Научная статья на тему 'Метод оценки классической устойчивости не по Ляпунову функционирования нелинейных автономных динамических систем'

Метод оценки классической устойчивости не по Ляпунову функционирования нелинейных автономных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
60
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МЕТОД / УСТОЙЧИВОСТЬ / НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ / НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Катулев А. Н., Северцев Н. А.

Изложен новый метод формирования необходимых и достаточных условий классической по Ляпунову устойчивости нелинейных автономных динамических систем, описываемых нелинейными уравнениями с обыкновенными производными. Метод основан на применении гамильтоновой системы без введения функции Ляпунова и качественных методов. Установлены теоремы о необходимых и достаточных условиях.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Метод оценки классической устойчивости не по Ляпунову функционирования нелинейных автономных динамических систем»

некоторыми допущениями. Решая эти уравнения, можем определить следующие важные вероятностные показатели системы [5]:

Pi = [

Vb

-] •Рi, i = 0,1,

(11)

Л + Мъ

где р — коэффициент эффективного использования подсистемы IMS с использованием HCC исправной работы и восстановления стемы, и равно

р = (Л / цъ ) < 1

для периода отказов си-

(12)

Уравнения (11) и (12), позволяют определить, также некоторые важные вероятностно-временные характеристик модели отказоустойчивости функционирования подсистемы IMS с использованием HCC.

Таким образом, по результатам исследования, разработана математическая модель отказоустойчивости функционирования подсистемы IMS с использованием сервера домашних абонентов HCC и получены аналитические выражения, которые позволяют оценить показатели отказоустойчивости базовых компонентов системы сигнализации NGN при оказании мультимедийных услуг, регламентируемые рекомендациями ITU-T.

1. Ибрагимов Б.Г., Гусейном Ф.И.

ЛИТЕРАТУРА

Исследование и анализ эффективности передачи мультимедийного трафика в сети NGN/IMS // T-Comm, Телекоммуникации и транспорт, Том 9. № 12. Москва. 2015.- С.27-31.

2. Ибрагимов, Б.Г. Оценка некоторые показатели качества функционирования системы сигнализации// Б.Г.Ибрагимов, Ф.И.Гусейнов, Р.Ф. Ибрагимов /Труды международного симпозиума Надежность и качество. - 2015. - Том-2. - С. 199 - 201.

3. Карташевский В.Г. Основы массового обслуживания. - М.: Горячая линия - Телеком, 2013. -130с.

4. Ибрагимов, Б.Г. Исследование методов отказоустойчивости сети общеканальной системы сигнализации //Б.Г.Ибрагимов, Ф.И.Гусейнов, Р.Ф. Ибрагимов /Труды международного симпозиума Надежность и качество. - 2012. - Том 1. - С. 59-63.

5. Шувалов В.П., Егунов М.М., Минина Е.А. Обеспечение показателей надежности телекоммуникационных систем и сетей. М.: Горячая линия - Телеком, 2015. - 168 с.

6. Северцев Н.А. Системный анализ определения параметров состояния и параметры наблюдения объекта для обеспечения безопасности //Надежность и качество сложных систем. 2013. № 1. С. 4-10.

7. Ванцов, С. В. Надежность входного контроля // С. В.Ванцов, А. М. Медведев/ Надежность и качество сложных систем. - 2015. - № 4 (12). - С. 91-100.

УДК 517.01

Катулев А.Н., Северцев Н.А.

ФГУ «Федеральный Исследовательский Центр «Информатика и Управление» Российской Академии Наук» (ФИЦ ИУ РАН), Москва, Россия

МЕТОД ОЦЕНКИ КЛАССИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕ ПО ЛЯПУНОВУ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Изложен новый метод формирования необходимых и достаточных условий классической по Ляпунову устойчивости нелинейных автономных динамических систем, описываемых нелинейными уравнениями с обыкновенными производными. Метод основан на применении гамильтоновой системы без введения функции Ляпунова и качественных методов. Установлены теоремы о необходимых и достаточных условиях. Ключевые слова:

метод, устойчивость, необходимые и достаточные условия, нелинейная динамическая система.

1. Введение

Результаты основополагающих работ [1-11] по исследованию устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений получены с использованием частного вида функций Ляпунова, так как общего алгоритма ее построения не имеется [12].

В работах [13, 14] функция Ляпунова в явном виде не используется, но правая часть исследуемой системы представляется в виде самосопряженной постоянной матрицы, а в [4] автономная система имеет вид

Х(Г) = . 1( .VI / I! VI / !. х(0 = (/), Х.1/1.....Х„ (/)) ,

где А( х(1)) принята гурвицевой.

Такие допущения справедливы в частных случаях исследования нелинейных динамических систем.

В [15] получен результат, утверждающий асимптотическую устойчивость нелинейной автономной динамической системы в случае ее квазилинеаризации. Однако этот прием не приводит к однозначному решению об асимптотической устойчивости системы или устойчивости «в большом». Поэтому возникает актуальная необходимость разработки метода исследования устойчивости нелинейных автономных динамических систем без введения подобно отмеченным допущений, без квазилинеаризации и без применения функции Ляпунова.

В настоящей статье предлагается такой метод и цель статьи заключается в его теоретическом обосновании и изложении аспектов практического применения в задачах исследования устойчивости решения автономных нелинейных динамических систем, описываемых автономными нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с непрерывными и дифференцируемыми правыми частями.

Под обоснованием метода понимается вывод точных математических соотношений для необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости систем с сосредоточенными параметрами, описываемых названными дифференциальными уравнениями

т=д*(/)), *(/)=с с /). х-. (/ >......V.. I / п _

В качестве основы вывода соотношений принимаются следующие теоремы (доказательства изложены нами в [16]).

Теорема 1. Для любой нелинейной автономной системы

х(г)=/(хт х(о=(*!(/),*2(0,-,*я(0) (1)

где х(/) = (х(0,Х2(/),...,хп(/)) - вектор фазовых координат из Вп ,

/ (х(0) = {/\(х({), Хг(0,..., Хп (г)),..., /п&(0хг(0,..., хп (г))}

вещественная нелинейная гладкая явно не зависящая от времени вектор-функция, существует сопряженная система линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений п

1=1

У = и— ^ х(г) = (х1(гХ Х п (гХ ( 2 }

где р(г) = (р(г)р2(г),...,рп(г)) -вектор сопряженных фазовых координат, и при этом решение исходной системы устойчиво тогда и только тогда, когда решение сопряженной системы неустойчиво.

Теорема 2. Сопряженная гамильтонова система линейных однородных уравнений

КО = -Ёл«W))/dXj, j = 1,2,...,и

/=1

для автономной нелинейной системы

Xi{t) = fi{x{t)), i =1,2,...,«, x{t) = {xi{t),x2{t),...,xn{t))

обладает свойством приведенной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости решения исходной нелинейной автономной системы выражаются неположительными главными диагональными минорами Гурвица для сопряженной гамильтоновой линейной однородной приведенной системы.

Теорема 3. Для локализации критических (нерегулярных) точек - точек бифуркации решения нелинейной автономной системы достаточно установить точки разрыва в фазовом пространстве взятых с обратным знаком собственных значений функциональной матрицы линейной сопряженной гамильто-новой системы в зависимости от управляющих параметров исследуемой нелинейной автономной системы.

Теорема 4. Необходимые и достаточные условия орбитальной устойчивости решения исследуемой нелинейной автономной динамической системы однозначно определяются необходимыми и достаточными условиями орбитальной устойчивости решения сопряженной гамильтоновой системы

Согласно этим теоремам исследование устойчивости решения нелинейных автономных динамических систем сводится к выполнению следующих операций [21, 22]:

- составить сопряженную гамильтонову систему уравнений по отношению к основной (исходной) системе,

- составить характеристическое уравнение сопряженной системы,

- построить из коэффициентов (функциональных) характеристического уравнения функциональные главные миноры Гурвица [17],

- сформировать по критерию Раусса-Гурвица выражения необходимых и достаточных условий и выполнить их анализ на соответствие требованиям асимптотической устойчивости решения сопряженной системы,

- сформировать выражения для собственных значений матрицы сопряженной гамильтоновой системы уравнений и установить их вид: собственные значения действительные, комплексные с не равными нулю действительными частями, мнимые,

- исследовать по критерию непрерывности функций действительные собственные значения и действительные части комплексных собственных значений с последующим выявлением точек разрыва второго рода при изменении параметров исходной нелинейной системы,

- сформировать вывод об устойчивости или неустойчивости решения исходной нелинейной автономной динамической системы и при необходимости сформировать выражения необходимых и достаточных условий устойчивости решения.

Изложенная последовательность операций представляет структуру алгоритма нового метода исследования асимптотической или орбитальной устойчивости решения исходной нелинейной автономной системы.

Решение задач. 1. Воспользуемся теоремой 2 и исследуем устойчивость нулевого решения нелинейной системы [3]

= f^xit)), x{t) = {xl{t),x1{t),...,xn{t)), i = 1,2,...,и

Запишем для нее гамильтонову сопряженную систему

pi(t) = -d(f,p)/cki / = 1,2,...,и,

составим характеристическое уравнение в виде

(■-ЛТ + Sl(-XT-1 +••• + Sn-l = 0

где Sp р = 1,2,..., n

-ь=* =о

дхк

с непрерывными частными производными во всем пространстве -<Жх1 <<& , обращающимися в нуль в точке

х^Г) = хг(0 = ••• = хп(Г) = о,

построим транспонированную матрицу

(-д(/;.)/дхк)т, I = 1,2,...,п, к = 1,2,...,п

и учтем, что матрицы

(-д(£)/дхк)т, (-д(£)/дхк), I = 1,2,...,п, к = 1,2,...,п ^

имеют одни и те же собственные значения и что для каждого собственного значения существует ненулевой собственный вектор, при котором имеют место уравнения

(-д(/1)/дхкУп=Лп, С-дСЛ)/дхк)п=*-п, I = 1,2,...,п, к = 1,2,.

Теперь запишем уравнения (-д(/,)/дхк)т^ + (-д(/,)/дхк)Л=2^Л, ' = 1,2,...,п, к = 1,2,...,п

(d(f )/ dxk )'ц + (d(f )/ dxk

одно из них для матрицы \T

-2Лц, i = 1,2,...,n, k = 1,2,...,n

0.5[(df )/ dxk )lv+ (d(f)/ dxk )?]

а другое

для матрицы

сумма главных миноров р-го порядка матрицы сопряженной системы

-0.5[(д(/)/ dxk )'п + (д(/)/ дхк)п] ^

i = 1,2,...,n, к = 1,2,...,n .

Собственные значения матриц противоположны по знаку. В связи с этим из второго уравнения, соответствующего сопряженной системе, непосредственно следует, что для асимптотической устойчивости в целом нулевого решения

xi(0 = хг(0 = ••• = Xn (t) = 0

необходимо, чтобы вещественные части собственных значений матрицы

-0.5[(д(/)/ дхк )тп+ (д(/)/ дхк) п]

были положительны при х <ю а, значит, для матрицы

0.5[(д(/)/дхк)тп + (д(/)/дхк)п] ^

i= 1,2,..., n, к = 1,2,..., n

они будут отрицательны при х <w • Такое условие полностью согласуется с требованием теоремы 1 в [3] об асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы.

2. Выявим условия устойчивости функционирования генератора с кубической характеристикой в режиме свободных колебаний. Функционирование такого генератора, как известно, описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений Ван-дер-Поля [19]

i (f) = y(t), y(t) = -v2x(t) + ef(x(t),y(t)) ,

которые были источником многочисленных работ по теории колебаний (например, непосредственно видно, что при в =0 будет иметь место колебательный процесс с частотой с = v ); в уравнениях Ван-дер-Поля в>0 — малый параметр).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для этого построим сопряженную систему

А (О = ЛО2 " efx'(x(t),y(t))), А(О = ~Р\(О - ef'y(x)Pi(0 ,

составим характеристическое уравнение Я2 + s//(x(t),/(t))l + V2 - в£(х(0,/(0) = 0

выпишем главные диагональные миноры Гурвица

а0 = 1, А1 =s/; «о, /(t)),

А2 = s/; (x(t),/(t))(v2 -sf(x(t),/(t))),

сформируем условия устойчивости решения уравнения Ван-дер-Поля: sf'(x(t), /(t)) < 0 ,

в/; (x(t), /(t))(v2-s/; ш, /(t))) < 0 ^ (v2 - в/:(x(t), /(t))) > 0

n

и отметим,

^/у'(х(0,у(0) < 0 функция

о в силу

/(х(1), у (г)) убывает по у, а в силу V2 —&/х' (х(г), у(г)) >0 имеют место два случая:

е/х'( х(г), у(г)) < о и 0 </ (х(г), у(г)) <у2

В первом случае функция /(х(г), у(г)) убывает по х, во втором - возрастает по х.

В связи с этим воспользуемся критерием Бен-диксона для установления типа устойчивости: является ли функция дХ (х, у)/ дх + д¥ (х, у)/ ду,

где X(х,у) = у(г), 7(х,у) = -у2х(г) + е/(х(г),у(г)) , зна-коопределенной.

Функция имеет вид е/н' (х(г), у(/)) и она не является знакоопределенной. Значит, решение системы Ван-дер-Поля имеет предельный цикл - автономная система колебательная; этот результат следует также и из анализа поведения собственных значений функциональной матрицы сопряженной системы; решение сопряженной системы неустойчиво, так как

В полярных координатах уравнения движения

ом

имеют вид

г-гв2 +

г2

= 0, гв + 2гв = 0 ;

это нели-

/(х,у) < 0, (е > 0) и поэтому

0 .

Теперь

учетом / (0,0) = 0

условия

V2 (х(г), у (г)) >0

получаем

е/'у(х,у) < 0, (е > 0) ;

но последнее является необходимым и достаточным для существования функции Ляпунова, производная

которой в [20] Ё(х,у) = бу/(х,у)< 0, (е>0).

Значит, полученные условия устойчивости предложенным нами методом охватывают накладываемые в [20] условия-допущения на приращение функции Ляпунова. Однако в предложенном методе, в отличие от [20], построения функции Ляпунова не потребовалось.

3. Выявим условия устойчивости свободного движения спутника массы т вокруг неподвижного тела массы М.

нейная автономная система уравнений

Сопряженная гамильтонова система для нее записывается в виде Р\—~Р\ (1 — Зг2), -

Непосредственно видно, что собственные значения матрицы правой части такой сопряженной системы мнимые; это означает, что имеет место движение по замкнутой кривой - эллипсу; движение орбитально устойчиво.

Заключение. Разработанный метод применим для исследования:

- устойчивости различных нелинейных автономных систем с гладкими и негладкими непрерывными нелинейностями и для таких систем он в отличие от известных методов с применением функции Ляпунова не требует ее введения,

- устойчивости решения однородных систем нелинейных интегральных уравнений Воьтерра второго рода, когда они могут быть сведены к решению нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений,

- бифуркационного множества в пространстве параметров автономных нелинейных динамических систем.

Метод не связан с введением допущения гурви-цевости функциональной матрицы А(х) с ограниченными элементами и их производными в правой части автономной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений х = А(х)х ; допущение гурвицевости априори гарантирует асимптотическую устойчивость решения этой системы, тогда как предложенный в настоящей статье метод выявляет условия устойчивости решения автономных динамических систем, описываемых нелинейными автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями, в том числе описываемых уравнения вида х = А(х)х [16] /

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзерман М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем. // УМН. Т. 4. 1940. С. 187-188.

2. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом. //ПММ. Т. XIV. 1950.

3. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости. //ПММ. Т. XIX. 1955. С. 599-615.

4. Первозванский А.А. Квазилогические системы и их устойчивость. //Автоматика и телемеханика. Вып. 5. 1999. С. 135-144.

5. Красовский Н.Н. Теоремы об устойчивости движений, определяемых системой двух уравнений. //ПММ. Т. 16. Вып. 5. 1952. С. 547-554.

6. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости в целом. Изд. ЛГУ. 1958. С. 183.

7. Еругин Н.П. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. //ПММ. Т. XVI. Вып. 5. 1952. С. 620-628.

8. Красовский Н.Н. Об одной задаче устойчивости движения в целом. //ДАН СССР. Т. 88. 1953.

9. Барбашин Е.А. О построении функции Ляпунова для нелинейных систем. Тр. Первого Международного конгресса международной федерации по автоматическому управлению. АН СССР. 1961. С. 742-751.

10. Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом при постоянно действующих возмущениях. //ПММ. Т. XVIII. Вып. 1. 1954. С. 95-102.

11. Шиманов С.Н. Об устойчивости решения одного нелинейного уравнения третьего порядка. //ПММ. Т. XVII. Вып. 3. 1953. С. 369-372.

12. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Наука, 2001.

13. Бойков И.В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Изд-во Пензенского университета. Пенза, 2008.

14. Бойков И.В. К проблеме Айзермана. //ПММ. Т.58. Вып. 3. 1994. С. 52-55.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической тории устойчивости. М.: Наука, 1967.

16. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Достоверность метода оценки классической устойчивости по Ляпунову функционирования нелинейных автономных динамических систем. (Часть 2) //Настоящий сборник. С. 33.

17. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1970.

18. Вольтерра В. Математическая тория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

19. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

20. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

21. Северцев, Н.А. Метод управления беспилотным летательным аппаратом с определенным запасом живучести/ Н.А. Северцев, И. В. Прокопьев// Надежность и качество сложных систем. - 2014, № 1. -

С. 43- 49.

22. Северцев, Н.А. Полумарковская модель исследования безопасности систем, безопасность и надежность системы как объекта, имеющего систему защиты /Н.А.Северцев, А.В.Бецков, Ю.В.Лончаков// Надежность и качество сложных систем. - 2014, № 1. - 2 - 8.

и

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.