Построение прямоугольного гармонического элемента для моделирования колебаний тонкой пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Соболев В. И., Черниговская Т.Н. УДК 621.06

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ

При оценке влияния виброактивного технологического оборудования на состояние конструкций промышленных зданий и сооружений возникает необходимость моделирования процессов их динамического взаимодействия. Наиболее распространенные методы описания таких процессов основаны на дискретизации инерционных и жесткостных параметров элементов строительных конструкций (метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод конечных разностей и т. д.).

Однако оценка погрешностей дискретизации динамических моделей с нерегулярными границами областей в большинстве случаев крайне затруднена и требует сравнения результатов многовариантных решений с различными величинами параметров дискретизации. В этих условиях актуальны задачи построения дискретно-континуальных динамических моделей конструкций, подверженных гармоническим воздействиям. Такие модели не имеют погрешностей, связанных с дискретизацией инерционных параметров.

Прямое формализованное описание задач динамики таких систем приводит к необходимости определения совместного решения совокупности уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений. Трудность решения задачи в такой постановке усугубляется нерегулярностью границ областей и разнородностью граничных условий элементов конструкций.

Для расчета на стационарные гармонические воздействия конструкций, представленных совокупностью бесконечномерных балочных элементов, известен метод динамических податливостей, основанный на формировании уравнений динамического равновесия в соединительных узлах элементов по на-

правлениям возможных перемещений узлов [1].

В работе [2] на основе развития методов динамической податливости разработаны дискретно-континуальные модели, включающие бесконечномерные изгибаемые элементы (балки), материальные точки, твердые тела и пружины. Создан программный комплекс, реализующий метод расчета систем, включающих произвольные комбинации таких элементов на стационарные гармонические воздействия.

Ансамбль балочных гармонических элементов (ГаЭ) формируется путем декомпозиции исходной динамической системы на изгибаемые одномерные конструктивы, ограниченные краевыми узлами. Для таких элементов осуществляется разрешение узловых динамических реакций и колебательных форм в процессе так называемого гармонического сканирования связей при различных допустимых вариантах краевых условий, задаваемых в граничных соединительных узлах элементов. Метод построения балочного ГаЭ основан на аналитическом выражении величин динамических реакций в зависимости от узловых гармонических перемещений по возможным степеням свободы узловых точек элементов конструкции, в которых осуществляется «сшивка» решений ансамбля гармонических элементов.

Наряду с балками в строительных конструкциях используются также плоские изгибаемые элементы (чаще всего в виде межэтажных перекрытий или рабочих площадок). Соответственно, представляет интерес включение в математические модели бесконечномерных изгибаемых гармонических элементов в виде тонких пластин. Такие элементы, так же как и балочные ГаЭ, обладая свойствами гибкой аппроксимации сложных границ

областей и разнородных граничных условий, могли бы включаться в ранее разработанные дискретно-континуальные модели (ДКМ). В отличие от балочного элемента в этом случае для большинства вариантов граничных условий не представляется возможным получить точные аналитические выражения решений [3,4].

Покажем, что принцип динамической податливости в сочетании с методом гармонического сканирования связей, используемый для построения балочного гармонического элемента, может быть успешно применен и в этом случае.

Рассмотрим вынужденные изгибные колебания тонкой пластины.

Введем следующие обозначения: ю- частота колебаний; Л -толщина пластины; т - равномерно распределённая масса на единицу объёма; Е - модуль деформаций изотропного материала.

Дифференциальное уравнение поперечных колебаний пластины имеет вид [3,4,7]:

54 Ш _ 54 Ш д4 Ш тЛ д2 Ш А -+2—=°, (1)

дх4 где О - -

дх2ду2 ду4 о дг4

ЕЛ3

12(1 -ц2)'

Ш(х,у,г) -прогиб, ц - коэффициент Пуассона, г— параметр времени.

Так же как и в балочном элементе рассмотрим так называемые стоячие волны, получаемые при условии разделения переменных времени и пространства. Для этого представим функцию Ш(х,у,г)в виде:

Ш (х, у ,г) - 8т(юг )д( х, у). (2)

Получаем

О . , 4д „ д4д д4д^ 2 •/ -эт(юг)(—Ц- + 2——+—Ц-)-дю2 81п(юг).

тЛ дх4 дх2 ду2 ду4

При 81п(юг) Ф °

д 4д д 4д д 4д 2

+ 2 * 2 +-4) -ю2 тЛд. (3)

дх4

дх ду ду4

ляющую часть срока её эксплуатации. Поэтому большой интерес представляет прямой расчет стационарного состояния, минующий анализ переходного периода.

В отличие от балочных гармонических элементов [2] динамические реакции в узлах плоских элементов не удаётся определить в аналитическом виде. Для этих целей приходиться использовать приёмы аппроксимации, схожие с конечноэлементными. Однако в отличие от классических конечноэлементных моделей при таком подходе удается избежать процедур дискретизации инерционных параметров пластины. Они остаются распределенными.

Прямое использование классических приемов конечноэлементного построения оказывается невозможным в силу того, что полученное уравнение (3) имеет в правой части неизвестную функцию ю2 mhg(x, у), выражающую распределенную инерционную нагрузку при достижении точек поверхности пластины амплитудных значений, тогда как при построении конечных элементов (КЭ) она известна и выражена зависимос-тьюд(х, у), определяющей заданную поверхностную распределенную нагрузку. Уравнение деформированного состояния элементарного участка пластины в этом случае имеет вид:

д4 ш

дх4

д4 ш д4 Ш

дх2ду2 ду4

) =

(4)

Исключение параметра времени приводит к решению статической задачи, сформулированной в параметрах пространства в виде амплитуд перемещений и динамических реакций в связях. Действительно, при циклических воздействиях гармонического характера система переходит в стационарное динамическое состояние, которое охватывает подав-

Для построения ГаЭ прямоугольной пластины рассмотрим достаточно распространенный в практике конечноэлементных разработок вариант четырехузлового элемента с узлами, расположенными в вершинах углов. Используем принцип сканирования связей [2]. Для этого наложим на возможные перемещения узлов связи, обеспечивающие кинематическую узловую неподвижность изгибаемого пластинчатого элемента (рис. 1). В каждом узле необходимы три связи; одна линейная — по направлению оси Z и две угловых — в плоскостях 2аХ иZoY.

Таким образом, степень кинематической подвижности элемента, которая определяет размерность параметрического пространства функции, интерполирующей поверхность пе-ремещенийд( х, у), равна двенадцати [5,6].

Используя прием прямого построения модели [5,6] сформируем интерполирующей по-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Рис. 2. Члены интерполирующего полинома в треугольнике Паскаля.

осуществляется путем решения системы уравнений:

Рис. 1. Расчетная схематонкостенной пластины: 1,4,7,10 - номера линейных связей; 2,5,8,11 - номера угловых связей в плоскостях параллельных 7оХ; 3,6,9,12 - номера угловых связей в плоскостях параллельных 7оУ.

лином. Для его выбора воспользуемся треугольником Паскаля. Размерность параметрического пространства заставляет делать выбор двух членов полинома из пятой строки треугольника (рис. 2). Необходимость обеспечения топологической и параметрической симметрии ограничивает варианты выбора до двух. Очевидно, что использование членов содержащих х4 и у4 приведет к более интенсивным разрывам непрерывностей вдоль границ элементов, чем при использовании членов содержащих х3 у и ху ъЪ [5]. С учетом этих соображений члены полинома, скомпонованные в треугольник Паскаля, имеют вид, приведенный на рис. 2.

На рисунке скобки не обозначают матрицу, а являются признаком упорядоченной компоновки!

Таким образом,

д( х, у) *Д( х, у )• А„ (5)

где Дх,у) =(1,х,у,х2 ,ху,у2 ,х3 ,х2у,ху2 ,у3 ,х3у,ху2),

А1 = (а1 ,а2 ,а3 ,а4 ,а5,аб,а7 ,а8 ,а9 ,а10,а11 ,а12 Г .

Здесь индекс вектора определен номером перемещаемой связи.

Определение элементов вектора А1 при единичном перемещении первой связи и фиксации всех остальных в нулевом положении

Д(0,0)

дД( х, у)/

/а

0Д(х, у)/

\х = 0, у = 0

/0у1х = 0, у = 0

Д(0,с)

аД(х, у)/

1х = 0, у = с

0Д(х, у)/

/0у1х = 0, у = с

0Д(х, у)/

1х = Ь, у = 0

аД( х, у)/

/0у1х = Ь, у = 0

• А =

(6)

где Ь и с - размеры прямоугольного элемента по осям х и у соответственно.

Подстановка полученного решения в (5) определяет функцию перемещений при рассмотренном состоянии связей.

Скомпонуем вектор деформаций изгиба пластины в виде:

{%}=(% х X у X ху )Т , (7)

где X

_а 2 д

х =ах^г ху

а 2 д

2' Х ху

а 2 д

- величины

ду дх ду

кривизны изгиба и скручивания пластины.

Если вектор изгибающих и скручивающего моментов записать в виде:

{м} = (Мх Му Мху )Т, (8)

то справедливо [7]:

{м} = а{х}, (9)

где для изотропного материала пластины

а=о

1 ц 0 ц 1 0

0 0

1 -ц

~2~.

Выполняя преобразование (9) с использованием (7), (8) имеем выражение компонент вектора {М} через элементы вектора А1, - то есть через параметры интерполирующей функции.

Для определения реакций в связях воспользуемся условиями равновесия элементарного участка пластины [5,7]:

дОх .дОу

+ д( х, у) = 0,

дх ду

(10)

дМх дМ +д ху. + Ох = 0

дх ду

дМх дМ 1 ху + Ох = 0

дх ду

(11)

(12)

Подстановка ранее найденных выражений компонент вектора {М| в (11) и (12) позволяет определить величины перерезывающих сил Ох ,Оу.

Условие равновесия (10) выполняется на расчетной области почти всюду за исключением угловых точек, в которых величины Ох ,Оу имеют разрыв в силу того, что в этих точках возникают реакции в линейных связях. Для угловых точек справедливы условия равновесия в виде:

Ох + Оу + г1 = 0, (13)

где г - номер линейной связи, в которой формируется реакция от единичного перемещения первой связи. Величины реакций г1 определяются из равенства (13) при подстановке в выражения Ох ,Оу соответствующих координат узловых точек. Выражения реакций в угловых связях определяются аналогичным образом из условий равновесия моментов в узловых точках. Полученные величины гг, формируют первый столбец матрицы Я единичных реакций, определенных при помощи параметров вектора Л1, выраженных, в свою очередь, через: геометрические параметры Л, Ь,с; механические параметрыт, Е, ц пластины; и частоту воздействия га.

Сформированные компоненты матрицы Я не учитывают влияния распределенной инерционной нагрузки га2 тЛд(х, у), расположенной в правой части уравнения (3). Для ее учета воспользуемся теоремой о взаимности работ [6], согласно которой работа по преодолению внешних сил при перемещении связи равна работе, совершенной поверхностной нагрузкой при прогибах пластины.

Исходя из этого, при перемещении связи с номером г имеем:

,т и с

V1 = 1 ёх 1

2

га2 тЛд 2( х, у) 2

ёу.

(14)

перемещении второй связи. Система уравнений (6) при этом имеет вид: V- Л 2 = (010,0,0,0,0,0,0,0,0,0)Т,

где V - матрица узловых условий поля перемещений.

Как и в системе уравнений (6) матрица Vопределена в виде:

Д(0,0)

ЭД( х, у)/ I

V =

1х = 0,у = 0

ЭД(х, у)/

/0у1х = 0, у = 0

Д(0,с)

дД( х, у)/

1х = 0,у = с

0Д(х, у)/

/0у1х = 0, у=

0Д(х, у)/

0Д(х, у)/

у = с

1х = и, у = 0

(16)

Таким образом, окончательно диагональный элемент формируется в виде суммы

Г? = ги + гт. (15)

Формирование второй строки матрицы Я осуществляется аналогично при единичном

/0у1х = и, у = 0

Последовательное решение систем уравнений вида (6) с бегущей единицей в правой части равносильно обращению матрицы узловых условий V, поэтому справедливо:

V"1 = Л, (17)

где Л = (Л1,Л2,... Л12 )Т.

Выполнение операций (7) — (15) с последовательной подстановкой столбцов матрицы Лв выражение (5) формирует матрицу жес-ткостей (единичных реакций) Я, что позволяет аппроксимировать амплитудные состояния стационарных колебаний изгиба посредством узловых соотношений вида:

Я-и = Р, (18)

где и - вектор обобщенных узловых перемещений, а Р - вектор узловых сил.

Используя полученные результаты, имеем возможность вектору обобщенных узловых перемещений поставить во взаимнооднозначное соответствие аналитическое выражение, определяющее вынужденную межузловую колебательную форму [2] бесконечномерного элемента и вектор узловых динамических реакций, позволяющий производить формирование модели в виде ансамбля ГаЭ.

Таким образом, моделирование стационарных колебательных процессов в системах, включающих тонкие пластины, осуществляется на основе использования элементов с распределенным характером инерционных параметров.

0

0

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Колоушек В. Динамика строительных ко- 5. нструкций. - М.: Издательство литературы

по строительству, 1965.- 632 с. 6.

2. Соболев В. И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов. — Иркутск: Изд. 7. ИрГТУ, 2002.-202 с.

3. Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. — М.: Гострансжелдориздат, 1958. - 571 с.

4. Смирнов А. Ф., Александров А.В., Лащени-ков Б.А., Шапошников Н.Н. Строительная 8. механика. Динамика и устойчивость со-

оружений. — М.: Стройиздат, 1584. — 416 с.

Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984.-428 с. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечного элемента. — М: Стройиздат, 1982. — 447 с. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Пластины, диски, балки-стенки (прочность, устойчи-востьи колебания). — Киев: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре УССР, 1959. — 1050 с.

Ильин М. М., Колесников К. С., Саратов Ю. С. Теория колебаний. - М.: Изд. МГТУ им. Баумана, 2003. —271 с.

Коптев А.В., Гозбенко В.Е. УДК621.311

НАВИВНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ СВЯЗИ, ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ

Преимуществами волоконно-оптических кабелей являются их большая пропускная способность, возможность получения высоких скоростей передачи информации, нечувствительность к электромагнитным помехам, отсутствие электромагнитного излучения. Из этого следует, что волоконно-оптические кабели подходят для прокладки их по линиям электропередач.

Для России, самой протяженной загородной инфраструктурой являются воздушные линии электропередач (ЛЭП) и линии железных дорог. Линии электропередач среднего класса напряжений (6 — 35 кВ), которые проходят в непосредственной близости от загородных объектов.

Такие ЛЭП идут от подстанций до объектов потребления электроэнергии наикратчайшими путями. И это обстоятельство привлекает внимание операторов связи и крупных корпораций к использованию линий электропередач среднего класса наряду с высоковольтными линиями электропередач для строительства загородных сегментов сетей связи. В этом случае не требуется решать вопросы,

связанные с землеотводом, переходом через дороги, реки, овраги и возвышенности, так как они были решены еще в период строительства ЛЭП. Важно также и то, что объекты энергопотребления, как правило, совпадают с потребителями услуг связи.

Способы прокладки волоконно-оптической линии связи (ВОЛС) на железнодорожном транспорте. На существующей сети железных дорог применяются различные виды прокладки ВОЛС, это зависит от местности прокладки и условий.

Основным видом прокладки является подвеска диэлектрического самонесущего оптического кабеля как показано на рис. 1. Подвеска волоконно-оптического кабеля может производиться на эксплуатируемые металлические или железобетонные опоры контактной сети и на железобетонные или деревянные опоры линий автоблокировки при условии, что несущая способность этих опор достаточна для восприятия всех действующих и дополнительных нагрузок от подвешиваемого волоконно-оптического кабеля [3,5]. Одним из видов прокладки ВОЛС на железной дороге (пока не получил широкого применения) явля-