Программная реализация расчета вибронагруженных дискретно-континуальных динамических систем, содержащих тонкие пластины Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Черниговская Т.Н. УДК621.06

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАСЧЕТА ВИБРОНАГРУЖЕННЫХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ

При проектировании и реконструкции промышленных предприятий, использующих вибрационные технологии, возникает необходимость проведения расчетов вибрационной нагруженности конструктивных элементов зданий и сооружений. Очевидно, что расчетные схемы таких систем будут характеризоваться большим разнообразием элементов и способов их сочленения, обусловленного нерегулярностью несущих конструкций с проемами, наличием технологических агрегатов, и оборудования в многоэтажных зданиях.

Необходимость подготовки и ввода большого количества разнородной информации, возникающая при формировании расчетных моделей многоэтажных зданий и сооружений и ее сложность накладывают определенные требования на разработку программных средств динамического расчета конструкций, несущих виброактивные агрегаты. В этих условиях используемые методы расчета должны быть физически наглядными, интуитивно доступными и по возможности наиболее простыми.

Существующие методики расчета не учитывают специфики динамического взаимодействия виброактивного оборудования с конструкциями зданий или этот учет в рамках известных методик обладает крайней приближенностью. Эффективное решение задач подавления вибраций от оборудования, установленного на конструкциях или деформируемых основаниях требует использования гораздо более сложных, корректных расчётных схем имеющих возможность сочетания разнородных элементов дискретного и континуального характера и соответственно применения, более совершенных методов расчёта.

Чрезвычайная нерегулярность распределения границ областей и граничных условий несущих конструкций, свойственная промышленным сооружениям за небольшим исключением не позволяет непосредственно использовать аналитические методы расчета таких систем и оставляет возможность применения довольно небольшого количества численных методов механики конструкций, основанных преимущественно на дискретизации инерционных и жесткостных параметров элементов строительных конструкций (метод конечных элементов, метод конечных разностей и т. д.).

В работе [2] предложен и обоснован аналог метода конечного элемента - метод гармонического элемента (ГаЭ), основанный на использовании и развитии известных методов динамической податливости [1]. При подходах, использующих динамические податливости, решение осуществляется путем декомпозиции исходной динамической системы на некоторые достаточно простые элементы, для которых можно построить аналитические решения для различных допустимых краевых условий, задаваемых в соединительных узлах элементов. Метод ГаЭ, специализирующийся для решения динамических задач вынужденных стационарных гармонических колебаний, позволил осуществить построение дискретно-континуальных математических моделей и создание программного комплекса, реализующего метод расчета, систем, включающих бесконечномерные балочные элементы, сосредоточенные массы, упругие элементы и упруго опертые твердые тела. Метод построения балочного ГаЭ основан на аналитическом выражении величин динамических реакций в зависимости от узловых гармонических пере-

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

шш оо оо

1

мещений по возможным степеням свободы узловых точек элементов конструкции, в которых осуществляется «сшивка» решений ансамбля гармонических элементов.

Несущие конструкции промышленных зданий в преобладающем большинстве представляют собой системы стержневых и плоских элементов - перекрытий. Включение в математические модели бесконечномерных изгибаемых гармонических элементов в виде тонких пластин, усложняет задачу, хотя принцип динамической податливости [ 1] в сочетании с методом гармонического сканирования связей [2|, может быть с успехом применен и в этом случае. Общая методика данного подхода была приведена в работе [5] , в которой было показано, что в отличие от балочных гармонических элементов [2] динамические реакции в узлах плоских элементов не удаётся определить в аналитическом виде. Для этих целей приходиться использовать приёмы аппроксимации, схожие с конечноэлементными. Однако в отличие от классических конечноэлемен-тных моделей [3,4] при таком подходе не требуется решать задачу дискретизации инерционных параметров пластины, эти параметры остаются исходными - распределенными.

Рассматривая вынужденные изгибные колебания тонкой пластины, описываемые дифференциальным уравнением поперечных колебаний:

д4 Ш д4 ш

л 2 "

дх4

д4 Ш шк д2 Ш

дх 2ду2 ду4 в дг1

= 0, (1)

получаемых при условии разделения переменных времени и пространства.

(

в

д^9_ дх4

2

д4 9

4

д49

дх2ду2 ду'

= ю2 шк9. (2)

Исключение параметра времени для решения статической задачи позволяет пользоваться параметрами пространства в виде амплитуд перемещений и динамических реакций в связях. Действительно, при циклических воздействиях гармонического характера система переходит в стационарное динамическое состояние, которое охватывает подавляющую часть срока её эксплуатации. Поэтому большой интерес представляет прямой расчет стационарного состояния, минующий анализ переходного периода.

Прямое использование классических приемов конечноэлементного построения оказывается невозможным в силу того, что полученное уравнение (2) имеет в правой части неизвестную функцию ю2тЛ9(х,у), выражающую распределенную инерционную нагрузку при достижении точек поверхности пластины амплитудных значений, тогда как при построении конечных элементов (КЭ) она известна и выражена зависимостью д(х, у),определяю-щей заданную поверхностную распределенную нагрузку:

в

(д4 ш

д4 Ш д4 ш

дх4

дх2ду2 ду4

-9.

(3)

так же как и в балочном элементе переходим к решению задачи стационарных колебаний,

Рис. 1. Расчетная схема тонкостенной пластины. 1,4,7,10 - номера линейных связей, 2,5,8,11 - номера угловых связей в плоскостях параллельных ZoX, 3,6,9,12- номера угловых связей в плоскостях параллельных ZoY

Согласно приёму прямого построения модели [3,4], простейший способ аналитического описания функций перемещения поверхности элемента 9(х, у ) состоит в представлении их в виде полиномиального ряда, коэффициенты которого являются обобщенными параметрами. Число обобщенных параметров выбирается равным числу узловых степеней свободы элемента. Для варианта четырехузлово-го элемента с узлами, расположенными в вершинах углов некоторой конечной прямоугольной области тонкой пластины, степень кинематической подвижности элемента, равна двенадцати (рис. 1).

Для построения гармонического элемента тонких прямоугольных пластин сформируем интерполирующие полиномы для базиса граничных условий, определенного возможными

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

вариантами поочередных единичных перемещений узловых связей. Для варианта возбуждения первой связи имеем:

д(х,у)*Дх,у)- Л1, (4)

где Д(х,у) = (1,х,у,х2 ,ху,у2,х3 ,х2у,ху2 ,у3 ,х3у,ху2),

Л1 =(а1 ,а2 ,а3 ,а4 ,а5 ,а6 ,а7 ,а8 ,а9 ,а10 ,а11 ^12 ) .

Перемещая первую связь на единичную величину и фиксируя все остальные в нулевом положении, определяем элементы вектора А1 путем решения системы уравнений:

V- Л1 =(100000000000)7

(5)

V =

1х = 0,у = с

дД( х, у ) / дх| дД( х, у ) / ду

х = Ь,у=0

х = Ь,у = 0

^Х } (х х X у X ху ) ,

где X:

д2 д

Х у

д2 д

, X ху = —2

д2 д

(6)

ве-

дх2 ду2 дхду

личины кривизны изгиба и скручивания плас-

тины. Для определения вектора моментов {М} = (Мх Му Му ) используем равенство:

(М} =^х}.

(7)

где для изотропного материала пластины

С = О

О =

ц 1

0 0

БП3

0

0 1 —ц

2

ц - коэффициент Пуассона,

12(1—ц2)

где V - матрица узловых условий поля перемещений имеет вид:

Д(0,0)

дД( х, у ) / дх|

V у / I х = 0, у=0

дД(х, у ) /ду |х = 0,у=0

Д(0,с )

дД( х, у ) / дх|

V у / I х = 0, у=с

дД(х, у )/ду |

Выполняя преобразования имеем выражение компонент вектора {М} через элементы вектора А1, - то есть через параметры интерполирующей функции.

Для определения реакций в связях воспользуемся условиями равновесия элементарного участка пластины:

дМ дМ

ху

—Ох = 0,

дх ду

дМ дМ

х - ^ — Оу = 0.

дх

ду

(8) (9)

Выполняя операцию обращения матрицы V получаем матрицу, столбцы которой являются коэффициентами полиномов д(х, у ) интерполирующих функции перемещений поверхности пластины при соответствующих вариантах перемещения узловых связей.

Для определения аналитических выражений реакций в узловых связях при сформированных граничных условиях скомпонуем вектор деформаций изгиба пластины в виде:

Подстановка найденных выражений компонент вектора {М} в (8) и (9) позволяет определить величины перерезывающих сил Qx, Qy.

Условие равновесия выполняется на расчетной области почти всюду за исключением узловых точек, в которых величины Qx, Qт имеют разрыв в силу того, что в этих точках возникают реакции в линейных связях.

Для узловых точек справедливы условия равновесия в виде:

Ох + О у + Г1 = 0.

Величины линейных реакций определяются из равенств (13) при подстановке соответствующих координат узловых точек.

Выражения реакций в угловых связях определяются аналогичным образом из условий равновесия моментов в узловых точках.

Мх + Мху + Гх,1 = 0,

Му + Мху + Гу,1 = 0.

(11) (12)

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

Полученные величины гй формируют первый столбец матрицы R единичных реакций, определенных при помощи параметров вектора A1.Сформированные компоненты матрицы R не учитывают влияния распределенной инерционной нагрузки ю2тЛд(х,у), расположенной в правой части уравнения (3). Для ее учета воспользуемся теоремой о взаимности работ, согласно которой работа по преодолению внешних сил при перемещении связи равна работе, совершенной поверхностной нагрузкой при прогибах пластины.

Исходя из этого, при перемещении связи с номером г имеем:

гт , Ь , С ю2 ткд 2( х, у)

I =

\ * г

ёу.

Таким образом, окончательно диагональный элемент формируется в виде суммы

ГЕ = г.. + гт.

и и и '

Формирование второго столбца матрицы R осуществляется аналогично при единичном перемещении второй связи. Система уравнений (5) при этом имеет вид:

УЛ2 = (0Д,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)Г.

Выполнение операций (5) - (14) с последовательной подстановкой столбцов матрицы А в выражение (4) формирует матрицу динамических жесткостей (амплитуд единичных динамических реакций) R, что позволяет аппроксимировать амплитудные состояния стационарных колебаний изгиба посредством узловых соотношений вида:

яи=р,

(16)

где U - вектор амплитуд обобщенных узловых перемещений, a F - вектор амплитуд узловых сил.

Используя полученные результаты, имеем возможность вектору обобщенных узловых перемещений поставить во взаимооднозначное соответствие аналитическое выражение, определяющее вынужденную межузловую колебательную форму бесконечномерного элемента и вектор узловых динамических реакций, позволяющий производить форми-

рование модели в виде системы разрешающих уравнений.

Таким образом, предложенный алгоритм реализации гармонического элемента обеспечивает исключение задачи дискретизации инерционных параметров, что позволяет избежать дополнительных погрешностей, при этом используются плоские элементы в исходных конструктивных размерах, что приводит к моделям меньшей размерности по сравнению с моделями, дискретизирующими инерционные параметры и существенно зависящих от густоты разбиения сетки.

Матрица амплитуд единичных динамических реакций R стационарных колебаний прямоугольного изгибаемого элемента с жесткими закреплениями получена в аналитическом виде и используется для проведения алгоритмических разработок, позволяющих осуществить узловую сшивку решений для формирования ансамбля гармонических элементов. Программная реализация данного алгоритма включает в себя следующую структуру исходных данных: количество элементов, их геометрические размеры, распределенная масса, толщина элемента, частота воздействия, модуль деформации материала, направления фиксированных связей. Перечисленные разделы вводимой информации обеспечат соответствие предлагаемой программной разработки особым требованиям, предъявляемым к программным средствам динамического расчета конструкций, несущих виброактивные агрегаты.

Реализация алгоритмических разработок в виде программ моделирования колебательных процессов с последующей численной апробацией программных разработок сертифицированными программными средствами позволит выполнить расчет на стационарные гармонические воздействия систем, представленных совокупностью дискретных, бесконечномерных балочных и плоских изгибаемых элементов.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Колоушек, В. Динамика строительных конструкций. - М.: Издательство литературы по строительству, 1965.- 632 с.

2. Соболев, В. И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов.- Иркутск: Изд. ИрГТУ, 2002.- 202 с.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

3. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы.- М.: Мир, 1984.-428 с.

4. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечного элемента/ Бате К., Вильсон Е. // М: Стройиздат, 1982.-447 с.

5. Соболев, В. И. Построение прямоугольного гармонического элемента для моделиро-

вания колебаний тонкой пластины / Соболев В. И., Черниговская Т.Н. // Современные технологии. Системныйанализ. Моделирование. Вып. №4(16). ИрГУПС. Иркутск.2007. С.28-32.