Эллиптичность постановки краевой задачи несимметричной теории упругости в напряжениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Используя приведенные выше утверждения можно обосновать дальнейшее развитие теории пределов и ее применение для вычисления пределов в рамках обычного курса математики с небольшим объемом часов в техническом ВУЗе.

Список литературы:

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Физматлит, 2007. - Т. 3. - 350 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Физматлит, 2007. - Т. 1. - 435 с.

3. Щипачев В.С. Высшая математика / В.С. Щипачев. - М.: Высшая школа,1985. - 375 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1972. - Т. 1. - 390 с.

5. Энгелер Э. Метаматематика элементарной математики / Э. Энгелер. - М.: Мир, 1987. - 270 с.

ЭЛЛИПТИЧНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

© Леонов А.В.*

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

г. Москва

Исследована новая постановка краевой задачи несимметричной теории упругости в напряжениях. Получены условия правильной эллиптичности системы уравнений.

Новая постановка задачи несимметричной теории упругости

При решении задач несимметричной теории упругости для модели среды Коссера преимущественно используются постановки задач в перемещениях [1]. Но, для исследования вопросов прочности реальных материалов и конструкций, часто требуется нахождение не перемещений, а напряжений. При изначальном решении задачи в перемещениях нахождение напряжений связано с численным дифференцированием компонент вектора перемещений, что ведет к потере точности рассчетов. Такая проблема вызывает необходимость решения задач несимметричной теории упругости сразу в напряжениях для повышения точности вычислений. Классическая постановка краевой задачи несимметричной теории упругости в напряжениях для среды Коссера предполагает решение шести урав-

* Аспирант кафедры Механики композитов.

нений равновесия на компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений при выполнении восемнадцати уравнений совместности напряжений и удовлетворении шести граничным условиям для нахождения полного набора из восемнадцати компонент тензоров напряжений и моментных напряжений. В такой постановке число уравнений в четыре раза превосходит число граничных условий, что затрудняет подход к решению задач.

В новой постановке задачи, предложенной в работе [2], за счет разделения тензоров напряжений и моментных напряжений на симметричные и антисимметричные части и использования специального вида обобщенных уравнений совместности удается привести задачу к решению двенадцати обобщенных уравнений совместности при выполнении шести граничных условий и шести уравнений равновесия, отнесенных на границу. В такой постановке число уравнений совпадает с числом граничных условий.

Обобщенные уравнения совместности в напряжениях имеют вид:

а3 Да* + (а1 + (^ - ЯБ1 )(2а1 + а3) - ЯБ3 (2а5 + а6 ))Д©£] + + (- а1 + (1 - 2QBl+ аз) - 2(Бз (2а5 + а6) + + (- аз + ((1 + Б1аз + Бз аб))( + ) +

+ (- + я(1 + БЛ + Бзаб МдЛ + + а6 Д^? +(а5 + ( - ЯБ1 )(2а5 + а6)- ЯБ3 (2а2 + а4 ))Д,ы£] + (1)

+ (- а5 +(1 - 20Б1 + аб)-2(Бз ^ + а4 ))),] + + (- аб + б(Б1аб + Бза4 %1-к,к] + ) +

+ (6 + + Бз а 4 = 0

а6 Да* +(а5 + (#'-Я'Б2 )(2а5 + а6)-Я 'Б3 (а + а3 ))Д©£] + + (- а + (1 - Б2)(2а5 + ав)- 2(Б3(а + аз)),] +

+ (- «6 + в'(бз«З + ^ ))(</] + ) + + а6 + Я' (Б3«З + Б2а6 +

о

+ а4Д^ + (а2 + - Я'Б2 )(2а2 + а4) - Я' Б3 (2а5 + а6))Д ц 3] +

+ (-а2 +(1 -2( БХ( + а4)-2( Б(2а5 + а6))) + ( }

+ (- а4 + в'(1 + Бз а6 + Б2 а4 ^¿д + ) +

+ + Я' (1 + БЗ«6 + Б2 а4 ^и,^] +

+ 2('((1«З + Бза6)( ] + £]„„ а'тп) + + 2( '+ Бза4)( + ] )= 0

ее ^

где <7у и л. - компоненты тензоров напряжении и моментных напря-

жений; © = <кк и / = ¡лш; а1, а2, а3, а4, а5, а6, Вь В2 ,В3 и В4 - независимые упругие константы среды Коссера, которые должны находиться экспериментально; £,', Q, 2 , Я, Я' - произвольные константы, которые целесообразно задавать таким образом, чтобы максимально облегчить решение задачи.

Новая постановка задачи несимметричной теории упругости в напряжениях заключается в отыскании 12 независимых компонент симметричных тензоров <Д /л. из решения 12 обобщенных уравнений совместности (1) и (2) при удовлетворении шести граничных условий:

Лцпи

= Si

= е

и шести уравнений равновесия на границе тела:

5.. .\ =0

у,. £

\^йк <л + Л

> 1=0

"ук ик ' г-и.,])|£

- А „ ,, А

(3)

(4)

(5)

(6)

Антисимметричные тензоры < и , которые появятся в граничных условиях после разложения тензоров напряжений и моментных напряжений на симметричную и антисимметричную части, можно выразить через контурные интегралы:

(7)

<А = В | [а1 (©А +©,¿и)+ аз(<и + <,)+ а5( Л. 8ь +м,, ) +

Мо V У

+ аб ((,и + К,.)) + В-К + ВзкА0 0 /и = В2 / а2[ри А + И,. З. 1 + а4( + а5(®Аь +©,А.

Мо IV )

+ а6 (< J + <.. )) + В2 к.(0 0 + Вз©0

где М0 - произвольная точка на границе тела £, в которой заданы ком -поненты тензора вращения ю,/ и тензора искривлений к, а М - текущая точка с координатами хк.

Эллиптичность системы обобщенных уравнений совместности

(8)

СТЛ

£

£

Система называется правильно эллиптической [3], если порядок системы р - четное число (р = 2М), и для каждой пары линейно независимых

действительных векторов £ и п полином Ь° (х, £ + тп) комплексной переменной т имеет ровно М корней с положительной мнимой частью. Ь0 -главная часть некоторого дифференциального оператора [2].

Систему обобщенных уравнений совместности (1) и (2) можно рассматривать как линейную дифференциальную систему уравнений второго порядка относительно двенадцати независимых переменных. Главная

часть полиномиальной матрицы ||ь°(х,£), ' = 1,..., 12, . = 1,..., 12, будет иметь блочный вид:

Ь° =

( ьш А

VЬ Я /

Матрицы Ьш, Ьяи, ЬЬь и Ьж имеют размерность 6 х 6 и записываются в единообразном виде. В определителе каждой из этих матриц Ьх (х, % + тп) для £=(1,0,0) и п =(0,0,1) можно выделить угол нулей размером 8х4, что значительно облегчает нахождение определителя этой матрицы, приведенного ниже:

Д = (1 + П ) (- а3а4 + а 2 ^ + аз )(2а2 + а4 )-(2а5 + аб )2 )х х (1 + а4В2 + 2а6В3 + а62 (- В1В2 + В32)+ а3 (((1 + а4В2) - а4В32)) х (9) х 0 0 (- Я + 0(2 + 4%))(- Я' + 0'(2 + 4%'))

Таким образом, правильная эллиптичность достигается при следующем выборе параметров:

- а3а4 + а6 ф 0 (2а1 + а3 )(2а2 + а4 )-(2а5 + а6 )2 Ф 0

"4) ' ^6)

1 + а4 В2 + 2а6 В3 + а62 (- В1В2 + В32)+ а3 (в1 (1 + а4 В2)-а4 В32 )ф 0

0 ф 0 0 'ф 0 - Я + 0(2 + 4%)Ф 0 - Я' + 0'(2 + 4%')ф 0

Таким образом, используя аппарат функционального анализа и результаты исследований линейных дифференциальных операторов, удается найти условия эллиптичности системы уравнений, составляющей новую постановку задачи несимметричной теории упрутости, что позволяет сде-

лать заключение о регулярности решений уравнений и точности априорных оценок в силу отсутствия действительных характеристических направлений.

Список литературы:

1. Nowacki W. Teoría niesymetrycznej spr^zystosci / W. Nowacki. - War-sawa: PWN, 1971. - 246 с.

2. Победря Б.Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды / Б.Е. Победря // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. - 2005. - № 1. - С. 54-59.

3. Агмон С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы / С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг. - М.: ИЛ, 1962. - 205 с.

4. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными / Л. Хермандер. - М.: Мир, 1965. - 379 с.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ЯЗЫКОМ СЛОВА

© Пайметов Н.Г.*

Амурский институт железнодорожного транспорта - филиал Дальневосточного государственного университета путей сообщения,

г. Свободный

Математические формулы - лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать, используя первичные и наглядные образы из окружающей жизни.

В математических работах ... главное - содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык - это формулы. Если вообразить математику в виде огромного дома, то учёных, чьими трудами возведён этот дом, естественно сравнить с каменщиками. И такое сравнение небезосновательно. Когда каменщик возводит стену, то каждый кирпич прочно укладывается на уложенные ранее и скрепляется с ними раствором. Точно также в рассуждении математика каждое утверждение опирается на уже доказанное. Оно сцементировано с ними законами логики. Любая теорема или несколько теорем, в свою очередь, могут послужить обоснованием для какой-то новой теоремы.

Логически последовательная стройность утверждений - вот самое существенное и характерное свойство математики. Оно ярко проявилось уже в древнейших её разделах - арифметике и геометрии. Со временем появи-

* Старший преподаватель кафедры «Высшая математика».