CC BY
30
лать заключение о регулярности решений уравнений и точности априорных оценок в силу отсутствия действительных характеристических направлений.
Список литературы:
1. Nowacki W. Teoría niesymetrycznej spr^zystosci / W. Nowacki. - War-sawa: PWN, 1971. - 246 с.
2. Победря Б.Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды / Б.Е. Победря // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. - 2005. - № 1. - С. 54-59.
3. Агмон С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы / С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг. - М.: ИЛ, 1962. - 205 с.
4. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными / Л. Хермандер. - М.: Мир, 1965. - 379 с.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ЯЗЫКОМ СЛОВА © Пайметов Н.Г.*
Амурский институт железнодорожного транспорта - филиал Дальневосточного государственного университета путей сообщения,
г. Свободный
Математические формулы - лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать, используя первичные и наглядные образы из окружающей жизни.
В математических работах ... главное - содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык - это формулы. Если вообразить математику в виде огромного дома, то учёных, чьими трудами возведён этот дом, естественно сравнить с каменщиками. И такое сравнение небезосновательно. Когда каменщик возводит стену, то каждый кирпич прочно укладывается на уложенные ранее и скрепляется с ними раствором. Точно также в рассуждении математика каждое утверждение опирается на уже доказанное. Оно сцементировано с ними законами логики. Любая теорема или несколько теорем, в свою очередь, могут послужить обоснованием для какой-то новой теоремы.
Логически последовательная стройность утверждений - вот самое существенное и характерное свойство математики. Оно ярко проявилось уже в древнейших её разделах - арифметике и геометрии. Со временем появи-
* Старший преподаватель кафедры «Высшая математика».
лись в математике и формулы, этот особый язык для записи выкладок и теорем, язык удобный, точный и ёмкий. Скажем небезызвестную теорему Пифагора можно высказать словами: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Путём логического рассуждения попытаемся разобраться в разделе математики - дифференциальном исчислении. Допустим, намечены соревнования по автомобильным гонкам, успех в которых определяется соблюдением программы соревнований. Скажем соблюдением сроков, отведённых на отдельные этапы маршрута: штрафные очки назначаются и за опоздание, и за опережение.
Пусть длина предстоящего этапа - 300 км., отпущенные на него время - 3 ч. Лучший вариант тактики движения казалось бы прост: по известному расстоянию до пункта назначения и отведённому времени рассчитать среднюю скорость движения и стараться придерживаться её на всём пути. На графике зависимости пройденного пути от времени такой идеальный режим изобразится прямой с угловым коэффициентом, равным скорости: V = 100 км/ч. (рис. 1).
Однако постоянная скорость - идеал едва ли достижимый. Выдерживать ее во все время пути затруднительно. Да и неразумно: трудные участки лучше проследовать помедленнее, а на ровных и прямых, напротив, поднажать. Вот и рекомендуемый график движения, розданный участникам соревнования, заметно уклоняется от идеальной прямой: судя по графику, стартовать, предлагается не спеша и наверстать упущенное к концу этапа.
Рис. 1. Графики зависимости пройденного пути от времени
Но как определить точнее режим скорости, верность которому обеспечит рекомендуемую зависимость пути от времени? Иными словами, как,
зная зависимость пути от времени, вычислить скорость в каждый момент времени, мгновенную скорость? Чему, судя по приведённому графику, она равно, например, через час с момента старта?
Средняя скорость на всём этапе в целом способна дать лишь грубый оценочный ответ на такие вопросы: отклонение от неё за всё время пути могли быть весьма велики. А если ограничиться отрезком времени короче? Не станет ли от этого средняя скорость более точной оценкой скорости мгновенной?
Измерим среднюю скорость автомобиля за час; начиная с интересующего нас момента. Как свидетельствует график, на этом отрезке времени она составляет 95 км/ч. (рис. 2). Повторим измерения на получасовом интервале от выбранного мгновения. Средняя скорость упала до 86 км/ч. Можно надеяться, что эта цифра уже точнее оценивает мгновенную скорость в интересующий нас момент дуга графика, котором мы ограничились на сей раз, едва заметно отклоняется от отрезка прямой, стягивающего ее концы.
Это побуждает брать для измерений средней скорости все меньшие промежутки времени: пятнадцать минут десять, пять, три, две, одну, половину, четверть...
Вот результаты этих последовательных замеров: 83; 82; 81; 30,6; 80,2; 80,1; 80,05 км/ч...
Полученная последовательность явно обнаруживает стремление к пределу. Избранный нами путь ведет к какой-то цели.
Рис. 2. Графики изменения средней скорости на участке маршрута
Сделаем решающий шаг к ней: устремим к нулю продолжительность интервала, на котором измеряется средняя скорость. Измерения при этом будут становиться все труднее. В самом деле, как вести их на протяжении десяти- или стотысячных долей секунды, за которые автомобиль проходит лишь доли миллиметра? На пути к пределу мы где-то перейдем грань ме-
жду автомобильным спортом и чистой математикой. Но это не должно нас пугать, к этому мы и стремились и автомобилем воспользовались лишь для того, чтобы удобнее и быстрее добраться до цели.
Предел, к которому стремится средняя скорость, на уменьшающихся до нуля, стягивающихся к данному моменту отрезках времени (если этот предел существует!), и называется мгновенной скоростью в данный момент времени (рис. 3).
2
-
Аг Д5
У= Ы —
Г Лг->0 Д* 1 1
1 2 3 ч
Рис. 3. График определения мгновенной скорости
Посмотрим еще раз на построенные графики. Мы видим на них последовательность секущих. Каждая проходит через две точки кривой. Одна из этих точек - общая для всех секущих и неподвижна, другая стремится к ней, так что расстояние между ними последовательно уменьшается до нуля, до слияния обеих точек в одну. Предельное положение секущих есть касательная - таково определение этой прямой. Она проходит через заданную точку графика пути с угловым коэффициентом, равным мгновенной скорости в соответствующий момент времени (рис. 4).
Касательная к графику пути меняет наклон от точки к точке. Каждому моменту времени соответствует своё значение мгновенной скорости. Если точно придерживаться такого графика скорости, то автомобилисты в своём движении в точности воспроизведут рекомендуемый график пути.
Процедура, позволяющая находить мгновенную скорость движения, используя зависимость пути от времени, называется дифференцированием, а число, которое получается в результате дифференцирования, - производной. Итак, мгновенная скорость тела в данный момент есть производная пути по времени в данный момент.
и
о
о
Сі
о
о -
0-1
о
о -
1 2 3 ч
Рис. 4
Каждому моменту времени соответствует свое значение производной. Определенная таким образом функция называется производной по отношению к исходной, описывающей зависимость пути от времени.
Таким образом, в данном материале я попытался с помощью логического рассуждения разобрать один из основных разделов математики -дифференциальное исчисление.
ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДАХ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ ВЫДЕЛЕНИЯ ТРЕНДОВ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ © Сарапас В.В.*
Московский педагогический государственный университет, г. Москва
В настоящей работе алгоритмы выделения трендов рассматриваются как алгоритмы разметки конечных плоских точечных конфигураций. Алгоритмы такого типа сопоставляют точкам конфигурации метки из некоторого заранее зафиксированного словаря (например, минимум, максимум, плато и т.п.).
Полученные результаты показывают возможность построения эффективной системы параметрических семейств алгоритмов и их алгебраической коррекции, которая повышает качество работы этих семейств.
В настоящее время алгебраический подход к распознаванию образов представляет собой математическую технологию построения проблемно-
* Ассистент кафедры Теоретической информатики и дискретной математики.
