Программный комплекс для исследования устойчивости нелинейных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.Ю. Кузнецов

(Тверской государственный университет, ferus.tigris@gmail.com)

Представлен комплекс программ для исследования устойчивости автономных нелинейных динамических систем без использования функций Ляпунова. Описаны его структура и основные особенности реализации на ПЭВМ. Приведены структуры алгоритмов основных вычислительных модулей комплекса.

Ключевые слова: динамическая система, нелинейность, устойчивость, бифуркации, распределенные системы.

Результаты основополагающих работ по исследованию сложных динамических систем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений, получены на основе введения и анализа функций Ляпунова, то есть качественными методами. Однако общего алгоритма построения функции Ляпунова нет [1], эвристические приемы реализуются в частных случаях, так что, универсальный программируемый алгоритм исследования устойчивости нелинейных динамических систем пока не создан.

В данной статье представлен комплекс программ, реализующий алгоритм исследования нелинейных автономных динамических систем, основанный на разработанном универсальном методе исследования автономных нелинейных динамических систем без использования функций Ляпунова [2-4].

Комплекс предназначен для

— исследования динамической устойчивости решения автономных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х = Х(х, г), (1)

где х = (х1, ..., хп) - вектор фазовых координат, —да<Х; < да; г = (г1, ..., гт) - вектор управляющих параметров; Х(х, г) - нелинейная вектор-функция;

— исследования структурной устойчивости нелинейных автономных динамических систем и построения их бифуркационных множеств;

— прогнозирования поведения динамических систем с целью построения функций, сохраняющих устойчивость этих систем.

Программы комплекса могут выполняться в автоматическом и интерактивном режимах.

Структура и особенности реализации программного комплекса

Комплекс имеет модульную структуру (рис. 1) и состоит из следующих независимых модулей: управляющий модуль, СУБД, транспортный модуль, модуль исследования динамической устойчивости (ИДУ), модуль исследования структурной устойчивости (ИСУ), модуль формирования управляющих воздействий (ФУВ), модуль графического пользовательского интерфейса (ГИ).

Модули комплекса взаимодействуют между собой по сети через транспортную программу. Транспортная программа и протокол передаваемых через нее сообщений образуют транспортную систему, являющуюся надстройкой над стеком протоколов TCP/IP с дополнительной системой авторизации и шифрования и реализованную на прикладном уровне модели OSI (ГОСТ Р ИСО 7498-2-99).

Управляющая программа

Рис. 1. Структурная схема комплекса

Модули комплекса могут выполняться одновременно на разных ПЭВМ, распределенных тер-территориально и объединенных в сеть (Интернет или ЛВС). Такая распределенность многократно повышает быстродействие комплекса, так как ресурсоемкие расчеты могут выполняться параллельно (рис. 2), а передача данных между программами в составе комплекса может производиться на скоростях свыше 1 Гбит/с. Благодаря распределенности возможно использование комплекса на облачных платформах и в многопроцессорных системах.

Процесс работы комплекса организует управляющий модуль, координирующий запуск, завершение и взаимодействие других модулей. Управляющие модули могут подключаться друг к другу (рис. 3), образуя древовидные структуры для одновременного исследования независимых или последовательно соединенных динамических систем. Вычислительные модули могут подключаться динамически «в горячем режиме», не прерывая работу всего комплекса и других модулей. Путем динамического подключения вычислительных модулей и других комплексов осуществляется масштабируемость. Так как комплекс является распределенной системой, то его масштабируемость не ограничена.

Рис. 2. Временная диаграмма работы комплекса

В комплексе используется нереляционная БД, обладающая высоким быстродействием и расширяемостью. Данные в ней представлены структурой ключ-значение для быстрого и легкого доступа к ним. Такая структура СУБД, в отличие от традиционных SQL-решений, не ограничивает быстродействие комплекса и его масштабируемость.

Интерактивное взаимодействие с оператором осуществляется через модуль графического пользовательского интерфейса. Для ввода исходных данных - размерности фазового пространства, размерности пространства управляющих параметров, нелинейной системы дифференциальных уравнений, описывающей исследуемую систему, - используется форма ввода исходных данных. Дифференциальные уравнения вводятся в символьной мнемонической форме.

После ввода исходных данных оператор дает команду начать расчет, который может быть прерван по запросу оператора.

После окончания расчета оператору выводится сообщение «КАТАСТРОФЫ», если динамическая система имеет катастрофы; «НЕУСТОЙЧИВА», если исследуемая система неустойчива, и сообщение «УСТОЙЧИВА» в обратном случае.

Если система неустойчива динамически, оператор может просмотреть области фазового про-

Комплекс 1

Управляющая программа

Рис. 3. Масштабируемость комплекса

странства, в которых проявляется неустойчивость. Если система неустойчива структурно, оператор может просмотреть области пространства управляющих параметров, в которых система имеет катастрофы. Оператор имеет возможность просмотреть графики функций управления, сохраняющих систему в устойчивом состоянии и построенных модулем ФУВ.

Все модули комплекса разработаны на высокоуровневом императивном языке C++ и высокоуровневом функциональном языке lisp с использованием библиотек Qt версии 4.6. В вычислительных модулях комплекса задействована система символьной математики Maxima версии 5.0.

Модуль ИДУ

На входе модуль получает исходное дифференциальное уравнение (1) в символьном представлении, вектор управляющих параметров г0 = (г1°, ..., г^) и требуемую точность.

На выходе модуль выдает область U устойчивости исходной динамической системы (1) в пространстве фазовых координат.

Алгоритм преобразования входных данных в выходные [2] следующий.

1. Регистрация в транспортной системе.

2. Получение исходных данных из БД.

3. Построение сопряженной гамильтоновой системы уравнений по отношению к системе (1):

(t) = -д (£"=i Xj(xi, х2,..., хп, r0))/dxi, i=1, ..., n. (2)

4. Построение характеристического уравнения сопряженной системы:

Än + S1(-1)(-Ä)n~1 + S2(- l)n(-Ä)n

... + Sn_i(-l)n(-l) + (-l)nSn = 0,

где S0 = 1,

+

(3)

(_l)n-1 dXi dXn-l + (_l)n_1 dXi dXn-2 dXn

dxi dXn_i

dxi dXn_2 dXn

t-, /■ \ n dXi dXn dXi dXn

Sn = (-l)nTL■■■T!n-■■■-~rL~Tn - суммы главных

dXi dXn dXn dXi

миноров n-го порядка матрицы сопряженной к (1)

системы

-3X,

У ^k

1 - А_

= 1, ..., n k = 1, ..., n

=0.

5. Построение из коэффициентов-функций характеристического уравнения системы (2) функциональных миноров Гурвица:

Лп = 1,

¿1 =

Лп =

(-1)2n S1(-1)n(n"1)

S3(-i)n(n-3) s2(-1)n(n"2) (-1)2n ... 0 j

0

Sn (-1)n

(4)

6. Выявление методом градиентного спуска такой области и в пространстве фазовых координат, в которой функциональные миноры Гурвица (4) отрицательны.

7. Запись выявленной области и в БД.

Модуль ИСУ

На входе модуль получает исходное дифференциальное уравнение (1) в символьном представлении и требуемую точность.

На выходе модуль выдает бифуркационное множество R исходной динамической системы (1) в пространстве управляющих параметров.

Алгоритм преобразования входных данных в выходные [4] выглядит следующим образом.

1. Регистрация в транспортной системе.

2. Получение исходных данных из БД.

3. Построение сопряженной гамильтоновой системы уравнений (2) по отношению к системе (1).

4. Построение характеристического уравнения (3) сопряженной системы.

5. Построение из коэффициентов-функций характеристического уравнения системы (2) функциональных миноров Гурвица (4).

6. Выявление такой области R в пространстве управляющих параметров, где каждая точка является границей между областями, в одной из которых все функциональные миноры (4) положительны, а в другой нет.

7. Запись выявленной области R в БД.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы. Комплекс является распределенной масштабируемой вычислительной системой с собственными механизмами хранения и обработки данных.

База вычислительных модулей комплекса использует мощный математический аппарат и реализует уникальные алгоритмы исследования динамических систем и процессов. Предусмотрена возможность быстрого динамического наращивания базы вычислительных модулей комплекса.

Разработанный комплекс программ обеспечивает исследование задач проектирования сложных динамических систем и процессов с нелинейными элементами.

Литература

1. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Наука, 2001.

2. Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Алгоритм исследования устойчивости решений нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений // Нелинейный мир. 2010. № 10. Т. 8. С. 616-620.

3. Кудинов А.Н., Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: матер. XVI Междунар. сим-поз. им. А.Г. Горшкова. М.: МАИ, 2010. Т. 1. С. 110-112.

4. Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем // Труды МАИ: электрон. журн. 2010. № 40. URL: www.mai.ru/scien-ce/trudy/.