CC BY
13
УДК 517.01
Катулев А.Н., Северцев Н.А., Тарасов А.А,
ФГУчреждение «Федеральный Исследовательский Центр «Информатика и Управление» Российской Академии Наук» (ФИЦ ИУ РАН), Москва, Россия
ДОСТОВЕРНОСТЬ МЕТОДА ОЦЕНКИ КЛАССИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕ ПО ЛЯПУНОВУ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Достоверность метода установлена доказательствами теорем [1] и подтверждена положительными результатами сравнения их выводов с выводами теорем [2-6] по устойчивости решения одних и тех же систем, но полученных их авторами качественными методами с применением эвристически принятых функций Ляпунова или при сведении правой части дифференциальных уравнений к виду гурвицевой.
Ключевые слова:
устойчивость, доказательство, подтверждение, необходимые и достаточные условия.
Цель статьи: в продолжение [1] изложить доказательства теорем 1-4 по формированию необходимых и достаточных условий классической устойчивости по Ляпунову нелинейных автономных динамических систем без применения функций Ляпунова и качественных методов.
Доказательство теоремы 1. Существование сопряженной системы для системы непосредственно исходит [6] из канонической гамильтоновой системы
Pj(0 = dH(x(t\p(t))fdXj, j = 1,2,...,/7,
n
H(x(t), p(t)) = £f (x(t))p, (t) • /=1
Утверждение об устойчивости системы и неустойчивости
системы есть следствие противоположности знаков кривизны решений этих систем и отсутствия диссипации энергии в автономных гамильтоновых системах. Действительно, воспользовавшись формулой Серре-Френе [7] для системы имеем выражение кривизны K а для сопряженной K2
Ki
ч ■
»
. . x,
(n )
K
Pi ■■■■Pn
(х2 + ••• + х„2)3'2 2 (р2 + ••• + Р2)3'2
в силу того, что структура формул Серре-Френе одна и та же для исходной и сопряженной систем и она непосредственно основана на применении одного и того же линейного оператора дифференцирования к правым частям этих систем.
Противоположность знаков кривизн означает, что движение автономных нелинейной основной (исходной) системы и сопряженной линейной системы по фазовым траекториям происходят в основном и сопряженном пространствах в противоположных направлениях, но тогда при устойчивости решения системы (1) из [1] имеет место неустойчивость решения системы (2) [1] и наоборот. Утверждение теоремы подтверждается также и противоположностью знаков дивергенций систем; так, для системы
п
(1) из [1] дивергенция Д = 1д/(х)/дх; , а для си-
¿=1
стемы (2) дивергенция
п п п
-А = -£д / др (£ л / (х)/дх) = -£д£ (х)/дх = - д.
>1 ¿=1 ¿=1
Случай, когда дивергенции равны нулю включается в теорему 4; теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Рассматриваемая сопряженная гамильтонова система является приведенной и правильной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Свойство приведенности следует для нее из того, что ее матрица по исходным данным основной нелинейной системы вещественна, а в силу автономности матрица сопряженной системы не меняется во времени [8]. Свойство правильности следует непосредственно из только что отмеченного последнего факта, поскольку для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неизменяющимися функциональными матрицами характеристические показатели равны действительным частям собственных значений этой матрицы, а, значит, выполняется условие Ляпунова [11, 12]
_1 п п
йЫ IIХ (0| = !А(¥ (х))
' V ¿=1 ¿=1
где Х(¥)-собственные значения матрицы Г в правой части линейной сопряженной системы, полностью определяющее правильность системы
В связи с этим асимптотическая устойчивость решения приведенной системы, очевидно, должна исследоваться по критерию Раусса-Гурвица или по критерию Льенара-Шипара, то есть по главным диагональным минорам из функциональных коэффициентов характеристического уравнения ¥ (х) — Я(х)£| = 0 для функциональной матрицы ¥ (х) сопряженной системы. Теорема 2 доказана. Как дополнение отметим, что утверждение теоремы полностью согласуется с результатом, полученным в [3] по условиям асимптотической устойчивости нелинейной автономной системы при ее квазилинеаризации, и обобщает его, так как теорема 2 нами доказана без квазилинеаризации.
Доказательство теоремы 3. Пусть задана нели-
нейная
автономная
система
х(0 = f(x(t)), x(t) = (xl(t),x2(t),...,xn(t))
n-порядка с гладкими правыми частями и ее якобиан
J(f) = 5(/l'/2'...'fn), /= 1,2,.
положителен.
д(х1, х2,..., хп)
Составим для заданной системы сопряженную систему
pit) = СШ*(0)/дхР J = 1.2,...
n
и соответствующее этой системе характеристическое уравнение
(-(f / dxk)=k ^ = о.
Видно, что функциональная матрица, используемая в этом уравнении, является транспонированной и имеет обратный знак по отношению к матрице-якобиану заданной системы. Но это означает, что собственные значения матрицы характеристического уравнения равны и противоположны по знаку, или, иначе, это означает, что если для сопряженной системы выполняются необходимые и достаточные условия Раусса-Гурвица, то решение заданной нелинейной автономной системы неустойчиво и наоборот. Поэтому для локализации критических точек решения заданной системы становится достаточным исследование собственных значений матрицы сопряженной системы.
Дополнительно отметим, что при неустойчивости сопряженной системы собственные значения ее функциональной матрицы положительны, что означает, что матрица положительно определенная (и транспонированная, что отмечено выше). Для таких матриц известно [9] утверждение в форме следующего неравенства
Ц-( )k=i:;nn - (дХ- )k=i::n,} * ¿Kf) к=1:;П}+¿{-(f fc"}
ж,
дх.
дх/
дх.
Ж дх
Так как собственные значения основной и транспонированной матриц равны то, умножив на ( -1), имеем
Ж
' дх,
дх.
дх/
/=1
что однозначно соответствует [2] при качественном принципе формирования условий устойчивости рассматриваемого класса автономных систем и, следовательно, является дополнительным доказательством теоремы 3.
Случай с нулевыми собственными значениями относим к теореме 4.
Доказательство теоремы 4. В этом случае собственные значения мнимые или нулевые, но тогда, естественно, движение динамической системы периодическое, происходит по замкнутой выпуклой кривой. Оператор сопряжения, как известно [6], однозначно отображает выпуклую замкнутую функцию в исходном пространстве на выпуклую замкнутую функцию в сопряженном пространстве, что и доказывает справедливость утверждения теоремы.
Дополнительные подтверждения достоверности метода
Для подтверждения достоверности метода покажем, что, например, исходные допущения и утверждения теорем основополагающих работ по исследованию устойчивости решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, непосредственно представляющей гипотезу Еругина-Айзермана, выводятся как следствия теорем [1].
1. Докажем, что принятые в [4] допущения
x( f (x) + cx) < 0, x(f (x) - abx) > 0
как необходимые и достаточные условия устойчивости в целом решения системы
x(t) = f (x(/)) + by(t), y(t) = cx(t)) + dy(t),
где f (x(/)) -нелинейная функция, во всех случаях кроме одного, когда cC + ab = 0 и
x x
lim Г(cf - abx)dx < ад либо lim Г(cf - abx)dx < ад
x—>ад * x—-ад«'
0 0
обоснованно устанавливаются по алгоритму [1].
Для этого построим сопряженную к (1.1) из [4]
систему
А (0 = ~fXx)Pi bPir Pi (0 = ~aPi cPi
выпишем характеристическое уравнение для нее
+ Cf'(x) + c)A + f (x)c - ab = 0
и составим главные диагональные миноры Гурвица
Д = 1, Д = fx'(x + c), A2 = (fx (x) + c)(f (x)c - ab)
Из последних сформируем необходимые и достаточные условия для устойчивости решения в целом системы
fx'(x) + c < 0 (f' (x) + c)(f' (x) - ab) < 0 ^ f' (x)c - ab > 0 •
Эти условия полностью охватывают условия (1.2) из [4]; действительно, из условия fx) + c < 0 по теореме о среднем с учетом f (0) = 0
и последующем умножении на x2 получаем первое допущение в (1.2) из [4], а из условия
положительна и
fx' (x)c - ab > 0 ,
fx' (x)c - abx
при x — ад отрицательна и убывает, поэтому
lim J (fx (x)c - abx)dx = -ад
а при х ^ -ад функция f (х)с - аЬх
х
убывает поэтому 11ш |(^(х)с - аЪх)йх < ад,
ад 0
что однозначно воспроизводит условия (1.3) и (1.4) из [4]
Теперь также из условий неустойчивости
^ (х) + с = 0 и ^ (х)с - аЪ = 0
решения системы (1.1) из [4] получаем очевидным образом, как и в [4], условие с2 + аЪ = 0
Итак, подтверждение достоверности метода [1] доказано.
2. Докажем, что принятые в теореме 2.1 в [5, параграф 2] исходные условия
\ (х)Ъ - к2 (х)а > 0 при всех х Ф 0 , ((u)-ф(-ы) < 0 и сформулированное утверждение (2.10) signudu
lim(p(u)signu -) J-
системы
0 с + ((u)signu
чтобы всякое решение х(/) и у(£)
т=л ш)+ау(о, т=/2 (х(0)+ьУ(1),
обладало свойством х(/) ^ 0 , у(Т) ^ 0 при / ^ 0 устанавливаются по алгоритму авторов [1].
Для этого построим в соответствии с алгоритмом метода [1] сопряженную систему
А (О = -Л'х (ХМ Дх (х)р2' А (0 = -ар1 - Ьр2 ,
выпишем для нее характеристическое уравнение
+ (fix (x) + b)X + bfi (x) - f (x) = 0 ,
составим по
выполнив аналогичные действия с учетом f (0) = 0 , получаем второе допущение-условие (1.2)
из [4] х^(х)с-аЪх) >0 .
Условия неустойчивости решения системы (1.1) из [4] являются следствием отрицания полученного предложенным методом необходимого и достаточного условия, то есть следствием неравенства
f' (х)с - аЪ < 0 или что то же следствием неравенства х(/(х)с - аЪх) < 0 .
Из таких выражений-неравенств видно, что функция
) ^ UJ 1x W LV2x\
полученному уравнению главные диагональные миноры Гурвица
Д0 = 1, Д = fix (x) + b, Д2 = (f1x' (x) + b)(b/1x' (x) - f x (x))
И сформируем необходимые и достаточные условия устойчивости решения в целом системы (2.1) из [5], описывающей динамическую систему,
f1x (x)+ь < 0, fx (x)+b)(b/1x'(x) - a/2x'(x)) < 0 ^ ^ bf J (x) - f X (x) > 0 •
Последнее условие с учетом, что f (0) = 0 ,
f2 (0) = 0 в [5]
рассматривается тривиальное решение, записывается в виде
bf1 x ' (x) - af2 x' (x) > 0 ^ ^
f ' (x) / x - af2X ' (x) / x > 0 •
Это условие полностью соответствует условию h (x)b - h (x)a > 0 по номером (2.3) в [5] при всех
x Ф0 с учетом обозначения
h (x) = f (x)/xh2 (x) = f (x)/x (см. (2.2) в [5]).
Далее, как в (2.5) [5], введем функцию ф(x) = f (x) + bx • В силу f 'х(x) + b < 0 функция
убывает, поэтому при x >0 , по определению монотонного убывания функции, имеет место неравенство f (x) + bx < f (-x) - bx , а в силу монотонности
функции u(x) по x справедливо утверждение о монотонности x(u) по u , поэтому при u > 0 U > -U справедливо неравенство q)(u) - <р(-u) < 0 ; это неравенство однозначно соответствует условию (2.8) в [5].
Из bfj (x) - af2x(x) > 0 с учетом, что f (0) = 0 , получаем (2.17) из [5]; действительно, из полученного неравенства bf '(x) -af2 '(x) > 0 имеем
/1х'(x) + b < 0 ^f (x)/x + b < 0 •
Теперь, умножив последнее неравенство на xsignx , получаем p(x)sigWC < 0, или, в силу монотонности x(u) по u , получаем условие
(p(u)signu < 0 , но тогда с учетом справедливы пределы (2.17)
signudu
Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», 2016, том 1
bf х' (x) - afх' (x) > 0
вытекает,
lim (p(u)signu) — -да, lim J
u—«> u—да J
"—да J c + p(u)signu
■ = 0,
jÜm J (f(x)b - f2(x)a)dx) = да и Ili>m J (fl(x)b - f2(x)a)dx = -<да 0 0
u(x)
то есть для функции u —
ные соотношения x—
а также существование числа М>0, что
u signudu p\ujsignu ) <м , lim i —
u—-<»
u
-M < lim (p(u)signu )< M, iim Г
0
lim(p(u)signu - I -
u—да J /
signudu
c + p(u) signu
0
справедливы предель-- да
, поэтому предел -) = -да
[5].
откуда следует
lim (p(u) signu )- J
u—да J
signudu c + p(u) signu
Из условия
bf x' (x) - af2 x' (x) > 0
под номером
/1 x w J 2 x
и введенного чения
(2.4)
[5] обозна-
x
u = u(x) = (J (f (x)b - f (x)a)dx)signx
) С +
тождествен условию (2.10) из
Таким образом, завершено доказательство о том, что все предположения и утверждение теоремы 2.1 из [5] об устойчивости решения в целом системы (2.1) из [5] обоснованно устанавливаются предложенным авторами в [1] методом.
Заключение. Изложенные доказательства достоверности теорем представляют вклад в теоретические основы формирования необходимых и достаточных условий классической устойчивости по Ляпунову нелинейных автономных динамических систем. При практической реализация теорем в задачах оценки безопасности динамических систем, в отличие от известных методов исследования устойчивости с применением функции Ляпунова или качественных методов, не требуется их введения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Достоверность метода оценки классической устойчивости по Ляпунову функционирования нелинейных автономных динамических систем. //Настоящий сборник. С. 22-32.
2. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости. //ПММ. Т. XIX. 1955. С. 599-615.
3. Демидович Б.П. Лекции по математической тории устойчивости. М.: Наука, 1967.
4. Плисс В.А. Качественная картина интегральных кривых в целом и построение с любой точностью области устойчивости систему двух дифференциальных уравнений. //ПММ. Т. XVII. Вып. 5. 1953. С. 541554.
Красовский Н.Н. Об устойчивости решений системы двух дифференциальных уравнений. //ПММ. Т. Вып. 5. 1953. С. 651-672.
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. Сокольников И.С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971.
Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Изд. второе. М.: Наука, 1966.
Северцев, Н.А. Системный анализ определения параметров состояния и параметры наблюдения объекта для обеспечения безопасности/Надежность и качество сложных систем//2013, № 1, - С. 4 - 10.
12. Северцев, Н.А. Метод оценки показателей безопасности автономных динамических систем /Н.А. Северцев, А.Н. Катулев //Надежность и качество сложных систем. - 2013, № 1, - С. 17 - 26.
5.
XVII.
7.
9.
10. 11.
= -да.
в
0
УДК 65.0:1004.5+681.3]
Брумштейн Ю.М., Князева О.М., Дюдиков И.А., Васьковский Е.Ю.
ФГБОУ ВО «Астраханский государственный университет», Астрахань, Россия
НАДЕЖНОСТЬ И КАЧЕСТВО ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ: АНАЛИЗ СОСТАВА ВЛИЯЮЩИХ ФАКТОРОВ С ПОЗИЦИЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
Рассмотрены варианты классификации информационных систем (ИС), ориентированные на решение задач оценки их «надежности и качества» (НиК), выявление структуры и направленности угроз информационной безопасности. Исследованы особенности толкования понятий «надежность» и «качество» применительно к решению задач оценки и управления рисками для ИС. Проанализирована направленность и структура угроз, относящихся к этапам разработки, внедрения и эксплуатации ИС, прекращения их использования. Обоснована продуктивность применения методологий «управления проектами» и «управления качеством» для обеспечения необходимого уровня НиК ИС. С позиций оценки НиК ИС проанализирован правой статус объектов относящихся к ИС, вопросы ответственности различных групп физических и юридических лиц за решения/действия, которые влияют (или могут влиять) на обеспечение эффективности эксплуатации ИС, их информационную безопасность. Ключевые слова:
информационные системы, жизненный цикл, надежность и качество, риск-менеджмент, методология управления проектами.
Введение. Задачи управления надежностью и качеством (НиК) информационных систем (ИС) занимают важнейшее место в деятельности различных организаций и отдельных физических лиц. Успешность решения задач риск-менеджмента (РМ) для ИС в решающей степени влияет на эффективность их использования, длительности жизненных циклов (ЖЦ), уровни информационной безопасности (ИБ) [3] . Поэтому актуальны вопросы обеспечения НиК ИС за счет своевременного выявления угроз и оценки степени их опасности [9], разработки и реализации мер защиты [8]. Тематике управления НиК ИС и обеспечения их ИБ, посвящено достаточно много работ - например [1,2]. Однако рассмотрение в них ряда специфических вопросов РМ с позиций ИБ носит, в основном, фрагментарный характер. Поэтому основная цель настоящей статьи - системный анализ состава, особенностей и
направленности влияния различных факторов на уровни НиК ИС с позиций обеспечения их ИБ.
Классификация основных типов ИС с точки зрения оценки угроз
В нормативных документах (например, [11]) и научных публикациях используются различные классификации ИС. Ниже мы рассмотрим лишь подходы, связанные с ИБ ИС.
С позиций РМ [10,13] целесообразно различать такие типы ИС. 1) Тиражируемые ИС, предназначенные для использования большим количеством потребителей путем инсталляции на отдельные ПЭВМ или сервера. Такие ИС эксплуатируются, обычно, на основе т.н. «неисключительных лицензий». 2) ИС, используемые по модели ЗааЗ, т.е. в дистанционном режиме на условиях «платной аренды» в течение определенного времени. 3) ИС, самостоятельно разработанные организациями для использования
