Алгоритм и результаты оценки структурной безопасности функционирования нелинейных автономных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», 2016, том 1

ГЛАВА 2. СИСТЕМНЫЕ ОСНОВЫ НАДЕЖНОСТИ, КАЧЕСТВА, БЕЗОПАСНОСТИ

УДК 517.01

Катулев А.Н., Северцев Н.А., Прокопьев И.В.

ФГУ Федеральный Исследовательский Центр «Информатика и Управление» Российской Академии Наук» (ФИЦ ИУ РАН), Москва, Россия

АЛГОРИТМ И РЕЗУЛЬТАТЫ ОЦЕНКИ СТРУКТУРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Построен алгоритм и приведены результаты исследования показателей структурной устойчивости — безопасности автономных динамических систем, описываемых нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений или другими уравнениями, сводимыми к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ключевые слова:

алгоритм, условия структурной устойчивости, результаты оценки.

Алгоритм. По изложенному в [1] методу оценка безопасности нелинейной автономной динамической системы по показателям структурной устойчивости системы сводится к выполнению следующей последовательности операций:

- составить сопряженную гамильтонову систему дифференциальны:: уравнений

„г

pit) = -{pT{t),cp'x WO, и WO)))

по отношению к основной

исходном системе

x](t) = cp](x(t),u(x(t)), x,(t) = q>,{n{.x(t)) г 1 = 1,2,

j = 1,2,..., n, ., k, x(t) e Rn

- составить характеристическое уравнение сопряженной системы

(-Х)т + (-Х)т-1 + 52 (-Х)т-2 + • • • + ^ (-Х) + = 0

где 5 , р=1,2,...,т, сумма главных миноров р -

го порядка функциональной матрицы сопряженной системы [2]

\ ]=\,2...,т

/ \j=1,2...,m

/ а.,) Ч=,) .....и = о,

где т = п + kг Л - собственное значение, подлежащее вычислению;

- построить из функциональных коэффициентов характеристического уравнения функциональные главные миноры Гурвица;

- исследовать зависимость собственного значения от параметров основной системы по критериям непрерывности на языке s,S и выявить признак возникновения бифуркации - катастрофы на основе анализа динамики собственного значения с установлением изменения его знака и принятия им нулевого значения в любых произвольно выбираемых точках - значениях изменяемых параметров системы;

- проверить выполнение равенства

H(p(t),x(t),u(x(t))) = 0 .

- реализовать, при невыполнении этого равенства, алгоритм покоординатного спуска решения задачи

u* (x(t)) = arg max H(p(t), x(t), u(x(t))),

u( x(t ))eU

то есть алгоритм поиска оптимальных значений таких параметров системы, чтобы выполнялось равен-

H(p(t), x(t), u (x(t))) = 0;

дифференциальных уравнений, описывающих конкуренцию двух экономических систем:

Д/^ Д/^ ^ 11 ^ 12 ^ '

где с > 0, с2 > 0, ап > 0, а12 > 0, а21 > 0, а22 > 0 •

Под условиями существования точки бифуркации будем понимать соответствующие значения коэффициентов самоограничения роста ^ > 0, а22 > 0 • С

целью выявления точки бифуркации составим сопряженную гамильтонову систему для исходной системы и выпишем для нее характеристическое уравнение. Последнее имеет вид

Я2 + X (с1 +2 311X1 +а 12 Х2 +С2 + 321X1 +2а22Х2 ) +

+2ап\+ах )(с+ал+) - аахх=0

где X - собственное значение матрицы правой части сопряженной гамильтоновой системы.

Точке бифуркации должен соответствовать разрыв зависимости функции собственного значения от параметров с1, С2, ап, 312, 321, 322.

На рис. 1а, 1б представлены зависимости Я(аи)

и Х(#22) , построенные на ПЭВМ, при фиксированных

значениях всех других параметров С1,С2,312,321 ,322 и С1, С2Г ап, а12, а.21 соответственно.

- сформировать достаточные условия структурной устойчивости основной системы с установлением параметров ее безопасного состояния - режима функционирования;

- сформировать информационную модель отображения текущего состояния динамической системы, оптимальных значений ее параметров и собственных значений функциональной матрицы сопряженной га-мильтоновой системы, при которых исходная нелинейная динамическая система структурно устойчива [5, 6].

Изложенная последовательность операций составляет алгоритм метода для его реализации на ЭВМ.

Результаты применения алгоритма. 1. Выявим условия, при которых будет существовать точка бифуркации решения нелинейной автономной системы

Рисунок 1, а Зависимость Х(ап) 1,б Зависимость

Х(а22) при ап = а22 терпит разрыв при а22 = ап терпит разрыв 2-го рода. 2-го рода

Из этих зависимостей непосредственно видно, что собст-венное значение Х(ап) и Х(а22) имеет разрыв типа второго рода и скачкообразное изменение знака при 311=322: решение исходной системы уравнений имеет точку бифуркации при ац=а22, конкурирующие популяции при 311=322, то есть с одинаковыми коэффициентами саморегуляции роста, не могут сосуществовать в одном месте обитания -имеет место структурная неустойчивость в жизнеспособности двух популяций.

Бифуркации отсутствуют при неодинаковых значениях 311 и 322 и изменении других параметров исследуемой автономной системы.

После оптимизации управления по обратной связи разрывы зависимости собственного значения Х(Яц) и Х(#22) от тех же параметров устранены,

исходная система стала структурно устойчивой, то есть жизнедеятельность экономической системы стала безопасной [7, 8].

Отметим, что полученный результат есть и математическое обоснование принципа Гаузе: конкурирующие динамические системы (популяции) с одинаковыми коэффициентами саморегуляции роста не могут сосуществовать в одном и том же регионе (месте обитания). Вольтерра в [3] доказал этот

Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», 2016, том 1

принцип при сведении исследуемои системы к линейному уравнению первого порядка, разрешенному относительно производной d(log X / X)/dt , когда в

правых частях одна и та же нелинейность, то есть в частном случае описания взаимодействия конкурирующих систем; предложенный авторами метод свободен от такого рода допущений.

2. Применим алгоритм для выявления критических точек решения системы нелинейных аэродинамических уравнений [4] описывающих движение летательного аппарата

5

j=

j 7=1

k Ф m Ф i, i = 2,3,

/' = 4,5,

j=i

где Fj = ÔF /Ôx C- управляющие параметры эле-

ронов и рулей летательного аппарата,

FJ F -

управляющие параметры летательного аппарата. Построим для (*) сопряженную систему

А = -[рА1 + Рг (-^231 + ) + Ръ (рГ'Х2 +Р}) + РаРА р^^РХ + р.Х'+РЖ'^ +К-)+р4р4+рХ'1 р3 =-[рХ + р^х, + РЛ3+РА3Ъ

А = 4 М4 + + РЛ4 + рХ + рЛ41 А = + Р& + РЛ5 + РЛ5 + РЛИ

Рх = Рх Р2 = Р2 ((X Рз = Рз Ра = Ра ((X Р5 = Р5 (0 -

сопряженные координаты.

Для анализа устойчивости системы (*) необходимо исследовать корни характеристического уравнения пятой степени

1 г?31 , „ г?2 г?12„ , г?1 г?1 г?1

F1 -1 F231 + Х3 F22 F312 Х2 + F31 F,

F12

F2 -1

F312 xi + F32 F231xi + F23 F33 -1

F, F

F , F ,

F51

f52

F 3

F

2

5 F

F, -1 F54

F 5

A

F 5 -1

= 0

- 2 ^ 3

где Л~ собственное число.

С использованием системы символьной математики Maple определяются множества точек бифуркаций и стационарных точек в зависимости от каждого из управляющих параметров при фиксации всех других (при одновременном изменении всех параметров определение множества бифуркаций невозможно).

Вычислительным экспериментом установлено существование области бифуркаций в связи с изменением управляющих параметров.

На рис.2 изображена проекция бифуркационного множества системы (*) в пространстве F1 F1•

Рисунок 3

На рис. 3 представлена функция управления, при условии реализации обратной связи по параметру р1 , такое управление исключает выход системы в состояние катастрофы - решение системы асимптотически устойчиво, летательный аппарат функционирования остается в режиме устойчивого безопасного функционирования.

Полученные результаты полностью согласуются с результатами [4], где для описания состояний летательного аппарата использовалась обобщенная потенциальная функция. Отсюда следует и подтверждение достоверности метода. Отметим также, что в предложенном алгоритме не потребовалась потенциальная функция.

Вычислительный эксперимент выполнил Кузнецов А.Ю., авторы выражают ему свою признательность.

Заключение. Изложенный алгоритм представляет вклад в компьютерные системы исследования структурной устойчивости и показателей безопасности функционирования нелинейных автономных динамических систем различного назначения.

ЛИТЕРАТУРА

1. А.Н. Катулев, Н.А. Северцев. Метод оценки показателей структурной устойчивости и безопасности функционирования автономных динамических систем //Труды международного симпозиума Надежность и качество. С. 3-14.

2. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

3. В. Вольтерра. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

4. Р. Гилмор. Прикладная теория катастроф. М.: Мир. Т.2. 1984. (R. Gilmore. Catastrophe theory for scientists and engineers. A Willey-Intersclence Publication, John Wiley and Sons, New-York-Chichester-Brislane-Toronto, 1981)/

5. Северцев, Н.А. Системный анализ определения параметров состояния и параметры наблюдения объекта для обеспечения безопасности/Надежность и качество сложных систем//2013, № 1, - С. 4 - 10.

6. Северцев, Н.А. Метод оценки показателей безопасности автономных динамических систем /Н.А. Северцев, А.Н. Катулев //Надежность и качество сложных систем. - 2013, № 1, - С. 17 - 26.

7. Северцев, Н.А. Метод управления беспилотным летательным аппаратом с определенным запасом живучести/ Н.А. Северцев, И. В. Прокопьев// Надежность и качество сложных систем. - 2014, № 1. -С. 43- 49.

8. Северцев, Н.А. Полумарковская модель исследования безопасности систем, безопасность и надежность системы как объекта, имеющего систему защиты /Н.А.Северцев, А.В.Бецков, Ю.В.Лончаков// Надежность и качество сложных систем. - 2014, № 1. - 2 - 8.

xx

k m