CC BY
26
Оригинальная статья / Original article УДК 621.07.29
DOI: http://dx.doi.org/10.21285/2227-2917-2018-4-170-181
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СООРУЖЕНИЯХС ДИСКРЕТНОНЕПРЕРЫВНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ МАСС
© В.И. Соболев3, Т.Н. Черниговскаяь
аИркутский национальный исследовательский технический университет 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83 ьИркутский государственный университет путей сообщения 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15
РЕЗЮМЕ: Работа посвящена описанию авторского метода расчета и моделирования динамических процессов в упругих сооружениях с дискретно-континуальным распределением инерционных параметров. Метод позволяет осуществлять прямой расчет стационарного динамического состояния, минующий последовательный динамический анализ переходного периода. Проведен критический анализ и сопоставление преимуществ и недостатков современных возможностей дискретного и непрерывного численного и аналитического моделирования динамических процессов в приложении к сооружениям, несущим виброактивное технологическое оборудование. Изложены основные этапы формирования численных динамических моделей конструкций и технологического оборудования, подверженных гармоническим воздействиям при помощи подходов, реализующих авторский метод гармонических элементов, позволяющих осуществлять гармоническую сшивку решений разнородных элементов при различных граничных условиях. Решение осуществляется путем декомпозиции исходной динамической системы на элементы, для которых производится построение аналитического базиса для произвольных, конструктивно допустимых вариантов краевых условий гармонических перемещений, заданных в узлах сочленения элементов. Вектору амплитуд обобщенных узловых перемещений ставится во взаимооднозначное соответствие аналитическое выражение, определяющее вынужденную межузловую колебательную форму бесконечномерного элемента и некоторый вектор амплитуд узловых динамических реакций, позволяющий производить операцию формирования ансамбля элементов на формализованном уровне - в виде системы линейных разрешающих уравнений. Показаны преимущества авторского метода ГаЭ в реализации математических моделей, обеспечивающих возможности узловых совмещений дискретных и деформируемых континуальных элементов в динамическом процессе и позволяющих использовать инерционно-жесткостные свойства конструктивных элементов сооружений в качестве элементов систем виброизоляции. Моделирование стационарных колебательных процессов осуществляется без применения процедур дискретизации с использованием бесконечномерных и дискретных элементов, позволяющих осуществлять гибкую аппроксимацию сложных границ областей и граничных условий, свойственную обычным конечным элементам.
Ключевые слова: деформативность, дискретность, динамические модели, гармонические элементы, нерегулярность, граничные условия, упругие конструкции
Информация о статье: Дата поступления 15 августа 2018 г.; дата принятия к печати 10 сентября 2018 г.; дата онлайн-размещения 21 декабря 2018 г.
Для цитирования: Соболев В.И., Черниговская Т.Н. Численное моделирование динамических процессов в сооружениях с дискретнонепрерывным распределением масс. Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2018;8(4):170-181. DOI: 10.21285/2227-2917-20184-170-181
аСоболев Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов , e-mail: [email protected]
Vladimir I. Sobolev, Dr. Sci. (Eng.), Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, e-mail: [email protected]
ьЧерниговская Татьяна Николаевна, старший преподаватель кафедры математики, e-mail: [email protected]
Tatiana N. Chernigovskaya, Senior lecturer of the Department of Mathematics, e-mail: [email protected]
NUMERICAL MODELLING OF DYNAMIC PROCESSES IN STRUCTURES WITH DISCRETE AND CONTINUOUS MASS DISTRIBUTION
Vladimir I. Sobolev, Tatiana N. Chernigovskaya
Irkutsk National Research Technical University 83 Lermontov St., Irkutsk 664074, Russian Federation Irkutsk State Transport University
15 Chernyshevsky St., Irkutsk 664074, Russian Federation
ABSTRACT: This article describes a novel method for calculating and modelling dynamic processes in elastic structures with a discrete-continuous distribution of inertial parameters. The method makes possible a direct calculation of the stationary dynamic state, bypassing the sequential dynamic analysis of the transition period. A critical analysis and comparison of the advantages and disadvantages of the modern capabilities of discrete and continuous numerical and analytical modelling of dynamic processes applied to structures carrying vibroactive process equipment was carried out. The main stages in the creation of numerical dynamic models of structures and technological equipment vulnerable to harmonic effects with approaches that implement the proprietary method of harmonic elements that make possible harmonic matching solutions of heterogeneous elements under different boundary conditions are set out in this article. The solution is carried out by decomposing the original dynamic system into elements for which an analytical basis is built for arbitrary, constructively acceptable variants of the boundary conditions of harmonic movements given in the junction node of the elements. The amplitude vector of generalised nodal movements is put in one-to-one correspondence with an analytical expression, defining a compelled internodal oscillatory form of an infinite-dimensional element and a specific vector of nodal dynamic reaction amplitudes, allowing the operation of forming an ensemble of elements at a formalised level as a system of linear resolving equations. The advantages of the proprietary GAE method in the implementation of mathematical models that provide the possibility of nodal combinations of discrete and deformable continual elements in a dynamic process and allow the inertial-stiffness properties of structural elements of assemblies to be used as elements of vibration isolation systems as described in this article. The modelling of stationary oscillatory processes is carried out without the application of discretisation procedures using infinite-dimensional and discrete elements, which makes possible to organise a flexible approximation of the complex boundaries and boundary conditions inherent in the usual finite elements.
Keywords: deformability; discreteness; dynamic models; harmonic elements; irregularity; border conditions; elastic structures
Information about the article: Received August 15, 2018; accepted for publication September 10, 2018; available online December 21, 2018.
For citation: Sobolev V.I., Chernigovskaya T.N. Numerical modelling of dynamic processes in structures with discrete and continuous mass distribution. Izvestiyavuzov. Investitsii. Stroitel'stvo. Nedvizhimost' = Proceedings of Universities. Investment. Construction. Realestate.2018;8(4):170-181. (In Russ.) DOI: 10.21285/2227-2917-2018-4-170-181.
Введение
Рассматривая полученные в работах [1-3] результаты, утверждающие целесообразность применения динамических моделей использующих комбинированные элементы с дискретным и непрерывным характером распределения масс (КДМ), является более общей, чем предположение о преимуществах и рациональности каждого отдельного решения.
Действительно, в силу известных соображений и специфики задач динамики строительных, судовых или авиационных конструкций несущих виброактивное оборудование [4, 5] эта целесообразность вызвана необходимостью исследования динамических систем, отличающихся нерегулярным распределением граничных условий, границ областей и видов конструктивных элементов с непрерывным распределением инерционных и жесткостных параметров [6]. Включение в такую (континуальную), разнородную динамическую систему виброактивного оборудования, имеющего выраженный характер дискретности, привносит массу трудностей на этапе
формирования математической модели, при ее формализации, а также на этапе получения решения. Совершенно очевидны трудности, возникающие при попытке сшивки решений дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамическое поведение конструкций с непрерывным характером распределения инерционных и жесткостных параметров и обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих перемещения дискретных элементов. Такие трудности более легко могут быть преодолены в решении простых систем, содержащих один деформируемый элемент с прикрепленными к нему дискретными элементами [7, 8], однако подавляющее большинство практических задач требует использования математических моделей, позволяющих учитывать упомянутые свойства разнородности и нерегулярности [6, 19].
Методы
Является очевидным, что возникающие при этом сложности моделирования динамики таких систем являются следствием более глубокого явления, отражающего взаимосвязь дискретного и непрерывного, существующего в разнообразных проявлениях реального мира. При достаточном разнообразии определений понятия «система», пожалуй, впервые формализованное определение динамической системы появилось в работах Пуанкарэ [9], когда при качественном анализе дискретные системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, характеризовались некоторыми непрерывными функциями, разделёнными и разветвленными узловыми точками [9-11].
При рассмотрении многих явлений значительно более сложных, не поддающихся достаточно простым формализациям в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, возникает убеждение, что сложные и многосвязные непрерывные процессы осознаются не как непрерывная последовательность (некоторая непрерывная функция), а как дискретная цепочка наиболее характерных событий и фактов, по которым воспринимается происходящее, в том числе и в промежутках между этими фиксированными событиями. Видимо, таковы особенности геология, палеонтологии, истории, и других наук, изучающих сложные процессы.
Со всей очевидностью возникает утверждение, что каждый непрерывный и сложный процесс требует дискретизации для осуществления его формализованного отображения (моделирования) и определения свойств соответствующей системы [12, 13].
Поскольку сам по себе набор дискретных фактов (параметров) состояний системы, лишенных непрерывной взаимосвязи становится просто набором данных, исчезают, как таковые свойства системы [10, 13], однако именно дискретизация состояний в достаточной степени качественно наполненных позволяет моделировать протекающий непрерывный процесс. В разнообразии примеров можно привести необходимость решения задач прочности конструкций, требующих оценки их напряженного состояния. В подобных примерах узловые соединения различных деформируемых элементов играют роль таких определяющих (узловых) точек. Такие методы с формированием узловых точек имеют подавляющее преобладание в современной расчетной практике при анализе статики напряженно-деформированного состояния конструкций с разнородными видами элементов, граничных условий, и нерегулярным распределением границ расчетных областей. Ярким примером является широко известный метод конечного элемента (МКЭ) [6, 14], предназначенный для решения статических задач.
Исследования и сопоставления свойств, преимуществ и недостатков дискретных и непрерывных способов аппроксимации достаточно широко представлены в отечественной и зарубежной литературе [15, 16].
Анализируя в этой связи изложенные соображения, необходимо отметить
следующие основные аспекты, характеризующие современное состояние проблемы:
1.При использовании дискретных методов определение параметров дискретной аппроксимации, обеспечивающих заданную точность гораздо легче декларировать, чем осуществлять. При достаточно сложных реальных объектах возникает проблема (проклятие) размерности, поскольку порядки разрешающих систем уравнений и количество неизвестных достигает десятков и сотен тысяч. При решении зада динамики это при этом возникает необходимость разработки и применения методов обработки матриц, образующими специальные направления вычислительной математики, например методы разряженных матриц [17].
2. Совершенствование и увеличение быстродействия вычислительных машин привели к появлению символьных методов вычислений, позволяющих осуществлять сложные аналитические выкладки и представлять результаты в обычном аналитическом виде. В примерах можно назвать такие развитые пакеты программ символьных вычислений как Reduce, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica, Аналитик [18].
3. Незаменимой пользой аналитических методов является доступное отображение физической сущности происходящего, при этом они являются эталоном проверки дискретных методов. Задачи оценки точности современных конечно-элементных методов так же как и многих других дискретных методов могут быть качественно решены только при аналитической проверке.
Изложенное позволяет сделать вывод о возможности взаимного дополнения дискретных и непрерывных методов в реализации математических моделей динамических процессов:
1. Утверждение о невозможности непосредственного использования аналитической непрерывной модели для всей системы в целом совместимо с преимуществами ее применения для отдельных элементов.
2. Неизбежная при этом операция разложения на отдельные элементы (декомпозиция) требует выбора и использования некоторого (сравнительно небольшого) конечного количества узлов и узловых связей.
3. При достаточной факторизации граничные условия каждого элемента, то есть параметрическое состояние узлов определяют решение единственным образом.
4. Узлы декомпозиции всегда можно выбрать так, чтобы в них были приложены внешние сосредоточенные силы и присоединены дискретные элементы.
5.Если величинам узловых перемещений поставить в соответствие величины реакций в связях, то систему разрешающих уравнений для всей системы в целом можно сформировать в виде условий равновесия для каждой узловой точки на основе использования известных методов [2, 3, 7].
Результаты и обсуждения
Очевидно, что для моделирования динамического процесса необходимо определить характер поведения системы при действии возбуждающих сил, приложенных в различных точках. Для решения этой задачи использовались различные подходы [1-8], и очевидно, что ни один из используемых методов не может считаться наилучшим.
Изложим основные предпосылки и приемы моделирования поведения конструкций, используемых в настоящей работе [19].
Все существующие конструкции и машины обладают определенными значениями жесткостей и инерционных параметров. В результате приложения нагрузок, вызывающих динамические процессы будут возникать конечные деформации, что при определенных условиях приведет к колебаниям или к потере устойчивости процессов динамического деформирования. Для решения практических и исследовательских задач важно уметь предсказывать такие ситуации, а также использовать
динамические и конструктивные особенности систем в процессе проектирования с тем, чтобы иметь возможность формировать ограничения уровней статических и динамических напряжений, а также параметры деформаций в соответствии с нормативными ограничениями или некоторыми иными соображениями.
Пусть рассматриваемое сооружение или некоторая иная упругая система, подверженная динамическим воздействиям имеет следующие конструктивные элементы: стержни с распределенными параметрами инерции и упругости, твердые тела, сосредоточенные массы и сосредоточенные упругости - пружины, а в качестве связей - классические линейные и угловые [1-3].
Если вектор силы F приложить в некоторой произвольной точке ¡( x,.,y,z,Декартовой системы координат, то в другой точкеj(xj,yj,zj) возникает определенный
вектор перемещения w. Величина перемещения w в случае линейной системы будет пропорциональна величине силы F, но направление будет зависеть от физических свойств конструкции и трех компонентов вектора силы F Fx, Fy, Fz ). Аналогично
вектору момента силы M, определяемому тремя компонентами м x, м y, м z) соответствует вектор реакции w .
Для линейно деформируемых систем справедлив принцип суперпозиции, согласно которому реакции от двух и более факторов можно определять как векторную сумму реакций на каждый из них. Обычно задачей исследования колебаний является нахождение перемещения wпо заданной силе F и (или) моменту М. Эта величина будет всегда конечной при конечных значениях величин F и М, за исключением случаев резонанса при отсутствующем демпфировании. Известно, что параметры собственных колебаний - частоты и формы собственных колебаний являются характеристиками, которые не зависят от координат точек, в которых прикладывают воздействия. Отношения амплитуд при собственных колебаниях называются формами собственных колебаний [20] и отображаются в виде вектора собственных колебаний.
Если вектор сил F t) = fx s¡n ot приложен в некоторой точке ¡, то компоненты вектора перемещения о в произвольной точке j при установившемся режиме колебаний будет иметь характерный вид амплитудно-частотной характеристики[19], отражающей зависимость амплитуды перемещений от частоты внешнего воздействия. При отсутствии демпфирования величины амплитуд перемещений вынужденных стационарных колебаний на частоте собственных колебаний (частоте резонанса) стремятся к бесконечности. В действительности эти величины всегда конечны, поскольку демпфирование всегда присутствует в той или иной мере. Частота колебаний, на которой амплитуда колебаний при гармоническом воздействии равна нулю, является «антирезонансной» или частотой динамического гашения. Эта частота с нулевой амплитудой становится частотой на которой реализуется эффект динамического гашения по некоторому направлению колебательного процесса. В общем случае динамические проявления системы зависят от положения точек i и j , от геометрических и механических свойств конструкции - инерционных и жесткостных характеристик.
Характерным для свойств динамических систем с конечным числом степеней свободы (частот и форм собственных колебаний) является характеристика спектра частот собственных колебаний. Поскольку количество частот собственных колебаний зависит от размерности динамической системы (от количества степеней свободы системы)[19, 20], то увеличение количества степеней свободы - усложнение конструкций неизбежно проявляется в виде увеличения количества частот собственных колебаний, которые могут распределяться весьма неравномерно, образуя области сгущения и разрежения колебательного спектра. При этом области сгущения коле-
бательного спектра желательно отодвинуть (отделить) от частот внешних воздействий, поскольку попадание частоты внешнего воздействия в область сгущения колебательного спектра чревато проявлением резонансных и квазирезонансных режимов колебаний. Необходимо заметить, что формирование колебательного спектра и задача отделения его от возможных частот внешнего воздействия является очень актуальной задачей проектирования сложных конструкций м сооружений.
Решение подобных задач и определение динамических свойств конструкций требует формирования уравнений динамики, которые могут быть получены на основе известных предпосылок и допущений [1-3, 6, 7, 19].
При гармонических воздействиях в упруго деформируемой системе проявляются стационарные динамические состояния, характеризующееся периодическим изменением напряжений и деформаций. Такое динамическое состояние называется стационарными вынужденными колебаниями - вибрациями. Поскольку при работе виброактивного технологического оборудования стационарные колебания занимают подавляющую часть времени эксплуатации конструкций, то несомненным преимуществом обладает расчет стационарного вибрационного состояния динамических систем, без динамического анализа предшествующих переходных процессов. Моделирование таких стационарных процессов, дает необходимую информацию для анализа виброактивности систем, и имеет широкое применение в моделях малой размерности при конструировании устройств виброзащиты конструкций и рабочих мест [1-3].
При этом модели рассчитываемых объектов в задачах виброизоляции и виброзащиты зачастую ограничиваются твердыми телами или системами материальных точек, а несущие конструкции считаются абсолютно жесткими. Включение таких объектов в динамическую модель здания сопровождается проблемами выбора методов и алгоритмов, совмещающих в решениях кроме элементов с непрерывными параметрами масс и жесткостей дискретные элементы, - сосредоточенные массы, пружины и твердые тела [1-3].
Сложность несущих конструкций и разнородность конструктивных элементов, свойственная промышленным сооружениям, не позволяет использовать аналитические методы динамического расчета таких систем и оставляет возможность применения численных методов, основанных преимущественно на дискретизации исходных моделей [6, 14].
Дискретизация сложных пространственных объектов(например, конечноэле-ментная аппроксимация корпуса электродвигателя) представляет собой трудоемкий процесс, совершенно неоправданный по результатам в задачах виброзащитынесу-щих конструкций.
Такие модели виброактивного оборудования обладают значительно большими параметрами жесткости и включение таких дискретных моделей в динамическую систему здания приводит к формированию динамической задачи «жесткого типа», отличающейся громадным разбросом величин жесткостных параметров. При этом возникают многочисленные проблемы математического характера [4, 11].
Если учесть, что системы разрешающих линейных уравнений при этом имеют большие порядки, связанные с нанесением достаточно густой узловой сетки, то можно представить себе трудности, возникающие при решении таких задач [14]. Получаемые численные (дискретные) результаты затрудняют последующее решение задач, связанных чаще всего с необходимостью уменьшения динамических реакций [1, 4, 6, 15].
Предлагаемые в настоящей работе решения основываются на развитии известных методов динамической податливости, допускающих аналитические описания параметров стационарных колебаний изгибаемых элементов с распределенны-
ми массами [1-3, 7]. Такой подход позволяет избежать процедур дискретизации балок, атакже включать в модель дискретные массы, упругие элементы и упруго опертые твердые тела, моделирующие виброактивное оборудование.
Решение достигается при помощи разложения исходной динамической системы на элементы (дискретные и континуальные), для которых осуществляются аналитические описания, конструктивно допустимых вариантов гармонических перемещений, заданных в узлах сочленения элементов.
Рассмотрим балку с равномерно распределенной погонной массой р , длиной а , изгибной жесткостью EJ , находящейся под воздействием единичной гармонической силы с частотой с, и постоянной продольной силой N. Будем искать вынужденные стационарные гармонические колебания поперечного изгиба
Рассмотрим, например, расчетную схему с краевыми условиями (рис. 1, в), обусловленными связями с номерами 1, 2, 3. Состояние динамического равновесия элементарного участка балки при отсутствии динамического воздействия в пролёте между узлами описывается дифференциальным уравнением в частных производных - уравнением Эйлера - Бернулли [7]
pVtt + EJV хххх - NV хх = 0 , (1)
где V - поперечные перемещения участка балки в процессе колебаний.
Функция формы установившихся вынужденных колебаний балки однозначно
определяются вектором Y амплитуд узловых гармонических перемещений, а именно:
Y = (Y y L Y (*). Y-L J, (2)
где компоненты вектора расположены по порядку нумерации соответствующих связей (рис. 1). Очевидно, что вектор - функция Y sin( cot) определяет краевые гармонические условия в процессе гармонического нагружения для уравнения (1).
■У
N
а
,1©
N
ОЬ
Е ^ */®_л
^ оЛт X о г)
_л %_-
О Го
и ф 7-S Ö)
N Э . * N J © *
° 8; тШ s) Q
Рис. 1. Вариантами закреплений балок с различными граничными условиями:
1,2,3,4 - номера связей Fig. 1. Design schemes of beams with different fixing options: 1,2,3,4 - joint numbers
Представим решение уравнения колебания балки в виде линейной комбинации вынужденных колебательных форм от единичных гармонических перемещений (с единичными амплитудами) связей, обеспечивающих закрепления узлов. Единичные гармонические перемещения каждой связи с номером i по своему направлению вызывают реакции во всех связях, наложенных на краевые узлы элемента (рис.1, б). Значения амплитуд этих реакций образуют вектор r. ам-
плитуд гармонических реакций в связях. Гармонические перемещение связей, заданные в порядке нумерации связей формируют матрицу амплитуд динамических реакцийR
Я = {^¡М 2 ,Я3 }.
Расчетная схема элемента (рис. 1, Ь) содержит три связи. В общем случае, количество связей колебаний изгиба в плоскости может быть равным от двух до четырех.
Будем искать решение уравнения (1) в виде
V х) = У x)sin( ()
Для этого искомое решение подставим в уравнение (1).Сократив полученное после подстановки уравнение на sin( a)t), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
у("( х) - МУ< 2( х) - У( х) = 0 , (3)
EJ EJ
Имеющее соответствующее характеристическое уравнение:
>. 2
, N2 ( Р 0 и--и--= 0.
Еи EJ
Определив корни биквадратного уравнения (3) имеем:
2 _ N I N 2 (О2 Р
и 12 =--+J-7-2 + ■ ,
2EJ \ 4 (EJ )2 EJ
а именно
и = q , U2 =-q , и3 = is , U4 = -is
где / - мнимая единица, q =
N
N'
2EJ
4(EJ )2
со2 р
s =
N
N
2EJ
4(EJ )2
с 2р ~ejt
Общее решение У х ) уравнения (3) может быть получено в виде линейной комбинации
У х) = К х)С (4)
четырех линейно независимых частных решений
К х) = {ечх,е-чх,эт( эх), соэ( эх)),
где С - вектор (столбец) коэффициентов линейной комбинации
Краевые условия для решения уравнения (3) определяются в виде вектора (2) амплитуд перемещений по направлениям связей(рис. 1, в).
Для рассматриваемого элементаУ^ = 0. Последовательность векто-
ровС, соответствующих решениям, полученным при поочередных гармонических перемещениях связей задании ( в порядке их нумерации), формируют т матрицу С коэффициентов линейных комбинаций.-
Векторы амплитуд единичных перемещений образуют матрицу L.
C =Ci C2 C з ) =
'11
12
'13
С 21 с 22 С 23
С31 С 32
С
33
УС41
С 42 С4
(1 0 01
0 1 0
;L =
0 0 1
0 0 0 ,
+
+
+
+
A =
Элементы матриц Сформируются из решений систем уравнений:
C = A 1L , (5)
где A - матрица, образованная из вектор функции H x) при задании координат сечений элемента:
Г H 0) ^ H( x)lx0
H a)
H( X ) lx_a j
Матрица амплитуд реакций в связях определяется в виде:
R =-ejcth , (6)
где H =(htJ x) lx=0,HTTxX x)lx__0,HTJ x)lx__a).
Вектор столбец Y амплитуд узловых перемещений, соответствующий вектору F определяется решением системы уравнений
RY=F, или -EJ (a1lJh=F.
Функция амплитуд перемещений оси балки при заданной узловой форме F силового гармонического воздействия имеет вид
Y x)=YTCTH( x), (7)
При наложении произвольных связей на перемещения центра масс упруго опертого твердого тела (рис. 2) матрица амплитуд динамических реакций в наложенных связях [1] может быть представлена в виде:
Rt =Цг.у VT -c2M. (8)
i=i
В этом выражении n - количество упругих опор; ri - жесткость опоры с номером i ; м = diag( m,m,m,jx,jy,jz), ; jx,jy,jz - главные центральные моменты
инерции тела; m - масса тела; у( 6 х1) - вектор-функции величин углов q.y. , оп-
?
ределяющих направление i -ой оси опоры в пространстве - ( углов разворота и наклона)
Для недеформируемого основания систему уравнений для определения вектора амплитуд перемещений и твердого тела по направлениям отброшенных связей в локальной системе координат (рис. 3.) можно записать в виде:
RTU = F ,
где F - вектор амплитуд силового гармонического воздействия по направлениям связей с частотой с.
Если для фиксированных Qi систему векторов у. силового гармонического воздействия скомпоновать в виде матрицы
у=У . . . упТ,
то матрица амплитуд динамических реакций твердого тела на деформируемом основании будет иметь вид:
R
где -Rc = diag r.....rn) , RTK =RC -V .
RT RTK RTK RC
х
Рис.2. Расположение углов продольных осей упругих опор твердого тела:
1 - направление оси опоры Fig. 2. Angles of the guide longitudinal axes of the elastic supports of a solid body:
1 - bearing axis direction
Рис. 3. Направления и нумерация связей, при перемещении центра масс твердого тела Fig. 3. Type and number of bonds imposed on displacements of the center of mass of a solid body
Выводы
Таким образом, формирование модели стационарных колебательных процессов осуществимо без применения процедур дискретизации с использованием континуальных и дискретных элементов, позволяющих учитывать существование сложных границ областей и разнородных граничных условий, свойственные обычным конечным элементам.
Формирование матриц амплитуд динамических реакций ансамбля дискретных и континуальных элементов в системе разрешающих уравнений динамического равновесия осуществляется путем суммирования соответствующих реакций, в процессе
совмещения перемещений при учете различных элементов. Решение системы уравнений динамического равновесия ансамбля элементов определяет величины амплитуд узловых перемещений.
Функциональные зависимости в виде вынужденных колебательных форм, полученных для изгибаемых элементов, позволяют определять координаты точек колебательных узлов (узлов с нулевыми амплитудами перемещений) и что позволяет эффективно решать проблему вибрационной защиты конструкций [1].
Изложенная методика технологична, поскольку сводит алгоритм к цепочке матричных преобразований, весьма эффективных в программных разработках. Алгоритм реализован в виде программного комплекса "VICON", осуществляющего выбор конструктивных параметров системы виброизоляции(СВ) в условиях заданных технологических ограничений и использованного в решении ряда практических задач.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Соболев В.И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2002. 201 с.
2. Соболев В.И. Метод гармонического элемента и дискретно-континуальные динамические модели // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2003. № 1 (13). С. 124-129.
3. Соболев В.И., Черниговская Т.Н. Метод гармонического элемента в моделировании стационарных динамических процессов // Вестник Восточно-Сибирского государственного технологического университета. 2010. Вып. № 1. С. 43-51.
4. Berman А. System identification of structural dynamic models - theoretical and practical bounds. 1984. 84-0929, 123-129. 487.
5. Capecchi D., Vestroni F. Monitoring of structural systems using frequency data.1999 [23], 28, 44 7-461. 565.
6. Argyris J.H., BoniВ., Hinderlang V. Finite element analysis of two- and three dimensional elastoplastic frames - the natural approach // Comp. Meth. Appl. Mech. 1982. Vol. 35. № 2. P. 221-248.
7. Колоушек В. Динамика строительных конструкций. М.: Изд-во литературы по строительству, 1965. 632 с.
8. Гершгорин С.А. Колебания пластинок, загруженных сосредоточенными массами // Прикладная математика и механика. 1933. Т. 1, вып. 1. С. 25-37.
9. PoincareH. Lesmetodesnouvelles de la mechanicuescelestre, I, II, III, - Paris, 1892, 1893, 1899.
10. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1990. 128 с.
11. Хайрер Э., Нерсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир,
1990. 512 с.
12. Губанов В.А., Захаров В.В., Коваленко А.Н. Введение в системный анализ. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1988. 232 с .
13. Davies E.B., Gladwell G.M.L., Leydold J. S., Peter F. Discrete nodal domain theorems. Linear Algebra Appl. 2001. № 336. P. 51-60.
14. Галлагер Р. Метод конечного элемента. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.
15. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближения. М.: МГУ, 1976. 304 с.
16. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. М.: Радио и связь, 1990. 544 с.
17. Писсанецки С. Технология разряженных матриц. М.: Мир, 1988. 410 с.
18. Девенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991. 352 с.
19. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 319 с.
20. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Наука,
1991. 240 с.
REFERENCES
1. Sobolev V.I. Diskretno-kontinual'nye dinamicheskie sistemy I vibroizolyatsiya promyshlennykh grokhotov [Discrete-continuumdynamicsystemsandvibrationisolationofindustrialscreens]. Irkutsk: Irkutsk State Technical University Publ, 2002. 201 p. (In Russian)
2. Sobolev V.I. Method of harmonic element and discrete-continuous dynamic model. Vestnik Irkutskogo go-sudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2003, no. 1 (13), pp. 124-129. (In Russian)
3. Sobolev V.I., Chernigovskaya T.N. The harmonic element method in the modeling of stationary dynamic
processes. VestnikVostochno-Sibirskogogosudarstvennogotekhnologicheskogouniversiteta [Vestnik of the East Siberian State Technological University].2010, Iss. 1, pp. 43-51. (In Russian)
4. Berman A. System identification of structural dynamic models - theoretical and practical bounds. 1984, 84-0929, 487.pp. 123-129.
5. Capecchi D., Vestroni F. Monitoring of structural systems using frequency data.1999, 23, 28, pp. 447-461. 565.
6. Argyris J.H., Boni V., Hinderlang V. Finite element analysis of two - and three dimensional elastoplastic frames - the natural approach. Comp. Meth. Appl. Mech. 1982, vol. 35, no. 2, pp. 221-248.
7. Koloushek V. Dinamika stroitel'nykh konstruktsii [Dynamics of building structures]. Moscow: Literatury po stroitel'stvu Publ, 1965, 632 p. (In Russian)
8. Gershgorin S.A. Oscillations of plates loaded by concentrated masses. Applied mathematics and mechanics. 1933, vol. 1, Iss. 1, pp. 25-37. (In Russian)
9. Poincare H. Les metodesnouvelles de la mechanicuescelestre, I, II, III, - Paris, 1892, 1893, 1899.
10. Arnol'd V.I. Teoriya katastrof [Theory of catastrophes]. Moscow.: Nauka-Publ.;Glavnayaredaktsiyaphysical and mathematical literature Publ., 1990. 128 p. (In Russian)
11. Khairer E., Nerset S., Vanner G. Reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii. Moscow: MirPubl, 1990, 512 p. (In Russian)
12. Gubanov V.A., Zakharov V.V., Kovalenko A.N. Vvedenie v sistemnyi analiz. Leningrad: Leningrad state University Publ., 1988, 232 p. (In Russian)
13. Davies E.B., Gladwell G.M.L., Leydold J.S., Peter F. Discrete nodal domain theorems. Linear Algebra Appl. 2001, no. 336, pp. 51-60.
14. Gallager R. Metod konechnogo elementa. Osnovy [Finite element Method. Basics].Moscow: Mir Publ.,1984. 428 p. (In Russian)
15. Tikhomirov V.M. Nekotorye voprosy teorii priblizheniya [Some questions of approximation theory]. Moscow: Moscow state UniversityPubl, 1976. 304 p. (In Russian)
16. KlirDzh. Sistemologiya. Avtomatizatsiya resheniya sistemnykh zadach [Automation of solving system problems]. Moscow: Radio iSvyaz' Publ., 1990. 544 p. (In Russian)
17. Pissanetski S. Tekhnologiya razryazhennykh matrits [Technology empty matrices]. Moscow: Mir Publ., 1988. 410 p. (In Russian)
18. Devenport Dzh., Sire I., Turn'e E. Komp'yuternaya algebra [Computer algebra]. Moscow: Mir Publ., 1991, 352 p. (In Russian)
19. Klaf R., Penzien Dzh. Dinamika sooruzhenii [Dynamics of structures]. Moscow: StroiizdatPubl., 1979. 319 p. (In Russian)
20. Ikramov Kh.D. Nesimmetrichnaya problema sobstvennykh znachenii. Chislennyemetody [Nonsymmetric problem of eigenvalues. Numerical method]. Moscow: Nauka Publ., 1991. 240 p. (In Russian)
Критерии авторства
Соболев В.И. провел исследования, подготовил статью к публикации и несет ответственность за плагиат. Черниговская Т.Н. выполняла аналитические преобразования, проверку результатов и оформила работу.
Contribution
Sobolev V.I. has carried out the research, prepared an article for publication and is responsible for plagiarism. Chernigovskaya T.N. performed analytical transformations, checking the results and formalized the work.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests The authors declare no conflict of interests regarding the publication of this article.
