЛИЗЕ

НА ОСНОВЕ d-ОПЕРАТОРА

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Показано, что в локальном дробном анализе имеются достаточно простые интегрируемые функции нецелочисленных порядков, базовая первообразная соответствующего порядка от которых равна нулю.

Ключевые слова:

d-оператор, полиномы дифференцирования, полиномы интегрирования. Key words:

d-operator, differentiation polynomials, integration polynomials.

Введение

В локальном дробном анализе появляются новые функции, зависящие от порядка интегродиф-ференцирования, которые можно назвать элементарными и которые в стандартном анализе или обращаются в константы, в частности в ноль, или вообще теряют смысл, поэтому такие функции в стандартном анализе отсутствуют и их удобно приравнивать к нулю [1, 2].

Аналоги функций стандартного анализа в локальном дробном анализе в общем случае имеют другие свойства, зависящие от их порядка. Более того, для многих функций в локальном дробном анализе имеет место вырождение, когда они имеют не один аналог, а более одного, конечное или бесконечное счётное множество [2, 3].

В частности, в локальном дробном анализе появляются своеобразные функции, которые можно отнести к элементарным функциям локального дробного анализа, которые были названы полиномами дифференцирования.

Полиномы дифференцирования

Определение. Ненулевая интегрируемая функция С-8(х), выражающаяся через дробностепенной ряд

да

^ bkx-k-s; k = 0, 1, 2,3, N; b, s e C; b, s = const,

k=1

с шагом равным 1, будем называть полиномом дифференцирования.

Шаг ряда - это модуль разности показателей степеней степенных функций любых двух соседних элементов дробностепенного ряда.

Функций, аналогичных полиномам дифференцирования в стандартном анализе, нет.

Теорема. Первообразная порядка s от полинома дифференцирования C-s(x) порядка s равна нулю с точностью до сложения с полиномом интегрирования Cs(x).

Первообразная функция называется базовой первообразной, если её полином интегрирования, в силу его произвольности, приравнять к нулю.

Тогда утверждение теоремы равносильно тому, что базовая первообразная нецелочисленного порядка s от полинома дифференцирования порядка s равна нулю.

Доказательство. Используя d-оператор дробного интегрирования порядка s [3, 4], легко проинтегрировать полином дифференцирования

й°х: С-(х) = й5х: £Ъкх-к- = С-->(х) + С (х) =

Г(-к - 5 +1) _к_1+1.„,л

= £Ък ^------:——х + С (х) =

к=1 Г(-к - 5 + 5 +1)

= £ Ъ, х- + С( х) =

V1 г. Г(-к - 5 + 1) - к , V1 -к+5

= £ Ък--------------х +£ акх =

= 0 + С (х) = С (х); х е М; 5, ак, Ъ е С.

Здесь в,ак,&к=соп8^, з^0,1,2,3,...; С-Дх) - базовая первообразная порядка я от полинома дифференцирования порядка я.

Полином дифференцирования задаётся через степенной ряд, в котором элементы ряда пропорциональны степенным функциям х-к-я, которые обращаются в ноль при однократном воздействии й-оператором интегрирования порядка я

й5х: х-к-5 = 0 + С!1 (х).

Определение. Вещественные степенные функции х-к-я (к=0,1,2,3,...) будем называть нильпо-тентными функциями дифференцирования комплексного порядка я (8*0,1,2,3,...) степени 1.

Введём и более общие нильпотентные функции дифференцирования.

Определение. Степенные функции х-к-ря (к=0,1,2,3,. ) будем называть нильпотентными функциями дифференцирования порядка я целочисленной вещественной степени р.

Теорема. Если последовательно р раз проинтегрировать нильпотентные функций дифференцирования порядка я степени р й-оператором порядка я, приняв получающиеся полиномы интегрирования равными нулю в силу их произвольности (С,,(х)=0), то получим ряд равенств

Г(-к - Р5) -к- р -1> .

й*х: х-к-Р = -

й'х: й'х: х

-к -р ______________

Г(-к - (р -1)5 +1) Г( - к - рт)

Г( - к - (р - 2) 5 +1)

.-к - р - 2) .

й'х: й'х:... $х: х

-к_р, _ Ц-к-рт) -к _

Г(-к)

х =

= Г(-к - р) х - к = 0.

ОТ

Из данной теоремы следует равенство для полиномов дифференцирования порядка ря

х :Х5Х:... Х5х :С-р(х) = йр5х: С р(х) = 0.

Р

Заметим, что в локальном дробном анализе существуют степенные интегрируемые функции отличные от нуля, базовая первообразная от которых равна нулю. В стандартном анализе степенные функции с такими свойствами не встречаются.

Аналогично можно рассмотреть степенные функции для случая дробного дифференцирования.

Определение. Степенные функции х-к+3 (к=1,2,3,. ) будем называть нильпотентными функциями интегрирования комплексного порядка я степени 1.

Введём и более общие нильпотентные функции интегрирования.

Определение. Степенные функции х-к+рз (к=1,2,3,...) будем называть нильпотентными функциями интегрирования комплексного порядка я целочисленной вещественно степени р.

Теорема. Если последовательно р раз продифференцировать нильпотентные функций интегрирования порядка я степени р й-оператором порядка я, приняв получающиеся полиномы дифференцирования равными нулю в силу их произвольности (С-8(х)=0), то получим ряд равенств

й-»х: х-к+Р5 = Г(-к р) х-к + р- 1> ;

г(-к+(р -1) 5+1) ;

й-'х: й-'х: х-к+р =--Г(-к + р5)-х-к + *- 2> ;

Г( - к + (р - 2)5 +1)

й- *х: й-*х:... й-*х: х-к+р = Г(-к + р5) х-к =

'--------.---------' Г(-к)

п

= Г(-к + р > х - к = 0.

от

Из данной теоремы следует равенство для полиномов интегрирования порядка ря

йТХ:й-Х:.„ХX :Ср,(х) = й-рх : С(х) = 0.

Рассмотрим интегрирование ряда полинома дифференцирования для случаев целочисленных порядков т, тогда будет справедливо следующее утверждение.

Теорема. Базовая первообразная целочисленного порядка т=0,1,2,3... от полинома дифференцирования С-т(х) порядка т отлична от нуля Доказательство.

от

йтх: С-т (х) = йтх: £Ъкх-к-т = С--;">(х) + Ст(х) =

к=1

= £ Ък П-к-" + Ц х- к-т+т + Ст" т) = к=1 Г(-к - т + т +1)

= £ Ък Г(-к - т + 1) х-к + Ст (х) =

£ к Г(-к +1) т ( )

» (-1)т Г(-к +1) 1

=£

к к(к + 1)(к + 2) ... (к -1 + т) Г(-к +1)

-х +

к

т-1 от

+£ Ъкп ==£

(-1)т

к к-! кк(к + 1)(к + 2) ... (к -1 + т)

т-1 +£ ЪкП.

-х-к +

к=1

п

к =0

Здесь

bk = const; x e M; s, ak, bk e C; s, ak, bk = const; s * 0, 1, 2, 3...

Рассмотрим доказательство по-другому, исходя из равенства d-оператора для интегрирования целочисленных порядков степенных функций с отрицательными целочисленными показателями

(-1)m (n - m-1)!.

dmx: x-n =■ Здесь

(n -1)!

Lx" - +Cm (x).

m = 0,1,2,...; n 6 N; m < n. Тогда доказывается просто

dmx: x-n-m =

= ^(—1) m (n + m — m —1)! xm-m-n

=1 (n + m -1)!

= ^ (-1)m (n - 1)! xm-m-„

(n + m-1)! x

= Zx-n + Cm (x)

+ Cm (x) = Cm(x)=

:E:

=1 (n + m -1)! (-1)m

-x-” + Cm (x).

=1 п(п + 1)(п + 2) ... (п + т — 1)

Здесь

т = 0,1,2,...; п 6 Н; т < п.

Очевидно, производная целочисленного порядка т от базовой первообразной того же порядка т в общем случае отлична от нуля

йтх: С- т (х) = С-тт>(х) =

(-1)т

-x-k * 0.

C- s(x) =

Q( x) = 0; s = 0;

kx ; s = a; a, /

= C;

a, bk = const; s * 0, 1, 2, 3, ...; C-m (x) = 0; s = m; m e N.

Если полином дифференцирования выразить через дискретную переменную п, пробегающую целочисленные значения (пеЖ), вместо непрерывной переменной х, то получим частный случай полинома дифференцирования

C- s(n) =

C0( n) = 0; s = 0;

да

C-a (n) = Z bkn-

l; s = a; a, bk e C;

a, bk = const; s * 0, 1, 2, 3, ...; C m (n) = 0; s = m; m e N.

Дискретный интеграл порядка я от полиномов дифференцирования порядка я будет

й'п : С-^(п) = С5(п).

Если полином интегрирования С,,(п) принять равным нулю, в силу его произвольности, то получим

й5п: С- 5 (п) = 0.

В случае мнимых порядков 1у полиномы дифференцирования будут

С0( х) = 0; у = 0;

C-y (x) =

C-y (x) = £

ax

-k-iy .

к=1 к (к + 1)(к + 2) ... (к -1 + т)

Это значит, что для целочисленных порядков т, включая нулевой порядок, рассматриваемые функции С-т(х) полиномами дифференцирования не являются. В частности, в стандартном анализе, когда порядок равен 1, функции С-1(х) тоже не являются полиномами дифференцирования.

Поэтому для целочисленных порядков полиномы дифференцирования, для удовлетворения равенства йтх: С-т(х)=0, необходимо принять равными нулю

С- т (х) = 0; т = 1, 2, 3, ...

В тривиальном случае дифференцирования порядка 0, что соответствует единичному оператору интегродифференцирования, будем считать, что полином дифференцирования тоже равен нулю

С0(х) = С-0(х) = 0; й0х: С0 (х) = 1: С0(х) = 0.

В результате полиномы дифференцирования можем записать для всех рассмотренных случаев

Y eM; у > 0; ak eC; y, ak = const.

Неопределённый интеграл мнимого порядка iy от полинома дифференцирования того же порядка будет

diY x: C-iy (x) = Ciy (x).

Если полином интегрирования Су(х) приравнять к нулю, то будет

diyx : C-iy (x) = 0.

Существование полиномов дифференцирования говорит о том, что операция дифференцирования нецелочисленных порядков может оказаться такой же неоднозначной, т. е. с точностью до сложения с полиномами дифференцирования, как неоднозначна операция интегрирования с точностью до сложения с полиномами интегрирования, что можно записать

d-'x : /(x) = f (s)(x) + C-s (x).

Неопределённый интеграл порядка s от полученной функции будет

k =1

k =1

k=1

Л :(/(s)(X) + С-^ (x)) =

= (f(s)( х) + С- ^ (x))(s) + С^ (х) =

= f(s-s >( x) + C-s (x) + С^ (x) = f (x) + C (x).

Если вначале проинтегрировать функцию, получим

dsx: f (x) = F(s>(x) + Cs (x).

Последующее дифференцирование даёт d- sx:(F(s \ x) + Cs (x)) =

= (F(s)( x) + Cs (x))(s) + C-s (x) =

= F(s-s >( x) + Cf>(x) + C-s (x) =

= F (0)( x) + C-s( x) = f (x) + C-s (x).

Тогда легко получить коммутационные соотношения

[dsx; d-sx ]: f (x) = (ds x: d-s x - d-s x: ds x) f (x) =

= dsx: d-sx: f (x) - d-sx: dsx : f (x) =

= f (x) + Cs (x) - f (x) + C-s (x) = Cs (x) - C-s (x).

Здесь [dsx;d-sx] - коммутатор.

При перестановке операторов в коммутаторе получим обратное коммутационное соотношение

[d-sx; dsx]: f (x) = - [dsx; d-sx]: f (x) =

= d-sx: dsx: f (x) - dsx: d-sx: f (x) =

= f (x) + C-s(x) - f (x) + Cs (x) = C-s (x) - Cs (x).

Полиномы интегрирования [3, 4] и полиномы дифференцирования можно для удобства объединить в одну функцию.

Определение. Полиномом интегродифферен-цирования комплексного порядка s будем называть функцию C±s(x), задаваемую равенствами

от

C (x) = £akx-k+a; s = a; ak eC;

k = 1

a, ak = const; a ^ 1, 2, 3, 4...;

a = x+ a = ±x + Y;

X, Y e M; x, Y = const; x, Y ^ 0;

m-1

Cm(x) = £akxk; s = m; ak = const; m eN;

C- (x)=

+s( ) Co(x) = 0; s = 0;

от

C-a(x) = Z bkx-k-a; s = a; bk eC;

k=1

a, bk = const; a ^ 0, 1, 2, 3, ...; a= x+ z'ya a = ±x + iY;

X, Y e M; x, Y = const; x, Y ^ 0;

C-m (x) = 0; s = m; m eN.

Если перед значением порядка s у полинома ин-тегродифференцирования стоит знак плюс, то это соответствует полиному интегрирования порядка s (первые два равенства), а когда знак минус, то это соответствует полиному дифференцирования по-

рядка в, (четвёртое и пятое равенства). В случае порядка в, равного нулю, полиномы дифференцирования и полиномы интегрирования совпадают и равны нулю (третье равенство).

Константы ак и Ьк являются соответственно неопределёнными константами интегрирования и константами дифференцирования. Поэтому полиномы интегродифференцирвания являются произвольными функциями в том же смысле, что и константы интегрирования в стандартном анализе.

В случае целочисленных порядков, включая стандартный анализа (порядок в=1), отсутствуют полиномы дифференцирования, поэтому они в этих случаях были приравнены к нулю.

В дробном анализе целочисленных порядков, и в частности в стандартном анализе, отсутствуют полиномы дифференцирования, которые для целочисленных порядков, включая нулевой, были приравнены к нулю.

В локальном дробном анализе в общем случае производная комплексного порядка в от функции /(х) будет

й-х: /(х) = /(“>(х) + С Дх) = ^>(х) + С-(х).

Здесь функцию /в)(х)^(-в)(х) будем называть базовой производной прядка в функции /(х). Другими словами, базовая производная - это такая производная, у которой полином дифференцирования равен нулю.

Неопределённый интеграл в локальном дробном анализе комплексного порядка в от функции /(х) в общем случае будет

й“х: / (х) = ^> (х) + С,( х) = /(- >( х) + С (х).

Здесь функция ^(8)(х)=/(-8)(х) является базовой первообразной прядка в функции /(х).

Общую объединённую формулу дробного инте-гродифференцирования прядка в функции /(х) можно записать

й ±х: f (х) = f(*>( х) + С±( х) = ^(±“>(х) + С± (х).

В частности, при интегродифференцировании порядка в произвольных полиномов интегродиф-ференцирования С±8(х) и Ст,,(х) будут выполняться равенства

йт*х: С±, (х) = С_а (х).

Расписав данное соотношение в виде двух равенств, получим

й - “х: С (х) = С -, (х);

й“х: С-, (х) = (х).

Если полиномы интегродифференцирования, в силу их произвольности, приравнять к нулю (приближение нулевого полинома интегродифферин-цирования), (~+8(х)=(~-8(х)=0, то будут справедливы равенства

й+“х: С±а (х) = 0.

Или в виде двух равенств

й- “х: С, (х) = 0; й“х: С, (х) = 0.

Из этих соотношений следует важное утверждение.

Теорема. Базовая производная порядка в от полиномов интегрирования порядка в и базовая первообразная порядка в от полиномов дифференцирования порядка в равны нулю.

Доказательство. Второе и третье равенства выполняются по определению.

й0х: С0(х) = 0; йтх: С-т(х) = 0; т е N.

Первое и четвёртое равенства легко доказываются

й±ах: Ста (х) = й±ах: £ а

- к +а

= ^ а Г( к + а +1) *-а±а =

к Г(-к + а±а +1) “

= £ ак Г(-к Т а +1) х-к = 0;

£1

-к + а ^ -1, - 2, - 3,... Доказательство пятого равенства следующее

т-1

й-тх: Ст (х) = й-тх: ^ а*х* = к =0

= £ а* Г(к +1) хк-т =

£1 к Г(к - т +1)

= у ак Г(к +1) хк-т = 0; к = 0, 1, 2, ... т-1.

£1 »

В частном случае можно приравнять к нулю полиномы дифференцирования, в силу их произволь-

ности, С_„(х)=0 (приближение нулевого полинома дифференцирования); тогда получим соотношения больше соответствующие стандартному анализу

й- “х: С, (х) = 0;

й“х: 0 = С, (х).

Аналогично если приравнять к нулю уже полиномы интегрирования, С+8(х)=0, в силу их произвольности, будут выполняться равенства

й-“х: 0 = С-, (х);

й“х: С-, (х) = 0.

Такое приближение назовём приближением нулевого полинома интегрирования, которое не является привычным, но в локальном дробном анализе оно вполне возможно.

Вывод

Полиномы интегродифференцирования делают операции интегрирования и дифференцирования неоднозначными в локальном дробном анализе для всех порядков за исключением интегродифферен-цирования нулевого порядка и дифференцирования целочисленных порядков, включая порядок 1, соответствующий стандартному анализу.

Полиномы интегрирования в локальном дробном анализе переходят в константы интегрирования в стандартном анализе. Что касается роли полиномов интегрирования в локальном дробном анализе и в его приложениях, то она аналогична роли констант интегрирования в стандартном анализе. Вопрос о возможном применении полиномов дифференцирования в самой математике и в приложениях не совсем ясен и требует более глубокого исследования.

к = 1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чуриков В.А. Дробный анализ на основе оператора Адамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т. 312. - №2. - С. 16-20.

2. Чуриков В.А. Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе й-опера-тора. - Томск: Изд-во ТПУ, 2010. - 118 с.

3. Чуриков В.А. Краткое введение в дробный анализ целочисленных порядков. - Томск: Изд-во ТПУ, 2011. - 72 с.

4. Чуриков В.А. Локальный ^-оператор дифференцирования и интегрирования конечных вещественных порядков для дробного анализа // Известия Томского политехнического университета. - 2011. - Т. 318. - № 2. - С. 5-10.

Поступила 23.01.2013 г.