CC BY
27
некоторыми допущениями. Решая эти уравнения, можем определить следующие важные вероятностные показатели системы [5]:
Pi = [
Vb
-] •Рi, i = 0,1,
(11)
Л + Мъ
где р — коэффициент эффективного использования подсистемы IMS с использованием HCC исправной работы и восстановления стемы, и равно
р = (Л / цъ ) < 1
для периода отказов си-
(12)
Уравнения (11) и (12), позволяют определить, также некоторые важные вероятностно-временные характеристик модели отказоустойчивости функционирования подсистемы IMS с использованием HCC.
Таким образом, по результатам исследования, разработана математическая модель отказоустойчивости функционирования подсистемы IMS с использованием сервера домашних абонентов HCC и получены аналитические выражения, которые позволяют оценить показатели отказоустойчивости базовых компонентов системы сигнализации NGN при оказании мультимедийных услуг, регламентируемые рекомендациями ITU-T.
1. Ибрагимов Б.Г., Гусейном Ф.И.
ЛИТЕРАТУРА
Исследование и анализ эффективности передачи мультимедийного трафика в сети NGN/IMS // T-Comm, Телекоммуникации и транспорт, Том 9. № 12. Москва. 2015.- С.27-31.
2. Ибрагимов, Б.Г. Оценка некоторые показатели качества функционирования системы сигнализации// Б.Г.Ибрагимов, Ф.И.Гусейнов, Р.Ф. Ибрагимов /Труды международного симпозиума Надежность и качество. - 2015. - Том-2. - С. 199 - 201.
3. Карташевский В.Г. Основы массового обслуживания. - М.: Горячая линия - Телеком, 2013. -130с.
4. Ибрагимов, Б.Г. Исследование методов отказоустойчивости сети общеканальной системы сигнализации //Б.Г.Ибрагимов, Ф.И.Гусейнов, Р.Ф. Ибрагимов /Труды международного симпозиума Надежность и качество. - 2012. - Том 1. - С. 59-63.
5. Шувалов В.П., Егунов М.М., Минина Е.А. Обеспечение показателей надежности телекоммуникационных систем и сетей. М.: Горячая линия - Телеком, 2015. - 168 с.
6. Северцев Н.А. Системный анализ определения параметров состояния и параметры наблюдения объекта для обеспечения безопасности //Надежность и качество сложных систем. 2013. № 1. С. 4-10.
7. Ванцов, С. В. Надежность входного контроля // С. В.Ванцов, А. М. Медведев/ Надежность и качество сложных систем. - 2015. - № 4 (12). - С. 91-100.
УДК 517.01
Катулев А.Н., Северцев Н.А.
ФГУ «Федеральный Исследовательский Центр «Информатика и Управление» Российской Академии Наук» (ФИЦ ИУ РАН), Москва, Россия
МЕТОД ОЦЕНКИ КЛАССИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕ ПО ЛЯПУНОВУ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Изложен новый метод формирования необходимых и достаточных условий классической по Ляпунову устойчивости нелинейных автономных динамических систем, описываемых нелинейными уравнениями с обыкновенными производными. Метод основан на применении гамильтоновой системы без введения функции Ляпунова и качественных методов. Установлены теоремы о необходимых и достаточных условиях. Ключевые слова:
метод, устойчивость, необходимые и достаточные условия, нелинейная динамическая система.
1. Введение
Результаты основополагающих работ [1-11] по исследованию устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений получены с использованием частного вида функций Ляпунова, так как общего алгоритма ее построения не имеется [12].
В работах [13, 14] функция Ляпунова в явном виде не используется, но правая часть исследуемой системы представляется в виде самосопряженной постоянной матрицы, а в [4] автономная система имеет вид
Х(Г) = . 1( .VI / I! VI / !. х(0 = (/), Х.1/1.....Х„ (/)) ,
где А( х(1)) принята гурвицевой.
Такие допущения справедливы в частных случаях исследования нелинейных динамических систем.
В [15] получен результат, утверждающий асимптотическую устойчивость нелинейной автономной динамической системы в случае ее квазилинеаризации. Однако этот прием не приводит к однозначному решению об асимптотической устойчивости системы или устойчивости «в большом». Поэтому возникает актуальная необходимость разработки метода исследования устойчивости нелинейных автономных динамических систем без введения подобно отмеченным допущений, без квазилинеаризации и без применения функции Ляпунова.
В настоящей статье предлагается такой метод и цель статьи заключается в его теоретическом обосновании и изложении аспектов практического применения в задачах исследования устойчивости решения автономных нелинейных динамических систем, описываемых автономными нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с непрерывными и дифференцируемыми правыми частями.
Под обоснованием метода понимается вывод точных математических соотношений для необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости систем с сосредоточенными параметрами, описываемых названными дифференциальными уравнениями
т=д*(/)), *(/)=с с /). х-. (/ >......V.. I / п _
В качестве основы вывода соотношений принимаются следующие теоремы (доказательства изложены нами в [16]).
Теорема 1. Для любой нелинейной автономной системы
х(г)=/(хт х(о=(*!(/),*2(0,-,*я(0) (1)
где х(/) = (х(0,Х2(/),...,хп(/)) - вектор фазовых координат из Вп ,
/ (х(0) = {/\(х({), Хг(0,..., Хп (г)),..., /п&(0хг(0,..., хп (г))}
вещественная нелинейная гладкая явно не зависящая от времени вектор-функция, существует сопряженная система линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений п
1=1
У = и— ^ х(г) = (х1(гХ Х п (гХ ( 2 }
где р(г) = (р(г)р2(г),...,рп(г)) -вектор сопряженных фазовых координат, и при этом решение исходной системы устойчиво тогда и только тогда, когда решение сопряженной системы неустойчиво.
Теорема 2. Сопряженная гамильтонова система линейных однородных уравнений
КО = -Ёл«W))/dXj, j = 1,2,...,и
/=1
для автономной нелинейной системы
Xi{t) = fi{x{t)), i =1,2,...,«, x{t) = {xi{t),x2{t),...,xn{t))
обладает свойством приведенной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости решения исходной нелинейной автономной системы выражаются неположительными главными диагональными минорами Гурвица для сопряженной гамильтоновой линейной однородной приведенной системы.
Теорема 3. Для локализации критических (нерегулярных) точек - точек бифуркации решения нелинейной автономной системы достаточно установить точки разрыва в фазовом пространстве взятых с обратным знаком собственных значений функциональной матрицы линейной сопряженной гамильто-новой системы в зависимости от управляющих параметров исследуемой нелинейной автономной системы.
Теорема 4. Необходимые и достаточные условия орбитальной устойчивости решения исследуемой нелинейной автономной динамической системы однозначно определяются необходимыми и достаточными условиями орбитальной устойчивости решения сопряженной гамильтоновой системы
Согласно этим теоремам исследование устойчивости решения нелинейных автономных динамических систем сводится к выполнению следующих операций [21, 22]:
- составить сопряженную гамильтонову систему уравнений по отношению к основной (исходной) системе,
- составить характеристическое уравнение сопряженной системы,
- построить из коэффициентов (функциональных) характеристического уравнения функциональные главные миноры Гурвица [17],
- сформировать по критерию Раусса-Гурвица выражения необходимых и достаточных условий и выполнить их анализ на соответствие требованиям асимптотической устойчивости решения сопряженной системы,
- сформировать выражения для собственных значений матрицы сопряженной гамильтоновой системы уравнений и установить их вид: собственные значения действительные, комплексные с не равными нулю действительными частями, мнимые,
- исследовать по критерию непрерывности функций действительные собственные значения и действительные части комплексных собственных значений с последующим выявлением точек разрыва второго рода при изменении параметров исходной нелинейной системы,
- сформировать вывод об устойчивости или неустойчивости решения исходной нелинейной автономной динамической системы и при необходимости сформировать выражения необходимых и достаточных условий устойчивости решения.
Изложенная последовательность операций представляет структуру алгоритма нового метода исследования асимптотической или орбитальной устойчивости решения исходной нелинейной автономной системы.
Решение задач. 1. Воспользуемся теоремой 2 и исследуем устойчивость нулевого решения нелинейной системы [3]
= f^xit)), x{t) = {xl{t),x1{t),...,xn{t)), i = 1,2,...,и
Запишем для нее гамильтонову сопряженную систему
pi(t) = -d(f,p)/cki / = 1,2,...,и,
составим характеристическое уравнение в виде
(■-ЛТ + Sl(-XT-1 +••• + Sn-l = 0
где Sp р = 1,2,..., n
-ь=* =о
дхк
с непрерывными частными производными во всем пространстве -<Жх1 <<& , обращающимися в нуль в точке
х^Г) = хг(0 = ••• = хп(Г) = о,
построим транспонированную матрицу
(-д(/;.)/дхк)т, I = 1,2,...,п, к = 1,2,...,п
и учтем, что матрицы
(-д(£)/дхк)т, (-д(£)/дхк), I = 1,2,...,п, к = 1,2,...,п ^
имеют одни и те же собственные значения и что для каждого собственного значения существует ненулевой собственный вектор, при котором имеют место уравнения
(-д(/1)/дхкУп=Лп, С-дСЛ)/дхк)п=*-п, I = 1,2,...,п, к = 1,2,.
Теперь запишем уравнения (-д(/,)/дхк)т^ + (-д(/,)/дхк)Л=2^Л, ' = 1,2,...,п, к = 1,2,...,п
(d(f )/ dxk )'ц + (d(f )/ dxk
одно из них для матрицы \T
-2Лц, i = 1,2,...,n, k = 1,2,...,n
0.5[(df )/ dxk )lv+ (d(f)/ dxk )?]
а другое
для матрицы
сумма главных миноров р-го порядка матрицы сопряженной системы
-0.5[(д(/)/ dxk )'п + (д(/)/ дхк)п] ^
i = 1,2,...,n, к = 1,2,...,n .
Собственные значения матриц противоположны по знаку. В связи с этим из второго уравнения, соответствующего сопряженной системе, непосредственно следует, что для асимптотической устойчивости в целом нулевого решения
xi(0 = хг(0 = ••• = Xn (t) = 0
необходимо, чтобы вещественные части собственных значений матрицы
-0.5[(д(/)/ дхк )тп+ (д(/)/ дхк) п]
были положительны при х <ю а, значит, для матрицы
0.5[(д(/)/дхк)тп + (д(/)/дхк)п] ^
i= 1,2,..., n, к = 1,2,..., n
они будут отрицательны при х <w • Такое условие полностью согласуется с требованием теоремы 1 в [3] об асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы.
2. Выявим условия устойчивости функционирования генератора с кубической характеристикой в режиме свободных колебаний. Функционирование такого генератора, как известно, описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений Ван-дер-Поля [19]
i (f) = y(t), y(t) = -v2x(t) + ef(x(t),y(t)) ,
которые были источником многочисленных работ по теории колебаний (например, непосредственно видно, что при в =0 будет иметь место колебательный процесс с частотой с = v ); в уравнениях Ван-дер-Поля в>0 — малый параметр).
Для этого построим сопряженную систему
А (О = ЛО2 " efx'(x(t),y(t))), А(О = ~Р\(О - ef'y(x)Pi(0 ,
составим характеристическое уравнение Я2 + s//(x(t),/(t))l + V2 - в£(х(0,/(0) = 0
выпишем главные диагональные миноры Гурвица
а0 = 1, А1 =s/; «о, /(t)),
А2 = s/; (x(t),/(t))(v2 -sf(x(t),/(t))),
сформируем условия устойчивости решения уравнения Ван-дер-Поля: sf'(x(t), /(t)) < 0 ,
в/; (x(t), /(t))(v2-s/; ш, /(t))) < 0 ^ (v2 - в/:(x(t), /(t))) > 0
n
и отметим,
^/у'(х(0,у(0) < 0 функция
о в силу
/(х(1), у (г)) убывает по у, а в силу V2 —&/х' (х(г), у(г)) >0 имеют место два случая:
е/х'( х(г), у(г)) < о и 0 </ (х(г), у(г)) <у2
В первом случае функция /(х(г), у(г)) убывает по х, во втором - возрастает по х.
В связи с этим воспользуемся критерием Бен-диксона для установления типа устойчивости: является ли функция дХ (х, у)/ дх + д¥ (х, у)/ ду,
где X(х,у) = у(г), 7(х,у) = -у2х(г) + е/(х(г),у(г)) , зна-коопределенной.
Функция имеет вид е/н' (х(г), у(/)) и она не является знакоопределенной. Значит, решение системы Ван-дер-Поля имеет предельный цикл - автономная система колебательная; этот результат следует также и из анализа поведения собственных значений функциональной матрицы сопряженной системы; решение сопряженной системы неустойчиво, так как
В полярных координатах уравнения движения
ом
имеют вид
г-гв2 +
г2
= 0, гв + 2гв = 0 ;
это нели-
/(х,у) < 0, (е > 0) и поэтому
0 .
Теперь
учетом / (0,0) = 0
условия
V2 (х(г), у (г)) >0
получаем
е/'у(х,у) < 0, (е > 0) ;
но последнее является необходимым и достаточным для существования функции Ляпунова, производная
которой в [20] Ё(х,у) = бу/(х,у)< 0, (е>0).
Значит, полученные условия устойчивости предложенным нами методом охватывают накладываемые в [20] условия-допущения на приращение функции Ляпунова. Однако в предложенном методе, в отличие от [20], построения функции Ляпунова не потребовалось.
3. Выявим условия устойчивости свободного движения спутника массы т вокруг неподвижного тела массы М.
нейная автономная система уравнений
Сопряженная гамильтонова система для нее записывается в виде Р\—~Р\ (1 — Зг2), -
Непосредственно видно, что собственные значения матрицы правой части такой сопряженной системы мнимые; это означает, что имеет место движение по замкнутой кривой - эллипсу; движение орбитально устойчиво.
Заключение. Разработанный метод применим для исследования:
- устойчивости различных нелинейных автономных систем с гладкими и негладкими непрерывными нелинейностями и для таких систем он в отличие от известных методов с применением функции Ляпунова не требует ее введения,
- устойчивости решения однородных систем нелинейных интегральных уравнений Воьтерра второго рода, когда они могут быть сведены к решению нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
- бифуркационного множества в пространстве параметров автономных нелинейных динамических систем.
Метод не связан с введением допущения гурви-цевости функциональной матрицы А(х) с ограниченными элементами и их производными в правой части автономной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений х = А(х)х ; допущение гурвицевости априори гарантирует асимптотическую устойчивость решения этой системы, тогда как предложенный в настоящей статье метод выявляет условия устойчивости решения автономных динамических систем, описываемых нелинейными автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями, в том числе описываемых уравнения вида х = А(х)х [16] /
ЛИТЕРАТУРА
1. Айзерман М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем. // УМН. Т. 4. 1940. С. 187-188.
2. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом. //ПММ. Т. XIV. 1950.
3. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости. //ПММ. Т. XIX. 1955. С. 599-615.
4. Первозванский А.А. Квазилогические системы и их устойчивость. //Автоматика и телемеханика. Вып. 5. 1999. С. 135-144.
5. Красовский Н.Н. Теоремы об устойчивости движений, определяемых системой двух уравнений. //ПММ. Т. 16. Вып. 5. 1952. С. 547-554.
6. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости в целом. Изд. ЛГУ. 1958. С. 183.
7. Еругин Н.П. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. //ПММ. Т. XVI. Вып. 5. 1952. С. 620-628.
8. Красовский Н.Н. Об одной задаче устойчивости движения в целом. //ДАН СССР. Т. 88. 1953.
9. Барбашин Е.А. О построении функции Ляпунова для нелинейных систем. Тр. Первого Международного конгресса международной федерации по автоматическому управлению. АН СССР. 1961. С. 742-751.
10. Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом при постоянно действующих возмущениях. //ПММ. Т. XVIII. Вып. 1. 1954. С. 95-102.
11. Шиманов С.Н. Об устойчивости решения одного нелинейного уравнения третьего порядка. //ПММ. Т. XVII. Вып. 3. 1953. С. 369-372.
12. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Наука, 2001.
13. Бойков И.В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Изд-во Пензенского университета. Пенза, 2008.
14. Бойков И.В. К проблеме Айзермана. //ПММ. Т.58. Вып. 3. 1994. С. 52-55.
15. Демидович Б.П. Лекции по математической тории устойчивости. М.: Наука, 1967.
16. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Достоверность метода оценки классической устойчивости по Ляпунову функционирования нелинейных автономных динамических систем. (Часть 2) //Настоящий сборник. С. 33.
17. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1970.
18. Вольтерра В. Математическая тория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.
19. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.
20. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.
21. Северцев, Н.А. Метод управления беспилотным летательным аппаратом с определенным запасом живучести/ Н.А. Северцев, И. В. Прокопьев// Надежность и качество сложных систем. - 2014, № 1. -
С. 43- 49.
22. Северцев, Н.А. Полумарковская модель исследования безопасности систем, безопасность и надежность системы как объекта, имеющего систему защиты /Н.А.Северцев, А.В.Бецков, Ю.В.Лончаков// Надежность и качество сложных систем. - 2014, № 1. - 2 - 8.
и
