Применение теоремы Тихонова для автоматической стабилизации управляемого движения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2007. № 1

61

4. Кеннеди А.Дж. Ползучесть и усталость в металлах. М.: Металлургия, 1965.

5. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость. Вып. 3. М.: Изд-во МГУ, 1973. 95-173.

6. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

7. Вакулюк В.В., Победря Б.Е. О нелинейной теории вязкоупругости // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2005. № 6. 49-55.

Поступила в редакцию 26.04.2006

УДК 531.396

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ

В. В. Александров, С. С. Лемак, В. Ф. Герреро-Санчес

Рассмотрим управляемую динамическую систему, математическая модель которой имеет следующий безразмерный вид:

dz

ц—= ip(z,y,ui), z(t0)=aeRm, Ui(-) eUl, (1)

|'; = f(z,y,U2), y(t0)=beRn, 4)6W2, (2)

0 = const ^ 1, t £ [to,tl].

Традиционный подход к выбору управлений П\, щ заключается в определении программного управляемого движения с помощью управления U2(t) при П\ = 0, а затем формирования стабилизирующего управления ui = ui(y,z,t).

В данной статье предлагается другой подход, использующий теорему А. Н. Тихонова [1] для сингулярно возмущенных систем.

1. Вначале сделаем переход к быстрому времени т = ^ и рассмотрим подсистему (1) при фиксированных yi,...,yn:

dz

— = <p{z,y,u i).

Предположим, что стабилизирующее управление выбрано в виде стратегии ui = u0(y) +Aui, где u0(y) — основное управление — определено таким образом, что уравнение

v(z,y,u° (y)) = 0 (3)

имеет единственный (изолированный) корень z0 = ^-1(y,u°(y)).

По поводу дополнительного управления Aui будем считать, что имеется полная информация о переменных zi,...,zm, и, таким образом, возможно формирование отрицательной обратной связи Aui = Aui(Az), где Az = z — z0. Выберем параметры этой обратной связи из условий асимптотической устойчивости решения z0. Предположим также, что начальные условия z(to) = a £ Rm принадлежат области притяжения аттрактора z0 и выполнены соответствующие условия аналитичности из теоремы А. Н. Тихонова.

В результате имеем корректный переход к вырожденной (упрощенной) математической модели

0 = ^(z,y,u i (y)+Aui(Az)),

dv (4)

-£ = f(z,y,u2(t)), ie[i0,ii],

где Aui = 0. В рамках модели (4) выбираем программное управление v,2(t) (не нарушая условия аналитичности) с целью определения программного движения y(t) с начальными условиями y(t0) = b.

62

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2007. № 1

Следовательно, в реальности для модели (1), (2) имеются программное управление и стабили-

зирующее управление и0 = и0(у) + Аи\(г — г0), которые построены с помощью теоремы Тихонова.

2. Для формирования дополнительного стабилизирующего управления Аи,\ можно использовать методику оптимальной стабилизации по критерию

Т1

J = J(AzTGAz + ul)dr

— mm

Aui

(5)

то

при С = ст > 0. Тогда Аи0 = —ВТСАг, где С — решение дифференциального матричного уравнения Риккати

dC dr

= LBBtL -(LA + at L) - G, L(ti) = 0

|T,

(6)

дф°(у),у,и°1(у)) дф°(у),у,и°1(у))

при А = ---, В = ---.

ду ди1

В этом случае быстрое время т приобретает смысл компьютерного времени. При ц ^ 0 можно рассмотреть возможность предварительного выбора постоянных коэффициентов обратной связи, когда С ^ С0, где С0 > 0 — положительно определенная матрица, являющаяся решением алгебраического матричного уравнения Риккати

LqBBtLq - (LqA + AtLq) - G = 0

(7)

(при выполнении условия det(B, АВ,..., Ат-1В) = 0 при любом значении параметра у).

3. В случае отсутствия полной информации о координатах Х\,..., гт, но при наличии полной наблюдаемости по имеющимся измерениям £ = (£1,... ,£1)т (I < т):

£ = H Az,

rank

H HA

\HAm-1)

m

(8)

возможно расширение математической модели (1), (2) за счет алгоритма оценивания: управление Аи1 формируется в виде Аи1 = —ВТС0 Аг, где оценки Аг находятся из условия

dAz

dT

= AAz + BAui + K(£ - HAz), Az(to) = 0.

(9)

Здесь К — матрица усиления фильтра (оценивателя) размерности (т х I).

При выполнении условия (8) существуют параметры оценивателя к^, г = 1,...,т, ] = 1,...,1, при которых процесс оценивания асимптотически устойчив, что позволяет использовать методику Тихонова для расширенной системы.

Следует отметить, что в этом случае переменная т также играет роль "компьютерного" времени и упрощенная модель имеет вид

^ = f(z,y,u2(t)),

y(to) = b,

0 = ф,у,и1(у)+Аи1(Аг)), 0 = А(у)Аг + В (у)Ащ + К (£ — НАг), Аи1 = —ВТС0Аг, £ = Н (г — г0).

Так как для линейной системы (9) нуль является единственной особой точкой, то принадлежность начальных условий Аг^0) = 0 области притяжения аттрактора (г = г0, Аг = 0) очевидна.

4. Поясним данный подход на примере решения задачи автоматической стабилизации планирования летательного аппарата (ЛА), имеющего плоскость симметрии.

Рассмотрим уравнения полета ЛА в вертикальной плоскости [2]:

1

mV = -Мд sin в - -gV¿C

2„0

xi

MV9 = -Мд cos в + -gV2c^a,

ф = Q,

(10)

Izti = —-gV2Sb(m"a + mszó),

где V — скорость ЛА; О — угловая скорость поворота корпуса ЛА = ');<£> — угол тангажа, в — траекторный угол; а = ф — в — угол атаки; 5 — угол отклонения руля высоты.

Параметры ЛА — М (масса), (момент инерции корпуса), Б (площадь поперечного сечения), с0х, с^, т^, т^ (аэродинамические коэффициенты), Ь (хорда крыла) — таковы, что выполняются следующие равенства:

= Мд, 1хф + = 0,

которые имеют четкий физический смысл [3] для характерной скорости планирования V*.

Воспользуемся линейным невырожденным преобразованием для обезразмеривания и нормализации модели (10):

V*

Т = т, V = П = где V* = 300 м/с, Т* = — и 30 с,

д

1

2Iz

О — _ тг —

1 ~ QV?Sb

Тогда система уравнений (1), (2) примет вид

( dv . q 2 — = — sinfe* — civ , dt

1, Ti <T*, =

T *

+ c^av

dO cos в dt v

du ra, á г\ 2

¡jl— = —(m"a + mzo)v

Я

dф dt

u,

v(to) = bi (bi & 1), O(to) = b2 (bi & 0),

u(to) = ai, ф(^) = a2,

(11)

где ц ^ 1, u2 = 0, ul = 5.

В соответствии с предлагаемым подходом

z = (uo = 0, ф = ф*), 5 = 5o + AS,

ma

do = -И mZ

— ф*),

где ф* — решение уравнения (3).

Самый простой алгоритм синтеза А5 = кш (при к > 0) позволяет утверждать, что решение г0 асимптотически устойчиво и любые начальные условия 01 , 0,2 принадлежат области притяжения этого аттрактора. Упрощенная модель (р = 0) имеет вид

dv ~dt dd dt

u = 0,

= — sin в — cxV , cos в

V(to) = vo,

+ са(ф — O)v, e(to) = Oo,

(12)

ф = ф* = const.

Чтобы реализовать режим планирования в = в* < 0 и V = v(to) = Vq, решим балансировочные уравнения, вытекающие из (12):

в* = -arcsin ^cX) < 0,

cos б1* ..2(), Jl - (vie0)2

У* =0* + —-о- = -arcsin (vfcZ) + V V 0 XJ

ca v02

cavo2

Для анализа асимптотической устойчивости режима планирования в соответствии с теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению выпишем соответствующие неравенства Гурвица:

2с% - ^ + с>) > 0, cos в, + > 0,

из которых видно, что планирование в рамках упрощенной модели асимптотически устойчиво. Полученный алгоритм автоматической стабилизации

./л — (v2r0)2

6 = 5о + AS, где 5o = ^j{e + arcsin - ^-J х> ), А5 = кси, (13)

mz cy v0

подставим в исходную модель (11) и убедимся в нормальном функционировании этой модели с простейшим алгоритмом стабилизирующего управления при в = в* в (13); сХ = 0,3; са = 8; т°а = 1,85; т^ = 1,6; к = 2. На рис. 1, а и б представлено поведение соответственно траекторного угла в и угла тангажа ф в зависимости от безразмерного времени. Следует отметить, что простота алгоритма заключается в минимальном использовании измерительных устройств. В данном случае необходим только датчик угловой скорости ЛА.

Рис. 1. Процесс стабилизации режима планирования при управлении А6 = ¿о + 2 * ш

Рис. 2. Процесс планирования ЛА при субоптимальном законе стабилизации

В случае субоптимального алгоритма автоматической стабилизации и наличия измерений в(Ь), ф(Ь), коэффициенты обратной связи для быстрых переменных А5 = к\(ф — фо) + к2Ш находятся из

решения задачи (5)—(7) при О = (Ц) и при тех же характеристиках ЛА имеют вид ^ ^ ) = т^V2 ( о 25бб ) .

Субоптимальный алгоритм дает лучший вариант стабилизации планирования (см. рис. 2, а и б, где показано соответствующее поведение траекторного угла в и тангажа ЛА). Здесь следует отметить, что полностью реализуется методика А. Н. Тихонова, так как ¿о зависит от в(Ь) и А5 зависит от ь(Ь). В связи с этим управление усложняется — необходимо добавить измерения траекторного угла и скорости.

Таким образом, новый подход, заключающийся в применении теоремы А. Н. Тихонова, позволяет формировать программное движение и алгоритм автоматической стабилизации этого движения, используя упрощенную модель и "быструю" подсистему. Другие подходы к управлению сингулярно возмущенной системой изложены в работе [4].

Работа поддержана РФФИ (гранты № 04-01-00379 и 05-08-50148).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Ма-тем. сб. 1952. 31(73), № 3. 575-586.

2. Александров В.В., Воронин Л.И, Глазков Ю.Н. и др. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов. М.: Изд-во МГУ, 1995.

3. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1991.

4. Kokotovic F., O'Reily J., Khalil H. Singular Perturbation Methods in Control. Analysis and Design, SIAM, 1999.

Поступила в редакцию 28.04.2006